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所属成套资源：2022-2023学年八年级下册数学单元卷（沪教版上海）
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第二十一章 代数方程（基础卷）——2022-2023学年八年级下册数学单元卷（沪教版上海）（原卷版+解析版）
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班级 姓名 学号 分数 第二十一章 代数方程（A卷·知识通关练）核心知识1整式方程1．下列方程是一元高次方程的是（ ）A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+1x＝0 D．x4+1＝0【答案】D【详解】解：这四个方程都只含一个未知数，∵A，B中未知数的项的次数小于等于2，∴A，B选项不是一元高次方程，不符合题意，∵C中分母中含有未知数，∴是分式方程，∴C选项不符合题意，∵D符合一元高次方程定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，∴D选项符合题意，故选：D．2．（2022春·上海·八年级上海市民办扬波中学校考期中）如果关于x的方程(m+2)x=8无解，那么m的取值范围是（ ）A．m>-2 B．m=-2 C．m≠-2 D．任意实数【答案】B【详解】解：由题意得当m+2=0时关于x的方程(m+2)x=8无解解得m=-2，故选B．3．关于x的方程a2-2a-8x2+(a+2)x-1=0,当a__________时为一元一次方程；当a________时为一元二次方程.【答案】 a=4 a≠4且a≠-2.【详解】(1) 由于一元一次方程的定义可知：a2-2a-8=0且a+2≠0，解得：a=4(2)由一元二次方程的定义可知：a2-2a-8≠0，解得a≠4且a≠-2.故答案为4;a≠4且a≠-2,4．已知关于x的方程x2+(m-2)x+14m2=0有两个实数根，那么m的取值范围是________________【答案】m≤1【详解】解：∵关于x的方程x2+(m-2)x+14m2=0有两个实数根，∴△=（m-2）2-4×1×14m2=-4m+4≥0，∴m≤1．故答案为m≤1．5．（2022春·上海奉贤·八年级校联考期中）解关于x的方程：b(x-3)=4【答案】x=3b+4b【详解】解：去括号，得bx-3b=4，移项，得bx=3b +4，由题意知b≠0，∴方程两边同除以b得，x=3b+4b，方程的解为x=3b+4b．核心知识2．二项方程6．下列方程中，是二项方程的是（ ）A．x2+3x=0； B．x4+2x2-3=0； C．x4=1； D．x(x2+1)+8=0【答案】C【详解】A. x2+3x=0中两项都含未知数x，所以不是二项方程；B. x4+2x2-3=0中有三项，所以不是二项方程； C. x4=1其中一项含未知数x，另一项是非0常数项，所以是二项方程；D. x(x2+1)+8=0中有三项，所以不是二项方程.故选C.7．试写出一个二项方程，使得它有一个解为x=1，这个二项方程可以是________．【答案】x2-1=0（答案不唯一）【详解】解：二项方程，使得它有一个解为x=1，这样的方程不唯一，比如：x2-1=0，x-1=0等，故答案为：x2-1=0（答案不唯一）．8．（2021春·上海·八年级上海市进才中学北校校考期中）3x+24-m=0有一个解为x=7，那么这个方程的另一个解为________．【答案】x=-10【详解】将x=7代入方程2x+34-m=0，得174-m=0，即m=174，故原方程为：2x+34-174=0，移项，得：2x+34=174，两边直接开4次方，得：2x+3=17或2x+3=-17，解得：x1=7，x2=-10，故答案为x=-10．9．（2022春·上海·八年级上海市民办扬波中学校考期中）二项方程12x5-16=0的实数根是_______．【答案】x=2【详解】12x5-16=0，12x5=16，x5=32，∵25=32，∴x=2，故答案为：x=2.核心知识3．分式方程 10．（2022春·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）已知方程：①1-9x2x2=0，②xx+x22=1，③x+2x+2=2+2x-2，④(x+45)(x-6)=-1．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【详解】解：①1-9x2x2=0，是分式方程；②x2+x22=1，是分式方程；③x+2x+2=2+2x-2，是分式方程；④(x+45)(x-6)=-1，不是分式方程，则分式方程的个数是3．故选：B．11．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）方程x+1x+2=0的解是______．【答案】x=-1【详解】解：x+1x+2=0去分母得：x(x+2)+1=0，去括号得：x2+2x+1=0，即(x+1)2=0，∴x+1=0，解得：x=-1，当x=-1时，x+2≠0，∴x=-1是原分式方程的解，故答案为：x=-1．12．分式x2x-3和3x3-x的值相等，那么x=_______．【答案】0或-3【详解】解：根据题意得：x2x-3=3x3-x，去分母得：x2+3x=0，即x（x+3）=0，解得：x=0或x=-3，经检验x=0和x=-3都为分式方程的解，故答案为：0或-313．（2022春·上海·八年级校考期中）换元法解方程xx+12-5xx+1+2=0时，可设xx+1=y，那么原方程变形为______．【答案】y2-5y+2=0【详解】解：设xx+1=y，∴xx+12=y2，∴原方程变形为y2-5y+2=0．故答案为y2-5y+2=0．14．（2022秋·上海静安·七年级上海田家炳中学校考期中）已知关于x的分式方程1-mx-1-2=21-x的解是非负数，则m的取值范围是_________．【答案】m≤5且m≠3【详解】原分式方程可化为：1-mx-1-2=-2x-1 去分母得：1-m-2(x-1)=-2 解得x=5-m2 又∵ 分式方程的解是非负数∴ 5-m2≥0且5-m2≠1∴ m的取值范围是：m≤5且m≠315．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）已知关于x的分式方程xx-1+kx-1=xx+1有增根x=1，则k=______．【答案】-1【详解】解：去分母得xx+1+kx+1=xx-1，整理得2+kx+k=0，把x=1代入得2+k+k=0，解得k=-1；所以当k=-1时，原方程有增根x=1．故答案为-1．16．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）解关于x的方程x-3x-2=2mx-2有增根，则m的值为___________【答案】-12##-0.5【详解】解：根据题意，得该分式方程的增根是x=2，该分式方程转化为整式方程，得x-3=2m，把x=2代入，得m=-12．故答案为：-12．17．关于x的方程5xx-4+3+mx4-x=2无解，则m=________．【答案】3或174．【详解】解：方程两边都乘以（x-4）得，5x-(3+mx)=2(x-4)，整理，得：(3-m)x=-5 当3-m=0时，即m=3，方程无解；当3-m≠0时，x=5m-3，∵分式方程无解，∴x-4=0，∴x=4，∴5m-3=4，解得，m=174．故答案为：3或174．18．解方程：x+1x-3x+1x2+x=1 【答案】无解【详解】解：x+1x-3x+1x2+x=1两边同乘x(x+1)得：(x+1)(x+1)-(3x+1)=x(x+1)，去括号得：x2+2x+1-3x-1=x2+1，移项合并得：-x=1，解得：x=-1．检验：经检验x=-1是方程的增根，原方程无解．19．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）解方程：xx+2+x+2x-2=8x2-4【答案】x=1【详解】解：xx+2+x+2x-2=8x2-4方程两边同时乘以x+2x-2得，xx-2+x+22=8∴x2-2x+x2+4+4x=8即x2+x-2=0∴x+2x-1=0解得：x1=1,x2=-2∵当x=-2时，x+2x-2=0，不合题意，∴x=120．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）解方程：x2+3x+2-4x+8x2+3=3．【答案】x=5或x=-1【详解】解：设x2+3x+2=a，方程变形得：a-4a=3，去分母得：a2-3a-4=0，即a-4a+1=0，解得：a=4或a=-1，∴x2+3x+2=4或x2+3x+2=-1，整理得：x2-4x-5=0或x2+x+5=0，对于x2-4x-5=0，x-5x+1=0，解得：x=5或x=-1；对于x2+x+5=0，∵Δ=1-20=-19<0，∴无解，经检验x=5或x=-1是分式方程的解．21．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）用换元法解方程：x2﹣x﹣12x2-x=4．【答案】x1=3，x2=-2【详解】设x2-x=y，则原方程变形为y-12y-4=0，即y2-4y-12=0，解得y1=-2，y2=6，当y=-2时，x2-x+2=0，因为△=1-8=-9<0，所以此方程无实数根，当y=6时，x2-x-6=0，解方程得：x1=3，x2=-2，检验：把x1=3，x2=-2分别代入原方程的分母，分母都不等于0，所以原方程的根是：x1=3，x2=-2．