专题3-1 切线、公切线及切线法应用-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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专题3-1 切线、公切线与“切线法”应用
目录
【题型一】“在点”切线1：有切点 1
【题型二】“在点”切线2：无切点 3
【题型三】“在点”切线3：双参型 4
【题型四】“在点”切线4：分段函数切线 6
【题型三】“过点”切线1 9
【题型四】“过点”切线2：切线条数 11
【题型五】“过点”切线3：最值与范围 13
【题型六】双函数公切线 15
【题型七】三角函数的切线 17
【题型八】切线与倾斜角 19
【题型九】“切线法应用”题型1：直线上点到曲线距离 20
【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值 23
【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参 25
【题型十二】“切线法应用”题型4：零点（交点）求参 27
【题型十三】“切线法应用”题型5：等式（不等式）整数解求参 30
【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等 33
【题型十五】综合应用 35
二、真题再现 38
三、模拟检测 42





【题型一】“在点”切线1：有切点
【典例分析】
已知函数（其中e为自然对数的底数）的图象在处的切线的斜率为8，则实数a的值为（       ）
A．1 B．2 C．e D．3
【答案】B
【分析】求出f(x)的导数，将点的横坐标代入得斜率8，解出实数a即可.
【详解】，，解得．
故选:B．

【提分秘籍】
基本规律
基本规律
以曲线上的点(x0，f(x0))（已知x0为具体值）为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．

【变式演练】
1.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求导数，令 ，计算的值 ，得到，，计算斜率 ，用点斜式写出直线方程即可.
【详解】因为，令，则，所以，则， ，，
，所以切线方程为：
故选：A.
2.已知函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则实数的值为（       ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求得曲线在处的切线为，结合题意，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，函数，则，
可得，，即切点坐标为，
所以在处的切线为，
当时，；当时，，
因为在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，
可得，解得或，
又因为，所以.
故选：C.
3.已知函数，则的图象在点处的切线的斜率为（       ）
A．3 B．3 C．5 D．5
【答案】B
【分析】利用导函数可求出，然后利导数的几何意义即得.
【详解】由题可得，令，得，
所以，即，
所以的图象在点处的切线的斜率为.
故选：B.

【题型二】“在点”切线2：无切点
【典例分析】
已知四条直线，，，从这三条直线中任取两条，这两条直线都与函数的图象相切的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据切线的斜率可求切线的切点，进而根据点斜式求出切线方程，即可判断三条直线中哪些是切线，进而根据古典概型的概率公式即可求解.
【详解】由题设，，当，得，若，则，即切点为的切线为；若，则，即切点为的切线为，当，得，若，则切点为，切线方程为：，若，则切点为，切线方程为：，故直线与的图象不相切，所以从已知三条直线中任取两条共有三种情况，与的图象相切只有，故概率为．
故选：B


【变式演练】
1.以下曲线与直线相切的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直线的斜率为，且经过点，利用导数的几何意义分别判断是否为选项中曲线的切线即可.
【详解】直线的斜率为，且经过点，
选项A. 点在曲线上，但曲线在点处的切线的斜率不存在,故不正确.
选项B. 由，则，设切点为，则，则
所以切点为，显然点不再在直线上，故不正确.
选项C，曲线过点，又
当时，，所以曲线在点处的切线方程为：
所以曲线与直线相切，故正确.
选项D. 由，则，设切点为，则，则
所以切点为，显然点不在直线上，故不正确.
故选：C
2.若曲线与y=2x+1相切，则实数a=（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据导数求切线方程的即可.
【详解】设切点坐标为，由，则，且，将代入得，故a=1.
故选：A
3.直线与曲线相切，则的值为（       ）
A．2 B．-2 C．-1 D．1
【答案】D
【分析】求出，设切点，由求出，代入可得答案.
【详解】，设切点，由，
所以，代入，得．
故选：D.


