2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为( )
A. B.
C. D.
2. 点A(1,2)关于原点对称的点的坐标为( )
A. (−1,−2)B. (−1,2)C. (1,−2)D. (2,1)
3. 二次函数y=x2+2的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为( )
A. y=x2+3B. y=(x−1)2+2C. y=x2+1D. y=(x+1)2+2
4. 如图，已知正方形ABCD，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，点C与⊙A的位置关系为( )
A. 点C在⊙A外B. 点C在⊙A内C. 点C在⊙A上D. 无法确定
5. 若点M(0,5)，N(2,5)在抛物线y=2(x−m)2+3上，则m的值为( )
A. 2B. 1C. 0D. −1
6. 勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心O旋转一定角度a后能与自身重合，则该角度a可以为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
7. 如图，过点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC.过BC上一点D作⊙O的切线，交AB，AC于点E，F.若∠A=90°，△AEF的周长为4，则BC的长为( )
A. 2B. 22C. 4D. 42
8. 遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从F口驶出的概率是( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 二次函数y=x2−4x+3的图象与y轴的交点坐标为_ __．
10. 半径为3，圆心角120度的扇形面积为 ．
11. 如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为 ．
12. 关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ．
13. 二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则ab 0(填“>”“<”或“=”)．
14. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥AB于点E，若⊙O的半径为2，∠ACB=45°，则OE= ．
15. 对于二次函数y=ax2+bx+c，y与x的部分对应值如表所示．x在某一范围内，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的x的取值范围 ．
16. 如图，AB，AC，AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若AB=2，下面四个结论中，①该圆的半径为2；②AC的长为π2；③AC 平分∠BAD；④连接BC，CD，则△ABC与△ACD的面积比为1：3，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
解方程：x2−2x=6．
18. (本小题5.0分)
已知抛物线y=2x2+bx+c过点(1,3)和(0,4)，求该抛物线的解析式．
19. (本小题5.0分)
已知a为方程2x2−3x−1=0的一个根，求代数式(a+1)(a−1)+3a(a−2)的值．
20. (本小题5.0分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD.若∠A=50°，求∠B的度数．
21. (本小题6.0分)
为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练．
(1)小明抽到甲训练场的概率为____；
(2)用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率．
22. (本小题5.0分)
已知：如图，AP是⊙O的切线，A为切点．
求作：⊙O的另一条切线PB，B为切点．
作法：以P为圆心，PA长为半径画弧，交⊙O于点B；
作直线PB．
直线PB即为所求．
(1)根据上面的作法，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面证明过程．
证明：连接OA，OB，OP．
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA．
∴∠PAO=90°．
在△PAO与△PBO中，
PA=PBOP=OP( )
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO=∠PBO=90°．
∴OB⊥PB于点B．
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线( ____)(填推理的依据)．
23. (本小题5.0分)
紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及，使用方法如图1.当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，⊙O为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在⊙O上，直线l过点O，且l⊥AB于点D，交⊙O于点C.若AB=30mm，CD=5mm，求这个紫砂壶的壶口半径r的长．
24. (本小题6.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l于点D．
(1)求证：BC 平分∠ABD；
(2)连接OD，若∠ABD=60°，CD=3，求OD的长．
25. (本小题6.0分)
学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场入口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字(如图1)，其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．
(1)请在图2中建立平面直角坐标系xOy，并求出该抛物线的解析式；
(2)“技”与“之”的水平距离为2a米．小明想同时达到如下两个设计效果：
①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；
②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．
小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a的值；若不能实现，请说明理由．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1过点(2,1)．
(1)求b(用含a的式子表示)；
(2)抛物线过点M(−2,m)，N(1,n)，P(3,p)，
①判断：(m−1)(n−1)____0(填“>”“<”或“=”)；
②若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围．
27. (本小题7.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．D是AB边上一点，DE⊥AC交CA的延长线于点E．
(1)用等式表示AD与AE的数量关系，并证明；
(2)连接BE，延长BE至F，使EF=BE.连接DC，CF，DF．
①依题意补全图形；
②判断△DCF的形状，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．
(1)已知A(3,0)，B(5,0)，
①在点P1(6,0)，P2(1,−2)，P3(3,2)中，线段AB的融合点是____；
②若直线y=t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；
(2)已知⊙O的半径为4，A(a,0)，B(a+1,0)，直线l过点T(0,−1)，记线段AB关于l的对称线段为
AˈBˈ.若对于实数a，存在直线l，使得⊙O上有AˈBˈ的融合点，直接写出a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．

2.【答案】A
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标特征判断即可．
【解答】解：点A(1,2)关于原点对称的点的坐标是(−1,−2)．
故选：A．

3.【答案】D
【解析】
【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：∵y=x2+2，
∴将二次函数y=x2+2的图象在平面直角坐标系中向左平移1个单位长度所得函数解析式为：
y=(x+1)2+2，
故选：D．

