专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练(全国通用)
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一、热点题型归纳
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17164" 【题型一】正余弦定理 PAGEREF _Tc17164 2
\l "_Tc30645" 【题型二】求角 PAGEREF _Tc30645 3
\l "_Tc2355" 【题型三】判断三角形形状3
\l "_Tc8506" 【题型四】面积与最值4
\l "_Tc8910" 【题型五】周长与最值5
\l "_Tc29573" 【题型六】角的最值5
\l "_Tc10682" 【题型七】最值6
\l "_Tc21503" 【题型八】切弦互化求最值7
\l "_Tc23726" 【题型九】解三角形应用题8
\l "_Tc8598" 二、真题再现9
\l "_Tc5555" 三、模拟检测 PAGEREF _Tc5555 11
正余弦定理
(1)正弦定理:eq \f(a,sin A)=eq \f(b,sin B)=eq \f(c,sin C)=2R,其中R为 外接圆半径 ;
注意:正弦定理变式与性质:
①边化正弦:a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C;②正弦化边:sin A=eq \f(a,2R),sin B=eq \f(b,2R),sin C=eq \f(c,2R);
③a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C;④eq \f(a+b+c,sin A+sin B+sin C)= 2R ;
(2)余弦定理:①a2=b2+c2-2bccs_A;②b2=c2+a2-2cacs_B;③c2=a2+b2-2abcs_C
注意:变式:①cs A=eq \f(b2+c2-a2,2bc);②cs B=eq \f(c2+a2-b2,2ac);③cs C=eq \f(a2+b2-c2,2ab)
(3)三角形面积 :①S△ABC=eq \f(1,2)absin C=eq \f(1,2)bcsin A=eq \f(1,2)acsin B=eq \f(abc,4R) ②S△ABC=eq \f(1,2)(a+b+c)·r(r是切圆的半径)
三角形中:
①sin(A+B)=sinC,cs(A+B)=-csC;
②sin eq \f(A+B,2)=cs eq \f(C,2), cseq \f(A+B,2)=sineq \f(C,2);
③三角形中,任何一个角的正弦值恒大于0;
④a>b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔csA<csB.
【题型一】正余弦定理
【典例分析】
(2022·上海市松江一中高三阶段练习)在中,、、分别是角、、所对的边,是、的等差中项,则与的大小关系是( )
A.B.C.D.
【变式演练】
1..(2022·江西·丰城九中高三开学考试(文))已知的三个内角,,的对边分别为,,,且,则( )
A.B.C.D.
2.(2023·全国·高三专题练习)在中,,则的可能取值为( )
A.B.C.D.
【题型二】求角
【典例分析】
(2022·山西吕梁·三模(文))在中,内角的对边分别为,若,则( )
A.B.C.D.
【变式演练】
1.(2022·全国·高三专题练习)已知在中,,则等于( )
A.B.C.或D.
2.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知,则( )
A.B.C.D.1
3.(2023·全国·高三专题练习)已知的内角的对边分别为,设,,则 ( )
A.B.C.D.
【题型三】判断三角形形状
【典例分析】
(2023·全国·高三专题练习)在中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若且,则是( )
A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形
【变式演练】
1..(2021·广东·高三阶段练习)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且,若,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形
2.(2023·全国·高三专题练习)在中,角、、的对边分别为、、,若,,则是( )
A.钝角三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
3.(2023·全国·高三专题练习)已知三角形ABC,则“”是“三角形ABC为钝角三角形”的( )条件.
A.充分而不必要B.必要而不充分
C.充要D.既不充分也不必要
【题型四】面积与最值
【典例分析】
(2021·江苏·高三课时练习)在锐角三角形ABC中,若,且满足关系式,则的面积的最大值为( )
A.B.C.D.
【变式演练】
1.(2020·全国·高三课时练习)在中,内角,,的对边分别为,,,且面积为,则面积的最大值为
A.B.C.D.
2.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则△ABC的面积为时,k的最大值是( )
A.2B.C.4D.
