初中数学苏科版八年级下册第10章 分式10.1 分式同步练习题

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（时间：120分钟，满分：100分）
一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。）
1．下列各式中：﹣3x，5xy，6π，1m，x-13，分式的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：﹣3x，5xy，6π，1m，x-13中：5xy，1m为分式，共两个，其余为整式；
故选：A．
2．如果把分式xx-y中的x，y都扩大5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大5倍B．不变C．缩小15D．扩大25倍
【解答】解：把分式xx-y中的x和y的值都扩大5倍，那么分式的值不变，
故选：B．
3．分式xx+2有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≠﹣2C．x≥0D．x≥﹣2
【解答】解：由题意可知：x+2≠0，
x≠﹣2，
故选：B．
4．如果分式x2-9x-3的值为0，则x的值应为（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．9
【解答】解：根据题意，
x2﹣9＝0且x﹣3≠0，
解得，x＝﹣3．
故选：B．
5．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做100个所用的时间与乙做80个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做多少个零件．设甲每小时做x个零件，则可列方程为（ ）
A．100x-4=80xB．100x=80x-4C．100x=80x+4D．100x+4=80x
【解答】解：∵甲每小时比乙多做4个，且甲每小时做x个零件，
∴乙每小时做（x﹣4）个零件．
根据题意得：100x=80x-4．
故选：B．
6．甲、乙两人每小时一共做35个电器零件，两人同时开始工作，当甲做了120个零件时乙做了90个零件，设甲每小时能做x个零件，根据题意可列分式方程为（ ）
A．90x=12035-xB．120x=9035-x
C．90x=12035+xD．120x=9035+x
【解答】解：设甲每小时能做x个零件，则乙每小时做（35﹣x）个零件，
由题意可得：120x=9035-x，
故选：A．
7．若关于x的方程x-ax-1-3x=1的解为整数，则整数a的值的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：两边都乘以x（x﹣1），得
x（x﹣a）﹣3（x﹣1）＝x（x﹣1），
解得x=3a+2，
由题意得3a+2为整数，
∴a+2＝3或1或﹣1或﹣3，
解得a＝1或﹣11或﹣3或﹣5，
故选：D．
8．若关于x的一元一次不等式组2(2x+3)-1＞3x+63x+4≥-a的解集为x＞1，且关于y的分式方程yy-2+1=a-12-y的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣15B．﹣14C．﹣8D．﹣7
【解答】解：解不等式2（2x+3）﹣1＞3x+6得，
x＞1，
解不等式3x+4＞﹣a得，
x＞-a+43，
∵该不等式组的解集为x＞1，
∴-a+43≤1，
解得a≥﹣7，
解分式方程yy-2+1=a-12-y得，
y=-a-32，
∵该方程的解是正整数，且a≥﹣7，
解得a＝﹣7，或a＝﹣5，或a＝﹣3，或a＝﹣1，或a＝1，
∵y﹣2≠2，
即-a-32≠2，
解得a≠﹣1，
∴﹣7﹣5﹣3+1＝﹣14，
故选：B．
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分。）
9．化简：3m2n9m= mn3 ．
【解答】解：3m2n9m=3m2n÷3m9m÷3m=mn3，
故答案为：mn3．
10．化简：xx+1÷(x-1-x-1x+1)= 1x-1 ．
【解答】解：原式=xx+1÷(x-1)(x+1)-x+1x+1
=xx+1÷x2-xx+1
=xx+1•x+1x(x-1)
=1x-1，
故答案为：1x-1．
11．已知m，n是常数，且当x＝﹣1时分式(n-x)22x+m无意义；当x＝﹣2时，分式值为0，m+n＝ 0 ．
【解答】解：由题意得：2×（﹣1）+m＝0，n﹣（﹣2）＝0，
解得：m＝2，n＝﹣2，
