专题3-5 压轴小题导数技巧：比大小-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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专题3-5 导数技巧：比大小

目录
【题型一】对数函数基础构造1：xlnx型 1
【题型二】对数函数基础构造2：lnx/x型 3
【题型三】指数函数基础构造 5
【题型四】“取对数”法 6
【题型五】指数切线构造： 8
【题型六】对数切线构造 10
【题型七】反比例构造:型 13
【题型八】“零点”构造法 15
【题型九】“跨界”构造：切、弦、指、对构造 16
【题型十】“同构”构造：差、商、积同构 18
【题型十一】泰勒逼近 20
【题型十二】帕德逼近 22
【题型十三】综合 24
二、真题再现 26
三、模拟检测 29




【题型一】对数函数基础构造1：xlnx型
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）已知，且，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，根据单调性即可确定的大小.
【详解】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以.
故选：A.

【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，，求其单调性，从而判断，，的大小关系.
【详解】构造，，
，
在时为减函数，且，
所以在恒成立，故在上单调递减，
所以，即，所以，即.
故选：D
2.（2022·四川宜宾·二模（文））已知，则的大小关系为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先构造函数，求导确定函数单调性，即可判断的大小.
【详解】令，则，
显然当时，是减函数且，故是减函数，
，即，
可得，即.
故选：A.
3.（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））设，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用函数的导数讨论函数的单调性.
【详解】令 ，，
则，
所以在上单调递增 ，
所以，即，
所以， 故选：D



【题型二】对数函数基础构造2：lnx/x型
【典例分析】
(2022·全国·模拟预测）已知，有以下结论：①；②；③；④，则其中正确的个数是（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】构造，，利用导函数得到其单调性，从而比较出①，②，在①的基础上得到④的正误，根据的单调性及④得到③的正误..
【详解】设，，则在上恒成立，所以在上单调递增，
因为，所以，即，因为单调递增，所以，①正确；
，即， 因为单调递增，所以，②错误；
因为，所以，④正确；因为单调递增，
所以，所以，③正确.
故选：C


【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习），则a，b，c的大小顺序为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.
【详解】令，则，，，
而且，即时单调增，时单调减，又，∴，.
若有两个解，则，，即，，
令，则，即在上递增，
∴，即在上，，若即，故，有
∴当时，，故，
综上：.故选：A
2.（2022·湖北·宜都二中高三开学考试）已知，则的大小关系是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令，利用导数判断在上的单调性，即可得的大小关系.
【详解】令，可得，
当时，恒成立，所以在上单调递减，所以，
即，可得，，所以，，
所以，，即，.所以.故选：B.
3.（2022·全国·高三专题练习（理））设，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于，所以构造函数，利用导数判断其为减函数，从而可比较出，进而可比较出的大小，同理可比较出的大小，即可得答案
【详解】∵，构造函数，，
令，则，
∴在上单减，∴，故，
∴在上单减，∴，∴∴.∴，
同理可得，，故，故选：A



【题型三】指数函数基础构造
【典例分析】
设正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
福建省福州格致中学2022届高三10月月考数学试题
【答案】B
【分析】
通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，并判断的范围，通过变形得，得的大小关系，再直接解方程求的范围，最后三个数比较大小.
【详解】
设，时，恒成立，在单调递增，时，，而，所以，，故，即，而，所以．故选：B

【变式演练】
1.已知.满足.则，，的大小关系为（ ）.
A． B． C． D．
2020届湖北省高三下学期5月高考模拟调研考试理科数学试题
【答案】A
【分析】
根据指数函数值域可确定，；构造函数，利用导数可知在上单调递减，利用可知，由此可得结果.
【详解】
，，，，，，
，，；
，，，
令，则，
当时，，，，在上单调递减，
，即，，.故选：.
2.已知，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不确定
【答案】C
【分析】
令，结合题意可知，进而有，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解
【详解】
令，则当时，，当时，；
由，得考虑到得，

由，得，即故选：C
3.已知实数，，，(e为自然对数的底数)则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知实数的形式构造函数，即有，利用导数研究的单调性，再比较对应函数值的大小即可.
【详解】
由题意，令，则，
而，所以时，即在上单调递增，
∴，即，
故选：A

【题型四】“取对数”法
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对，，取对数，探求它们的结构特征，构造函数()，借助导数判断单调性即可作答.
【详解】对，，取对数得：，，，
令()，，
令，，即在上单调递增，
由得，，于是得，又，
因此，，即在上单调递增，从而得，
即，，所以.
故选：B
【变式演练】
1.（2021·全国·高三专题练习）已知实数，且，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将已知的等式两边取对数可得，，.设函数，求导，分析导函数的正负，得出所令函数的单调性，由此可得选项．
【详解】由，，得，，，因此，，.
设函数，则，，，
，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，又，
所以，故选：A.
2.（2022·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，可得，从而可得，再由在上单调递增，即可得出选项.
【详解】构造函数，则，
当时，，故在上单调递减，
所以，所以，所以，，
因为在上单调递增，所以，同理，
所以，故选：B
3.已知，，设，，，找出这三个数大小关系_________
【答案】
【分析】
把用换底公式变形，已知不等关系及，也取对数后，可把与中间值比较大小，从而得出结论．
【详解】
由已知，，，
又，则，∴，
，则，，
又，∴，，
而，∴，，
综上有．故答案为：．