22．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成.求两队单独完成此项工程各需多少天？【答案】甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天．【详解】解：设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队完成此项工程需（x−5）天，根据题意得：6x+6x-5=1，解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝15，经检验：x＝15是原方程的解，且符合题意，则x−5＝10，答：甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天．23．（2021春·上海·八年级上外附中校考期末）若关于x的方程2mx+1-m+1x2+x=1x无解，求实数m的值．【答案】-2或-13或12【详解】解：方程两边同时乘以x(x+1)，得：2mx-x=1+(m+1)，解得：(2m-1)x=2+m，当2m-1=0时，此方程无解，原分式方程也无解，解得：m=12，当2m-1≠0时，∵原分式方程无解，∴x(x+1)=0，∴x=0或x=-1，当x=0时，2+m2m-1=0，解得：m=-2，当x=-1时，2+m2m-1=-1，解得：m=-13，综上，m的值为-2或-13或12．24．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）关于x的方程2kx-1-xx2-x=kx+1x只有一个实数根，求：k的值．【答案】k的值为0或12【详解】解：将2kx-1-xx2-x=kx+1x转化为整式方程可得：kx2+(2-3k)x-1=0；当k=0时，方程为2x-1=0，解得x=12经检验，x=12是原方程的解；当k≠0时，方程为一元二次方程，判别式Δ=(2-3k)2+4k=5k2+4(k-1)2>0所以一元二次方程有两个不相等的实数根，由题意可得，一元二次方程必有一个根为分式方程的增根，由分式方程可得，方程的增根只可能为0或1，当x=0时，方程kx2+(2-3k)x-1=0不成立，舍去；当x=1时，方程为k+(2-3k)-1=0，解得k=12，将k=12代入kx2+(2-3k)x-1=0可得x2+x-2=0解得x=1或x=-2经检验，x=-2是原分式方程的解，综上：k的值为0或12．25．（2022春·上海·八年级校考期中）解方程组：1x+y+1x-y=34x+y-1x-y=2．【答案】x=34y=14【详解】解：设1x+y=m，1x-y=n，则原方程组变形为：m+n=34m-n=2，解得m=1n=2，∴1x+y=11x-y=2，即x+y=1x-y=12，解得x=34y=14，经检验，x=34y=14是原方程组的解，∴原方程组的解为：x=34y=14．26．（2022春·上海·八年级期中）观察方程①：x＋3x＝4，方程②：x＋8x＝6，方程③：x＋15x＝8（1）方程①的根为： ；方程②的根为： ；方程③的根为： ；（2）按规律写出第四个方程： ；此分式方程的根为： ；（3）写出第n个方程（系数用n表示）： ；此方程解是： ．【答案】（1）x1＝1，x2＝3；x1＝2，x2＝4；x1＝3，x2＝5；（2）x＋24x＝10；x1＝4，x2＝6；（3）x＋n(n+2)x＝2n＋2；x1＝n，x2＝n＋2【详解】（1）方程①根：x1＝1，x2＝3；方程②根：x1＝2，x2＝4；方程③根：x1＝3，x2＝5；（2）方程④：x＋24x＝10；方程④根：x1＝4，x2＝6,（3）第n个方程：x＋n(n+2)x＝2n＋2，解是：x1＝n，x2＝n＋2，故答案为：（1）x1＝1，x2＝3；x1＝2，x2＝4；x1＝3，x2＝5；（2）x＋24x＝10；x1＝4，x2＝6；（3）x＋n(n+2)x＝2n＋2；x1＝n，x2＝n＋2．27．解方程：x+5x+4+x+2x+1=x+3x+2+x+4x+3【答案】x=-52.【详解】解:原方程可变形为，1+1x+4+1+1x+1=1+1x+2+1+1x+3，化简得，1x+4+1x+1=1x+2+1x+3，即2x+5(x+4)(x+1)=2x+5(x+2)(x+3)，∴2x+5=0，解得，x=-52,检验，把x=-52代入(x+4)(x+1) (x+2)(x+3)≠0，∴原方程的解为x=-52.核心知识4．无理方程 28．（2022春·上海嘉定·八年级校考期中）以下方程是无理方程的是（ ）A．5x+2x2-1=0 B．x2+7x=0C．2x+5=1 D．x+x=1【答案】D【详解】解：根据无理方程的概念可知：选项D为无理方程，故选：D．29．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）下列关于x的方程中，没有实数解的是（ ）A．(1-x)⋅x-2=0； B．(1-x)⋅(x-2)=0；C．1-x⋅x-2=0； D．(1-x)(x-2)=0．【答案】C【详解】解：A．(1-x)·x-2=0的实数解是x=2；B．(1-x)·(x-2)=0实数解是x=1；C．由(1-x)得，x⩽1，由x-2得，x⩾2，∴方程没有实数解；D．(1-x)(x-2)=0的实数解是x=1或x=2；故选：C．30．（上海市浦东新区新竹园中学2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试卷）方程x+3=x+1的根是______．【答案】1【详解】解：两边平方得，x+3=x2+2x+1，移项得：x2+x-2=0，即x+2x-1=0，解得x1=1，x2=-2，经检验，x=-2是增根，∴方程的解为x=1．故答案为：1．31．（上海市杨浦区国和中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷）方程1-x（x﹣2）＝0的根是 _____．【答案】x＝1【详解】∵1-x(x-2)=0，∴1-x＝0或x﹣2＝0，解得：x1=1或x2=2，经检验x＝1是原方程的根，x＝2不是原方程的根，即原方程的根是x＝1，故答案为：x＝1．32（上海市进才中学北校2020-2021学年八年级下学期期中数学试题）若x+y⋅x+y-1=2，则x+y=________．【答案】4【详解】设t=x+y，原方程为：t(t-1)=2即t2-t-2=0解得：t1=2,t2=-1∵ t=x+y>0∴t=2∴x+y=4故答案为：433．（上海市长宁区民办新世纪中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷）下列方程：x+4+x-4=0，x-2+3=0，x2+x-1=-x，无实数根的方程有________个．【答案】3【详解】解：x+4+x-4=0，由二次根式有意义条件得：x+4≥0x-4≥0，解得：不等式组无解，∴此方程无实数根；x-2+3=0，移项得：x-2=-3，∵不论x为何值，x-2的值不能为负数，∴此方程无实数根；x2+x-1=-x，方程两边平方，得x2+x-1=x2，解得：x=1，经检验x=1不是原方程的解，∴此方程无实数根；故答案为：3．34（上海市普陀区梅陇中学2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试卷）如果方程x-2-k=1无实数解，那么k的取值范围是______．【答案】k<-1【详解】解：x-2-k=1，x-2=1+k，∵x-2≥0，∴若方程x-2-k=1无实数解，必须1+k<0，∴k<-1，故答案为：k<-1．35.（上海市杨浦区国和中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷）解方程：x+1+2x=1．【答案】x=0【详解】解：移项，得x+1=1-2x，两边平方，得x+1=1-4x+4x2，解得：x1=0，x2=54，经检验x＝0是原方程的解，x= 54不是原方程的解，所以原方程的解是x=0．36（上海市民办文琦中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷）解方程：x+2+x-7=9．【答案】x=23【详解】解：移项得：x+2=9-x-7两边都平方得：x+2=81-18x-7+x-7，移项合并同类项得：18x-7=72，所以x-7=4两边再平方得：x-7=16，解得x=23，检验：当x=23时，左边=23+2+23-7=5+4=9=右边，所以x=23是原方程的解．37解方程：3x-5-x+2=1．【答案】x=7【详解】解：3x-5-x+2=1，∴3x-5＝1+x+2，两边平方得：3x﹣5＝1+x+2+2x+2，整理得：2x+2＝2x﹣8，两边平方，得4（x+2）＝（2x﹣8）2，整理，得x2﹣9x+14＝0，解得：x＝2或7，经检验x＝2不是原方程的解，x＝7是原方程的解，所以原方程的解是x＝7．38．（上海杨浦区复旦大学第二附属学校2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试题）解方程：1+2x+xx+2=103．【答案】x1=14，x2=-94【详解】解析 整理得x+2x+xx+2=103，设y=x+2x，则原方程变为：y+1y=103，两边都乘y得：y2-103y+1=0，y-3y-13=0，解得y=3或y=13．经检验y=3，y=13都是分式方程的解．