则m+n＝2﹣2＝0，
故答案为：0．
12．若分式|x|-3(x-3)(x+2)的值为0，则x＝ ﹣3 ．
【解答】解：由题意得：|x|﹣3＝0，且（x﹣3）（x+2）≠0，
解得：x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
13．“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家7km和11km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程 114x-73x=2060 ．
【解答】解：∵甲、乙的速度比是3：4，且甲的速度为3xkm/h，
∴乙的速度为4xkm/h．
根据题意得：114x-73x=2060．
故答案为：114x-73x=2060．
14．已知1b-2a=2，则2a+3ab-4b4ab-3a+6b的值为 -72 ．
【解答】解：∵1b-2a=2，
∴a﹣2b＝2ab．
∴原式=2a-4b+3ab-3a+6b+4ab
=2(a-2b)+3ab-3(a-2b)+4ab
=2×2ab+3ab-3×2ab+4ab
=7ab-2ab
=-72．
故答案为：-72．
15．关于y的方程y+ay-1+2a1-y=2的解为非负数，则a的取值范围是 a≤2且a≠1 ．
【解答】解：解分式方程y+ay-1+2a1-y=2得，y＝2﹣a，
∵a使关于y的方程y+ay-1+2a1-y=2的解为非负数，
∴2﹣a≥0，且2﹣a≠1
∴a≤2且a≠1．
故答案为：a≤2且a≠1．
16．如果a，b，c是正数，且满足a+b+c＝6，1a+b+1b+c+1c+a=23，则ab+c+bc+a+ca+b的值为 1 ．
【解答】解：∵a+b+c＝6，
∴a＝6﹣（b+c），b＝6﹣（a+c），c＝6﹣（a+b），
∴ab+c+bc+a+ca+b
=6-(b+c)b+c+6-(a+c)c+a+6-(a+b)a+b
=6b+c-1+6c+a-1+6a+b-1
＝6（1b+c+1c+a+1a+b）﹣3，
∵1a+b+1b+c+1c+a=23，
∴原式＝6×23-3＝1．
故答案为：1．
三、解答题（本题共11小题，共68分。）
17．计算：
（1）3(x-1)2-3x(x-1)2；
（2）a2-1a2+2a+1÷a2-aa+1．
【解答】解：（1）原式=3-3x(x-1)2
=3(1-x)(x-1)2
=31-x．
（2）原式=(a+1)(a-1)(a+1)2•a+1a(a-1)
=1a．
18．解分式方程：
（1）x-2x-3=2-33-x；
（2）x-2x+2-16x2-4=x+2x-2．
【解答】解：（1）x-2x-3=2-33-x，
方程变形为：x-2x-3=2+3x-3，
去分母，得x﹣2＝2（x﹣3）+3，
去括号，得x﹣2＝2x﹣6+3，
移项，得x﹣2x＝2﹣6+3，
合并，得﹣x＝﹣1，
∴x＝1．
经检验，x＝1是分式方程的解．
所以原分式方程的解为x＝1．
（2）x-2x+2-16x2-4=x+2x-2，
∴x-2x+2-16(x+2)(x-2)=x+2x-2．
去分母，得（x﹣2）2﹣16＝（x+2）2，
去括号，得x2﹣4x+4﹣16＝x2+4x+4，
移项，得x2﹣4x﹣x2﹣4x＝﹣4+16+4，
合并，得﹣8x＝16，
∴x＝﹣2．
经检验，x＝﹣2不是分式方程的解．
所以原分式方程无解．
19．先化简：(1-1x+3)÷x2-9x2+6x+9，再请从﹣3，2，3内选一个合适的数代入求值．
【解答】解：原式=x+3-1x+3•(x+3)2(x+3)(x-3)
=x+2x+3•x+3x-3
=x+2x-3，
∵x+3≠0，x﹣3≠0，
∴x≠±3、2，
当x＝2时，原式=2+22-3=-4．
20．先化简，再求值：(1x+y+1x-y)÷xx2+2xy+y2，其中x，y满足|x﹣2|+（y+1）2＝0．
【解答】解：原式=x-y+x+y(x+y)(x-y)•(x+y)2x
=2x(x+y)(x-y)•(x+y)2x
=2(x+y)x-y，
∵|x﹣2|+（y+1）2＝0，
∴x﹣2＝0，y+1＝0，
∴x＝2，y＝﹣1，
当x＝2，y＝﹣1时，原式=2(2-1)2+1=23．
21．已知m2﹣4m﹣7＝0，求代数式（m2-m-4m+3+1）÷m+1m2-9的值．
【解答】解：（m2-m-4m+3+1）÷m+1m2-9
=m2-m-4+m+3m+3•(m+3)(m-3)m+1
=(m+1)(m-1)m+3•(m+3)(m-3)m+1
＝（m﹣1）（m﹣3）
＝m2﹣4m+3，
∵m2﹣4m﹣7＝0，
