第一章 三角形的证明（基础卷）——2022-2023学年八年级下册数学单元卷（北师大版）（原卷版+解析版）

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班级              姓名             学号             分数           第一章  三角形的证明（A卷·知识通关练）考点1  等腰三角形的性质【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。如图，在中，，为内的一点，且，，则的大小为　　A． B． C． D．已知等腰三角形的一边长为，周长为，则腰长为　　A．或 B． C． D．或若一个等腰三角形的两边长分别为5和12，则该三角形的周长是　　A．5 B．5或12 C．22或29 D．29已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于　　A．或 B． C． D．或 考点2  等腰三角形的判定【方法点拨】掌握等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”牢记：（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分；（2）判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。下列三角形中，不是等腰三角形的是　　A． B． C． D．如图，平面直角坐标系中，已知，．若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是　　A．5 B．6 C．7 D．8如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是　　①的面积等于的面积；②；③；④．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④如图，已知，在边 上顺次取点，，，在边 上顺次取点，，，使得，得到等腰△，△，△，△（1）若，可以得到的最后一个等腰三角形是　  　；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△，则 的度数 的取值范围是　　． 考点3  “三线合一”性质的应用【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点，求证：AG⊥EF．在△ABC中，BC边上的高AG平分∠BAC．（1）如图1，求证：AB＝AC；（2）如图2，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BC＝10cm，DE＝6cm，求BD的长．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN；（2）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明． 考点4  等边三角形的判定与性质【方法点拨】等边三角形的性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴；（2）等边三角形的每个角都等于60°。等边三角形的判定：（1）三边相等的三角形是等边三角形。（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。如图，在边长为2的等边三角形中，为边上一点，且．点，分别在边，上，且，为边的中点，连接交于点．若，则的长为　　A． B． C． D．已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，、相交于点，则下列五个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形．其中，正确的有　　A．2个 B．3个 C．4个 D．5个如图，已知中高恰好平分边，，点是延长线上一点，点是线段上一点且，下面的结论：①；②是等边三角形；③；④．其中正确的为 　       　．（填序号）如图，等边的边长为6，，的角平分线交于点，过点作，交、于点、，则的长度为　   　． 考点5  直角三角形全等的判定【方法点拨】对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 使两个直角三角形全等的条件是　　A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．斜边及一条直角边对应相等如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是　　A． B． C． D．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是　　A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等如图所示，已知在中，，，交于点，若，则　　A． B． C． D． 考点6  直角三角形性质的综合应用【方法点拨】掌握直角三角形两条重要的性质：（1）斜边上的中线为斜边的一半。（2）30°角所对直角边为斜边一半。且两直角边成倍关系。如图，直线，如图放置，若，，则的度数为　　A． B． C． D．如图，沿直线折叠，使点与边上的点重合，若，，则等于　　A． B． C． D．如图，从旗杆的顶端向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子的长度不可能是　　A．3 B．3.3 C．4 D．5如图，在中，，，是上一点，于点，于点，则的度数为　　A． B． C． D． 考点7  角平分线性质的应用【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。如图，，平分，于点，交于点，若，则的长为　　A．3 B．4 C．5 D．6如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是　　A． B． C． D．如图，在中，为的平分线，于，于，的面积是，，，则的长　　A． B． C． D．如图，，，垂足分别为、．，若，则　　． 考点8  线段垂直平分线性质的应用【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。如图，在中，的垂直平分线与边，分别交于点，．已知与的周长分别为和，则的长为　　A． B． C． D．如图，在中，是的垂直平分线，且分别交、于点和，，，则为　　A． B． C． D．如图，，分别是线段，的垂直平分线，连接，，则　　A． B． C． D．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为　　A．26 B．20 C．18 D．14 考点9  等腰三角形与全等三角形的综合如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．（1）求证：BF＝AC；（2）若CD＝3，求AF的长．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：CD＝BF；（2）求证：AD⊥CF；（3）连接AF，试判断△ACF的形状．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点F．（1）求证：AE＝CE；（2）求证：△AEF≌△CEB．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC． 考点10  与三角形有关的动点问题如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．（2）如图2，若EF与AB不平行． 则问题（1）的结论是否成立？说明理由．△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是　   　三角形；（2）若∠BAC＝∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；（2）如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝5，试求PQ的长；（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．