【题型三】“在点”切线3：双参型
【典例分析】
已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设切点为，则由题意可得，从而可求出，所以，化简后利用基本不等式可求得其最小值
【详解】设切点为，由，得，因为直线与曲线相切于点，
所以 ，解得，所以，因为为正实数，所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，故选：B

【提分秘籍】
基本规律
多参数，对应方程恒成立求参

【变式演练】
1.若曲线在点处的切线方程为，则（       ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由求得值，然后利用是切点可求得值．
【详解】，由已知，，即，
，
所以，．
故选：C.
2.已知函数在点处的切线为，则的值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求导函数，结合条件列出方程组，解之即得．
【详解】∵函数，∴，，∵在点处的切线为，
∴，解得，，∴．故选：C.
3.已知函数的图象在处与直线相切，则函数在上的最大值为（       ）
A． B．0 C． D．1
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可求出、，从而得到函数解析式，再利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值；
【详解】解：由，得，
所以，解得；
所以，．
时，．
在上单调递减，则．
故选：C


【题型四】“在点”切线4：分段函数切线
【典例分析】
已知函数图像关于原点对称，则在处的切线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令先求出的值，再利用函数关于原点对称可求出,再利用导函数的几何意义即可求出在处的切线方程.
【详解】由题意知：.所以;
令，则.
所以.
又函数图像关于原点对称，即.所以当时，.
所以当时，.
,;
所以在处的切线方程为：.
故选：A.

【提分秘籍】
基本规律
分类讨论决定切点的位置和切点的个数。

【变式演练】
1.已知函数，曲线与直线有且仅有一个交点，则实数k的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，利用导数求出函数的单调区间及最值，从而可得出当时，函数零点的个数，即曲线与直线交点的个数，从而可得出答案.
【详解】解：令，，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，当且仅当时，取等号，
所以当时，函数只有一个零点，
即当时，曲线与直线有且仅有一个交点，
所以当时，曲线与直线没有交点，
所以.故选：A.
2.已知函数满足函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出的图象， 因为与，与的图象关于轴对称， 且与交于原点，要使恰有5个零点，
与的图象必需有两个交点，求出与相切时的值可得答案.
【详解】因为，所以，
，因为函数恰有5个零点，
所以的图象恰有5个交点，画出的图象，由图象可得，
因为与，与的图象关于轴对称，
且与交于原点，要恰有5个零点，
则与，与的图象必有两个交点，
当与的图象相切时，设切点，
此时切线的斜率为，可得，得，所以切点，
即，交点，
所以要使函数恰有5个零点，则.
故选：A.

3.已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】设，，，不妨设，利用导数的几何意义判断出，写出函数在两点处的切线方程，再根据两直线重合列式，消去，得，换元得，构造函数，，利用导数可求出结果.
【详解】当时，，
当时，，
设，，，不妨设，
若且，则由曲线在两点处的切线重合，得，
得，与矛盾，
若且，则由曲线在两点处的切线重合，得，
得，与矛盾，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
由曲线在两点处的切线重合，得且，
所以，因为，所以，
令，因为，所以，
所以，
令，，
，令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以在上恒成立，所以在上单调递减，
所以，即，
所以.故答案为：.

【题型三】“过点”切线1
【典例分析】
设，曲线在点处的切线经过点，则（       ）
A．e B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知得到0，令，再利用导数求出函数的单调性和零点得解.
【详解】解：由题得，即①，
又，所以，即②，联立①②得0，
令，所以，则在区间内单调递增，
又，由零点存在性定理可知存在，使得，
当时，，所以单调递减；当时，，
所以单调递增，又1，且，所以，代入②得，所以.故选：D


【提分秘籍】
基本规律
曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．


【变式演练】
1.写出a的一个值，使得直线是曲线的切线，则a=______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】首先设切点，并求切点处的导数，然后确定直线恒过定点，利用导数的几何意义，列式求参数的值.
【详解】设切点为，直线恒过定点，
，则，
则，可得其中一个根，
，此时，得.
故答案为： （答案不唯一）
2.已知直线与曲线相交于两点，则a的取值范围是___________
【答案】
【分析】先求出直线与曲线相切时的值，再根据函数图象可求出a的取值范围
【详解】设直线与曲线相切于点，
由，得，
所以，解得，
曲线与直线的图象如图所示，

由于直线与曲线x相交于两点，所以，故a的取值范围是，故答案为：
3.函数过原点的切线方程是_______.
【答案】.
【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出函数切点为的切线方程，再根据切线过原点求出，即可得解.
【详解】解：设切点为，
，则，
故切点为的切线方程为，
又因此切线过原点，
所以，解得，
所以函数过原点的切线方程是，
即.
故答案为：.