∴m2﹣4m＝7，
∴当m2﹣4m＝7时，原式＝7+3＝10．
22．某超市购进甲、乙两种商品，购买1个甲商品比购买1个乙商品多花6元，并且花费400元购买甲商品和花费100元购买乙商品的数量相等．
（1）求购买一个甲商品和一个乙商品各需多少元；
（2）商店准备购买甲、乙两种商品共40个，并要求商品个数为正整数，若甲商品的数量不少于乙商品数量的3倍，并且购买甲、乙商品的总费用不低于230元且不高于266元，那么超市有几种购买方案？哪种方案费用少？
【解答】解：（1）设购买一个甲商品需x元，则购买一个乙商品需（x﹣6）元，
由题意得：400x=100x-6，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，
则x﹣6＝8﹣6＝2，
答：购买一个甲商品需8元，一个乙商品需2元；
（2）设购买甲种商品a个，则购买乙种商品（40﹣a）个，
由题意得：8a+2(40-a)≥2308a+2(40-a)≤266a≥3(40-a)，
解得：30≤a≤31，
∵a为整数，
∴a＝30或31．
∴超市有2种购买方案：
①购买甲商品30个，乙商品10个，费用为：30×8+10×2＝260（元）；
②购买甲商品31个，乙商品9个，费用为：31×8+9×2＝266（元）；
∵260＜266，
∴方案①费用最低．
23．某超市购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲种商品的进价比每个乙种商品的进价少2元，且用80元购进甲种商品的数量与用100元购进乙种商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙种商品的进价分别为多少元？
（2）该超市本次购进甲种商品的数量比购进乙种商品的数量的3倍还少5个，购进两种商品的总数量不超过95个，若该超市每个甲种商品的销售价格为12元，每个乙种商品的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，通过计算求出该超市本次购进甲、乙两种商品有几种方案？请你设计出来．
【解答】解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，
根据题意，得：80x-2=100x，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元；
（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．
由题意得：3y-5+y≤95(12-8)(3y-5)+(15-10)y＞371
解得：23＜y≤25
∵y为整数∴y＝24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
24．A，B两地之间的国道的长度为180千米．
（1）甲、乙两人均要从A地前往B地．乙乘公交车先走了20千米，甲才开车从A地出发，甲出发40分钟后刚好追上乙．已知甲开车的速度是乙所乘公交车速度的1.5倍，求乙所乘公交车的速度；
（2）高速公路修通后，高速公路的全长比原来国道长减少了40千米，某长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上提高了35千米/时，从A地到B地的行驶时间缩短了一半，求该长途汽车在原来国道上行驶的速度．
【解答】解：（1）设乙所乘公交车的速度为x千米/小时，则甲开车的速度为1.5千米/小时，
由题意得：1.5x×4060=20+4060x，
解得：x＝60，
答：乙所乘公交车的速度为60千米/小时；
（2）设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为y千米/小时，则该长途汽车在高速公路上行驶的速度为（x+55）千米/小时，
由题意得：180-40x+35=180x×12，
解得：x＝63，
经检验，x＝63是原方程的解，且符合题意，
答：该长途汽车在原来国道上行驶的速度为63千米/小时．
25．某商场准备购进A，B两款净水器，每台A款净水器比B款净水器的进价少600元，用36000元购进A款净水器的台数是用27000元购进B款净水器台数的2倍，A，B两款净水器每台售价分别是1350元、2100元．请解答下列问题：
（1）A，B两款净水器每台进价各是多少元？
（2）若该商场用6万元资金全部用于购进A和B两款净水器，购进B款净水器不超过8台，设购进A款净水器a台，则该商场有几种进货方案？
