专题十五——【广东专用】2023年高考数学大题限时训练学案（原卷版+解析版）

专题15 大题限时练十五

1．在中，内角，，所对的边分别为，，，，且．

（1）求证：；

（2）当时，求．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）证明：因为，

所以，

由正弦定理得；

（2）因为，即为的中点，

则，

两边同时平方得，，

即，

由余弦定理得，，

两式相加得，

由余弦定理得．

2．已知数列，满足，，，且数列是等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，若且，求集合中所有元素的和．

【答案】（1）；（2）3045

【详解】（1），可得，，代入，中，

可得，，而数列是等差数列，所以公差，

所以数列的通项公式，

所以；

即的通项公式；

（2）由（1）可得，，

所以，

可得，

所以当为奇数时，，故1，3，5，都是集合中的元素，

由，

所以当为偶数时，

且，所以，可得，

所以2，4，6，8为集合中的元素，

所以．

3．小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．

（1）若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．

（2）假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．

【答案】见解析

【详解】（1）设至少遇到一个红灯为事件，则为三个路口均遇见绿灯；

，

（A）；

（2）线路1遇见红灯的个数设为，线路2遇见红灯的个数设为，

则服从二项分布，，

所以，即选择线路1回家时长的累计增加时间的期望为1；

的所有可能取值为0，1，2，

；

；

；

，即选择线路2回家时长的累计增加时间的期望为，

，故小李应选择路线1．

4．如图1，在中，，是的中位线，沿将进行翻折，使得是等边三角形（如图，记的中点为．

（1）证明：平面；

（2）若，二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】证明：（1）如图，

取中点，连接和，由已知得，且．

因为，分别为，的中点，所以，且

所以，且．

所以四边形是平行四边形．

所以．

因为翻折的，易知．

所以翻折后，．

又因为，，平面，

所以平面．

因为平面，所以．

因为是等边三角形，点是中点，所以

又因为，，平面．

所以平面．

因为，所以平面．

解：（2）过点作，以为原点，、，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

设，则，

则，

因为平面．所以是平面的法向量，

设面的法向量为，，，

则，即，解得．

取，得．

因为二面角为，所以，

解得，所以．

记直线与平面所成角为．

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

5．已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求直线的斜率的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或

【详解】（Ⅰ）由题意，得，

所以．

因为点在椭圆上，

所以，可解得，．

则椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）设直线的方程为，点，，，，

由，得．

因为△，所以，

由根与系数的关系，得．

因为为锐角，所以，即．

所以，

即，

所以．

综上，

解得或．

所以，所求直线的斜率的取值范围为或．

6．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2），

【详解】（1）的定义域是，

，

当时，在上恒成立，故在上单调递增；

当时，令，得，在，上有，在，上有，

在，上是减函数，在，上是增函数，

（2）当时，，即

令，则，

若，由（1）知，当时，在上是增函数，

故有，即，得，

故有．（由（1）可判断，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题）

（当且仅当，即，且时取等号）．

函数在，单调递增，，式成立．

②若，令．

则，当且仅当时等号成立．

在区间，上单调递增，

，，

，使得，则当时，，即，

函数在区间上单调递减，

，即，式不恒成立．

综上所述，实数的范围是，.