3.(2023·全国·高三专题练习)在中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若,则面积的最大值为( )
A.1B.3C.2D.4
【题型五】周长与最值
【典例分析】
(2022·全国·高三专题练习)在中,角所对的边分别为,若,,则周长的取值范围是( )
A.B.C.D.
【变式演练】
1.在中,角所对的边分别为,若sinA+cs(A+π6)=32,b+c=4,则周长的取值范围是
A.[6,8)B.[6,8]C.[4,6)D.(4,6]
2.(2022·贵州遵义·高三开学考试(文))在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,则△ABC周长的最大值为________.
3.(2022·全国·高三专题练习)在三角形中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则该三角形周长的最大值为___________.
【题型六】角的最值
【典例分析】
(2022·全国·高三专题练习(理)(文))已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2csin C=(a+b)(sin B-sin A),则当角C取得最大值时,B=( )
A.B.C.D.
【变式演练】
1.(2022·安徽淮南·一模(文))在中,内角,,的对边分别为,,,若函数无极值点,则角的最大值是( )
A.B.C.D.
2.(2022·全国·江西师大附中模拟预测(文))在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,则角A的最大值为( )
A.B.C.D.
3.已知锐角△中,角对应的边分别为,△的面积,若, 则的最小值是
A.B.C.D.
【题型七】最值
【典例分析】
在中,角、、的对边分别为、、,已知且,则的最小值为( )
A.B.2C.D.4
【变式演练】
1..锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若2sinA(acsC+ccsA)=3a,则cb的取值范围是( )
A.(12,2)B.(33,233)C.(1,2)D.(32,1)
2.在锐角中,A=2B,则ABAC的取值范围是
A.-1,3B.1,3
C.(2,3)D.1,2
3.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,若,则的取值范围为
A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.D.
【题型八】切弦互化求最值
【典例分析】
中,角的对边长分别为a,b,c,若acsB-bcsA=35c,则tanA-B的
最大值为 ( )
A.B.C.34D.
【变式演练】
1.在中,若,则的取值范围为
A.B.C.D.
2.在中,分别是角的对边,若a2+b2=2014c2,则2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)的值为
A.2013B.1C.0D.2014
3.在中,角、、所对的边分别为、、,若为锐角三角形,且满足,则1tanA-1tanB的取值范围是
A.B.1,2C.233,2D.1,+∞
【题型九】解三角形应用题
【典例分析】
(2022·江苏·高三课时练习)如图,某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练,已知点到墙面的距离为,某目标点沿墙面上的射线移动,此人为了准确瞄准目标点,需计算由点观察点的仰角的大小,若,则的最大值是( ).(仰角为直线与平面所成的角)
A.B.C.D.
【变式演练】
1.(2022·全国·高三课时练习)如图,某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方,为了缓解城市交通压力,现准备修建一条绕城高速公路,并在上分别设置两个出口,若部分为直线段,且要求市中心与AB的距离为20千米,则AB的最短距离为( )
A.千米B.千米
C.D.
2.在一座尖塔的正南方地面某点,测得塔顶的仰角为,又在此尖塔正东方地面某点,测得塔顶的仰角为,且,两点距离为,在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大,则点到塔底的距离为( )
A.B.C.D.
3..某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,如图所示,长方形的周长为4米,沿折叠使到B'位置,AB'交DC于,研究发现,当ΔADP的面积最大时最节能,则最节能时的面积为
A.3-22B.C.2(2-1)D.2
1.(2020·山东·高考真题)在中,内角,,的对边分别是,,,若,且 ,则等于( )
A.3B.C.3或D.-3或
2.(2021·全国·高考真题(文))在中,已知,,,则( )
A.1B.C.D.3
3.(2020·全国·高考真题(文))在△ABC中,csC=,AC=4,BC=3,则tanB=( )
A.B.2C.4D.8
4.(2014·江西·高考真题(文))在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若,则的值为( )
A.B.C.1D.
5.(2020·全国·高考真题(理))在△ABC中,csC=,AC=4,BC=3,则csB=( )
A.B.C.D.