（3）在（2）条件下，为促进销售，商场推出每购买一台净水器可抽奖一次，中奖顾客赠送同款净水器滤芯一个．A，B两款净水器每个滤芯的进价分别是400元、500元．如果这批净水器全部售出，除去奖品的费用后仍获利5250元，那么两款净水器滤芯共赠送多少个？请直接写出答案．
【解答】解：（1）设A款净水器每台x元，B款净水器每台（x+600）元，
根据题意得，36000x=2×27000x+600，
解得：x＝1200，
经检验x＝1200是原方程的根，
此时x+600＝1800，
答：A款净水器每台进价是1200元，B款净水器每台进价是1800元；
（2）∵购进A款净水器a台，
∴购进BA款净水器60000-1200a1800台，
根据题意得：60000-1200a1800≤8，
解得：a≥38，
∵a，60000-1200a1800都是正整数，
∴a＝47，44，41，38；6000-1200a1800=2，4，6，8；
∴该商场有4种进货方案；
（3）①当A款净水器购进47台，B款净水器购进2台时，
47×（1350﹣1200）+2×（2100﹣1800）﹣5250＝2400 （元），
400×6+0＝2400 （元），
∴A款净水器赠送6个，B款净水器赠送0个，两款净水器滤芯共赠送6个；
②当A款净水器购进44台，B款净水器购进4台+，
44×（1350﹣1200）+4×（2100﹣1800）﹣5250＝2550 （元），
由于400、500不管以多少整数倍相加都不等于2550，故不符合题意；
③当A款净水器购进41台，B款净水器购进6台，
41×（1350﹣1200）+6×（2100﹣1800）﹣5250＝2700 （元），
400×3+500×3＝2700（元），
∴A款净水器赠送3个，B款净水器赠送3个，两款净水器滤芯共赠送6个；
④当A款净水器购进38台，B款净水器购进8台，
38×（1350﹣1200）+8×（2100﹣1800）﹣5250＝2850 （元），
由于400、500不管以多少整数倍相加都不等于2850，故不符合题意；
综上所述，两款净水器滤芯共赠送6个．
26．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元；
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案；
（3）在（2）的条件下，若甲种玩具每件的售价为40元，乙种玩具每件的售价为55元，商场为扩大销量，推出“买一赠一”活动，顾客从这两种玩具中任购一件，就可以从两种玩具任选一件作为赠品，这批玩具全部售出后，共获利280元．直接写出（2）问中商场的进货方案．
【解答】解：（1）设每件甲种玩具的进价是x元，则每件乙种玩具的进价是（40﹣x）元，根据题意可得：
90x=15040-x，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，
∴x＝15，40﹣x＝25，
答：每件甲种玩具的进价是15元，每件乙种玩具的进价是25元；
（2）设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具（48﹣m）件，根据题意得：
m＜48-m15m+25(48-m)≤1000，
解得：20≤m＜24，
∵m为正整数，
∴m＝20或21或22或23，
∴商场共有4种进货方案；
（3）设48件玩具“买一赠一”，有a件售价是40元，则有（24﹣a）件售价是55元，
∴40a+55（24﹣a）＝15m+25（48﹣m）+280，
化简整理可得a=2m-323，
由（2）知m＝20或21或22或23，且a为正整数，
∴m＝22，此时a＝4，
即商场的进货方案是购进甲种玩具22件，乙种玩具26件．
27．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
【解答】解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，
根据题意，得80x-2=100x，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．
由题意得：3y﹣5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；
（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，
解得：y＞23917．
∵y为整数，y≤25，
∴y＝24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．