第9章 中心对称图形（培优卷）——2022-2023学年八年级下册数学单元卷（苏科版）（原卷版+解析版）

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第9章  中心对称图形（B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：100分）

一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。）

1．下列图形属于中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．

选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．

故选：A．

2．下列判断中不正确的是（　　）

A．四个角相等的四边形是矩形 

B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 

C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 

D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形

【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，

故A选项不符合题意；

B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，

故B选项符合题意；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，

故C选项不符合题意；

D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，

故D选项不符合题意，

故选：B．

3．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到△A'B'C'．若∠A＝40°，∠B'＝110°，则∠BCA的度数是（　　）

A．90° B．80° C．50° D．30°

【解答】解：由题意可得△ABC≌△A'B'C，

∴∠B＝∠B'＝110°，

∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B

＝180°﹣40°﹣110°

＝30°，

故选：D．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若CD＝2.5，AB的长为（　　）

A．2.5 B．4 C．5 D．6

【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，

∴CD．

∴AB＝2CD＝2×2.5＝5．

故选：C．

5．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝6，△OCD的周长为18，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（　　）

A．12 B．24 C．28 D．40

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝6，

∵△OCD的周长为18，

∴OD+OC＝18﹣6＝12，

∵BD＝2OD，AC＝2OC，

∴▱ABCD的两条对角线的和BD+AC＝2（OD+OC）＝24．

故选：B．

6．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点G、H分别在边AD、边BC上，连接BG、DH，且BG∥DH，要使四边形BHDG为菱形，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵四边形BGDH是菱形，

∴BG＝GD，

设AB＝x，则AD＝2x，

设AG＝y，则GD＝2x﹣y，BG＝2x﹣y，

∵在Rt△AGB中，AG2+AB2＝GB2，

∴y2+x2＝（2x﹣y）2，

整理得：，

yx，

∴，

故选：D．

7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BCcm，点P从A点出发沿AB以cm/s的速度向点B运动，当PAPC时，点P运动的时间为（　　）

A．s B．2s C．10s D．10s或2s

【解答】解：设点P运动的时间为ts，

根据题意得：APtcm，

∴PCtcm，

∵PB＝AB﹣AP＝（3t）cm，

∴PC2＝BC2+PB2，

∴t22+（3t）2，

解得t＝2或t＝10（舍去），

∴点P运动的时间为2s，

故选：B．

8．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解；如图，把△ADF绕A逆时针旋转90°得到△ABG，

∴△ADF≌△ABG，

∴∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°，

∴∠ABG+∠ABE＝180°，

∴G、B、E三点共线，

∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，

∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠DAF+∠EAB＝45°，

∴∠BAG+∠EAB＝45°，

∴∠EAF＝∠EAG，

在△EAG和△EAF中，

，

∴△EAG≌△EAF（SAS），

∴GE＝FE，

设BE＝x，

∵CD＝6，DF＝3，

∴CF＝3，

 则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，

∴EF＝3+x，

∵∠C＝90°，

∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，

解得，x＝2，

∴BE的长为2．

故选：A．

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）

9．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，如果CD＝2.4cm，那么AB＝　4.8　cm．

【解答】解：在Rt△ABC中，CD是AB斜边上的中线，如果CD＝2.4cm，

∴AB＝4.8cm．

故答案为：4.8．

10．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向外作等边△CDE，则∠AEC＝　45　°．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，

∴AD＝CD＝DE，∠ADE＝90°+60°＝150°，∠DEC＝60°，

∴∠AED＝（180°﹣150°）÷2＝15°．

∴∠AEC＝∠DEC﹣∠DEA＝45°．

故答案为：45．

11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．以AB为一边在△ABC的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为 　139　．

【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝5，

由勾股定理知，AB13．

故S阴影＝S正方形ABDE﹣S△ABC＝1325×12＝169﹣30＝139．

故答案为：139．

12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为 　2　．

【解答】解：连接MC，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，

∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F

∴四边形MECF为矩形，

∴EF＝MC，

当MC⊥BD时，MC取得最小值，

此时△BCM是等腰直角三角形，

∴MCBC＝2，

∴EF的最小值为2；

故答案为：2．

13．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为 　　．

【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝OC＝6，BO＝DO，AC⊥BD，

∴BO8，

∴BD＝16，

∵S菱形ABCD＝AB•DEAC•BD，

∴DE，

故答案为：．

14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝12，S菱形ABCD＝120，则AH＝　　．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BO＝DO＝12，AO＝CO，AC⊥BD，