【题型四】“过点”切线2：切线条数
【典例分析】
若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设切点为，,等价于有两个不同的实数根，求出单调区间和最大值即得解.
【详解】解：设切点为，, 由题得，所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
所以，
所以有两个不同的实数根，
设，
当时，单调递增；当时，单调递减.
所以，
所以.
故选：D

【提分秘籍】
基本规律
“过点”切线条数，可以通过设切点坐标，写出切线方程，转化为求切点横坐标的根的个数或者根的范围。

【变式演练】
1.已知函数，过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，将点M的坐标代入切线方程，可得关于的方程有三个不同的解，利用参变分离可得，令，利用导数求出的单调性和极值，则根据与有三个不同的交点，即可求出实数t的取值范围
【详解】设切点为，由，得，
所以切线的斜率为，所以切线方程为，因为点M（1，t）在切线上，
所以，化简整理得，令，则，
所以当或时，，当时，，
所以在和上递减，在上递增，所以的极小值为，极大值为，
当时，，所以的图象如图所示，
因为过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，所以的图象与直线有三个不同的交点，
所以由图象可得，故选：D
2.若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数的图象，由图象观察得出结论．
【详解】作出函数的图象，由图象可知点在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线，
所以，
故选：B．

3.过点作曲线的切线有且只有两条，则b的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点，进而求得切线方程，进而得到，构造函数分析的单调性与取值范围即可判断有且仅有两根时b的取值范围即可
【详解】设切点为，，故过的切线方程为，即.故有且仅有两根.设，则，令则，令则，且，又当时，，.故有且仅有两根则b的取值范围为
故选：A
【题型五】“过点”切线3：最值与范围
【典例分析】
已知函数的一条切线为，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，可求得，设，利用导数求得的单调性和最值，分析即可得答案.
【详解】由题意得，设切点为，
所以，解得，，
所以，
设，则，
令，解得，
当时，，则为减函数，
当时，，则为增函数，
所以，所以的最小值为.故选：A

【变式演练】
1.已知曲线在点与处的切线互相垂直且相交于点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求出切线斜率，再由切线垂直可得，利用切线公共点可得.
【详解】因为曲线在点与处的切线互相垂直，
所以当时，，当时，，
不妨设，因为在点与处的切线互相垂直，
则，即，故AB错误；
在点的切线方程为，即，
在点处的切线方程为，即，
因为切线相交于，代入切线方程可得，
即，由化简可得.
故选：D
2.若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
3.过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程的根的个数问题转化为函数与函数的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案.
【详解】解：由题意得，设切点为，，
，，
则过点的切线方程为，整理得，
由点在切线上，则，即，
因为过直线上一点可以作曲线两条切线，
所以关于的方程有两个不等的实数根，
即函数与函数的图象有两个交点，
，
，
则函数在上单调递增，在上单调递减，且，
时，；时，，
则函数与函数的图象如下图所示：
由图可知，，故选：C.

【题型六】双函数公切线
【典例分析】
若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据垂直性质可得，再求导根据导数的几何意义可得切线的方程为，再设函数与直线切于点，列式求解即可
【详解】由题知，，令，又，解得，因为，所以切线的方程为.，
设函数与直线切于点，所以，故，即，，解得或.故选：D

【提分秘籍】
基本规律
公切线,要注意从以下两方面考虑
1.两个曲线有公切线，且切点是同一点
2.两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。


【变式演练】
1.若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别设公切线与和的切点，，根据导数的几何意义列式，再化简可得，再求导分析的最大值即可
【详解】，，设公切线与的图象切于点，与曲线切于点，
∴，故，所以，∴，∵，故，
设，则，
∴在上递增，在上递减，∴，
∴实数a的最大值为e
故选：B.
2.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（       ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】分别写出两条切线方程，合二为一，联立方程即可.
【详解】对于 ，设切点为 ， ，
则切线方程为 ，
即 …①；
对于 ，设切点为 ，
则切线方程为 ，
…②；
由①②得： 解得 ， ；故选：A.
3.．若曲线与曲线：=有公切线，则实数的最大值为（       ）
A．+ B．- C．+ D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程，可得，整理得，利用导数研究函数的单调性求出即可得出结果.
【详解】设在曲线上的切点为，则切线斜率为，
在曲线上的切点为，切线斜率为，
所以切线方程分别为、，即、，
有，整理得，设，则，
令，令，故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上，如图，
由图可知，即k的最大值为.故选：C.