当y=3时，x+2x=9，解得x=14；当y=13时，x+2x=19，解得x=-94．经检验x1=14，x2=-94是原方程的解．39．（上海外国语大学附属外国语学校2020-2021学年八年级下学期期末数学试题）x2﹣8x﹣8﹣xx2-2x-2＝0．【答案】x=16-4307【详解】解：令t=x2-2x-2，则x2-2x-2=t2，则x2-8x-8=4t2-3x2，代入原方程，得4t2-3x2-xt=0，4t2-xt-3x2=0，4t+3xt-x=0，∴4t+3x=0或t-x=0，∴t1=-34x，t2=x，当t1=-34x时，x2-2x-2=-34x，x2-2x-2=916x2，16x2-32x-32=9x2，7x2-32x-32=0，∴x1=16+4307（舍去），x2=16-4307，当t2=x时，x2-2x-2=x，x2-2x-2=x2，-2x-2=0，∴x=-1（舍去）．∴原方程的解为x=16-4307．40．（上海市市西初级中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．(1)判断分式方程11-x+1=21+x与无理方程x2-2=2x+1是否是“相似方程”，并说明理由；(2)已知关于x，y的方程：4x2-9y2=28和2x-3y=4，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；(3)已知关于x，y的二元一次方程：y=k+1x-4和y=x-3k（其中k为常数）是“相伴方程”，求k的值.【答案】(1)分式方程11-x+1=21+x与无理方程x2-2=2x+1是“相似方程”，理由见解析；(2)4x2-9y2=28和2x-3y=4，它们是“相似方程”，公共解为x=114y=12(3)k=±1或k=±2或k=±4【详解】(1)解：分式方程11-x+1=21+x与无理方程x2-2=2x+1是“相似方程”，理由如下：11-x+1=21+x两边用时乘以1-x1+x得：1+x+1+x1-x=21-x，∴1+x+1-x2=2-2x，∴x2-3x=0，∴x=0或x=3，经检验x=0和x=3都是原方程的解；∵x2-2=2x+1，∴x2-2=2x+1，∴x2-2x-3=0，∴x-3x+1=0，解得x=-1或x=3，∴分式方程11-x+1=21+x与无理方程x2-2=2x+1有一个相同的解，∴分式方程11-x+1=21+x与无理方程x2-2=2x+1是“相似方程”；(2)解：联立4x2-9y2=282x-3y=4得：4+3y2-9y2=28，∴16+24y+9y2-9y2=28，∴y=12，∴x=114，∴原方程组的解为x=114y=12，∴方程4x2-9y2=28和方程2x-3y=4有一个公共解x=114y=12，∴4x2-9y2=28和2x-3y=4，它们是“相似方程”，公共解为x=114y=12(3)解：∵关于x，y的二元一次方程：y=k+1x-4和y=x-3k（其中k为常数）是“相伴方程”，∴k+1x-4=x-3k，∴kx=4-3k，当k=0时，即0=4不符合题意；当k≠0时，则x=4-3kk=4k-3，∵x、y都是整数，∴k=±1或k=±2或k=±4核心知识5．二元二次方程组41．（2021春·上海徐汇·八年级位育中学校考期中）下列方程组中，为二元二次方程组的是（ ）A．x+y=0x-y=2 B．1x+2y=32x-3y=-4 C．x+y=1x+y=1 D．x2+3y=2xy=4【答案】D【详解】解：A、两个方程都是二元一次方程，所组成的方程组为二元一次方程组，所以A选项不正确；B、两个方程都是分式方程，所组成的方程组为分式方程组，所以B选项不正确；C、有一个方程是无理方程，所组成的方程组不是二元二次方程组，所以C选项不正确；D、两个方程都是二元二次方程，所组成的方程组为二元二次方程组，所以D选项正确．故选：D．42．下列方程中，判断中错误的是（ ）A．方程x+23x+1-x6=0是分式方程 B．方程3xy+2x+1=0是二元二次方程C．方程3x2+2x-7=0是无理方程 D．方程x+2x-2=-6是一元二次方程【答案】C【详解】A. 方程x+23x+1-x6=0是分式方程，正确，故该选项不符合题意； B. 方程3xy+2x+1=0是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；C. 方程3x2+2x-7=0是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；D. 方程x+2x-2=-6是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意；故选：C．43．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）方程组x-y=1x2-y2=3的解是（ ）A．x=2y=1 B．x=-1y=-2 C．x=3y=2 D．x=1y=2【答案】A【详解】解：由x2-y2=3得：（x＋y）（x−y）＝3，∵x−y＝1①，∴x＋y＝3②，由①＋②得2x＝4，解得：x＝2，把x＝2代入x−y＝1得y＝1，∴方程组的解为x=2y=1，故选：A．44．已知x>0 ，y>0且x2-xy=23y2+xy=1，那么x+y2的值为 （ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】解：x2-xy=23①y2+xy=1②由①+②可得x2+y2=53③，由②可得x=1-y2y，∴x2=1-y22y2，把x2=1-y22y2代入③得：1-y22y2+y2=53，y2=32或y2=13，∵x＞0，y＞0，∴y=62或y=33，当y=62时，代入②得x=-66不合题意，舍去；∴y=33，当y=33时代入②得x=233，∴x+y2=（33+233）2=3.故选：B.45．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）方程组x+y=02x2+x+y-3=0的解的情况是（ ）A．有两组相同的实数解 B．有两组不同的实数解C．没有实数解 D．不能确定【答案】B【详解】x+y=0①2x2+x+y-3=0②将①代入②，得2x2-3=0△=b2-4ac=0+4×2×3=24＞0故方程有两组不同的实数解，故选：B.46．（2022春·上海杨浦·八年级校考期中）把方程x2-2xy-3y2=0化为两个二元一次方程，它们是_____和_____．【答案】 x-3y=0 x+y=0【详解】解：∵x2-2xy-3y2=0，∴(x-3y)(x+y)=0，∴x-3y=0或x+y=0．故答案为：x-3y=0；x+y=0．47．方程组x+y=1xy=-2的解是______．【答案】x1=2y1=-1，x2=-1y2=2.【详解】x+y=1①xy=-2②，∵由①得：x=1-y，③ 把③代入②得：(1-y)y=-2，即y2-y-2=0，y-2y+1=0，解得：y1=-1，y2=2，代入③得：x1=2，x2=-1，故答案为：x1=2y1=-1，x2=-1y2=2．48（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期中）已知方程组3x-y=1x2-y2+4x+2y=0，消去y，化简后所得到的方程是________．【答案】8x2-16x+3=0【详解】解：3x-y=1①x2-y2+4x+2y=0②，由①得：y=3x-1③，将③代入②得：x2-3x-12+4x+23x-1=0，化简得：8x2-16x+3=0，故答案为：8x2-16x+3=0．49．（2022春·上海·八年级上海市浦东外国语学校东校校考期中）若关于x和y的二元二次方程x2+my=1有一个解是x=2y=-1，则m的值为_____________．【答案】3【详解】解：把方程的解x=2y=-1代入二元二次方程，得4-m=1，∴m=3．故答案为：3．50．（2022春·上海·八年级期末）关于x、y的方程组x-y=my2-2x+3y+4=0有实数解，则m的取值范围是 ___．【答案】m≥158【详解】解：x-y=m①y2-2x+3y+4=0②，由①，得x=m+y③，把③代入②，得y2-2(m+y)+3y+4=0，整理得：y2+y+(4-2m)=0，∵关于x、y的方程组x-y=my2-2x+3y+4=0有实数解，∴12-4×1×(4-2m)≥0，解得：m≥158，故答案为：m≥158．51．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）解方程组：x2-4xy+4y2=12x+y=3【答案】方程组的解为：x=75y=15或x=1y=1．【详解】解：x2-4xy+4y2=1①2x+y=3②，由①得：x-2y2=1，∴x-2y=1或x-2y=-1，∴原方程组化为：x-2y=12x+y=3或x-2y=-12x+y=3，由x-2y=12x+y=3可得：x=75y=15，由x-2y=-12x+y=3可得：x=1y=1，∴方程组的解为：x=75y=15或x=1y=1．52.（2022春·上海静安·八年级校考期中）解方程组： x2-3xy+2y2=0x2+3y2=4【答案】x1=477y1=277；x2=-477y2=-277；x3=1y3=1，x4=-1y4=-1【详解】解：x2-3xy+2y2=0①x2+3y2=4② 方程①可化为 x-2y=0或x-y=0，将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）x-2y=0x2+3y2=4 或 （Ⅱ）x-y=0x2+3y2=4，解方程组（Ⅰ）得：x1=477y1=277，x2=-477y2=-277；解方程组（Ⅱ）得x3=1y3=1，x4=-1y4=-1．