第3章 三视图与表面展开图（基础卷）——2022-2023学年九年级下册数学单元卷（浙教版）（原卷版+解析版）

班级            姓名           学号            分数   _____

第3章 三视图与表面展开图（A卷·知识通关练）

核心知识1 投影

1．有一圆柱形的水池，已知水池的底面直径为4米，水面离池口2米，水池内有一小青蛙，它每天晚上都会浮在水面上赏月，则它能观察到的最大视角为（   ）

A．45° B．60° C．90° D．135°

【答案】C

【分析】利用已知条件可以推出△OBC，△OAD均为等腰直角三角形，此时再利用已知条件就很容易求得所求的角的度数．

【详解】解：如图：

∵AB=4，O为圆心，

∴AO=BO=2，

∵BC=2，BC⊥AB，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∴∠COB=45°，

同理∠AOD=45°，

∴∠COD=90°．

故选：C．

【点睛】本题考查视点、视角和盲区，直角三角形的相关知识在实际生活中的应用，注意对相关知识的灵活运用．

2．如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项

【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，

故选D

【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键．

3．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，垂直于地面的木棒与影子的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．

【答案】     10    

【分析】过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据，求出OM的长度，证明，得出，，求出IJ、BI、OI的长度，用勾股定理求出OB的长，即可算出所求长度．

【详解】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，

由题意可知，点O是AB的中点，

∵，

∴点H是CD的中点，

∵，

∴，

∴，

又∵由题意可知：，

∴，解得，

∴点O、M之间的距离等于，

∵BI⊥OJ，

∴，

∵由题意可知：，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴四边形IHDJ是平行四边形，

∴，

∵，

∴，，，

∵在中，由勾股定理得：，

∴，

∴，

∴，

∴叶片外端离地面的最大高度等于，

故答案为：10，．

【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．

4．小明在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时，发现身后影子顶部正好触到路灯底部，当他向前再步行到达时，发现他的影子的顶点正好接触到路灯的底部．已知小明的身高是，两个路灯的高度都是，且．

(1)求：两个路灯之间的距离；

(2)小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如果不是定值，求说明理由．

【答案】(1)两路灯之间的距离为米

(2)两影长之和为定值，定值为米

【分析】（1）根据题意结合图形可知，图中，在点处时，和相似，然后利用相似三角形对应边成比例列出比例式后即可求解；

（2）设两影长之和为，利用相似比，可计算出在两个路灯之间行走时影长之和为定值．

（1）

解：由题意得，

∵，

∴∽，

则

解得：，

，

故两路灯之间的距离为米；

（2）

解：两影长之和为定值，定值为米．

理由：如图，设米．

∵，

∴△CPK∽△EAK，△CPQ∽△HBQ，

∴，，

则，，

∵

∴，

，

解得，

两影长之和为定值，定值为米．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用及中心投影的知识，解题的关键是正确的根据题意作出图形．

5．如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，，，．

(1)BD的长为______．

(2)如图2，当时．

①求的度数；（参考数据：，，，）

②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）．

【答案】(1)250cm

(2)①35°；②

【分析】（1）根据题意可得，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，可得，代入数据求解即可；

（2）①过点作，根据，可得，根据，，即可求解；

②根据题意可知，则，根据求得，根据勾股定理可得，根据正投影是一个圆，根据圆的面积公式求解即可．

（1）

解：∵当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，可得

∴cm

（2）

①如图，过点作

cm，

cm，

②如图，连接，过点作，

根据题意可知

伞能遮雨的面积为

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正投影，理解题意是解题的关键．

核心知识2 简单几何体的三视图

6．如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）

A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变

C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变

【答案】D

【详解】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．

将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．

将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．

故选D．

7．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，据此可得．

【详解】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，

所以其主视图为：

故选C．

【点睛】考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

8．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（　　）

A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．一样大

【答案】C

【分析】画出几何体的三视图，然后比较面积即可．

【详解】如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成，

左视图是由3个小正方形组成，

俯视图是由5个小正方形组成，

故三种视图面积最小的是左视图，

故选C．

【点睛】此题考查了几何体的三视图，解题的关键是正确画出几何体的三视图．

9．一个由许多规格相同的小正方体堆积而成的几何体，其主视图、左视图如图所示一模一样，若要摆成这样的图形，至少需用 m 块小正方体，至多需用n 块小正方体，则 mn= ________________．

【答案】65

【详解】摆出如图所示的图形，至少要3+2=5个小正方体，最多需要9+4=13个小正方体，所以mn=65.