【题型五】指数切线构造：
【典例分析】
（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））设a＝，b＝ln1.01，c＝，则（       ）
A．abc B．bca C．bac D．cab
【答案】A
【分析】观察式子的结构，进而设，然后构造函数，随即通过求解函数的单调性得到答案.
【详解】设，所以，
设，则，所以在（1，+∞）单调递增，
所以…①，所以…②，
由①，…③，
由②，…④，
由②④，，则c>b，
由③，b>a，所以c>b>a.
故选：A.

【提分秘籍】
基本规律
指数和对数切线放缩法基础图


【变式演练】
1.（2022·河南·模拟预测（理））已知，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，，利用导数研究函数的单调性，得出，的单调性，得出，令，可得出，再由得出的，令，得出，从而得出结果．
【详解】解：先证，令，则，
可知在上单调递增，所以，即，
令，则，所以；
再证即证，
令，则，
所以在上单调递增，所以，即，
令，则，所以，从而．
故选：C.
2.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数可求得，；分别代入和，整理可得的大小关系.
【详解】令，则，在上单调递增，，即，，，即；令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
（当且仅当时取等号），，
即（当且仅当时取等号），，即；
综上所述：.故选：D.
3.（2022·全国·高三专题练习）已知，则a，b，c的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先设，利用导数得到，从而得到，设，利用导数得到，从而得到和，即可得到答案.
【详解】设，，令，解得.
，，为减函数，，，为增函数.
所以，即，当且仅当时取等号.所以.
故，即.设，，令，解得.
，，为增函数，，，为减函数.
所以，即，当且仅当时取等号.所以.
所以，又因为，所以.
又因为，所以，
即，综上.故选：B


【题型六】对数切线构造
【典例分析】
（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知且，且，且，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】对已知的等式进行变形，转化成结构一致，从而构造函数，确定构造的函数的性质，得到、、的大小，再根据选项构造函数，借助函数的单调性比较大小即可.
【详解】由已知条件，对于，两边同取对数，则有，即，
同理：；构造函数，
则，，.对其求导得：
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又，，再构造函数，对其求导得：
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
即： 又.故选：A.




【提分秘籍】
基本规律
指数和对数放缩法基础图


【变式演练】
1..（2022·山西运城·高三期末（理））已知，且，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，利用导函数可得函数的单调性，又，，，，即得.
【详解】由题可得，，.
令，则，令，得，
∴时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，

又，，，，
由，可知即，
∴.
故选：C.
2.（2021·四川·双流中学高三阶段练习（理））已知，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件构造函数，探讨函数的单调性，借助单调性进行推理即可得解.
【详解】令函数，则，则有在上单调递减，在上单调递增，
且x趋近于0和趋近于正无穷大时，值都趋近于正无穷大，
由得，，即，且，
显然，若，而在上单调递增，由必有与矛盾，因此得，
同理，由得，且，并且有，
由得，且，并且有，
显然有，于是得，又在上单调递减，
所以.故选：A
3.（2022·全国·高三专题练习）已知是自然对数的底数，设，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先设，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，设利用导数判断，放缩，再设函数，利用导数判断单调性，得，再比较的大小，即可得到结果.
【详解】设，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
，时，，即，
设，，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，即恒成立，
即，
令，，时，，单调递减，时，，单调递增，时，函数取得最小值，即，
得：，那么，
即，即，
综上可知故选：A


【题型七】反比例构造:型
【典例分析】
（2022·江苏·金陵中学二模）设，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围，利用基本不等式判断的范围，构造新函数并利用导数讨论函数的单调性求出的范围，进而得出结果.
【详解】由，得，即，所以，
所以，则，即；由，即；设，则，所以在上单调递增，且，
所以当时，即，当时，即，
又，则，所以，即，
综上，.故选：A

【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数可得，进而可得，可得，再利用函数，可得，即得.
【详解】令，则，
∴在上单调递增，
∴，
，，
∵，
∴，故，
设，则，
所以函数在上单调递增，
由，所以时，，即，
∴，
又，∴，故.
故选：B.
2.（2022·江西·模拟预测（理））设，，，则，，的大小顺序为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，得到正确答案.
【详解】因为，，构造函数，
则，，，，在上递增，在上递减.则有最大，即，.若有两个解，则，所以所以即,
令，则，故在上单增,所以，
即在上，.若，则有，即.
故，所以.当时，有，故
所以.综上所述：.
故选：A


