第7章 锐角三角函数（培优卷）——2022-2023学年九年级下册数学单元卷（苏科版）（原卷版+解析版）

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第7章 锐角三角函数（B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：100分）

一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。）

1．如图，在矩形ABCD中，，，E是BC的中点，将沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

∵E是BC的中点，，

 ∴BE＝CE=，

∴AE= ，

 由翻折变换的性质得：∠AEF=∠AEB,EF=BE=，

 ∴EF＝CE，

∴∠EFC＝∠ECF，

∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，

∴∠AEB=∠ECF，

∴=，

故选：B．

2．在中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=4，BC=3，

∴sinA=．

故选：C．

3．已知，在矩形中，于，设，且，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：∵DE⊥AC，

∴∠ADE+∠CAD=90°，

∵∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠ACD=∠ADE=α，

∵矩形ABCD的对边AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD，

∵cosα=，

∴，

∴AC=×4=，

由勾股定理得，BC==，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=．

故选：B．

4．下列各式中不成立的是（      ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】A．，此选项不符合题意；

B．，，所以，此选项不符合题意；

C．，，所以，此选项不符合题意；

D．，此选项符合题意；

故选：D．

5．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，则tan∠DBE等于（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD

∵DE⊥AB，

∴ ∠AED＝∠BED＝90°

∵cosA＝ ，

∴，

设AE＝3x，则AD＝AB＝5x，

则DE＝＝4x，BE＝AB－AE＝5x﹣3x＝2x，

∴tan∠DBE＝．

故选：B．

6．已知圆O的半径为3，AB、AC是圆O的两条弦，AB=3，AC=3，则∠BAC的度数是（    ）

A．75°或105° B．15°或105° C．15°或75° D．30°或90°

【答案】B

【解析】解：分别作OD⊥AC，OE⊥AB，垂足分别是D、E．

∵OE⊥AB，OD⊥AB，

∴AE=AB=，AD=AC=，

∴，

∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，

∴∠CAO=90°-30°=60°，∠BAO=90°-45°=45°，

∴∠BAC=45°+60°=105°，

同理可求，∠CAB′=60°-45°=15°．

∴∠BAC=15°或105°，

故选：B．

7．如图，等边三角形内接于，点D是弧上的一个动点（不与点A、B重合），连接，过点A作，垂足为E，连接，若的半径为，则长的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：∵，

∴，

∴点E在以为直径的圆上运动，

设的中点为，

∴当C、E、共线时的最小，最小值为，

∵是等边三角形，

∴经过点O，，，

∴，

∴，

∴CE的最小值=．

故选B．

8．如图，某大楼DE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD，小江从楼底点E向前行走30米到达点A，在A处测得宣传牌下端D的仰角为60°．小江再沿斜坡AB行走26米到达点B，在点B测得宣传牌的上端C的仰角为43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，宣传牌CD的高度约为（　　）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.73）

A．8.3米 B．8.5米 C．8.7米 D．8.9米

【答案】A

【解析】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．

Rt△ABF中，i=tan∠BAF=＝，AB=26米，

∴BF=10（米），AF=24（米），

∴BG=AF+AE=54（米），

Rt△BGC中，∠CBG=43°，

∴CG=BG•tan43°≈54×0.93=50.22（米），

Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=30米，

∴DE=AE=30（米），

∴CD=CG+GE-DE=50.22+10-30≈8.3（米）．

故选：A．

9．如图，正方形中，过点A，B交边于点E，连结交于点F，连结，若，则的值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解析】解：如图示，连接，，

∵四边形是正方形，

∴,

∴经过O点，是的直径，

∴,

∵，,

∴，

设，则,

,

,

设，则,

由勾股定理得：

即：

解之得：，

∴，，

∴，

故选：B．

10．如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】C

【解析】解：连接、，过点作于，

是的切线，

，

，

当时，最小，取最小值，

为等边三角形，

，

，

的最小值为：，

故选：C．

二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分。）

11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为 _____．

【答案】

【解析】解：过点D作DM⊥CM，交CB的延长线于点M，

∴∠DMC＝90°，

在Rt△DMC中，tan∠BCD＝，

∴tan∠DCM＝＝，

设DM＝a，则CM＝2a，

∵∠ACB＝∠DMC＝90°，∠ABC＝∠DBM，

∴△ACB∽△DMB，

∴＝＝＝2，

∴AC＝2DM＝2a，

∴，

∴＝＝，

故答案为：．

12．如图，两张完全相同的矩形纸片ABCD和EFGH，，．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角最小时，______．

