专题8-3 立体几何压轴小题：动点与轨迹、距离最值-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题8-3 立体几何压轴小题：动点与轨迹、距离最值

综述：

立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；

立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，空间中轨迹问题的解答思路：

（1）根据已知条件确定和待求点相关的平行、垂直等关系；

（2）用动点的坐标、、z表示相关点的坐标、、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；

（3）根据轨迹形状即可求解出轨迹的长度等其他量.

立体几何最值：

1、计算多面体或旋转体的表面上的最值问题时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；

2、对于几何体内部的折线的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解．

空间中动线段的距离和的最值问题，可以类比平面中的距离和的最值处理利用对称性来处理于转化，另外异面直线间的公垂线段的长度可利用点到平面的距离来处理.计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；

【题型一】线线、线面恒定平行求轨迹

【典例分析】

.如图，三棱柱中，为中点，为上一点，为平面上一点，且平面则点的轨迹的长度为（    ）

A． B．

C． D．

【变式演练】

1．已知棱长为1的正方体，是的中点，动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（    ）

A． B． C． D．

2..如图，在棱长为1的正方体，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点（含边界），若平面，点的轨迹长度为________，三棱锥的体积为________．

3.如图所示四棱锥，底面为直角梯形，，，，，面，平面，则点轨迹长度为________．

【题型二】线线、线面恒定垂直求轨迹

【典例分析】

如图，直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，是 侧面（含边界）上的动点.要使平面， 则线段的长的最大值为（     ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.在正方体中，Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹是（    ）

A．点 B．线段 C．线段 D．平面

2.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，，为的中点，为内的动点(含边界)，且．当在上时，____，点的轨迹的长度为____．

3.如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，与相交于点，是底面内（含边界）的动点，总有，则动点的轨迹的长度为（    ）

A． B．

C． D．

【题型三】翻折中的轨迹

【典例分析】

矩形ABCD中，，E为AB中点，将△ADE沿DE折起至△A'DE，记二面角A'-DE-C=θ，当θ在范围内变化时，点A'的轨迹长度为______________

【变式演练】

1.如图所示，在平行四边形中，为中点，，，.沿着将折起，使到达点的位置，且平面平面.若点为内的动点，且满足，则点的轨迹的长度为___________.

2.已知菱形ABCD的边长为2，.将菱形沿对角线AC折叠成大小为60°的二面角.设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为________.

3.已知矩形中，，，如图，将沿着进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在四边形内部（包含边界），则动点的轨迹长度是（    ）

A． B． C． D．

【题型四】角度恒定求轨迹

【典例分析】

如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（    ）

A．直线 B．抛物线

C．椭圆 D．双曲线的一支

【变式演练】

1.如图，在直三棱柱中，已知是边长为1的等边三角形，，，分别在侧面和侧面内运动（含边界），且满足直线与平面所成的角为30°，点在平面上的射影在内（含边界）．令直线与平面所成的角为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

2.正方体中，，分别为，的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一动点，满足直线 与直线 夹角与直线与直线 的夹角相等，则点所在轨迹为（    ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．抛物线或双曲线

【题型五】阿波罗尼斯圆与球（线段定比）

【典例分析】

在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部的一点，且，则直线与所成角的余弦值的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【变式演练】

1.在长方体中，，，为棱的中点，动点满足，则点的轨迹与长方体的面的交线长等于（    ）

A． B． C． D．

2.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数（且）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：

如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点P满足.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为___________；若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则点M到平面的距离的最小值为___________.

3.在棱长为6的正方体中，点是线段的中点，是正方体（包括边界）上运动，且满足，则点的轨迹周长为________.

【题型六】定长求轨迹

【典例分析】

已知正方体的棱长为4，，分别在直线，上运动，且满足，则的中点的轨迹为（    ）

A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆

【变式演练】

1.已知三棱锥的外接球的半径为，为等腰直角三角形，若顶点到底面的距离为4，且三棱锥的体积为，则满足上述条件的顶点的轨迹长度是______．

2.如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则点在正方形内的轨迹为（    ）

A． B．

C． D．

3.已知正六棱柱的棱长均为，点在棱上运动，点在底面内运动，，为的中点，则动点的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分的体积为（    ）

A． B． C． D．

【题型七】动点：折线最值

【典例分析】

如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的动点，是上的动点，是上的动点，则长度的最小值为（    ）