【题型七】三角函数的切线
【典例分析】
函数在处的切线在轴上的截距为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，根据导数的几何意义，得出切线方程，然后在切线方程中令可得出答案.
【详解】因为，所以，
所以，，所以在处的切线方程为，
令得．故选：A．

【变式演练】
1.设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线斜率为（       ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】先由函数为奇函数，求出，再利用导数的几何意义可求出切线的斜率
【详解】因为为奇函数，所以，所以，所以，
所以，解得，所以，，所以，
所以曲线在点处的切线斜率为1．故选：C．
2.过曲线上一点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，可得切线斜率k，进而可得所求直线斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案.
【详解】由题意得，
所以在点处切线斜率，
则所求直线斜率，
所以直线方程为，整理得.
故选：A
3.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义，即可求解.
【详解】，，，，
所以函数在点处的切线方程为，
即.故选：A
【题型八】切线与倾斜角
【典例分析】
设点是曲线上的任意一点，点处切线倾斜角为，则角的取值范围是______.
【答案】
【分析】求出，由，根据的范围可得答案.
【详解】∵，
∴，
又∵，
∴或
则角的取值范围是.
故答案为：.

【提分秘籍】
基本规律
切线与倾斜角：
1. 切线斜率三种形式：
2. 切线与斜率的关系，多为求函数值域与范围。

【变式演练】
1.函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（       ）
A． B．± C． D．±
【答案】C
【分析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在处的切线斜率，再利用同角三角函数的关系得到sin2的值．
【详解】因为
所以
当时，，此时，
∴．
故选：C.
2.已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.
【详解】因为，所以，
因为曲线在M处的切线的倾斜角，
所以对于任意的恒成立，
即对任意恒成立，
即，又，当且仅当，
即时，等号成立，故，
所以a的取值范围是．
故选：D．
3.已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求，结合已知根据导数的几何意义可得，即对任意恒成立，再利用基本不等式求出即可.
【详解】因为，所以，
因为曲线在处的切线的倾斜角是均不小于的锐角，
所以对于任意的恒成立，即对任意恒成立，
所以，又，当且仅当，即时，等号成立，
故，所以的取值范围是.
故选：C

【题型九】“切线法应用”题型1：直线上点到曲线距离
【典例分析】
已知，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得在函数上，点在函数上，则表示、两点的距离的平方，要求最小值，先求的最小值，当过的点切线与直线平行时，点到直线的距离即为的最小值，利用导数求出切点坐标，最后利用点到直线的距离公式计算可得；
【详解】解：由，则点在函数上，
，则点在函数上，
则表示、两点的距离的平方，
要求的最小值，即求的最小值，
当过的点切线与直线平行时，点到直线的距离即为的最小值，
由可得，所以，解得，
所以，即，
所以到的距离，即，
所以的最小值为；
故选：C


【提分秘籍】
基本规律
直线与曲线最短距离，方法主要是“切线平行法”

【变式演练】
1.曲线上到直线的距离为的点的个数为（       ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】设曲线上的点坐标为，根据点到直线的距离公式得出关于的方程式，根据“三个等价”从函数图象的角度得出交点个数，进而得出结论.
【详解】设曲线上的点坐标为，点到直线的距离为，
即：，化简得：，令，求导得：
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
，又，，使；，使；
对于函数，则有：，单调递减；，单调递增；
，单调递减；，单调递增；又，
与直线有两个交点，
曲线上到直线的距离为的点的个数为个.故选：C.
2.曲线上的点到直线的最短距离是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求曲线的切线方程，再求两平行线间距离.
【详解】

如图所示，设曲线上一点，且在该点处切线斜率为，
，所以斜率，解得，故切点为，切线方程为，即，
两直线间距离为，故选：B.
3.已知实数a，b，c，d满足：，其中e是自然对数的底数，则的最小值是（       ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】由a，b，c，d满足：，得到点在曲线上，点在上，从而得到的几何意义就是曲线上的任一点到上的任一点的距离的平方.利用导数求出就是两曲线间距离的最小值，即可求出的最小值.
【详解】因为实数a，b，c，d满足：，
所以，.
所以点在曲线上，点在上.
所以的几何意义就是曲线上的任一点到上的任一点的距离的平方.
由几何意义可知，当的某一条切线与平行时，两平行线间距离最小.
设在点处的切线与平行，则有：
，解得：，即切点为.
此时到直线的距离为就是两曲线间距离的最小值，
所以的最小值为.故选：B


