第一章 三角形的证明（培优卷）——2022-2023学年八年级下册数学单元卷（北师大版）（原卷版+解析版）

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班级              姓名             学号             分数           第一章  三角形的证明（B卷·能力提升练）（时间：120分钟，满分：120分）一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案中是正确的，每小题2分，共20分）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为　　A．9 B．7 C．12 D．9或12【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，由于，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为．故选：．已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为　　A． B． C． D．或【分析】题中没有指明该角是顶角还是底角，故应该分两种情况进行分析．【解答】解：当这个角是底角时，其顶角；当这个角是顶角时，顶角；故选：．如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是　　A．3 B．6 C．9 D．12【分析】由为的平分线，得到一对角相等，再由与平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换得到，再由等角对等边得到，同理，然后利用三边之和表示出三角形的周长，等量代换得到其周长等于的长，由的长即可求出三角形的周长．【解答】解：平分，，又，，，，同理，，则的周长．故选：．下列命题不正确的是　　A．等腰三角形的底角不能是钝角 B．等腰三角形不能是直角三角形 C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形 D．两个全等的且有一个锐角为的直角三角形可以拼成一个等边三角形【分析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．【解答】解：本题可采用排除法；、利用等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，若两底角均为钝角，不能构成三角形，故这种说法错误，故不选；、举反例：等腰直角三角形，故不正确．即答案选．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是　　A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等【分析】根据三角形全等的判定定理判断即可．【解答】解：、根据定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；、根据定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；、根据定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；故选：．如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上； ②； ③； ④．正确的有　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得平分，从而判断出①正确，然后证明出与全等，根据全等三角形对应边相等即可得到②正确，然后根据等边对等角的性质可得，然后得到，然后根据内错角相等两直线平行可得，从而判断出③正确；④由，，即可得到④正确．【解答】解：是等边三角形，，，且，在的平分线上，故①正确；，，，，故②正确；，，，故③正确；由③得，是等边三角形，，又由②可知，④，故④也正确，①②③④都正确，故选：．如图所示，在直角三角形中，已知，点是的中点，且，交的延长线于点、交于点，若，，则的长是　　A．5 B．4 C．3 D．2【分析】连接，由直角三角形的性质求出，根据中垂线的性质求出，求出，则可得出．【解答】解：连接，，，，，，，为的中点，，，，，又，，．故选：．用反证法证明“”时，应假设　　A． B． C． D．【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．要注意的是的反面有多种情况，需一一否定．【解答】解：用反证法证明“”时，应先假设．故选：．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形是其中一腰），则图中符合条件的格点有　　A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】首先由勾股定理可求得的长，然后分别从，，去分析求解即可求得答案．【解答】解：如图所示：由勾股定理得：，①若，则符合要求的有：，，共4个点；②若，则符合要求的有：，共2个点；若，则不存在这样格点．这样的点有5个．故选：．如图，，，，若，则　　A．3 B．4 C．5 D．6【分析】过点作，交于点，先证明是等边三角形，再证明，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得的长，最后将与相加即可．【解答】解：如图，过点作，交于点，，是等边三角形，，，，，，即，是等边三角形，，平分，，在中，，；方法二、，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，平分，，，，，；故选：． 二、填空题（每小题3分，共18分）如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则　7　．【分析】可判定，从而得出，则．【解答】解：，，，，在和中，，，，，．故答案为7．等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是　或　．【分析】先分情况讨论：是等腰三角形的底角或是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．【解答】解：当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是；当是等腰三角形的底角时，则顶角是．故答案为：或．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点，，若为，的周长为，则的周长为　18　．【分析】由已知条件，利用垂直平分线的性质可得其两条边，然后等效替换即可求出周长．【解答】解：垂直平分，，，，的周长为，，的周长．故填18．等边三角形的每个内角都等于　60　度．【分析】根据等边三角形各边长相等的性质即可求得，根据三角形内角和为的性质即可求得，即可解题．【解答】解：等边三角形各边长相等，，三角形内角和为，．故答案为：60．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 　或　．【分析】本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．【解答】解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为50，则顶角是，因而底角是；如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：，，故，所以，因此这个等腰三角形的一个底角的度数为或．故答案为：或．如图，在中，、分别是和的平分线，过点作交于、交于，若，，则周长为　7　．【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，即可得出；求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：是，平分线的交点，，，，，，，，，，，即，的周长，，，的周长，故答案为7． 三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）如图，在中，，为边的中点，于点，于点，．求证：是等边三角形．【分析】证明得到，则，然后根据等边三角形的判定方法得到结论．【解答】证明：为的中点，．，，．在和中，，，，，，是等边三角形．如图，，，点是上一点，于，于，，求证：．【分析】连接，由直角三角形全等的“ “判定定理证得，根据全等三角形的性质得到，再由直角三角形全等的“ “判定定理即可证得．【解答】解：连接，，在和中，，，，于，于，，在和中，，．如图，在中，，是边上的中线，是边上的一点，且．求证：．【分析】根据等腰三角形的性质得出，再得出．【解答】证明：，是边上的中线，，，又，，． 四、解答题：（第20题10分，第21题12分，共22分）已知：如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．（1）求证：是等腰三角形；（2）求的周长．【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，可得，进一步即可得证；（2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可．【解答】（1）证明：，，平分，，，，是等腰三角形；（2）解：，，平分，，，，，的周长，，，，的周长为．如图，在中，，点是上一点，点是上一点，且．若，，求的度数．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，进而得到，由，得到，由，进而求出结论．【解答】解：，，，，，，，，，． 五、解答题：（本题12分）如图，是等边三角形，是中线，延长至，，（1）求证：．（2）在图中过作交于，若，求的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到．（2）由的长可求出，进而可求出的长，则的周长即可求出．【解答】（1）证明：是等边三角形，是中线，．（等腰三角形三线合一）．又，．又，．．（等角对等边）；（2），，，，，，的周长． 六、解答题：（本题12分）如图，一只船从处出发，以18海里时的速度向正北航行，经过10小时到达处．分别从、处望灯塔，测得，度．求处与灯塔距离．【分析】本题的关键是利用题中给出的角的度数，求得，再速度乘时间就是路程，从而求出的长．【解答】解：是的外角（海里）因此处与灯塔距离是180海里． 七、解答题：(本题12分)如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．（1）求证：是等边三角形；（2）当时，试判断的形状，并说明理由；（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得证；（2）根据全等易得，结合（1）中的结论可得为，那么可得所求三角形的形状；（3）根据题中所给的全等及的度数可得的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．【解答】证明：（1），，，是等边三角形．解：（2）是直角三角形．理由如下：是等边三角形，，，，，，是直角三角形．（3）是等边三角形，．，，，，．①当时，，．②当时，，．③当时，，．综上所述：当或或时，是等腰三角形．