所以，原方程组的解为x1=477y1=277；x2=-477y2=-277；x3=1y3=1，x4=-1y4=-1．53．（2022春·上海·八年级期中）解方程组：x2-9y2=0x2+4xy+4y2=9．【答案】x=-9y=3，x=9y=-3，x=-95y=-35，x=95y=35【详解】解：x2-9y2=0等价于x+3y=0或x-3y=0，x2+4xy+4y2=9等价于x+2y+3=0或x+2y-3=0，∴原方程组的解即是以下四个方程组的解：x+3y=0x+2y+3=0①，x+3y=0x+2y-3=0②，x-3y=0x+2y+3=0③，x-3y=0x+2y-3=0④，解①②③④分别得x=-9y=3，x=9y=-3，x=-95y=-35，x=95y=35，∴原方程组的解为：x=-9y=3，x=9y=-3，x=-95y=-35，x=95y=35．54． k为何值时，方程组x2+y2=16x-y=k只有唯一解？【答案】k=±42.【详解】x2+y2=16(1)x-y=k(2) 由（2）得， y=x-k（3） 将（3）代入（1）得，2x2-2kx+k2-16=0，要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即 (-2k)2-4×2×(k2-16)=0， 解得，k=±42.所以当k=±42时，方程组x2+y2=16x-y=k只有唯一解.55．已知x1=3y1=-2是方程组x2+y2=mx+y=n的一组解，求此方程组的另一组解.【答案】{x2=-2y2=3【详解】解：将x1=3y1=-2代入方程组x2+y2=mx+y=n中得：m=13n=1 ，则方程组变形为：x2+y2=13x+y=1，由x+y=1得：x=1-y，将x=1-y代入方程x2+y2=13中可得：y2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；所以方程的另一组解为：x2=-2y2=3 .56． k为何值时，方程组y2-4x-2y+1=0y=kx+2．（1）有两组相等的实数解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解．【答案】（1）k=1；（2）k<1且k≠0；（3）k>1【详解】解：将（2）代入（1），整理得k2x2+（2k-4）x+1=0（3），（1）当k2≠0Δ=0时，方程（3）有两个相等的实数根．即k≠0(2k-4)2-4k2=0解得：k≠0k=1， ∴当k=1时，原方程组有两组相等的实数根．（2）当k2≠0Δ>0时，方程（3）有两个不相等的实数根．即k≠0(2k-4)2-4k2>0解得：k≠0k<1，∴当k<1且k≠0时，原方程组有两组不等实根．（3）①若方程（3）是一元二次方程，无解条件是k2≠0Δ<0，即k≠0(2k-4)2-4k2<0解得：k≠0k>1， ∴k＞1．②若方程（3）不是二次方程，则k=0，此时方程（3）为-4x+1=0，它有实数根x=14．综合①和②两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数根．核心知识6．列方程（组）解应用题57.（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）小李家离某书店12千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了一小时，求小李去书店时的步行速度【答案】小李去书店时的速度为4千米/小时．【详解】解：设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据题意得12x-1-12x=1整理得x2-x-12=0解得x1=4，x2=-3（不合题意舍去）经检验x=4是原方程的根且符合题意答：小李去书店时的速度为4千米/小时．58．（2022秋·上海·八年级上海交大附中校考期中）某超市将进价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件．如果这种商品每涨价1元，那么其销售量就减少10件．超市若靠卖这种商品每天赚得8 000元的利润，应把这种商品的售价定为每件多少元？【答案】应把这种商品的售价定为每件60元或80元．【详解】试题分析：设应把这种商品的售价定为每件(50＋x)元，则每件商品的利润为[(50＋x)－40]元，每天的销售量为(500－10x)件，根据每件的利润×销量=总利润，即可列方程求解．试题解析：设应把这种商品的售价定为每件(50＋x)元，则每件商品的利润为[(50＋x)－40]元，每天的销售量为(500－10x)件．根据题意，得[(50＋x)－40](500－10x)＝8 000.解得x1＝10，x2＝30.所以每天要赚得8 000元的利润，应把这种商品的售价定为每件60元或80元．59．（2022春·上海·八年级校考期中）一项工程，甲、乙两人合作8天可完成，若甲单独做6天后，剩下的由乙独做还需12天才能完成．甲、乙两人单独完成此项工程各需多少天．【答案】甲单独完成此项工程需要12天，乙单独完成此项工程需要24天【详解】解：设甲、乙单独完成此项工程各自需要x，y天，根据题意得：1x+1y=186x+12y=1，解得：x=12y=24，经检验x=12y=24是方程组的解．答：甲单独完成此项工程需要12天，乙单独完成此项工程需要24天．60．求直角坐标平面内到P(0,15),Q(0,-9)的距离都等于15的点的坐标．【答案】（9，3）或（-9，3）【详解】解：设满足题意的点为A（x，y），由题意得，x2+(y-15)2=15x2+(y+9)2=15，解得，x=9y=3或x=-9y=3，经检验，两组都是方程组的解，所以A（9，3）或A（-9，3）．答：直角坐标平面内到P0,15,Q0,-9的距离都等于15的点的坐标为（9，3）或（-9，3）．61．有一直立杆，它的上部被风吹折，杆顶着地处离杆脚20dm，修好后又被风吹折，因新断处比前次低5dm，故杆顶着地处比前次远10dm，求此杆的高度．【答案】此竿高度为50dm【详解】解：设第一次折断时，折断处距地面AB=x dm，余下部分为BC为ydm．由题意得y2=x2+202;(y+5)2=(x-5)2+302. 解得 x=21y=29 此杆的高度为x+y=21+19=50 dm答：此竿高度为50dm62.一个三位数的中间数字是0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9,求此三位数.【答案】306【详解】设百位数字是x，个位数字是y．则x+y＝9100y+x＝33xy+9，解得x＝3y＝6，x＝9y＝0（不符合题意，舍去）．答：这个三位数是306．63.某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元【详解】解：设实际销售运动衣x套,实际每套运动衣的利润是y元.根据题意 ，可列方程组 {(x-400)(y+10)=12000xy=12000+4000 解得：{x1=800y1=20,{x2=-800y2=-20(舍去)，答：实际销售运动衣800套，每套运动衣的实际利润20元．64.阅读下列材料，解决问题：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如：一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）方程x3﹣6x2﹣16x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；（2）用“转化”的思想求方程（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一瑞固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．【答案】（1）﹣2，8；（2）x1＝﹣2，x2＝1，x3＝32，x4＝2；（3）4米【详解】解：（1）x3﹣6x2﹣16x＝0，x（x2﹣6x﹣16）＝0，x（x+2）（x﹣8）＝0所以x＝0或x+2＝0或x﹣8＝0∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝8；故答案为：﹣2，8；（2）（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝[（x2+x﹣2）+（2x2﹣7x+6）]2﹣2（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝（3x2﹣6x+4）22（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝0（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝0（x+2）（x﹣1）（2x﹣3）（x﹣2）＝0x+2＝0或x﹣1＝0或2x﹣3＝0或x﹣2＝0．解得x1＝﹣2，x2＝1，x3＝32，x4＝2；（3）因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m设AP＝xm，则PD＝（8﹣x）m因为BP+CP＝10，BP＝AP2+AB2，CP＝CD2+PD2．∴9+x2+(8-x)2+9＝10∴(8-x)2+9＝10﹣9+x2．两边平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣209+x2+9+x2整理，得59+x2＝4x+9两边平方并整理，得x2﹣8x+16＝0即（x﹣4）2＝0所以x＝4．经检验，x＝4是方程的解．答：AP的长为4m．