【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值
【典例分析】
设P为曲线上一点，Q为曲线上一点，则|PQ|的最小值为（       ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由导数求出两曲线的切线
【详解】，，时，，，所以是图象的一条切线，切点为，
，，时，，，所以是的图象的一条切线，切点为，
，
这两条切线平行，两切点连线恰好与切线垂直，
|PQ|的最小值即为两切点间的距离．
所以，故选：C．

【提分秘籍】
基本规律
两曲线最短距离数学思想，可以借鉴如下“双飞燕”思维图


【变式演练】
1.已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若P，Q分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．
【答案】
【分析】整体代换求解直线的解析式，利用导数的几何意义求解函数的图象上到直线距离最短的点，即为点，即可求解两点间的最短距离.
【详解】解：令，则，，．
因为与关于直线对称，
所以函数与函数关于直线对称，
所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，
函数在点处的切线斜率为，
令得，，，
所以点P到直线距离的最小值为，
所以这两点之间距离的最小值为．
故答案为：.
2.已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝___．
【答案】
【分析】根据两点间距离公式，结合导数的性质和导数的几何意义进行求解即可.
【详解】设，所以，
设，，
当时，，，所以单调递增，
当时，，，
所以单调递减，
当时，函数有最小值，即有最小值，所以，
此时直线OP的方程为，设直线与曲线相切于点，
由，显然在直线上，
则，因此有，
故答案为：
3.若，则的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
原题等价于函数上的点与函数上的点间的距离最小值的平方，结合两个函数关于对称，将其转化为函数与的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可.
【详解】
由题意可转化为点与点间的距离最小值的平方，
点A在函数上，点B在函数上，这两个函数关于对称，
所以转化为函数与的距离的最小值2倍的平方，
此时，∴斜率为1的切线方程为，它与的距离为.
故原式的最小值为2.故选：B.




【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参
【典例分析】
已知函数，若关于的不等式（是自然对数的底数）在上恒成立，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数图像处理恒成立问题.
【详解】在上恒成立，等价于的图像恒在
直线的上方，画出的
图像：

直线恒过定点，当直线
与，相切时，设切点，求导
得，可得，由，
解得，则切线的斜率为2.当直线与
，相切时，直线与半圆
相切，由，解得，
由图可知，的取值范围是.故A，B，C错误.
故选：D.

【提分秘籍】
基本规律


【变式演练】
1.已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，令，得：，令，，问题的斜率大于过的的切线的斜率即可，求出切线的斜率，解关于的不等式即可．
【详解】解：，，若函数在上有最小值，
即在先递减再递增，即在先小于0，再大于0，令，得，
令，，只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，
设切点是，，则切线方程是：，将代入切线方程得：，
故切点是，切线的斜率是1，只需即可，解得，即，故选：D．
2.已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.
【详解】因为，所以，
因为曲线在M处的切线的倾斜角，所以对于任意的恒成立，
即对任意恒成立，即，又，当且仅当，
即时，等号成立，故，所以a的取值范围是．故选：D．
3.若曲线过点的切线恒在函数的图象的上方，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先求出切线方程，根据题意有恒成立，参变分离后恒成立，所以.
【详解】设曲线过点的切线的切点为，
则切线的斜率，
所以，，切线方程为，
所以恒成立，
所以恒成立，
令，则
因为当，，，，
所以为的极小值点，又因为时，，
所以，所以.
故答案为：.


【题型十二】“切线法应用”题型4：零点（交点）求参
【典例分析】
若函数有3个零点，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】函数有3个零点，等价于函数与函数的图象有3个交点，利用导数求得两函数相切时的a值，再利用数形结合即可求得实数的取值范围
【详解】令，得，
所以函数有3个零点，
等价于函数与函数的图象有3个交点，
作出函数的图象，函数的图象恒过点，
当时，显然函数与函数的图象仅有2个交点，不符合题意；
当时，当直线与曲线相切时，
不妨设切点坐标为，则曲线在切点处的切线斜率，又因为切点也在直线上，
所以，解得，则切点为，此时，
所以若函数与函数的图像仅有3个交点，则；根据函数图象的对称性，
当时，若函数与函数的图象仅有3个交点，则．
综上所述，实数的取值范围是．故选：D．


