数学1 因式分解练习

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考点1 因式分解定义
【方法点拨】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式。
下列等式从左到右的变形，是因式分解的是
A．B．
C．D．
【分析】根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
【解答】解：．从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是
A．B．
C．D．
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断即可．
【解答】解：．原式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
．原式右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
．原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意．
故选：．
下列各式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据因式分解的意义和因式分解的方法逐个判断即可．
【解答】解：．，故本选项符合题意；
．从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
．
，故本选项不符合题意；
．，，故本选项不符合题意；
故选：．
下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是
A．B．
C．D．
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：选项不是因式分解，故不符合题意；
选项计算错误，故不符合题意；
选项是因式分解，故符合题意；
选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：．
考点2 公因式的概念
【方法点拨】把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.
多项式各项的公因式是
A．B．C．D．
【分析】根据公因式的定义可求解．
【解答】解：，
故多项式各项的公因式是．
故选：．
分解因式时，应提取的公因式是
A．B．C．D．
【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
【解答】解：，
因此的公因式是．
故选：．
多项式的公因式是
A．B．C．D．
【分析】根据公因式的概念即可得出答案．
【解答】解：多项式的公因式是，
故选：．
多项式的公因式是
A．B．C．D．
【分析】直接利用公因式的定义分析得出答案．
【解答】解：多项式的公因式是：．
故选：．
考点3 提公因式法
【方法点拨】如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法
把多项式因式分解，结果正确的是
A．B．C．D．
【分析】直接提取公因式，进而分解因式即可．
【解答】解：
．
故选：．
把多项式分解因式，结果正确的是
A．B．C．D．
【分析】直接提公因式即可．
【解答】解：原式，
故选：．
分解因式： ．
【分析】直接利用公因式的定义分析得出答案．
【解答】解：．
故答案为：．
因式分解 ．
【分析】直接提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
考点4 公式法
【方法点拨】公式法：
（1）a2_b2=(a+b)(a-b) （2）a2±2ab+b2=（a±b）2
下列单项式中，使多项式能用平方差公式因式分解的是
A．B．C．D．
【分析】接根据平方差公式进行解答即可．
【解答】解：．，不符合平方差公式，不符合题意；
．，不符合平方差公式，不符合题意；
．，不符合平方差公式，不符合题意；
．，符合平方差公式，符合题意；
故选：．
把分解因式，正确的是
A．B．
C．D．
【分析】利用平方差公式因式分解，第一个数为，第二个数为．
【解答】解：．
故选：．
下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A．B．C．D．
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
、原式，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，
故选：．
可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是
A．64，63B．61，65C．61，67D．63，65
【分析】原式利用平方差公式分解，整理即可确定出这两个数．
【解答】解：
，
则这两个数为63与65．
故选：．
考点5 提公因式与公式法综合运用
【方法点拨】分解因式的一般步骤为:
（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.
（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
分解因式： ．
【分析】先提公因式，再应用完全平方公式．
【解答】解：原式．
故答案为：．
分解因式： ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
因式分解： ．
【分析】先提取公因式，再用平方差公式即可．
【解答】解：
，
故答案为：．
分解因式： ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
考点6 分组分解法
【方法点拨】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．
分解因式： ．
【分析】首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
因式分解：
（1）；
（2）．
【分析】（1）用提取公因式法分解因式；
（2）用平方差公式、完全平方公式分解因式．
【解答】解：（1）原式
，
（2）原式
．
（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：．
①分解因式：；
②若，都是正整数且满足，求的值；
（2）若，为实数且满足，，求的最小值．
【分析】（1）①先分组，再运用提公因式法进行因式分解．
②现将变形为，即，然后再解决本题．
（2）先将变形为，再代入，然后进行变形，得到．最后，探究的最小值．
【解答】解：（1）①
．
②由题得，即．
，为正整数且，
，即．
．
（2）由题得．
．
，
（当且仅当时取等号）．
经验证：满足，
综上，的最小值为．
先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：．
（2）因式分解：；
【分析】（1）将看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解．
（2）令，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解．
【解答】解：（1）原式．
（2）令，则原式变为，
故．
考点7 十字相乘法
有下列说法：
①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②无论取任何实数，多项式总能分解成两个一次因式积的形式；
③若，则可以取的值有3个；
④关于，的方程组为，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是．
其中正确的说法是
A．①④B．①③④C．②③D．①②
【分析】利用平行公理对①判断，利用平方差公式的特点对②分析，③通过0指数、底数为1，底数为对代数式进行分类讨论得结果，④抓住取每一个值方程的解都相同，求出、的值．
【解答】解：①按照平行公理可判断在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；
②当为负值时，多项式不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确；
③当、时，，故本选项不正确；
④新方程为，
每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，
当时，，
当时，，
公共解是．
综上正确的说法是①④．
故选：．
分解因式： ．
【分析】先利用十字相乘法，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：，
故答案为：．
已知：整式，整式．
（1）若，求的值；
（2）若可以分解为，求．
【分析】（1）由，得，那么．，从而求得．
（2）由，得，进而解决此题．
【解答】解：（1），
．
，
．
．
．
（2）由（1）得：．
．
．
．
．
．
．
仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得
，
则
解得：，