班级 姓名 学号 分数 第二十一章 代数方程（A卷·知识通关练）核心知识1整式方程1．下列方程是一元高次方程的是（ ）A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+1x＝0 D．x4+1＝0【答案】D【详解】解：这四个方程都只含一个未知数，∵A，B中未知数的项的次数小于等于2，∴A，B选项不是一元高次方程，不符合题意，∵C中分母中含有未知数，∴是分式方程，∴C选项不符合题意，∵D符合一元高次方程定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，∴D选项符合题意，故选：D．2．（2022春·上海·八年级上海市民办扬波中学校考期中）如果关于x的方程(m+2)x=8无解，那么m的取值范围是（ ）A．m>-2 B．m=-2 C．m≠-2 D．任意实数【答案】B【详解】解：由题意得当m+2=0时关于x的方程(m+2)x=8无解解得m=-2，故选B．3．关于x的方程a2-2a-8x2+(a+2)x-1=0,当a__________时为一元一次方程；当a________时为一元二次方程.【答案】 a=4 a≠4且a≠-2.【详解】(1) 由于一元一次方程的定义可知：a2-2a-8=0且a+2≠0，解得：a=4(2)由一元二次方程的定义可知：a2-2a-8≠0，解得a≠4且a≠-2.故答案为4;a≠4且a≠-2,4．已知关于x的方程x2+(m-2)x+14m2=0有两个实数根，那么m的取值范围是________________【答案】m≤1【详解】解：∵关于x的方程x2+(m-2)x+14m2=0有两个实数根，∴△=（m-2）2-4×1×14m2=-4m+4≥0，∴m≤1．故答案为m≤1．5．（2022春·上海奉贤·八年级校联考期中）解关于x的方程：b(x-3)=4【答案】x=3b+4b【详解】解：去括号，得bx-3b=4，移项，得bx=3b +4，由题意知b≠0，∴方程两边同除以b得，x=3b+4b，方程的解为x=3b+4b．核心知识2．二项方程6．下列方程中，是二项方程的是（ ）A．x2+3x=0； B．x4+2x2-3=0； C．x4=1； D．x(x2+1)+8=0【答案】C【详解】A. x2+3x=0中两项都含未知数x，所以不是二项方程；B. x4+2x2-3=0中有三项，所以不是二项方程； C. x4=1其中一项含未知数x，另一项是非0常数项，所以是二项方程；D. x(x2+1)+8=0中有三项，所以不是二项方程.故选C.7．试写出一个二项方程，使得它有一个解为x=1，这个二项方程可以是________．【答案】x2-1=0（答案不唯一）【详解】解：二项方程，使得它有一个解为x=1，这样的方程不唯一，比如：x2-1=0，x-1=0等，故答案为：x2-1=0（答案不唯一）．8．（2021春·上海·八年级上海市进才中学北校校考期中）3x+24-m=0有一个解为x=7，那么这个方程的另一个解为________．【答案】x=-10【详解】将x=7代入方程2x+34-m=0，得174-m=0，即m=174，故原方程为：2x+34-174=0，移项，得：2x+34=174，两边直接开4次方，得：2x+3=17或2x+3=-17，解得：x1=7，x2=-10，故答案为x=-10．9．（2022春·上海·八年级上海市民办扬波中学校考期中）二项方程12x5-16=0的实数根是_______．【答案】x=2【详解】12x5-16=0，12x5=16，x5=32，∵25=32，∴x=2，故答案为：x=2.核心知识3．分式方程 10．（2022春·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）已知方程：①1-9x2x2=0，②xx+x22=1，③x+2x+2=2+2x-2，④(x+45)(x-6)=-1．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【详解】解：①1-9x2x2=0，是分式方程；②x2+x22=1，是分式方程；③x+2x+2=2+2x-2，是分式方程；④(x+45)(x-6)=-1，不是分式方程，则分式方程的个数是3．故选：B．11．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）方程x+1x+2=0的解是______．【答案】x=-1【详解】解：x+1x+2=0去分母得：x(x+2)+1=0，去括号得：x2+2x+1=0，即(x+1)2=0，∴x+1=0，解得：x=-1，当x=-1时，x+2≠0，∴x=-1是原分式方程的解，故答案为：x=-1．12．分式x2x-3和3x3-x的值相等，那么x=_______．【答案】0或-3【详解】解：根据题意得：x2x-3=3x3-x，去分母得：x2+3x=0，即x（x+3）=0，解得：x=0或x=-3，经检验x=0和x=-3都为分式方程的解，故答案为：0或-313．（2022春·上海·八年级校考期中）换元法解方程xx+12-5xx+1+2=0时，可设xx+1=y，那么原方程变形为______．【答案】y2-5y+2=0【详解】解：设xx+1=y，∴xx+12=y2，∴原方程变形为y2-5y+2=0．故答案为y2-5y+2=0．14．（2022秋·上海静安·七年级上海田家炳中学校考期中）已知关于x的分式方程1-mx-1-2=21-x的解是非负数，则m的取值范围是_________．【答案】m≤5且m≠3【详解】原分式方程可化为：1-mx-1-2=-2x-1 去分母得：1-m-2(x-1)=-2 解得x=5-m2 又∵ 分式方程的解是非负数∴ 5-m2≥0且5-m2≠1∴ m的取值范围是：m≤5且m≠315．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）已知关于x的分式方程xx-1+kx-1=xx+1有增根x=1，则k=______．【答案】-1【详解】解：去分母得xx+1+kx+1=xx-1，整理得2+kx+k=0，把x=1代入得2+k+k=0，解得k=-1；所以当k=-1时，原方程有增根x=1．故答案为-1．16．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）解关于x的方程x-3x-2=2mx-2有增根，则m的值为___________【答案】-12##-0.5【详解】解：根据题意，得该分式方程的增根是x=2，该分式方程转化为整式方程，得x-3=2m，把x=2代入，得m=-12．故答案为：-12．17．关于x的方程5xx-4+3+mx4-x=2无解，则m=________．【答案】3或174．【详解】解：方程两边都乘以（x-4）得，5x-(3+mx)=2(x-4)，整理，得：(3-m)x=-5 当3-m=0时，即m=3，方程无解；当3-m≠0时，x=5m-3，∵分式方程无解，∴x-4=0，∴x=4，∴5m-3=4，解得，m=174．故答案为：3或174．18．解方程：x+1x-3x+1x2+x=1 【答案】无解【详解】解：x+1x-3x+1x2+x=1两边同乘x(x+1)得：(x+1)(x+1)-(3x+1)=x(x+1)，去括号得：x2+2x+1-3x-1=x2+1，移项合并得：-x=1，解得：x=-1．检验：经检验x=-1是方程的增根，原方程无解．19．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）解方程：xx+2+x+2x-2=8x2-4【答案】x=1【详解】解：xx+2+x+2x-2=8x2-4方程两边同时乘以x+2x-2得，xx-2+x+22=8∴x2-2x+x2+4+4x=8即x2+x-2=0∴x+2x-1=0解得：x1=1,x2=-2∵当x=-2时，x+2x-2=0，不合题意，∴x=120．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）解方程：x2+3x+2-4x+8x2+3=3．【答案】x=5或x=-1【详解】解：设x2+3x+2=a，方程变形得：a-4a=3，去分母得：a2-3a-4=0，即a-4a+1=0，解得：a=4或a=-1，∴x2+3x+2=4或x2+3x+2=-1，整理得：x2-4x-5=0或x2+x+5=0，对于x2-4x-5=0，x-5x+1=0，解得：x=5或x=-1；对于x2+x+5=0，∵Δ=1-20=-19<0，∴无解，经检验x=5或x=-1是分式方程的解．21．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）用换元法解方程：x2﹣x﹣12x2-x=4．【答案】x1=3，x2=-2【详解】设x2-x=y，则原方程变形为y-12y-4=0，即y2-4y-12=0，解得y1=-2，y2=6，当y=-2时，x2-x+2=0，因为△=1-8=-9<0，所以此方程无实数根，当y=6时，x2-x-6=0，解方程得：x1=3，x2=-2，检验：把x1=3，x2=-2分别代入原方程的分母，分母都不等于0，所以原方程的根是：x1=3，x2=-2．22．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成.求两队单独完成此项工程各需多少天？