10．如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体，

（1）画出该几何体的三视图；

（2）在该几何体的表面喷上红色的漆，则在所有的小正方体中，有几个正方体的三个面是红色？

（3）若现在你手头还有一个相同的小正方体．

①在不考虑颜色的情况下，该正方体应放在何处才能使堆成的几何体的三视图不变？直接在图中添上该正方体；

②若考虑颜色，要使三视图不变，则新添的正方体至少要在几个面上着色？

【答案】（1）见解析；（2）1个；（3）①见解析；②新添的正方体至少要在2个面上着色

【分析】（1）从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．细心观察图中各正方体的位置，可画出这个几何体的三种视图；

（2）几何体中一个正方体是刚好露出三个面，所以是1个；

（3）①根据三视图不变进行添加，位置必须在第二层第二列;

②位置应在刚好露出三个面的正方体上，要使三视图不变，则新添的正方体至少要在2个面上着色．

【详解】（1）如图所示：

（2）如图所示：

有1个正方体的三个面是红色；

（3）①如图所示：

②要使三视图不变，则新添的正方体至少要在2个面上着色，如图所示：

【点睛】考查三视图的知识和学生的空间想象能力．

11．如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见，…

(1)第6个图形中，看得见的小立方体有___个；

(2)猜想并写出第n个图形中看不见的小立方体的个数.

【答案】（1）91；（2）(n－1)3个．

【详解】分析：由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=（序号数-1）×（序号数-1）×（序号数-1），看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个数．

详解：(1)当n＝1时，看不见的小立方体的个数为(1－1)3＝0(个)；

当n＝2时，看不见的小立方体的个数为(2－1)3＝1(个)；

当n＝3时，看不见的小立方体的个数为(3－1)3＝8(个)；

…

当n＝6时，看不见的小立方体的个数为(6－1)3＝125(个)，

∴看得见的小立方体有63－125＝216－125＝91(个)；

(2)第n个图形中看不见的小立方体的个数为(n－1)3个．

点睛：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．

核心知识3 由三视图描述几何体

12．图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．

【详解】∵S主=x2+2x=x（x+2），S左=x2+x=x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2．

故选A．

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．

13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（　　）

A．24+2π B．16+4π C．16+8π D．16+12π

【答案】D

【分析】根据三视图知该几何体是一个半径为2、高为4的圆柱体的纵向一半，据此求解可得．

【详解】该几何体的表面积为2וπ•22+4×4+×2π•2×4=12π+16，

故选D．

【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状及圆柱体的有关计算．

14．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A．1 B．2 C． D．4

【答案】A

【分析】由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，根据体积=底面积×高，把相关数值代入即可求解．

【详解】解：由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角边长为1，高为2，

则，等腰直角三角形的底面积，

体积=底面积×高，

故选：A

【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，以及求三棱柱的体积，读懂题意，得出该几何体的形状是解决本题的关键．

15．某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

【答案】B

【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．

【详解】由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图（数字为该位置小正方体的个数）为：

则搭成这个几何体的小正方体最少有5个，

故选B．

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．

【详解】请在此输入详解！

【点睛】请在此输入点睛！

16．如图是某几何体的三视图及相关数据，则下面判断正确的是（ ）

A．a＞c B．b＞c C．a2+4b2＝c2 D．a2＋b2＝c2

【答案】D

【分析】由三视图可知该几何体是圆锥，圆锥的高是a，母线长是c，底面圆的半径是b，刚好组成一个以c为斜边的直角三角形，由勾股定理，可得解．

【详解】由题意可知该几何体是圆锥，根据勾股定理得，a2＋b2＝c2

故选：D．

【点睛】本题考查三视图和勾股定理，关键是由三视图判断出几何体是圆锥．

17．由个相同的正方体组成-一个立体图形，如图的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，设能取到的最大值是，则多项式的值是_______．

【答案】-7

【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数，得出的值，即可得出答案．

【详解】解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；

由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，出可能两行都是两层．

所以图中的小正方体最少4块，最多5块，能取到的最大值是5，即，

故．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．

核心知识4 圆锥的计算

18．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．

【详解】∵∠A＝90°，AB＝AD，

∴△ABD为等腰直角三角形，

∴∠ABD＝45°，BD＝AB，

∵∠ABC＝105°，

∴∠CBD＝60°，

而CB＝CD，

∴△CBD为等边三角形，

∴BC＝BD＝AB，

∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，

∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，

∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．

故选D．

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．

19．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：先根据扇形的面积公式S=L•R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．

详解：设圆锥的母线长为R，由题意得

　15π=π×3×R，解得R=5，

∴圆锥的高为4，

∴sin∠ABC=．

 故选C．

点睛：本题考查了圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比．

20．圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（　　）

A．5cm B．10cm C．6cm D．5cm

【答案】A

【分析】设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•5=，然后解方程即可母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．

【详解】设圆锥的母线长为R，

根据题意得2π•5，

解得R＝10．

即圆锥的母线长为10cm，

∴圆锥的高为：5cm．

故选A．

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

21．圆锥的底面周长为，高为4cm，则该圆锥的全面积是 _____ ；侧面展开扇形的圆心角是 ______ .