【题型八】“零点”构造法
【典例分析】
（2022·广东广州·高三开学考试）设，，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察4个数易得均与0.1有关，故考虑，，，在时的大小关系，故利用作差法，分别构造相减的函数判断单调性以及与0的大小关系即可.
【详解】设，，，，易得.
设，则令有，故在上单调递增.
①因为，即，故，即，故，即.
②设，则，设，则.
设，则，故为增函数，故，即.
故，当时， 为增函数，故，故当时为增函数，故，故.
③设，，易得当时，故，即.
综上
故选：B
【变式演练】
1.．（2020·北海市北海中学高三）已知＝，＝，满足，则下列各选项正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数在上单调递增，所以；
；因为满足，即是方程的实数根，所以是函数的零点，函数f(x)在定义域内是减函数，因为，，所以函数有唯一零点，即.所以.


【题型九】“跨界”构造：切、弦、指、对构造
【典例分析】
（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知，其中为自然对数的底数，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】观察，发现都含有，把换成，自变量在或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较的大小.
【详解】令，，
令，，
当时，，单调递增，
又，所以，又，
所以，在成立，所以即，
令，，在为减函数，所以，即，
令，，在为减函数，所以，即，
所以，成立，
令，则上式变为，所以
所以，
所以.
故答案为：B.

【提分秘籍】
基本规律
比较难，需要结合数据寻找合适的构造函数。

【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）设，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以．
设，则，令，则．
当时，，，，所以，所以当时，，
所以在上单调递
2.（2022·四川·广安二中模拟预测（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造，，求导研究其单调性，判断出D选项，利用同角三角函数关系得到AB选项，构造差函数，得到，从而判断出C选项.
【详解】构造，，则恒成立，则，
当时，，，
当时，，
所以在单调递增，在单调递减，因为，所以，，
又，所以，D错误，
因为，所以，，
所以，所以，A错误，B正确.
令，则，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，，即，因为，
所以。因为，所以，因为在在单调递减，
所以，即
因为在上单调递减，
所以，C错误
故选：B
3.（2022·吉林一中高三阶段练习（理））设，，，则，，的大小关系正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由于，，，所以只要比较的大小即可，然后分别构造函数，，判断出其单调性，利用其单调性比较大小即可
【详解】因为，，，
所以只要比较的大小即可，
令，则，所以在 上递增，
所以，所以，
所以，即，
令，则，
因为在上为减函数，且，
所以当时，，
所以在上为减函数，
因为，，
要比较与的大小，只要比较与的大小，
令，则，
所以在上递增，所以，
所以当时，，所以，
所以，所以，
所以当时，，
所以在上递增，
所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，故选：D

【题型十】“同构”构造：差、商、积同构
【典例分析】
（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知，，，则，，的大小关系是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】观察a,b,c的结构，进而变形为，，，然后通过构造函数，利用导数得出函数的单调性，最后比较出大小.
【详解】由题意，，，，
构造函数，则，
所以函数在上单调递减，所以，即.
故选：C.


【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（        ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数以及函数，分别利用导数研究其单调性，进而根据单调性比较函数值的大小.
【详解】令，，
当时，，，，单调递增，
，即，，即，
令，
，
令，
令，，
当时，，单调递增，

在上单调递减，，
，在上单调递减，
，即，
综上：.故选：D.
2.（2022·山东枣庄·高三期末）已知，则（       ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式及正切函数性质比较a，b；构造函数，借助函数单调性比较b，c判断作答.
【详解】因，且在上单调递增，则，即，
令，可得，而在上递减，
当时，，则，
即，则在上单调递增，
当时，，即，又，则，
所以.故选：D
3.（2022·重庆·三模）已知，，，则，，的大小关系正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作差法比较出，构造函数，利用函数单调性比较出，从而得出.
【详解】，所以，故，又，则在上单调递减，又，，所以存在，使得，且在时，，在时，，即在上单调递增，在单调递减，且，所以，又因为，所以当时，，其中因为，所以，所以，故，即.
故选：B

【题型十一】泰勒逼近
【典例分析】
（2022·全国·高考真题（理））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可利用泰勒逼近估算来进行比大小
【详解】解：根据题意，设则得
所以对这三个函数在x=0处进行四阶泰勒展开，得：

当x=1/4 时。
，故选：A


【提分秘籍】
基本规律
几个常用的泰勒展开








【变式演练】
1.（2022·全国·高考真题）设，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用泰勒展开来数值逼近比大小
设
当x=0.1时，显然
2.（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用泰勒展开来数值逼近比大小
【详解】因为1.012>1.02，所以b