【答案】甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天．【详解】解：设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队完成此项工程需（x−5）天，根据题意得：6x+6x-5=1，解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝15，经检验：x＝15是原方程的解，且符合题意，则x−5＝10，答：甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天．23．（2021春·上海·八年级上外附中校考期末）若关于x的方程2mx+1-m+1x2+x=1x无解，求实数m的值．【答案】-2或-13或12【详解】解：方程两边同时乘以x(x+1)，得：2mx-x=1+(m+1)，解得：(2m-1)x=2+m，当2m-1=0时，此方程无解，原分式方程也无解，解得：m=12，当2m-1≠0时，∵原分式方程无解，∴x(x+1)=0，∴x=0或x=-1，当x=0时，2+m2m-1=0，解得：m=-2，当x=-1时，2+m2m-1=-1，解得：m=-13，综上，m的值为-2或-13或12．24．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）关于x的方程2kx-1-xx2-x=kx+1x只有一个实数根，求：k的值．【答案】k的值为0或12【详解】解：将2kx-1-xx2-x=kx+1x转化为整式方程可得：kx2+(2-3k)x-1=0；当k=0时，方程为2x-1=0，解得x=12经检验，x=12是原方程的解；当k≠0时，方程为一元二次方程，判别式Δ=(2-3k)2+4k=5k2+4(k-1)2>0所以一元二次方程有两个不相等的实数根，由题意可得，一元二次方程必有一个根为分式方程的增根，由分式方程可得，方程的增根只可能为0或1，当x=0时，方程kx2+(2-3k)x-1=0不成立，舍去；当x=1时，方程为k+(2-3k)-1=0，解得k=12，将k=12代入kx2+(2-3k)x-1=0可得x2+x-2=0解得x=1或x=-2经检验，x=-2是原分式方程的解，综上：k的值为0或12．25．（2022春·上海·八年级校考期中）解方程组：1x+y+1x-y=34x+y-1x-y=2．【答案】x=34y=14【详解】解：设1x+y=m，1x-y=n，则原方程组变形为：m+n=34m-n=2，解得m=1n=2，∴1x+y=11x-y=2，即x+y=1x-y=12，解得x=34y=14，经检验，x=34y=14是原方程组的解，∴原方程组的解为：x=34y=14．26．（2022春·上海·八年级期中）观察方程①：x＋3x＝4，方程②：x＋8x＝6，方程③：x＋15x＝8（1）方程①的根为： ；方程②的根为： ；方程③的根为： ；（2）按规律写出第四个方程： ；此分式方程的根为： ；（3）写出第n个方程（系数用n表示）： ；此方程解是： ．【答案】（1）x1＝1，x2＝3；x1＝2，x2＝4；x1＝3，x2＝5；（2）x＋24x＝10；x1＝4，x2＝6；（3）x＋n(n+2)x＝2n＋2；x1＝n，x2＝n＋2【详解】（1）方程①根：x1＝1，x2＝3；方程②根：x1＝2，x2＝4；方程③根：x1＝3，x2＝5；（2）方程④：x＋24x＝10；方程④根：x1＝4，x2＝6,（3）第n个方程：x＋n(n+2)x＝2n＋2，解是：x1＝n，x2＝n＋2，故答案为：（1）x1＝1，x2＝3；x1＝2，x2＝4；x1＝3，x2＝5；（2）x＋24x＝10；x1＝4，x2＝6；（3）x＋n(n+2)x＝2n＋2；x1＝n，x2＝n＋2．27．解方程：x+5x+4+x+2x+1=x+3x+2+x+4x+3【答案】x=-52.【详解】解:原方程可变形为，1+1x+4+1+1x+1=1+1x+2+1+1x+3，化简得，1x+4+1x+1=1x+2+1x+3，即2x+5(x+4)(x+1)=2x+5(x+2)(x+3)，∴2x+5=0，解得，x=-52,检验，把x=-52代入(x+4)(x+1) (x+2)(x+3)≠0，∴原方程的解为x=-52.核心知识4．无理方程 28．（2022春·上海嘉定·八年级校考期中）以下方程是无理方程的是（ ）A．5x+2x2-1=0 B．x2+7x=0C．2x+5=1 D．x+x=1【答案】D【详解】解：根据无理方程的概念可知：选项D为无理方程，故选：D．29．（2022春·上海奉贤·八年级校考期末）下列关于x的方程中，没有实数解的是（ ）A．(1-x)⋅x-2=0； B．(1-x)⋅(x-2)=0；C．1-x⋅x-2=0； D．(1-x)(x-2)=0．【答案】C【详解】解：A．(1-x)·x-2=0的实数解是x=2；B．(1-x)·(x-2)=0实数解是x=1；C．由(1-x)得，x⩽1，由x-2得，x⩾2，∴方程没有实数解；D．(1-x)(x-2)=0的实数解是x=1或x=2；故选：C．30．（上海市浦东新区新竹园中学2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试卷）方程x+3=x+1的根是______．【答案】1【详解】解：两边平方得，x+3=x2+2x+1，移项得：x2+x-2=0，即x+2x-1=0，解得x1=1，x2=-2，经检验，x=-2是增根，∴方程的解为x=1．故答案为：1．31．（上海市杨浦区国和中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷）方程1-x（x﹣2）＝0的根是 _____．【答案】x＝1【详解】∵1-x(x-2)=0，∴1-x＝0或x﹣2＝0，解得：x1=1或x2=2，经检验x＝1是原方程的根，x＝2不是原方程的根，即原方程的根是x＝1，故答案为：x＝1．32（上海市进才中学北校2020-2021学年八年级下学期期中数学试题）若x+y⋅x+y-1=2，则x+y=________．【答案】4【详解】设t=x+y，原方程为：t(t-1)=2即t2-t-2=0解得：t1=2,t2=-1∵ t=x+y>0∴t=2∴x+y=4故答案为：433．（上海市长宁区民办新世纪中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷）下列方程：x+4+x-4=0，x-2+3=0，x2+x-1=-x，无实数根的方程有________个．【答案】3【详解】解：x+4+x-4=0，由二次根式有意义条件得：x+4≥0x-4≥0，解得：不等式组无解，∴此方程无实数根；x-2+3=0，移项得：x-2=-3，∵不论x为何值，x-2的值不能为负数，∴此方程无实数根；x2+x-1=-x，方程两边平方，得x2+x-1=x2，解得：x=1，经检验x=1不是原方程的解，∴此方程无实数根；故答案为：3．34（上海市普陀区梅陇中学2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试卷）如果方程x-2-k=1无实数解，那么k的取值范围是______．【答案】k<-1【详解】解：x-2-k=1，x-2=1+k，∵x-2≥0，∴若方程x-2-k=1无实数解，必须1+k<0，∴k<-1，故答案为：k<-1．35.（上海市杨浦区国和中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷）解方程：x+1+2x=1．【答案】x=0【详解】解：移项，得x+1=1-2x，两边平方，得x+1=1-4x+4x2，解得：x1=0，x2=54，经检验x＝0是原方程的解，x= 54不是原方程的解，所以原方程的解是x=0．36（上海市民办文琦中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷）解方程：x+2+x-7=9．【答案】x=23【详解】解：移项得：x+2=9-x-7两边都平方得：x+2=81-18x-7+x-7，移项合并同类项得：18x-7=72，所以x-7=4两边再平方得：x-7=16，解得x=23，检验：当x=23时，左边=23+2+23-7=5+4=9=右边，所以x=23是原方程的解．37解方程：3x-5-x+2=1．【答案】x=7【详解】解：3x-5-x+2=1，∴3x-5＝1+x+2，两边平方得：3x﹣5＝1+x+2+2x+2，整理得：2x+2＝2x﹣8，两边平方，得4（x+2）＝（2x﹣8）2，整理，得x2﹣9x+14＝0，解得：x＝2或7，经检验x＝2不是原方程的解，x＝7是原方程的解，所以原方程的解是x＝7．38．（上海杨浦区复旦大学第二附属学校2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试题）解方程：1+2x+xx+2=103．【答案】x1=14，x2=-94【详解】解析 整理得x+2x+xx+2=103，设y=x+2x，则原方程变为：y+1y=103，两边都乘y得：y2-103y+1=0，y-3y-13=0，解得y=3或y=13．经检验y=3，y=13都是分式方程的解．当y=3时，x+2x=9，解得x=14；当y=13时，x+2x=19，解得x=-94．经检验x1=14，x2=-94是原方程的解．39．（上海外国语大学附属外国语学校2020-2021学年八年级下学期期末数学试题）x2﹣8x﹣8﹣xx2-2x-2＝0．