第7章 锐角三角函数（基础卷）——2022-2023学年九年级下册数学单元卷（苏科版）（原卷版+解析版）

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第7章 锐角三角函数（A卷·知识通关练）

核心知识1 正切的概念

1．如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】解：连接BD，如图所示：

根据网格特点可知，，

∴，

∵， ，

∴在Rt△ABD中，tanA＝＝，故D正确．

故选：D．

2．如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（    ）

A．4 B．5 C． D．

【答案】D

【解析】过A点作AN⊥DF于N，如图，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4，

∵F是CD中点，

∴DF=FC=2，

根据翻折的性质可知AB=AF，

∴△AFD是等腰三角形，

∵AN⊥DF，

∴AN也平分DF，则有DN=NF=1，

∴在Rt△AND中利用勾股定理可得，

∴tan∠D=，

∴tan∠ABE=，

故选：D．

3．如图，P是正方形ABCD的边AD上一点，连接PB，PC，则tan∠BPC的值可能是（   ）

A．0.9 B．1.2 C．1.5 D．1.8

【答案】B

【解析】解：作正方形ABCD的外接圆，根据圆周角的定理，

当在外接圆上动时，，，

当在上动时，由圆心角与圆周角的关系可知，，

当在的中点处时，作的外接圆，

根据圆内角大于圆外角，会发现到的中点处时最大，

过点作的垂线交于，

不妨设正方形的边长为2，

则，

，

同理，

设，

则，

，

解得：，

，

，

，

当在上动时，，

故选：B．

4．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，将ABC绕点B顺时针旋转得到，使点C恰好落在上，则tan的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：∵∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，

∴AC3，

由旋转得：

AB＝A′B＝5，

∴A′C＝A′B﹣BC＝5﹣4＝1，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACA′＝180°﹣∠ACB＝90°，

在Rt△ACA′中，tan∠A′AC，

故选：A．

5．如图，已知矩形ABCD中，DA：AB＝，将其沿CE折叠，使B、F两点重合，连接AF，则tan∠DAF等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：∵，

设AB＝2x，则，

∴，

由折叠可知：，

∴，

∴．

故选：B．

核心知识2．正弦、余弦的概念

1．x为锐角，，则cosx的值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：如图，

设，，

∵，

∴

设，

根据勾股定理得，，

∴

故选：B．

2．菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线的长度是(   )

A．20cm B．cm C．cm D．5cm

【答案】B

【解析】解：∵菱形的周长为20cm，

∴菱形的边长为5cm，

∵菱形的两个邻角之比为，

∴较小的角为60°，

如图所示，

∵，，

∴最长边为BD，( cm)，

∴( cm)，

故选：B．

3．如图，在的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则的值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：如图， 取格点D，连接CD，使CD∥AB，

∴∠BAC=∠DCA，

∵同圆的半径相等，

∴AC=AB=3，而AD=2，

在Rt△ACD中， ，

∴，

故选：B．

4．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：连接AD，

∵△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC中点，

∴AD⊥BC，BD=BC=3，

∴AD==4，

∵AD⊥BC，DE⊥AB，

∴∠BDE+∠ADE=90°，∠BAD+∠ADE=90°，

∴∠BDE=∠BAD，

∴cos∠BDE=cos∠BAD=，

故选：A．

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD长为4，sin∠BAC＝，则BC的长为（　　）

A． B．3 C． D．

【答案】B

【解析】解：连接CD，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BCD＝90°，

由圆周角定理得：∠BDC＝∠BAC，

∴sin∠BDC＝，

∵BD＝4，

∴BC＝3，

故选：B．

核心知识3．特殊角的三角函数

1．计算：．

【答案】4

【解析】解：

=4．

2．计算．

【答案】

【解析】

3．计算：

(1)sin260°﹣tan30°⋅cos30°+tan45°；

(2)．

【答案】(1)；(2)

【解析】（1）sin260°﹣tan30°⋅cos30°+tan45°

（2）

4．计算：

(1)

(2)

【答案】(1)1；(2)3

【解析】（1）解∶

（2）解：

5．（1）；

（2）；

【答案】（1），（2）

【解析】解：（1）

．

（2）

．

核心知识4．由三角函数值求锐角

1．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（　　）

A．＋ B．1＋ C． D．＋1

【答案】A

【解析】解：如图，设与EF交于H，连接AH，

∵AB=1，BC=2，

∴AH=AD=BC=2，AE=AB=1，

∴AH=2AE=2，

∵∠HEA=90°，

∴，

∴∠AHE=∠GAH=30°，

∵AE=AB=1，

∴HE=，

∴阴影部分的面积=S扇形AHG+S△AHE=，

故选：A．

2．如果∠A为锐角，cosA＝，那么∠A 取值范围是（    ）

A．0°＜∠A≤30° B．30°＜∠A≤45° C．45°<∠A<60° D．60°＜∠A＜90°

【答案】C

【解析】∵cos60°＝，cos45°＝，且

∴45°＜∠A＜60°．

故选C．

3．若，则锐角（    ）

A．30° B．45° C．50° D．60°

【答案】D

【解析】解：∵，且为锐角，

∴60°．

故选：D．

4．在中，，都是锐角，且，，则的形状是（    ）

A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定

【答案】C

【解析】解：∵，，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴是等边三角形

故选：C

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连结CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连结BE．若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（    ）