A．         B．         C．        D．

【变式演练】

1.在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为（    ）

A．3 B． C． D．5

2.在三棱锥中，所有的棱长都相等，E为AB中点，F对AC上一动点，若DF＋FE的最小值为，则该三棱锥的外接球体积为（    ）

A． B． C． D．

3.已知正三棱柱的所有棱长都是2，点M在棱AC上运动，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【题型八】动点：折线倍数转化

【典例分析】

如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．

【变式演练】

1.如图，在长方体中，棱长，，点为线段的中点，，分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

2.．已知正三棱柱底边长为1，侧棱长为2，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为d，则________．

【题型九】动点：两线上点距离

【典例分析】

.如图，在棱长为1的正方体中，，分别是线段，上的点，是直线上的点，满足平面，，且、不是正方体的顶点，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.如图，三棱锥各棱的棱长均为，点是棱的中点，点在棱上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

2.已知正方体的棱长为1，在对角线上取点，在上取点，使得线段平行于对角面，则线段长的最小值为（    ）

A． B．1 C． D．

3.已知三棱锥的所有棱长均为2，点M为边上一动点，若且垂足为N，则线段长的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

【题型十】动点：面上动点

【典例分析】

在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若平面AMN，则PA1的最小值是（    ）

A．1 B． C． D．

【变式演练】

1.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为BC的中点．当点M在平面DCC1D1内运动时，有MN//平面A1BD则线段MN的最小值为（     ）

A．1 B． C． D．

2.在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，动点在正方形包括边界内运动若∥平面，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

3.在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点是底面内一动点，且，则，两点间距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【题型十一】动点最值：周长最值

【典例分析】

如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面与侧棱相交于，则△的周长的最小值为（    ）

A．        B．          C．             D．

【变式演练】

1.如图，S﹣ABC是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，三角形BEF的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（　　）

A．30° B．60° C．20° D．90°

2.如图，棱长为3的正方体中，为面内的一个动点，、分别为的三等分点，则的周长的最小值为（    ）

A． B． C． D．

3.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，、分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【题型十二】动点最值：面积最值

【典例分析】

已知正方体的棱长为，M为的中点，点N在侧面内，若，则面积的最小值为（    ）

A． B． C．5 D．25

【变式演练】

1..已知正方体外接球的表面积为，正方体外接球的表面积为，若这两个正方体的所有棱长之和为，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

2.在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是(      )

A． B． C． D．

1．如图，正方体的棱长为，动点、在棱上，动点，分别在棱，上，若，，，（，，大于零），则四面体的体积（   ）．

A．与，，都有关 B．与有关，与，无关

C．与有关，与，无关 D．与有关，与，无关

2．已知矩形．将沿矩形的对角线 所在的直线进行翻折，在翻折过程中

A．存在某个位置，使得直线与直线 垂直

B．存在某个位置，使得直线与直线 垂直

C．存在某个位置，使得直线与直线 垂直

D．对任意位置，三对直线“与 ”，“与 ”，“与 ”均不垂直

3．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是

A． B．

C． D．

4．如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α,β,γ，则

A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α

5．在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是

A．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为

B．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为

C．若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为

D．若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为

6．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则的最大值为

A．  B．  C．4 D．

7．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

8．如图，正方体的棱长为1，线段 上有两个动点E、F，且 ，则下列结论中错误的是

A．

B．

C．三棱锥的体积为定值

D．

9．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为

A． B． C． D．

10．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ）

A． B． C． D．

11．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是____.

12．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦的长度分别等于、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为_________．

13．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是         .

14．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______．

1.如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（　　）

333

A．a B．a C． D．

2..如图，定点A，B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且，则动点C在平面内的轨迹是（    ）

A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点

C．一段弧，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点

3.如图，等腰梯形中，，，，，沿着把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．当边长变化时，点的轨迹长度为（    ）

A． B． C． D．

4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（    ）

A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

5..长方体中，，，点满足，其中，.若，则三棱锥的体积为__________；若为的中点，且，则点的轨迹与长方体的侧面的交线长为__________.

6.四棱锥P﹣OABC中，底面OABC是正方形，OP⊥OA，OA＝OP＝a．D是棱OP上的一动点，E是正方形OABC内一动点，DE的中点为Q，当DE＝a时，Q的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a的值是（    ）

A． B． C． D．6

7.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（   ）

A．     B．     C．     D．

8.如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和 棱 上任意一点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

9.正四面体的棱长为a，动点P与Q分别在AB和CD上，则P与Q两点间的距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

10.已知正方体的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点，E、F分别是棱、棱的中点．若平面BEF，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

11.如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

12.．已知正方体的棱长为2，为的中点，点在侧面内，若．则面积的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．5