【答案】x=16-4307【详解】解：令t=x2-2x-2，则x2-2x-2=t2，则x2-8x-8=4t2-3x2，代入原方程，得4t2-3x2-xt=0，4t2-xt-3x2=0，4t+3xt-x=0，∴4t+3x=0或t-x=0，∴t1=-34x，t2=x，当t1=-34x时，x2-2x-2=-34x，x2-2x-2=916x2，16x2-32x-32=9x2，7x2-32x-32=0，∴x1=16+4307（舍去），x2=16-4307，当t2=x时，x2-2x-2=x，x2-2x-2=x2，-2x-2=0，∴x=-1（舍去）．∴原方程的解为x=16-4307．40．（上海市市西初级中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．(1)判断分式方程11-x+1=21+x与无理方程x2-2=2x+1是否是“相似方程”，并说明理由；(2)已知关于x，y的方程：4x2-9y2=28和2x-3y=4，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；(3)已知关于x，y的二元一次方程：y=k+1x-4和y=x-3k（其中k为常数）是“相伴方程”，求k的值.【答案】(1)分式方程11-x+1=21+x与无理方程x2-2=2x+1是“相似方程”，理由见解析；(2)4x2-9y2=28和2x-3y=4，它们是“相似方程”，公共解为x=114y=12(3)k=±1或k=±2或k=±4【详解】(1)解：分式方程11-x+1=21+x与无理方程x2-2=2x+1是“相似方程”，理由如下：11-x+1=21+x两边用时乘以1-x1+x得：1+x+1+x1-x=21-x，∴1+x+1-x2=2-2x，∴x2-3x=0，∴x=0或x=3，经检验x=0和x=3都是原方程的解；∵x2-2=2x+1，∴x2-2=2x+1，∴x2-2x-3=0，∴x-3x+1=0，解得x=-1或x=3，∴分式方程11-x+1=21+x与无理方程x2-2=2x+1有一个相同的解，∴分式方程11-x+1=21+x与无理方程x2-2=2x+1是“相似方程”；(2)解：联立4x2-9y2=282x-3y=4得：4+3y2-9y2=28，∴16+24y+9y2-9y2=28，∴y=12，∴x=114，∴原方程组的解为x=114y=12，∴方程4x2-9y2=28和方程2x-3y=4有一个公共解x=114y=12，∴4x2-9y2=28和2x-3y=4，它们是“相似方程”，公共解为x=114y=12(3)解：∵关于x，y的二元一次方程：y=k+1x-4和y=x-3k（其中k为常数）是“相伴方程”，∴k+1x-4=x-3k，∴kx=4-3k，当k=0时，即0=4不符合题意；当k≠0时，则x=4-3kk=4k-3，∵x、y都是整数，∴k=±1或k=±2或k=±4核心知识5．二元二次方程组41．（2021春·上海徐汇·八年级位育中学校考期中）下列方程组中，为二元二次方程组的是（ ）A．x+y=0x-y=2 B．1x+2y=32x-3y=-4 C．x+y=1x+y=1 D．x2+3y=2xy=4【答案】D【详解】解：A、两个方程都是二元一次方程，所组成的方程组为二元一次方程组，所以A选项不正确；B、两个方程都是分式方程，所组成的方程组为分式方程组，所以B选项不正确；C、有一个方程是无理方程，所组成的方程组不是二元二次方程组，所以C选项不正确；D、两个方程都是二元二次方程，所组成的方程组为二元二次方程组，所以D选项正确．故选：D．42．下列方程中，判断中错误的是（ ）A．方程x+23x+1-x6=0是分式方程 B．方程3xy+2x+1=0是二元二次方程C．方程3x2+2x-7=0是无理方程 D．方程x+2x-2=-6是一元二次方程【答案】C【详解】A. 方程x+23x+1-x6=0是分式方程，正确，故该选项不符合题意； B. 方程3xy+2x+1=0是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；C. 方程3x2+2x-7=0是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；D. 方程x+2x-2=-6是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意；故选：C．43．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）方程组x-y=1x2-y2=3的解是（ ）A．x=2y=1 B．x=-1y=-2 C．x=3y=2 D．x=1y=2【答案】A【详解】解：由x2-y2=3得：（x＋y）（x−y）＝3，∵x−y＝1①，∴x＋y＝3②，由①＋②得2x＝4，解得：x＝2，把x＝2代入x−y＝1得y＝1，∴方程组的解为x=2y=1，故选：A．44．已知x>0 ，y>0且x2-xy=23y2+xy=1，那么x+y2的值为 （ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】解：x2-xy=23①y2+xy=1②由①+②可得x2+y2=53③，由②可得x=1-y2y，∴x2=1-y22y2，把x2=1-y22y2代入③得：1-y22y2+y2=53，y2=32或y2=13，∵x＞0，y＞0，∴y=62或y=33，当y=62时，代入②得x=-66不合题意，舍去；∴y=33，当y=33时代入②得x=233，∴x+y2=（33+233）2=3.故选：B.45．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）方程组x+y=02x2+x+y-3=0的解的情况是（ ）A．有两组相同的实数解 B．有两组不同的实数解C．没有实数解 D．不能确定【答案】B【详解】x+y=0①2x2+x+y-3=0②将①代入②，得2x2-3=0△=b2-4ac=0+4×2×3=24＞0故方程有两组不同的实数解，故选：B.46．（2022春·上海杨浦·八年级校考期中）把方程x2-2xy-3y2=0化为两个二元一次方程，它们是_____和_____．【答案】 x-3y=0 x+y=0【详解】解：∵x2-2xy-3y2=0，∴(x-3y)(x+y)=0，∴x-3y=0或x+y=0．故答案为：x-3y=0；x+y=0．47．方程组x+y=1xy=-2的解是______．【答案】x1=2y1=-1，x2=-1y2=2.【详解】x+y=1①xy=-2②，∵由①得：x=1-y，③ 把③代入②得：(1-y)y=-2，即y2-y-2=0，y-2y+1=0，解得：y1=-1，y2=2，代入③得：x1=2，x2=-1，故答案为：x1=2y1=-1，x2=-1y2=2．48（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期中）已知方程组3x-y=1x2-y2+4x+2y=0，消去y，化简后所得到的方程是________．【答案】8x2-16x+3=0【详解】解：3x-y=1①x2-y2+4x+2y=0②，由①得：y=3x-1③，将③代入②得：x2-3x-12+4x+23x-1=0，化简得：8x2-16x+3=0，故答案为：8x2-16x+3=0．49．（2022春·上海·八年级上海市浦东外国语学校东校校考期中）若关于x和y的二元二次方程x2+my=1有一个解是x=2y=-1，则m的值为_____________．【答案】3【详解】解：把方程的解x=2y=-1代入二元二次方程，得4-m=1，∴m=3．故答案为：3．50．（2022春·上海·八年级期末）关于x、y的方程组x-y=my2-2x+3y+4=0有实数解，则m的取值范围是 ___．【答案】m≥158【详解】解：x-y=m①y2-2x+3y+4=0②，由①，得x=m+y③，把③代入②，得y2-2(m+y)+3y+4=0，整理得：y2+y+(4-2m)=0，∵关于x、y的方程组x-y=my2-2x+3y+4=0有实数解，∴12-4×1×(4-2m)≥0，解得：m≥158，故答案为：m≥158．51．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）解方程组：x2-4xy+4y2=12x+y=3【答案】方程组的解为：x=75y=15或x=1y=1．【详解】解：x2-4xy+4y2=1①2x+y=3②，由①得：x-2y2=1，∴x-2y=1或x-2y=-1，∴原方程组化为：x-2y=12x+y=3或x-2y=-12x+y=3，由x-2y=12x+y=3可得：x=75y=15，由x-2y=-12x+y=3可得：x=1y=1，∴方程组的解为：x=75y=15或x=1y=1．52.（2022春·上海静安·八年级校考期中）解方程组： x2-3xy+2y2=0x2+3y2=4【答案】x1=477y1=277；x2=-477y2=-277；x3=1y3=1，x4=-1y4=-1【详解】解：x2-3xy+2y2=0①x2+3y2=4② 方程①可化为 x-2y=0或x-y=0，将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）x-2y=0x2+3y2=4 或 （Ⅱ）x-y=0x2+3y2=4，解方程组（Ⅰ）得：x1=477y1=277，x2=-477y2=-277；解方程组（Ⅱ）得x3=1y3=1，x4=-1y4=-1．所以，原方程组的解为x1=477y1=277；x2=-477y2=-277；x3=1y3=1，x4=-1y4=-1．53．（2022春·上海·八年级期中）解方程组：x2-9y2=0x2+4xy+4y2=9．