【答案】          216°

【详解】见下图：

根据圆的周长可知，解得：.根据勾股定理可知：

，即 ，解得：.则该圆锥的全面积是：

.因为底圆的周长就是圆锥侧

面展开扇形的弧长，所以，解得：n=216°.

故答案为：和216°.

【点睛】圆锥的全面积是圆锥的侧面积与底圆面积之和.利用侧面展开扇形的面积或弧长均可以求出其圆心角的度数.本题的关键是抓住通过通过底圆周长求出圆的半径，再由底圆半径r和锥高h构成的直角三角形求出斜边长（即圆锥的母线长l），在此基础上本题的问题可解答.

22．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________．

【答案】

【分析】连接OA，OB，证明△AOB是等边三角形，继而求得AB的长，然后利用弧长公式可以计算出的长度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答．

【详解】连接OA，OB，

则∠BAO=∠BAC==60°，

又∵OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB=OA=1，

∵∠BAC=120°，

∴的长为：，

设圆锥底面圆的半径为r

故答案为．

【点睛】本题主要考查了弧长公式以及扇形弧长与底面圆周长相等的知识点，借助等量关系即可算出底面圆的半径．

23．圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（　　）

A．90° B．120° C．150° D．180°

【答案】D

【详解】【分析】由圆锥的主视图为等边三角形知圆锥的底面圆直径为4、侧面展开图扇形的半径为4，据此利用弧长公式求解可得．

【详解】∵圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，

∴圆锥的母线长为4、底面圆的直径为4，

则圆锥的侧面展开图扇形的半径为4，

设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是n，

根据题意，得：=4π，

解得：n=180°，

故选D．

【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．熟练掌握这两个关系是解题的关键．

24．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为_____．

【答案】3．

【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可．

【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝6π，

以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π，

设展开后的圆心角是n°，则，

解得：n＝180，

即展开后∠BAC＝×180°＝90°，

AP＝AC＝3，AB＝6，

则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，

由勾股定理得：BP＝，

故答案为：．

【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．

25．如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为_____；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为_____．

【答案】     π    

【分析】由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值；根据扇形的弧长等于底面周长求得底面半径即可．

【详解】解：连接BC，

由∠BAC＝90°得BC为⊙O的直径，

∴BC＝2，

在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝2，

∴S扇形ABC＝＝π；

∴扇形的弧长为：＝π，

设底面半径为r，则2πr＝π，

解得：r＝，

故答案为：π，．

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

核心知识5 圆柱的计算

26．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（　　）

A．20π B．18π C．16π D．14π

【答案】B

【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，根据图中给定数据求出表面积即可．

【详解】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，且底面半径为，

∴这个几何体的表面积

=底面圆的面积+圆柱的侧面积+圆锥的侧面积

=22π+222π+32π=18π，

故选：B．

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥和圆柱的计算，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体是解题的关键．

27．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是(　　)

A．13cm B．2cm C． cm D．2cm

【答案】A

【详解】试题解析：如图：

∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，

此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，

∴A′D=5cm，BD=12-3+AE=12cm，

∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

连接A′B，则A′B即为最短距离，

A′B=（cm）．

故选A．

考点：平面展开---最短路径问题

28．如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为的正方形，该果罐侧面积为_____．

【答案】

【分析】根据圆柱体的主视图为边长为10cm的正方形，得到圆柱的底面直径和高，从而计算侧面积．

【详解】解：∵果罐的主视图是边长为10cm的正方形，为圆柱体，

∴圆柱体的底面直径和高为10cm，

∴侧面积为=，

故答案为：．

【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是根据三视图得到几何体的相关数据．

29．（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称；

（2）根据两种视图中尺寸（单位：cm），计算这个组合几何体的表面积．（π取3.14）

【答案】（1）主，俯；（2）cm2

【分析】（1）根据三视图的定义解答即可；

（2）所求组合几何体的表面积=长方体的表面积+圆柱的侧面积，据此代入数据计算即可．

【详解】解：（1）如图所示：

；

故答案为：主，俯；

（2）组合几何体的表面积=2×（8×5+8×2+5×2）+4×π×6=2×66+24×3.14=207.36（cm2）．

【点睛】本题考查了几何体的三视图和几何体表面积的计算，正确理解题意、熟练掌握基本知识是关键．

核心知识6 几何体的展开图

30．如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现在用一把剪刀沿着它的 棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．