【答案】

【解析】解：如图，取BC与EH的交点为K，AD与EH的交点为N，BC与FG的交点为M，

∵∠ADC=∠HDF=90°，

即∠ADF+∠CDM=∠ADF+∠NDH，

∴∠CDM=∠NDH，

又∵CD=DH，∠H=∠C=90°，

∴△CDM≌△HDN（ASA），

∴MD=ND，

又∵四边形DNKM是平行四边形，

∴四边形DNKM是菱形，

∴KM=DM，

∵sinα=sin∠DMC=，

∴如图，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的α角最小，

设MD=a=BM，则CM=4-a，

∵MD2=CD2+MC2，

∴a2=1+（4-a）2，

解得a=，

即MD=，

∴sinα=sin∠DMC=．

故答案为：．

13．在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝，则BC的长为________．

【答案】3或

【解析】解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，

∵∠B＝30°，AB＝4，

∴AD＝AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×＝．

在Rt△ACD中，∵AD＝2，AC＝，

∴

∴BC＝BD+DC＝；

如图2，同理可得，

AD＝AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×＝，，

∴BC＝BD﹣DC＝．

综上所述，BC的长为或；

故答案为：3或．

14．在中，若，，则的度数是_________

【答案】

【解析】∵

∴，，

∴，，

∴，

∴，

故答案为：．

15．若二次函数的图象经过点A(3，0)，与y轴交于点B，点P是该抛物线对称轴上的一动点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，则点P的坐标为______．

【答案】（2，）或

【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x==2，

设点P的坐标为：（2，m），

当，

∵二次函数的图象经过点A（3，0），

∴B（0，-9），

∴OA=3，OB=9，

∴=3，

∴，

∴，

∴（2，），

当时，过B点作BD垂直于对称轴与D，

∴，

∴，

∴，

∴（2，-），

综上所述，点P的坐标为（2，）或（2，）．

故答案为：（2，）或（2，）．

16．城市停车问题突出，为了解决这一问题，某小区在一段道路边开辟一段斜列式停车位，每个车位长6m，宽2.4m，矩形停车位与道路成67°角，则在这一路段边上最多可以划出____个车位．（参考依据sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）

【答案】31

【解析】解：如图：

在Rt△ABC中，AB=6m，∠CAB=67°，

∴AC=ABcos67°=6×=（m），

在Rt△DHG中，HG=2.4m，∠HDG=67°，

∴HD=（m），

∵∠GDE=90°，

∴∠FDE=180°-∠HDG-∠GDE=23°，

∵∠DFE=90°，

∴∠DEF=90°-∠FDE=67°，

在Rt△DFE中，DE=2.4m，

∴DF=DEsin67°=2.4×=（m），

∴（84--）÷+1≈30.6+1=31.6，

∴在这一路段边上最多可以划出31个车位，

故答案为：31．

17．如图，半圆O的直径AB＝6，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O'，与AB交于点P，图中阴影部分的面积等于 __．

【答案】

【解析】解：连接A′P

∵根据题意，∠OBA′=45°，AB=A′B=6

∵A′B是直径

∴∠A′PB=90

∴△A′PB是等腰直角三角形

∴PA′=PB=sin45⋅A′B×6=3

∴

∴S阴影=S扇形ABA′﹣S△A′BP34.5π﹣9

故答案为：4.5π﹣9．

18．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为__．

【答案】

【解析】解：连接AA'，如图：

∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，

∴AA'=A'B，,，则，

∴，

又∵EN＝1，

∴AM=2，

∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A'处，得到折痕BM，

∴A'B=AB，∠ABM=∠A'BM，

∴△ABA'为等边三角形，

∴∠ABA'=∠BA'A=∠A'AB=60°，

又∵∠ABC=∠BAM=90°，

∴∠ABM=∠A'BM=∠A'BC=30°，

∵AM=2，

∴BM=2AM=4，，

在Rt△BOC中，∠C=90°，∠OBC=30°，

 ∴，

∴，

故答案为：．

三、解答题（本题共8小题，共64分。）

19．（6分）计算：

(1)

(2)

【答案】(1)；(2)

【解析】（1）

（2）

20．（6分）如图，在ABC中，点O是BC中点，以O为圆心，BC为直径作圆，刚好经过A点，延长BC于点D，连接AD．已知∠CAD＝∠B．

(1)求证：AD是⊙O的切线；

(2)若BD=8，tanB=，求⊙O的半径．

【答案】(1)见解析；(2)⊙O的半径为3．

【解析】（1）证明：连接AO，

∵BC是直径，

∴∠BAC=90°，

∴∠B+∠ACO=90°，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠OAC，

∵∠CAD=∠B．

∴∠DAO=∠CAD+∠CAO=90°，

∴OA⊥AD，

∴AD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠CAD=∠B，∠ADC=∠BDA，

∴△ACD∽△BAD，

∴，

∵tanB=，

∴，

∴，

∵BD=8，

∴，

∴AD=4，

∴CD=AD=×4=2，

∴BC=BD-CD=8-2=6，

∴⊙O的半径为3．

21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．

(1)求证：MN是⊙O的切线；

(2)若⊙O的直径为5，sinB=，求ED的长．

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】(1)证明：连接OM，如图1，

∵OC=OM，

∴∠OCM=∠OMC，                         

∵在Rt△ABC中，CD是斜边的中线，

∴CD=AB=BD，

∴∠DCM=∠DBC，

 ∴∠OMC=∠DBC，

∴OM∥BD，

又∵MN⊥AB，

∴∠MNB= 90°，

∴∠OMN＝∠MNB＝90°，

∴OM⊥MN，

∵OM是⊙O的半径，

∴MN是⊙O的切线．

(2)解：连接DM，CE，如图2，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CMD＝∠CED＝90°，

