初中数学浙教版九年级下册1.3 解直角三角形练习题

第1章   解直角三角函数（A卷·知识通关练）

核心知识1 锐角三角函数的定义

1．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）

A． B．1 C． D．

2．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC旋转得到△ADE，且点D恰好在AC上，sin∠DCE的值是（　　）

A． B． C． D．

3．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（    ）

A．sinA的值越大，梯子越陡 B．cosA的值越大，梯子越陡

C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关

核心知识2 正弦

4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为(   )

A． B． C． D．

5．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（    ）

A．10 B．24 C．48 D．50

6．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（    ）

A． B． C． D．

核心知识3 余弦

7．如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则cos∠BDE的值是(   )

A． B． C． D．

9．如图，已知在中，，点G是的重心，，，那么______．

核心知识4 正切

10．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（    ）

A． B． C． D．

11．如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_________．

12．已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接.

（1）求证：直线是的切线；

（2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接：

①当时，求所有点的坐标      （直接写出）；

②求的最大值.

核心知识5 同角三角函数的关系

13．已知为锐角，且，那么的正切值为（    ）

A． B． C． D．

14．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（    ）．

A．6 B． C．9 D．

15．如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，AE交BF于点H，交BF于点G，下列结论，①；②；③；④其中正确的是（    ）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

核心知识6 特殊角的三角函数

16．计算：.

17．已知为锐角，且tan2－(1＋)tan＋1=0，则的度数为(    )

A．30° B．45° C．30°或45° D．45°或60°

18．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（　　）

A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=

19．如图，正方形中，，AB与直线l所夹锐角为，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，…，依此规律，则线段________．

核心知识7 互余两角三角函数的关系

20．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC、AB上一点，且AF＝BE，AE与DF交于点G，连接CG．若CG＝BC，则AF：FB的比为（　　）

A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4

21．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．

（1）证明：∠E=∠C；

（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；

（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是弧AB的中点，求EG•ED的值．

核心知识8 根据三角函数值判断锐角的取值范围

22．、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（        ）

A． B． C． D．

23．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（    ）

A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定

24．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（    ）

A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°

C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°

25．如图，在中，，，点是的中点，是等腰直角三角形，，线段与线段相交于点，将绕点逆时针转动，点从线段上转到与点重合的过程中，线段的长度的取值范围______．

核心知识9 解直角三角形

26．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（　　）

A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm

27．在半径为2的圆中，弦AB、AC的长度分别是2、，则弦BC的长度是______．

28．如图，在矩形中，，点为的中点，将沿翻折至，延长线恰好过点．

(1)求证：；

(2)求的值．

29．如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．

（1）求证：．

（2）若，，求的值．

核心知识10 解直角三角形的应用

30．如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，坡面的坡度，测得米，米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆的高度为（    ）米．

A． B． C． D．

31．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，求体温检测有效识别区域段的长（结果保留根号）

32．期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约周末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向．

(1)求的距离：

(2)两人准备从B地出发，实然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C地，并沿着C地南偏东走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：）．

核心知识11 解直角三角形的综合应用

33．如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E在BC边上，且，连接AE交BD于点G，过点B作于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作交DC于占N，，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④

34．已知四边形内接于，．

（1）如图1，求证：点到两边的距离相等；

（2）如图2，已知与相交于点，为的直径．

①求证：；

②若，，求的长．

35．在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：

（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；

（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM=　   　，CF=　   　．