【提分秘籍】
基本规律
零点思维：
1.分参，水平线法
2.分离函数，切线法
3.移项到一侧求导讨论法

【变式演练】
1.已知函数，若函数恰有三个零点，则实数m的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
答案】A
【分析】问题转化为函数的图象与直线有三个交点，作出函数图象和直线，求出图象中直线在位置时值，兩图象得参数范围．
【详解】恰有三个零点，则有三个不同的实解，
即函数的图象与直线有三个交点，
如图，作出函数的图象，作直线，
平移直线到的位置，它与相切，此时，由，，（舍去），
又时，，即切点为，　由得，
平移直线到的位置，它与（）相切，此时，由得，，即切点为，由得，平移直线到的位置，它过原点，，，
由图象可知当或时的图象与直线有三个不同的交点．
故选：A
2.已知函数，.若的图象与轴有且仅有两个交点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将的图象与轴有且仅有两个交点，转化为函数与的图象在上有且仅有两个交点，再利用数形结合去求解实数的取值范围.
【详解】，的图象与轴有且仅有两个交点，
等价于函数与的图象在上有且仅有两个交点.
当直线与的图象相切时，
令，得，即切点为，此时；
当的图象过点时，，
所以要使函数与的图象在上有且仅有两个交点，
则需.

故选：D.
3.函数，，若函数与的图象有三个交点，则实数k的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函数，根据过定点（3，0），求得与相切的直线为l的斜率即可.
【详解】解：作出函数的图象，如图所示：
与相切的直线为l，且切点为，
因为，所以切线的斜率为，则切线方程为，
因为过定点，且在切线上，代入切线方程求得（舍去），
所以切线的斜率为，因为函数与的图象有三个交点，
由图象知：实数k的取值范围为，故选：D


【题型十三】“切线法应用”题型5：等式（不等式）整数解求参
【典例分析】
已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将问题化为有且只有两个整数解，利用导数研究的性质，并画出与的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求k的范围.
【详解】由题设，定义域为，则可得，
令，则，
所以时，即递增，值域为；
时，即递减，值域为；
而恒过，函数图象如下：

要使有且只有两个整数解，则与必有两个交点，
若交点的横坐标为，则，
所以，即.故选：C

【变式演练】
1.已知函数，若有且仅有两个正整数，使得成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将转化为，再分别求导分析和的图象，再分别求得，，到的斜率，分析临界情况即可
【详解】由且，得，设，，
，已知函数在（0，2）上单调递增，在上单调递减，
函数的图象过点，，，，结合图象，因为，所以．
故选：C
2.．已知不等式的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，设，进而通过数形结合求得答案.
【详解】由可得：，设，，时，，单调递增，时，，单调递减，则当时函数取得最大值，如示意图：

由图可知，当时，整数解超过了2个，不满足题意；当时，需满足得：．
故选择：D．
3.
若关于x的不等式（其中），有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定不等式，构造函数和，作出函数图象，结合图象分析求解作答.
【详解】由不等式（），令，，
，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，且当时，恒有，
函数，表示恒过定点，斜率为的直线，
在同一坐标系内作出函数的图象和直线，如图，

因不等式（）有且只有两个整数解，观察图象知，-1和0是不等式解集中的两个整数，
于是得g(-1)>f(-1)g(-2)≤f(-2)，即2a>-3e3a≤-5e2，解得，
所以实数a的取值范围是.故选：D

【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等
【典例分析】
已知直线与曲线相交于､两点，若，则下列结论错误的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数法可判断AC，作出图像与可判断BD
【详解】令，则，故时，递增；时，递减，
所以的极大值，且，，因为直线与曲线相交于､两点，
所以与图像有2个交点，所以，，故.
在图像取一点，则直线与曲线交于两点（如图所示），
此时，，综上可知ABC正确，D错误.故选：D.

【变式演练】
1.已知m，n为实数，不等式恒成立，则的最小值为______．
【答案】
【分析】数形结合，将题意转化为一次函数恒在的上方或相切，再分析可得，且当最小时与相切.再设切点列式，可得，再构造函数求导分析最小值即可
【详解】不等式恒成立即恒成立，即一次函数恒在的上方或相切.当时显然与相交，不合题意，故.当一定时，要越小，易得的截距要越小，最小时与相切.此时设切点，则的导数，故，即，故，设，则，令有，易得当时，单调递减；当时，单调递增；故当时，取最小值，故的最小值为