6.(2019·全国·高考真题(文))△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,csA=-,则=
A.6B.5C.4D.3
7.·湖南·高考真题(文))在△ABC中,AC=,BC=2,B =60°,则BC边上的高等于
A.B.C.D.
8.(2018·全国·高考真题(理))的内角的对边分别为,,,若的面积为,则
A.B.C.D.
9.(2022·浙江·高考真题)我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,就是,其中a,b,c是三角形的三边,S是三角形的面积.设某三角形的三边,则该三角形的面积___________.
10.(2022·全国·高考真题(理))已知中,点D在边BC上,.当取得最小值时,________.
11.(2022·上海·高考真题)在△ABC中,,,,则△ABC的外接圆半径为________
12.(2021·全国·高考真题(理))记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,,,则________.
13.(2020·江苏·高考真题)在△ABC中,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是________.
14.(2020·全国·高考真题(理))如图,在三棱锥P–ABC的平面展开图中,AC=1,,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cs∠FCB=______________.
15.(2019·全国·高考真题(文))的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acsB=0,则B=___________.
16.(2019·全国·高考真题(理))的内角的对边分别为.若,则的面积为__________.
1.(2022·江西·模拟预测(文))在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足,,则的值为( )
A.B.C.D.
2.(2021·黑龙江绥化·高三阶段练习(文))已知锐角的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且,则角C的大小为( )
A.B.C.D.
3.(2023·全国·高三专题练习)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则为( )
A.等腰非等边三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等边三角形
4.(2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习(文))的内角A、B、C的对边分别为、、,已知,且,则面积的最大值是( )
A.B.C.2D.
5.(2022·全国·高三专题练习(理))在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=3,,则△ABC的面积与周长之比的取值范围是___________.
6.已知的内角的对边分别为a、b、c,若A=2B,则cb+2ba的取值范围为__________.
7.已知的面积为,,则的最小值为( )
A.B.C.D.
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,tanCtanA+tanCtanB=( )
A.11009B.11008C.12018D.12017
9.如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径为,为圆心,且,在上有一座观赏亭,其中,计划在圆弧上再建一座观赏亭,记,当越大时,游客在观赏亭处的观赏效果越佳,则观赏效果最佳时,( )
A.B.C.D.
10.设锐角的内角所对的边分别为,若,则的取值范围为( )
A.(1,9]B.(3,9]
C.(5,9]D.(7,9]
【提分秘籍】
基本规律
正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下几种:
知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);
知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;
证明化简过程中边角互化;
求三角形外接圆半径.
【提分秘籍】
基本规律
1.构造正余弦定理,特别是余弦定理。
2.要主语三角形中条件,判定是锐角还是钝角。
【提分秘籍】
基本规律
利用正余弦定理判断:
边化角或者角化边,转化为边的勾股或者相等,或者求角度相等(互余)
【提分秘籍】
基本规律
多使用均值不等式来放缩求最值范围
【提分秘籍】
基本规律
注意条件合理的分析转化
1.角与对边型:正弦定理
2.对称边,可以余弦定理+均值不等式
【提分秘籍】
基本规律
注意角度范围与三角形条件之间的限制关系
【提分秘籍】
基本规律
求最值时,涉及到角度范围的限制
钝角或者锐角三角形限制
其他条件限制(如已知某角)
【提分秘籍】
基本规律
解三角形题。对含有正切函数求最值范围,属于较难题型,一般从以下几方面分析:
1.切化弦
2.在三角形中,有
专题4-2 正余弦定理与解三角形小题归类1-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)(解析版): 这是一份专题4-2 正余弦定理与解三角形小题归类1-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)(解析版),共42页。试卷主要包含了热点题型归纳1,最新模考题组练34等内容,欢迎下载使用。
专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类2-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)(解析版): 这是一份专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类2-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)(解析版),共37页。试卷主要包含了热点题型归纳1,最新模考题组练28等内容,欢迎下载使用。
专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类2-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)(原卷版): 这是一份专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类2-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)(原卷版),共11页。试卷主要包含了热点题型归纳1,最新模考题组练9等内容,欢迎下载使用。