∴BD＝2BO＝24，

∵S菱形ABCDAC×BD＝120，

即：AC×24＝120，

∴AC＝10，

∴COAC10＝5，

在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC13，

∵S菱形ABCD＝BC×AH＝120，

即：13×AH＝120，

∴AH；

故答案为：．

15．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H若AB＝2，AG，则EB＝　　．

【解答】解：如图，连接BD，BD与AC交于点O，

在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD

∴∠GAD＝∠EAB，

∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，

∴AG＝AE，AB＝AD，

在△GAD和△EAB中，

，

∴△GAD≌△EAB（SAS），

∴EB＝GD

在Rt△ABD中，DB2，

∴AO，

∴OG＝OA+AG2，

∴EB＝GD．

故答案为：．

16．如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm．点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止；同时点P从点B出发，以xcm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止．规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当x为 　2或　时，△ABP与△PCQ全等．

【解答】解：设点Q从点C出发ts，同时点P从点B出发ts，

①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，

∵AB＝8cm，

∴PC＝8cm，

∵BP＝12﹣8＝4（cm），

∴2t＝4，

解得：t＝2，

∴CQ＝BP＝4cm，

∴x×2＝4，

解得：x＝2；

②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，

∵BA＝CQ，

∴2t＝8，

∴t＝4，

∴BP＝PC＝6cm，

∴4x＝6，

解得：x，

综上所述，当x＝2或时，△ABP与△PQC全等，

故答案为：2或．

三、解答题（本题共11小题，共68分。）

17．在如图所示的方格纸中，每个小方格的都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．

（1）画出△ABC向上平移4个单位后的△A1B1C1；

（2）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的△A2B2C，并求点B旋转到点B2所经过的路线长．

【解答】

（1）如图所示△A1B1C1为所作；

（2）如图所示△A2B2C为所作；

点B旋转到B2所经过的路线长为：．

18．如图，在8×8的网格中（每个网格的边长为1），有两个格点△ABC和△A'B'C'，回答下面问题；

（1）△ABC的面积为 　3　．

（2）在△A'B'C'中，A'C'边上的高线长为 　　．

（3）图中的△A'B'C'可以看作是有△ABC绕着某一点、按一定方式旋转而得到．请你用无刻度的直尺在图中画出旋转中心O，并保留画图痕迹．

【解答】解：（1）△ABC的面积为2×43，

故答案为：3；

（2）如图，A'C，

∴•B'D＝3，

∴B'D，

故答案为：；

（3）如图，点O即为所求．

19．如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．

（1）求证：MN⊥DE；

（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，连结DM、ME，求∠DME的度数；

（3）猜想∠DME与∠A之间的关系，并证明你的猜想．

【解答】（1）证明：如图，连接DM，ME，

∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，

∴DMBC，MEBC，

∴DM＝ME，

又∵N为DE中点，

∴MN⊥DE；

（2）解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，

∵∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，

∴180°﹣∠A＝120°，

∵DM＝ME＝BM＝MC，

∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，

∴∠DME＝180°﹣（∠BMD+∠CME）＝60°；

（3）解：∠DME＝180°﹣2∠A，理由如下：

在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，

∵DM＝ME＝BM＝MC，

∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）

＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）

＝360°﹣2（180°﹣∠A）

＝2∠A，

∴∠DME＝180°﹣2∠A．

20．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF

（1）证明：四边形ADBF是菱形．

（2）若AB＝3，AC＝4，求菱形ADBF的面积．

【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE，

∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，

∴AE＝DE，BD＝CD，

在△AFE和△DCE中，

，

∴△AFE≌△DCE（AAS）；

∴AF＝DC．

∵DB＝DC，

∴AF＝BD，

∴四边形ADBF是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，

∴AD＝DBBC，

∴四边形ADBF是菱形；

（2）解：连接DF，

∵AF∥BC，AF＝CD，

∴四边形ACDF是平行四边形，

∴DF＝AC＝4，

∵四边形ADBF是菱形，

∴SAB•DF＝6．

21．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝2，求平行四边形ABCD的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠BEA，

∵∠BAD的平分线交BC于点E，

∴∠DAE＝∠BAE，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴AB＝BE，

同理可得AB＝AF，

∴AF＝BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AB＝AF．

∴四边形ABEF是菱形；

（2）解：作FG⊥BC于G，

∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，

∴AE⊥BF，OEAE＝3，OBBF＝4，

∴BE5，

∵S菱形ABEFAE•BF＝BE•FG，

∴即，

解得FG，

∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝（BE+EC）•GF＝（5+2）．

22．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DEAC，连接AE、CE．

（1）求证：四边形OCED为矩形；

（2）若菱形ABCD的边长为3，∠BCD＝60°，求AE的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO＝OCAC，

∴∠DOC＝90°，

∵DE∥AC，DEAC，

∴DE＝OC，DE∥OC，

∴四边形OCED是平行四边形，

又∵∠DOC＝90°，

∴平行四边形OCED是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OCAC，

∵∠BCD＝60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴BD＝BC＝3，

∴OD＝OB，

∴OC，

∴AC＝2OC＝3，

由（1）得：四边形OCED为矩形，

∴CE＝OD＝1，∠OCE＝90°，

在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE，

故AE的长为：．

23．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．

（1）求t为何值时，四边形ABQP是矩形；

（2）求t为何值时，四边形AQCP是菱形．

【解答】解：（1）由题意得，BQ＝DP＝t，则AP＝CQ＝6﹣t，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，AD∥BC，

∴当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，

∴t＝6﹣t，

解得，t＝3，

故当t＝3时，四边形ABQP为矩形；

（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形，

∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形，

即6﹣t时，四边形AQCP为菱形，

解得，t，

故当t时，四边形AQCP为菱形．

24．四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F．

（1）如图1，若点F在边BC上，求证DE＝EF；

（2）以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

①如图2，若AB＝4，CE＝3，求CG的长度；

②当线段DE与正方形ABCD一边的夹角是35°时，直接写出∠EFC的度数．

【解答】（1）证明：连接BE，如下图，

∵直线AC是正方形ABCD是正方形，

∴∠EBF＝∠EDC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DCF＝90°，

∵DE⊥EF，

∴∠DEF＝90°，

∴∠CDE+∠CFE＝360°﹣（∠DCF+∠DEF）＝180°，

∵∠CFE+∠EFB＝180°，

∴∠EBF＝∠EFB，

∴BE＝EF，

∴DE＝EF；

（2）解：①∵四边形DEFG为矩形，DE＝EF，

∴四边形DEFG为正方形，

∴DE＝DG，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝DC，∠ADC＝90°＝∠EDC，

∴∠ADE＝∠CDG，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴AE＝CG，

∵AB＝4，

∴ACAB＝4，

∵CE＝3，

∴CG＝AE＝AC﹣CE；

②当∠AED＝35°时，如下图，

∠CDE＝90°﹣∠AED＝55°，

∵∠CDE+∠EFC＝180°，

∴∠EFC＝125°，

当∠CDE＝35°时，如下图，

∵∠DEH＝∠HCF＝90°，∠DHE＝∠CHF，

∴∠EFC＝∠CDE＝35°，

综上，∠EFC＝125°或35°．

25．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，得到矩形FGCE，使得点E落在边AB上，AB的延长线交EG于H，连接DE，DH．

（1）求证：ED平分∠AEC；

（2）求证：EC与DH互相平分；

（3）设EC与DH相交于点O，AD＝3，求点O到DC的距离．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠AED＝∠EDC，

∵CE＝CD，

∴∠CED＝∠EDC，

∴∠AED＝∠CED，

∴ED平分∠AEC；

（2）连接HC，

∵四边形EFGC为矩形，

∴FG∥EC，

∴∠FHE＝∠BEC，

∵∠F＝∠EBC＝90°，EF＝CB，

∴△EFH≌△CBE（AAS），

∴EH＝EC，

∵EC＝DC，

∴EH＝DC，

∵EH∥DC，

∴四边形EHDC为平行四边形，

∴EC与DH互相平分；

（3）过点O作OM⊥DC于M，延长MO交AB于N，

∵∠BEC＝∠DCE，EO＝CO，∠EON＝∠COM，

∴△EON≌△COM（ASA），

∴MO＝NO，

∵∠A＝90°，∠ADC＝90°，∠DMN＝90°，

∴四边形ADMN是矩形，

∴MN＝AD＝3，

∴，

∴点O到DC的距离为．

26．定义：如图1，在△ABC中，D为AB上一点∠ACD＝∠B，则称点D为△ABC的关于点B的自相似点．

（1）AC2＝　AB　•　AD　；

（2）如图2，在平行四边形ABCD中，AD，E为BC上一点，BE＝3，F为CD延长线上一点，BF＝4．求证：点E为△BFC的关于点C的自相似点；

（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF∠BAD，AE＝2，DF＝5，直接写出菱形ABCD的边长．