故答案为：
2.若直线l与函数，的图象分别相切于点，，则______.
【答案】
【分析】利用导数科的切线斜率与切线方程，进而可得与的关系，即可求解.
【详解】由，，得，，
则，，即.
曲线在点A处的切线方程为，
曲线在点B处的切线方程为，所以，
可得，整理得.
故答案为：.
3.若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则__________.
【答案】
【分析】
利用导数的几何意义分别求解出在点处的切线方程以及在点处的切线方程，根据两切线重合，求解出之间的关系式，由此可化简计算出的值.
【详解】
的导数为，可得曲线在点处的切线方程为，
的导数为，可得曲线在点处的切线的方程为，
由两条切线重合的条件，可得，且，
则，即有，可得，则.故答案为:


【题型十五】综合应用
【典例分析】

过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导分析的图象可得，再设切点坐标为，由题可得有三根，再构造函数求导分析图象单调性与最值即可
【详解】由，，故当时，，单调递减，且；当时，，单调递增，结合图象易得，过点至多有3条直线与函数的图像相切，故.

此时，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得，存在三条切线即函数有三个不同的根，又，易得在上，，单调递增；在和上，，单调递减，画出图象可得当，即时符合题意

故选：B

【变式演练】
1.
已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．
【详解】解：作出函数的图象如图：

依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点，
因为必过，且，
若时，方程不可能有三个实数解，则必有，
当直线与在时相切时，
设切点坐标为，则，即，
则切线方程为，
即，
切线方程为，
且，则，所以，
即当时与在上有且仅有一个交点，
要使方程有且仅有三个的实数解，
则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即，
所以，
故选：B

2.已知函数，，若存在使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用，把问题转化为与在有交点，利用数形结合进行分析，即可求解
【详解】

，所以，，即与在有交点，
分情况讨论：
①直线过点，即，得；②直线与相切，设切点为，得，切点为，故实数a的取值范围是故选：B
3.已知方程有且仅有两个不同的实数解，，则以下有关两根关系的结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
方程有且仅有两个不同的实数解，等价于的图象有且仅有两个不同的交点（原点除外），数形结合可得与相切时符合题意，根据导数的几何意义以及直线的斜率公式可得结果.
【详解】

方程有且仅有两个不同的实数解，
等价于有且仅有两个不同的实数解，
即，有且仅有两个不同的交点（原点除外）.
画图，的图象.
由图可知，与相切时符合题意，
设，
因为，所以为切点横坐标，且是直线与的交点横坐标，
因为切线过原点，所以切线斜率，
所以，故选A.



1.若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）
A． B．
C． D．
2021年全国新高考I卷数学试题
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.
2.若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（       ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
3.函数的图像在点处的切线方程为（       ）
A． B．
C． D．
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
【答案】B
【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
4.曲线在点处的切线方程为__________．
2021年全国高考甲卷数学（理）试题
【答案】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
5.曲线在点处的切线方程为__________.
2019年天津市高考数学试卷（文科）
【答案】
【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．
【详解】，
当时其值为，
故所求的切线方程为，即．
6.已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】详解：
，
将代入得，故选D．
7.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷）
【答案】D
【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
详解：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
8.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
2019年江苏省高考数学试卷
【答案】4.
【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.
由，得，，
即切点，
则切点Q到直线的距离为，
故答案为．
9.在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
2019年江苏省高考数学试卷
【答案】.
【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.
【详解】设点，则.又，
当时，，
点A在曲线上的切线为，
即，
代入点，得，
即，
考查函数，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为.
10.设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P­2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)
2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）
【答案】A
【详解】试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即．分别令得又与的交点为，故选A．
11.已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
2021年全国新高考II卷数学试题
【答案】
【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：



1.函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求导数，利用导数的几何意义可求答案.
【详解】函数存在与直线平行的切线，即在上有解，
而，所以，因为，所以，所以．
所以的取值范围是．
当直线就是的切线时，设切点坐标，
可得，解得．
所以实数的取值范围是：．
故选：B．
2.如图所示，函数的图像在点P处的切线方程是，则的值为（       ）