∵CD=5，sinB=

∴sin∠DCM＝sinB＝＝ ，

∴DM=3，

∴，

∵CD＝BD，

∴△BCD是等腰三角形，

∴CB＝2CM＝8，

∴CE＝CBsinB＝8×＝，

∴ ED=．

22．（8分）如图，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为点E，若， ．

(1)求的长；

(2)求的正切值．

【答案】(1)；(2)

【解析】（1）解：∵，

∴，

∵， ，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）过点A作于点F，如图所示：

∵是边上的中线，

∴，

，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴．

23．（8分）如图，在建筑物DF的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡AB的坡比为 ，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角α为，然后小李沿斜坡AC走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看点E的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离DE长度为28.8米，求建筑物DF的高度．（参考数据：， ，，）

【答案】40.8米

【解析】解：如图于G，于H，连接、，

∵的坡比，

设，，

∴在中，

，

∴，

∴，

在中，，

设，在中，，

∴，

∵四边形是矩形，

∴，

又∵，

在中，，

，

，

∴，

答：建筑物的高度为40.8米．

24．（8分）在中，，，，于点H，点D在AH上，且，连接BD．

如图1，将绕点H旋转，得到点B、D分别与点E、F对应，连接AE，当点F落在AC上时不与C重合，求AE的长；

如图2，是由绕点H逆时针旋转得到的，射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．

【答案】(1)证明见解析;(2)(I)AE=;(II).

【解析】(1)如图，

在Rt△AHC中，

∵tanC＝3，

∴＝3，

设CH＝x，

∴BH＝AH＝3x，

∵BC＝4，

∴3x+x＝4，

∴x＝1，

∴AH＝3，CH＝1，

由旋转知，∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，CH＝DH＝FH，

∴∠EHF+∠AHF＝∠AHC+∠AHF，

∴∠EHA＝∠FHC，=1，

∴△EHA∽△FHC，

∴∠EAH＝∠C，

∴tan∠EAH＝tanC＝3，

过点H作HP⊥AE，

∴HP＝3AP，AE＝2AP，

在Rt△AHP中，AP2+HP2＝AH2，

∴AP2+(3AP)2＝9，

∴AP＝，

∴AE＝；

(2)如图1，

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，

∴HD＝HF，∠AHF＝30°

∴∠CHF＝90°+30°＝120°，

由(1)有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，

∴∠GAH＝∠HCG＝30°，

∴CG⊥AE，

∴点C，H，G，A四点共圆，

∴∠CGH＝∠CAH，

设CG与AH交于点Q，

∵∠AQC＝∠GQH，

∴△AQC∽△GQH，

∴，

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，

∴EF＝BD，

由(1)知，BD＝AC，

∴EF＝AC

∴＝2，

即：EF＝2HG，

25．（10分）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外）……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．

图1                                  图2                                 备用图

(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．

①该弧所在圆的半径长为 　   　：②面积的最大值为 　   　；

(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明；

(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长为，，点P在直线的左侧，且．

①线段长的最小值为 　   　；

②若，求线段的长．

【答案】(1)①2，②

(2)详见解析

(3)①，②

【解析】（1）解：①设O为圆心，连接，，

∵，

∴，

又，

∴是等边三角形，

∴，即半径为2，

故答案为：2；

②∵以为底边，，

∴当点A到的距离最大时，的面积最大，

如图，过点O作的垂线，垂足为E，延长，交圆于D，以为底，则当A与D重合时，的面积最大，

∴，，

∴，

∴，

∴的最大面积为，

故答案为：；

（2）证明：如图，延长，交圆于点D，连接，

∵点D在圆上，

∴，

∵，

∴，

∴，即；

（3）解：①如图，当点P在上，且时，

∵，，，

∵，

∴，为定值，

连接，设点Q为的中点，以点Q为圆心，为半径画圆，

∴当点P在优弧上时，，连接，与圆Q交于P′，

此时即为的最小值，过点Q作，垂足为E，

∵点Q是中点，

∴点E为中点，即，，

∴，

∴，

∵，

∴圆Q的半径为，

∴，

即的最小值为，

故答案为：；

②∵，，

∴，

∵，

即，

∴中边上的高＝中边上的高，

即点P到的距离和点P到的距离相等，

∴点P在的平分线上，

如图，过点C作，垂足为F，

∵平分，

∴，

∴为等腰直角三角形，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

26．（10分）如图，直线与抛物线相交于点和点，抛物线与轴的交点分别为、（点在点的左侧），点在线段上运动（不与点A、重合），过点作直线轴于点，交抛物线于点．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1，连接，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，过点作于点，当的周长最大时，求点坐标，并求出此时的面积．

【答案】(1)

(2)存在或

(3)；

【解析】(1)解：将代入中

∴

将、代入中

解得：

∴

(2)设，则、

令y=0代入中得，x=-2

∴与x轴的交点坐标为：

∴

∴

如图：

当时，

则

解得：（舍去）

∴

当时，

解得：（舍去）

综上，或

(3)由（2）知

∴的周长

当时，最大，

∴