另一个因式为，的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式的二次项系数是1，因式是的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子的二次项系数是2，因式是的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是2，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【解答】解：设另一个因式为，得
则
，
解得：，
故另一个因式为，的值为65．
考点8 利用因式分解判断三角形
已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，且满足a2+b2+＝ac+bc，试判定a，b，c能否构成三角形，如果能，请判定形状，并说明理由．
【分析】将已知等式移项后变形为，即，据此可得且，继而知a+b＝c，即可作出判断．
【答案】解：无法构成△ABC，
理由：∵，
∴，
∴，
∴，
∴且，
即且，
∴a+b＝c，
∴无法构成△ABC．
已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
【分析】先根据完全平方公式进行变形，求出a＝b＝c，即可得出答案．
【答案】△ABC是等边三角形．
证明如下：
∵2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
∴a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝0，
∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（a﹣c）2＝0，（b﹣c）2＝0，得a＝b且a＝c且b＝c，
即a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．
已知a，b，c为△ABC的三条边，若a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则该△ABC是什么三角形？
【分析】把a2+b2+c2＝ab+ac+bc的两边乘2，然后分类利用完全平方公式各自因式分解，进一步利用非负数的性质得出a、b、c三边之间的关系解决问题．
【答案】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0
∴a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac＝0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
已知△ABC的三条边分别是a、b、c．
（1）判断（a﹣c）2﹣b2的值的正负．
（2）若a、b、c满足a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，判断△ABC的形状．
【分析】（1）运用因式分解法将（a﹣c）2﹣b2转化为（a﹣c+b）（a﹣c﹣b），借助三角形的三边关系问题即可解决．
（2）运用配方法，将所给等式的左边变形、配方，利用非负数的性质问题即可解决．
【答案】解：（1）（a﹣c）2﹣b2＝（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）；
∵△ABC的三条边分别是a、b、c．
∴a+b﹣c＞0，a﹣c﹣b＜0，
∴（a﹣c）2﹣b2的值的为负．
（2）∵a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，
∴a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0；
又∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，△ABC为等边三角形．
考点9 利用因式分解求值
已知a+b＝，ab＝﹣，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
【分析】先利用因式分解的方法得到原式＝ab（a+b）2，然后利用整体代入的方法计算原式的值．
【答案】解：a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2，
∵a+b＝，ab＝﹣，
∴原式＝ab（a+b）2＝﹣×（）2＝﹣3，
即代数式a3b+2a2b2+ab3的值是﹣3．
利用因式分解计算：已知：a+b＝4，ab＝﹣2，求：a3+a2b+ab2+b3的值．
【分析】由立方和公式，提取公因式法，和的完全平方公式和待定系数法求得a3+a2b+ab2+b3的值80．
【答案】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），
a2b+ab2＝ab（a+b），
∴a3+a2b+ab2+b3＝（a3+b3）+（a2b+ab2）
＝（a+b）（a2﹣ab+b2）+ab（a+b）
＝（a+b）（a2+b2）
＝（a+b）[（a+b）2﹣2ab]
又∵a+b＝4，ab＝﹣2，
∴原式＝4×（16+4）＝80．
若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值．
【分析】由题意得出x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，把2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz变形为（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2，再代入计算即可．
【答案】解：∵x＝2018，y＝2019，z＝2020，
∴x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz
＝（x2﹣2xy+y2）+（x2﹣2xz+z2）+（y2﹣2yz+z2）
＝（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2
＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2
＝6．
已知a﹣b＝1，a﹣c＝3．
（1）求5b﹣5c+7的值：
（2）求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．
【分析】（1）将已知的两个式子相减可得b﹣c＝2，则所求式子可化为5b﹣5c+7＝5（b﹣c）+7＝17；
（2）将所求式子利用完全平方公式化为a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，再将（1）的式子代入即可．
【答案】解：（1）∵a﹣b＝1，a﹣c＝3，
∴b﹣c＝3﹣1＝2，
∴5b﹣5c+7＝5（b﹣c）+7＝17；
（2）a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝×（a2+b2+c2+a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，
∵a﹣b＝1，a﹣c＝3，b﹣c＝2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝×（1+9+4）＝7．
考点10 因式分解的应用
小颖用下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出了一个把某多项式因式分解的等式，这个等式是
A．B．
C．D．
【分析】利用拼接前后的面积相等，再结合因式分解的定义，对选项进行排除，即可得到正确结果．
【解答】解：根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，可排除选项，；
由图中四个长方形的面积为：，以此可排除选项．
故选：．
如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法，从而得到等式．
【解答】解：观察图形可知．
故选：．
阅读材料：
，上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）因式分解：；
（2）求多项式的最小值；
（3）已知、、是的三边长，且满足，求的周长．
【分析】（1）先配方后利用平方差公式进行因式分解．
（2）配方后根据平方非负性求最小值．
（3）配方后根据非负性求出，，的值．
【解答】解：（1）原式
．
（2）原式
，
，
当时，原式最小为．
（3），
，
，
，，，
，，，
周长．
第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 ；
（2）小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得结果相加即可得解；
（2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）
．
故八进制数字3746换算成十进制是2022．
故答案为：2022；
（2）依题意有：，
解得，（舍去）．
故的值是9．