【解答】（1）解：∵∠ACD＝∠B，∠DAC＝∠CAB，

∴△DAC∽△CAB，

∴，

∴AC2＝AB•AD，

故答案为：AB，AD．

（2）证明：∵平行四边形ABCD中，AD，

∴BC，

∵BE＝3，BF＝4，

∴，

又∵∠FBE＝∠CBF，

∴△BFE∽△BCF，

∴∠BFE＝∠BCF，

∴点E是△BFC的关于点C的自相似点；

（3）解：如图，分别延长EF，交DC的延长线于点G，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥DC，∠BAC∠BAD，

∵AC∥EF，

∴四边形AEGC是平行四边形，

∴AC＝EG，AE＝CG，∠EAC＝∠G，

∵∠EDF∠BAD，

∴∠EDF＝∠BAC，

∴∠EDF＝∠G，

又∵∠DEF＝∠GED，

∴△EDF∽△EGD，

∴，

∴ED2＝EF•EG，

又∵EG＝AC＝2EF，

∴DE2＝2EF2，

∴DEEF，

又∵，

∴DGDF＝5，

∴DC＝DG﹣CG＝52，

∴菱形ABCD的边长为52．

27．对于长方形OABC，AB∥OC，AO∥BC，O为平面直角坐标系的原点，OA＝5，OC＝3，点B在第三象限．

（1）直接写出点B的坐标（ 　﹣5　，　﹣3　）；

（2）如图1，点Q从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线移动，

①当点Q移动了3秒时，直接写出此时点Q的坐标（ 　﹣5　，　﹣1　）；

②当点Q到y轴距离为4个单位长度时，求出点Q移动的时间．

（3）如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标；

（4）如图2，M为x轴负半轴上一点，且∠CBM＝∠CMB，点N是x轴正半轴上一动点，∠MCN的平分线CD交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．

【解答】解：（1）∵在长方形OABC中，OA＝5，OC＝3，∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝5，

∵∠OAB＝∠OCB＝90°，

∵点B在第三象限，

∴B（﹣5，﹣3），

故答案为：（﹣5，﹣3）；

（2）①点Q从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线移动，

当点Q移动了3秒时，Q运动了6个单位，此时Q在AB上，

∵OA＝5，

∴QA＝6﹣5＝1，

∴Q（﹣5，﹣1）；

故答案为：Q（﹣5，﹣1）；

②∵点Q到y轴距离为4个单位长度，

∴点Q在OA或BC上，

当Q在OA上时，QO＝4，此时t＝2（秒），

当Q在BC上时，此时Q运动了5+5+3﹣4＝9个单位，t＝9÷2＝4.5（秒），

（3）①当点P在OA上时，设P（x，0）（x＜0），

∵S△ABP：S四边形BCOP＝1：4，

∴S△ABPS矩形OABC，

即3（x+5）5×3，

解得x＝﹣3，

∴P（﹣3，0）；

②当点P在OC上时，设P（0，y）（y＜0），

∵S△CBP：S四边形BPOA＝1：4，

∴S△CBPS矩形OABC，

即5（y+3）5×3，

解得y，

∴P（0，），

综上所述，P点坐标为（﹣3，0）或（0，）；

（4）的值不会变化，理由如下：

延长BC至点F，如图，

∵四边形OABC为长方形，

∴OA∥BC，

∴∠CBM＝∠AMB，∠AMC＝∠MCF，

∵∠CBM＝∠CMB，

∴∠MCF＝2∠CMB，

过点M作ME∥CD交BC于点E，

∴∠EMC＝∠MCD，∠D＝∠BME，

又∵CD平分∠MCN，

∴∠NCM＝2∠EMC，

∴∠D＝∠BME＝∠CMB﹣∠EMC，

∠CNM＝∠NCF＝∠MCF﹣∠NCM＝2∠BMC﹣2∠DCM＝2∠D，

∴．