【答案】x=-9y=3，x=9y=-3，x=-95y=-35，x=95y=35【详解】解：x2-9y2=0等价于x+3y=0或x-3y=0，x2+4xy+4y2=9等价于x+2y+3=0或x+2y-3=0，∴原方程组的解即是以下四个方程组的解：x+3y=0x+2y+3=0①，x+3y=0x+2y-3=0②，x-3y=0x+2y+3=0③，x-3y=0x+2y-3=0④，解①②③④分别得x=-9y=3，x=9y=-3，x=-95y=-35，x=95y=35，∴原方程组的解为：x=-9y=3，x=9y=-3，x=-95y=-35，x=95y=35．54． k为何值时，方程组x2+y2=16x-y=k只有唯一解？【答案】k=±42.【详解】x2+y2=16(1)x-y=k(2) 由（2）得， y=x-k（3） 将（3）代入（1）得，2x2-2kx+k2-16=0，要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即 (-2k)2-4×2×(k2-16)=0， 解得，k=±42.所以当k=±42时，方程组x2+y2=16x-y=k只有唯一解.55．已知x1=3y1=-2是方程组x2+y2=mx+y=n的一组解，求此方程组的另一组解.【答案】{x2=-2y2=3【详解】解：将x1=3y1=-2代入方程组x2+y2=mx+y=n中得：m=13n=1 ，则方程组变形为：x2+y2=13x+y=1，由x+y=1得：x=1-y，将x=1-y代入方程x2+y2=13中可得：y2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；所以方程的另一组解为：x2=-2y2=3 .56． k为何值时，方程组y2-4x-2y+1=0y=kx+2．（1）有两组相等的实数解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解．【答案】（1）k=1；（2）k<1且k≠0；（3）k>1【详解】解：将（2）代入（1），整理得k2x2+（2k-4）x+1=0（3），（1）当k2≠0Δ=0时，方程（3）有两个相等的实数根．即k≠0(2k-4)2-4k2=0解得：k≠0k=1， ∴当k=1时，原方程组有两组相等的实数根．（2）当k2≠0Δ>0时，方程（3）有两个不相等的实数根．即k≠0(2k-4)2-4k2>0解得：k≠0k<1，∴当k<1且k≠0时，原方程组有两组不等实根．（3）①若方程（3）是一元二次方程，无解条件是k2≠0Δ<0，即k≠0(2k-4)2-4k2<0解得：k≠0k>1， ∴k＞1．②若方程（3）不是二次方程，则k=0，此时方程（3）为-4x+1=0，它有实数根x=14．综合①和②两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数根．核心知识6．列方程（组）解应用题57.（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）小李家离某书店12千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了一小时，求小李去书店时的步行速度【答案】小李去书店时的速度为4千米/小时．【详解】解：设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据题意得12x-1-12x=1整理得x2-x-12=0解得x1=4，x2=-3（不合题意舍去）经检验x=4是原方程的根且符合题意答：小李去书店时的速度为4千米/小时．58．（2022秋·上海·八年级上海交大附中校考期中）某超市将进价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件．如果这种商品每涨价1元，那么其销售量就减少10件．超市若靠卖这种商品每天赚得8 000元的利润，应把这种商品的售价定为每件多少元？【答案】应把这种商品的售价定为每件60元或80元．【详解】试题分析：设应把这种商品的售价定为每件(50＋x)元，则每件商品的利润为[(50＋x)－40]元，每天的销售量为(500－10x)件，根据每件的利润×销量=总利润，即可列方程求解．试题解析：设应把这种商品的售价定为每件(50＋x)元，则每件商品的利润为[(50＋x)－40]元，每天的销售量为(500－10x)件．根据题意，得[(50＋x)－40](500－10x)＝8 000.解得x1＝10，x2＝30.所以每天要赚得8 000元的利润，应把这种商品的售价定为每件60元或80元．59．（2022春·上海·八年级校考期中）一项工程，甲、乙两人合作8天可完成，若甲单独做6天后，剩下的由乙独做还需12天才能完成．甲、乙两人单独完成此项工程各需多少天．【答案】甲单独完成此项工程需要12天，乙单独完成此项工程需要24天【详解】解：设甲、乙单独完成此项工程各自需要x，y天，根据题意得：1x+1y=186x+12y=1，解得：x=12y=24，经检验x=12y=24是方程组的解．答：甲单独完成此项工程需要12天，乙单独完成此项工程需要24天．60．求直角坐标平面内到P(0,15),Q(0,-9)的距离都等于15的点的坐标．【答案】（9，3）或（-9，3）【详解】解：设满足题意的点为A（x，y），由题意得，x2+(y-15)2=15x2+(y+9)2=15，解得，x=9y=3或x=-9y=3，经检验，两组都是方程组的解，所以A（9，3）或A（-9，3）．答：直角坐标平面内到P0,15,Q0,-9的距离都等于15的点的坐标为（9，3）或（-9，3）．61．有一直立杆，它的上部被风吹折，杆顶着地处离杆脚20dm，修好后又被风吹折，因新断处比前次低5dm，故杆顶着地处比前次远10dm，求此杆的高度．【答案】此竿高度为50dm【详解】解：设第一次折断时，折断处距地面AB=x dm，余下部分为BC为ydm．由题意得y2=x2+202;(y+5)2=(x-5)2+302. 解得 x=21y=29 此杆的高度为x+y=21+19=50 dm答：此竿高度为50dm62.一个三位数的中间数字是0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9,求此三位数.【答案】306【详解】设百位数字是x，个位数字是y．则x+y＝9100y+x＝33xy+9，解得x＝3y＝6，x＝9y＝0（不符合题意，舍去）．答：这个三位数是306．63.某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元【详解】解：设实际销售运动衣x套,实际每套运动衣的利润是y元.根据题意 ，可列方程组 {(x-400)(y+10)=12000xy=12000+4000 解得：{x1=800y1=20,{x2=-800y2=-20(舍去)，答：实际销售运动衣800套，每套运动衣的实际利润20元．64.阅读下列材料，解决问题：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如：一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）方程x3﹣6x2﹣16x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；（2）用“转化”的思想求方程（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一瑞固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．【答案】（1）﹣2，8；（2）x1＝﹣2，x2＝1，x3＝32，x4＝2；（3）4米【详解】解：（1）x3﹣6x2﹣16x＝0，x（x2﹣6x﹣16）＝0，x（x+2）（x﹣8）＝0所以x＝0或x+2＝0或x﹣8＝0∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝8；故答案为：﹣2，8；（2）（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝[（x2+x﹣2）+（2x2﹣7x+6）]2﹣2（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝（3x2﹣6x+4）22（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝0（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝0（x+2）（x﹣1）（2x﹣3）（x﹣2）＝0x+2＝0或x﹣1＝0或2x﹣3＝0或x﹣2＝0．解得x1＝﹣2，x2＝1，x3＝32，x4＝2；（3）因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m设AP＝xm，则PD＝（8﹣x）m因为BP+CP＝10，BP＝AP2+AB2，CP＝CD2+PD2．∴9+x2+(8-x)2+9＝10∴(8-x)2+9＝10﹣9+x2．两边平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣209+x2+9+x2整理，得59+x2＝4x+9两边平方并整理，得x2﹣8x+16＝0即（x﹣4）2＝0所以x＝4．经检验，x＝4是方程的解．答：AP的长为4m．
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