【详解】把四个选项的展开图折叠，能复原的是C，

故选C．

【点睛】本题考查了正方体的展开图，易错易混点是学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．

31．如图，是一个正方体的平面展开图，且相对两个面表示的整式的和都相等，如果 ，则E所代表的整式是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：由图可得：面A和面E相对，面B和面D，相对面C和面F相对．由题意得：A+E=B+D，代入可得：a3+a2b+3+E=a2b﹣3+[﹣（a2b﹣6）]，解得：E=－a3﹣a2b-3．故选B．

点睛：本题考查了正方体向对两个面上文字以及整式的加减，掌握运算法则是关键，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．

32．如图，纸上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形折出一个正方体的包装盒，不同的选法有________种．

【答案】2

【分析】根据正方体的11种展开图，以及 凹 、田 7 弃之即可得出答案.

【详解】如图所示，不同的选法有2处，

故答案为2．

【点睛】本题考查了正方体的展开图．解题的关键是掌握四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．

33．如图1所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示，已知展开图中每个正方形的边长为1，

（1）求线段A′C′的长度；

（2）试比较立体图中∠BAC与展开图中∠B′A′C′的大小关系？并写出过程．

【答案】（1）（2）∠BAC与∠B′A′C′相等．

【分析】（1）由长方形中最长的线段为对角线，从而可根据已知运用勾股定理求得最长线段的长；

（2）要确定角的大小关系，一般把两个角分别放在两个三角形中，然后根据三角形的特点或者全等或者相似形来解．

【详解】解：（1）如图（1）中的A′C′，在Rt△A′C′D′中，∵C′D′=1，A′D′=3，由勾股定理得，

∴

（2）∵立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角，

∴∠BAC=45°．

在平面展开图中，连接线段B′C′，由勾股定理可得：A'B'=，B'C'=．

又∵A′B′2+B′C′2=A′C′2，

由勾股定理的逆定理可得△A'B'C'为直角三角形．

又∵A′B′=B′C′，

∴△A′B′C′为等腰直角三角形．

∴∠B′A′C′=45°．

∴∠BAC与∠B′A′C′相等．

34．【变式训练】

综合与实践：制作无盖盒子.

任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为，容积为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）.

（1）请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；

（2）请求出这块矩形纸板的长和宽.

任务二：图2是一个高为的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图3是其底面，在五边形中，，，，.

（1）试判断图3中与的数量关系，并加以证明；

（2）图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少厘米？请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕.纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）.

【答案】任务一：(1)见解析;(2) 长为30cm，宽为15cm; 任务二：(1)见解析;(2)见解析.

【分析】任务一：（1）按要求画出示意图即可；

（2）设矩形纸板的宽为xcm，则长为2xcm，根据题意列出方程，解之即可．

任务二：（1）AD=DE，延长EA、ED分别交直线BC于点M、N，先证明EM=EN，再证明△MAB≌△NDC，得到AM=DN即可；

（2）如图4，由（1）得；AE=DE，∠EAD=∠EDA=30°，

由已知得，AG=DF=4，连接AD，GF，

过B，C分别作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，过E作EP⊥AD于P，

则GF即为矩形纸板的长，MN=BC=12，AP=DP

得到∠BAM=∠CDN=60°，

求出AM=DN=3，BM=CN=3，然后通过三角形相似即可得到结果．

【详解】任务一：（1）按要求画出示意图（如图5）.

（2）设矩形纸板的宽为，则长为，由题意得，

.

解得，，（不合题意，舍去）.

.答：矩形纸板的长为，宽为.

任务二：（1），证明如下：

如图6，延长、分别交直线于点、，

∵，∴.

又∵，∴，∴.

又∵，∴，∴，

∴，∴.

（2）)如图5,过B,C分别作BP⊥AD于P,CQ⊥AD于Q,GI⊥KH于点F,

则KH即为矩形纸板的长，GI即为矩形纸板的宽，

∴PQ=BC=12，

∵∠ABC=∠BCD=120°，

∴∠BAP=∠CDQ=60°，

∵AB=CD=6，

∴AP=DQ=3,BP=CQ=FJ=3，

∴AF= AD= (3+3+12)=9，

∴AE=6,FE=3，

∵∠AED=120°，

∴∠MEN=60°，

∵ME=NE=4，

∴GE=2，

∴GI=GE+EJ+JI=2+6+4=8+4，

∵∠KAS=90°−∠PAB=30°=∠HDT，

∴AK=DH=2 ，

∴KH=3+3+12+4=18+4

矩形纸板的长至少为，宽至少为.

【点睛】此题考查几何变换综合题，解题关键在于作辅助线