A． B．3 C．2 D．3

【答案】A

【解析】如图：设相交于点

由翻折可知：,

∠ACB＝90°

四边形BCDE是平行四边形

,

在中

，

AC＝3

故选A．

核心知识5．解直角三角形

1．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OA⊥BC于点E，若BC＝OB，则∠D的度数为（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°

【答案】B

【解析】解：∵OA⊥BC，

∴BE=EC=BC，，

∵BC＝OB，

∴，

∴∠BOE=60°，

∴∠D=∠BOE=30°，

故选：B．

2．如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=5，能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 （          ）

A． B． C．5 D．

【答案】D

【解析】解：能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，

设圆的圆心为点O，如图所示：

在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，

∴∠BOC=120°，

作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，

∴BD=，∠OBD=30°，

∴OB==cm，

∴2OB=cm，

即能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm，

故选：D．

3．有一个六边形的半径为4cm，则这个六边形的面积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：∵正六边形的半径等于边长，

∴正六边形的边长a＝4cm；

∴正六边形的面积S＝6××4×4sin60°＝24(cm2)．

故选：C．

4．如图，内接于，，，D是弧的中点，连接，则（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【解析】解：如图所示，连接OB，OC，连接OD交BC于H，

∵D是弧BC的中点，

∴OH⊥BC，∠BOD=∠COD，

∴BH=CH=3，

∵∠A=60°，

∴∠BOC=120°，

∴∠BOD=60°，

又∵OB=OD，

∴△OBD是等边三角形，

∵OH⊥BC，

∴∠HBD=30°，

∴，

故选C．

5．我们常用角（如图中的∠AOB）的大小来描述一段台阶的陡缓程度，已知图中的每一级台阶的高为15.5cm，宽为27cm，则∠AOB的大小接近于（    ）

（参考数据：，，，，）

A．27.5° B．30° C．32.5° D．35°

【答案】A

【解析】∵每一级台阶的高为15.5cm，宽为27cm，

∴，，

∴，

∵接近，

∴∠AOB的大小接近于；

故选A．

核心知识6．用锐角三角函数解决实际问题

1．如图，在中， ，，，求、的长．

【答案】

【解析】解：过作，交于点，

则：，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

2．如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连.为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，，，，）

【答案】、两点之间的距离约为94米

【解析】如图，过点作，垂足为点，

在中，

∵，米，

∴，，

∴（米），

（米），

在中，

∵，米，

∴，

∴（米），

∴（米）.

答：、两点之间的距离约为94米.

3．如图，从气球A上测得正前方的河流两岸B、C的俯角分别为60°和37°，此时气球的高是60m，求河流的宽度BC．（精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

【答案】45.4m

【解析】解：过作于，如图：

则，，

在中，，

，

，

在中，，

，

，

，

答：河流的宽度约为．

4．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为i=1：2.4的斜坡AP攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．

(1)求坡顶A到地面PQ的距离；

(2)计算古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4）

【答案】(1)米；(2)约19米

【解析】（1）解：过点A作AH⊥PQ于H，如图所示：

∵斜坡AP的坡度为i=1：2.4，

∴，

设AH=5k，则PH=12k，

则，

，解得，

，

坡顶A到地面PQ的距离为米．

（2）延长BC交PQ于D，如图所示：

，，

，

四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH，

，

，

设BC=x，则，

，

在中，，

即，解得，

古塔BC的高度约19米．

5．某无人机兴趣小组在操场上开展活动．当无人机与操控者的距离为50米且俯角为时（如图），无人机测得教学楼楼顶的点处的俯角为，又经过人工测量得操控者和教学楼距离为57米．（注：点，，，都在同一平面上）

(1)求此时无人机到地面的距离；

(2)求教学楼的高度．（参考数据：，，）

【答案】(1)此时无人机到地面的距离为30米

(2)教学楼的高度为13米

【解析】（1）过点P作PE⊥AB于E，

∵AP=50，∠A=∠DPA=37°，

∴∴

∴即无人机到地面的距离为30米

（2）过点C作CF⊥PE于F，如图所示：

则四边形BCFE是矩形，

∴CF=BE，

由题意得，AB=57米，PE=30米，∠A=∠DPA=37°，∠PCF=∠HPC=45°，

在Rt△APE中，∠AEP=90°，

∴，

∴BE=AB-AE≈57-40=17（米），

∴CF=17米，

∵∠PFC=90°，∠PCF=45°，

∴△PCF是等腰直角三角形，

∴PF=CF=17米，

∴BC=EF=PE-PF=30-17=13（米），

答：教学楼BC高约为13米．