A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义求解即可
【详解】因为切线方程为：，故，且，故
故选：A
3.曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的横坐标为（       ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】C
【分析】设切点，求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得，即为点的横坐标.
【详解】设切点，的导数为，
可得切线的斜率为，
由切线与直线垂直，
可得，解得或（舍），
所以P的横坐标为，
故选：C
4.已知函数.曲线在点处的切线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先求出，再求出函数的导函数，即可得到，最后利用点斜式求出切线方程；
【详解】解：因为，所以，
所以，，
所以切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，即；
故选：C
5.函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则（       ）
A． B． C． D．.
【答案】D
【分析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在处的切线斜率，再利用二倍角公式和平方关系式得到的值．
【详解】因为，
所以，
当时，，此时，
∴．
故选：D.
6.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（       ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为，
因为，直线的斜率为，
所以，，
所以，
因为
所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值是.
故选：D
7.若过点可作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求函数在切点处的切线方程，在根据条件转化为函数与有3个交点，即可求参数的取值范围.
【详解】，设切点，
所以在点处的切线方程为，因为切线过点，
所以，整理为，
即，设，
，
当时，，当或时，，
所以函数在区间单调递减，在区间和单调递增，
所以函数的极大值是，函数的极小值是，若函数与有3个交点，则，即.
故选：C
8.曲线上的点到直线的最短距离是（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】求出令，得，利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】，令，得，
则点到直线的距离就是所求的最短距离，
即.
故选：D.
9.已知过原点的直线与函数的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】画出函数图象并分别求出和两段图象的切线方程，由交点个数即可求出斜率的范围.
【详解】设过原点与相切的于点，
，则斜率为，此切线方程为，
将原点带入得，即斜率为，当斜率时函数与过原点的直线有两个公共点，
设过原点与相切的于点，
，则斜率为，此切线方程为，
将原点带入得，即斜率为，
当斜率时函数与过原点的直线有两个公共点，故选：B.
10.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则实数所在的区间为（，）（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用导数求出切线的方程，设出与曲线相切的切点，再借助导数的几何意义建立关于a的方程，然后利用零点存在性定理判断作答.
【详解】由求导得：，有，而，因此切线的方程为，
设与曲线相切的切点为，求导得，则，解得，
而，于是有，即，显然，有，
令，，，即函数在上单调递增，
，因此，，使得，显然a是的零点，
所以实数所在的区间为.
故选：C
11.已知函数在处的切线为l，第一象限内的点在切线l上，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出x=1处的导数值，根据点斜式直线方程写出l的方程，从而得出a，b之间的关系，运用基本不等式即可求解.
【详解】函数，
，
，，
由点斜式直线方程得：切线l的方程为， ，
由于点P在直线l上，则且，即，
则
，当且仅当，即时取等号；
故选：C.
12.已知曲线的一条切线为直线，则的最小值为________．
江西省抚州市七校联考2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，设切点为列式，可得，再表达出，根据二次函数的最值求解即可
【详解】设切点为，由题得．由切线方程，可得消去得，
所以，所以当，即时，有最小值，最小值为．
故答案为：
13.若对，关于x的不等式恒成立，则整数m的最小值为___________.
【答案】
【分析】将恒成立问题转化为两个函数的图象位置关系，找到临界点为两个函数相切，然后求出临界处的范围，进而求得的最小整数
【详解】设，，只需保证的图象在的上方即可
易知：在区间上单调递增，且（否则当无限趋近无穷大时，不能成立）
则存在与在某个点处相切，设切点为
可得：化简可得：设，易知在区间上单调递增
可得：，可得：
则，这是与在某个点处相切的范围，当比相切时大，则会在上方，即也满足题意
故的最小整数为
故答案为：2
14.已知，为正实数，若对任意的，都有成立，则的最大值是______．
【答案】
【分析】设过点的直线与曲线切于点，利用导数的几何意义，求出直线的方程，从而只需即可使得恒成，从而，设，利用导数求出其最大值即可.
【详解】设过点的直线与曲线切于点，
因为，所以，所以直线的方程为，
因为直线经过点，所以，得，所以直线的方程为．
故要使对任意的恒成立，只需存在正实数，，
使得，即成立，所以，
设，则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，则，故的最大值为．
故答案为：
15.设函数（）图象在点（1，）处切线为l，则l的倾斜角的最小值是（            ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题先求导后算出函数在处的切线的斜率，然后利用以及基本不等式求最值.
【详解】解：由题意得：
∵
∴函数在处的切线的斜率．
∵，
∴．又，当 时等号成立即.
∴的最大值为，的最小值为，
∴函数在处切线的倾斜角．
故选：D
16..已知函数，，若曲线与的公切线与曲线切于点，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义，可求出函数的切线，又由切线为公切线，故两切线重合，即可求解.
【详解】
设公切线与曲线切于点，则曲线在点处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，
所以，所以.故答案为：2