4.【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质得到AC=2AB>AB，于是得到结论．
【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC=2AB>AB，
∴点C在⊙A外，
故选：A．

5.【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的对称性即可求解．
【解答】解：因为点M(0,5)，N(2,5)的纵坐标相同，都是5，
所以对称轴为直线x=m=0+22=1，
故m的值为1．
故选：B．

6.【答案】C
【解析】
【分析】由于△ABC是等边三角形，那么∠AOB=∠BOC=∠COA，所以要使等边三角形旋转后与自身重合，那么它们就是旋转角，而它们的和为360°，由此即可求出绕中心旋转的角度．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=∠COA，
∵它们都是旋转角，而它们的和为360°，
∴将该勒洛三角形绕其中心O旋转360°÷3=120°后能与自身重合．
故选：C．

7.【答案】B
【解析】
【分析】根据切线长定理得到AC=AB，再根据切线长定理、三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AB、AC为⊙O的切线，
∴AC=AB，
∵FD、FC为⊙O的切线，
∴FD=FC，
同理，ED=EB，
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=4，
∴AC=AB=2，
∴BC=2AB=22．
故选：B．

8.【答案】B
【解析】
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中该赛车从F口驶出的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中该赛车从F口驶出的结果有1种，
∴该赛车从F口驶出的概率为14，
故选：B．

9.【答案】(0,3)
【解析】
【分析】将x=0代入解析式求解．
【解答】解：将x=0代入y=x2−4x+3得y=3，
∴抛物线与y轴交点坐标为(0,3)，
故答案为：(0,3)．

10.【答案】3π
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式S=nπR2360计算即可．
【解答】解：S=nπR2360
=120π×32360
=3π，
故答案为：3π．

11.【答案】0.51
【解析】
【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．
【解答】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.51附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.51，
故答案为：0.51．

12.【答案】m<94
【解析】
【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式Δ=b2−4ac>0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=−3，c=m
∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×m>0，
解得m<94，
故答案为：m<94．

13.【答案】<
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：由图象可知：a>0，−b2a>0，
∴b<0，
∴ab<0．
故答案为：<．

14.【答案】1
【解析】
【分析】连接AO，BO，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=90°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接AO，BO，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°，
∵OE⊥AB，
∴AE=BE，
∴OE=AE，
∵OA=2，
∴OE=AE=22OA=1，
故答案为：1．

15.【答案】x≥32
【解析】
【分析】根据表格确定二次函数的对称轴，然后结合x、y的值确定答案即可．
【解答】解：观察表格知：二次函数的图象经过点(1,3)和(2,3)，
∴对称轴为x=1+22=32，
∴当x≥32时，y随x的增大而减小，
故答案为：x≥32．

16.【答案】①③④
【解析】
【分析】设圆的圆心是O，半径是r，连接OA，OB，OC，OD，作CM⊥AB交AB延长线于M，CN⊥AD于N，应用圆内接正多边形的性质，圆周角定理，弧长计算公式，三角形面积的计算公式，可以解决问题．
【解答】解：设圆的圆心是O，半径是r，连接OA，OB，OC，OD，作CM⊥AB交AB延长线于M，CN⊥AD于N，
∵AB是圆内接正六边形的一边，
∴AB的度数=16×360°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴该圆的半径为2．
∵AC是圆内接正方形的一边，
∴AC的度数=14×360°=90°，
∴BC的度数=90°−60°=30°，
∵AD是圆内接正三边形的一边，
∴AD的度数=13×360°=120°，
∴CD的度数=120°−90°=30°，
∴BC=CD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴AC平分∠BAD．
AC的长=nπr180=90π×2180=π
∵AB=DB，
∴OB⊥AD，
∴AD=2AH，
∵Rt△AHO中，AO=2OH
∴AH=32r，
∴AD=2AH=3r，
∵AC平分∠BAD，
∴CM=CN，
∵S△ABC=12AB⋅CM=12r⋅CM，S△ACD=12AD⋅CN=12×3r×CN，
∴S△ABC：S△ACD=1：3．
∴正确的有①③④．
故答案为：①③④．

17.【答案】解：x2−2x=6，
x2−2x+1=6+1，即(x−1)2=7，
∴x−1=±7，
∴x1=1+7，x2=1−7．

【解析】利用配方法求解即可．
18.【答案】解：∵抛物线y=2x2+bx+c过点(1,3)和(0,4)，
∴2+b+c=3c=4，
解得b=−3c=4，
所以，该二次函数的解析式为y=2x2−3x+4．

【解析】将(0,4)，(1,3)代入y=2x2+bx+c求得b，c的值，得到此函数的解析式．
19.【答案】解：原式=a2−1+3a2−6a
=4a2−6a−1．
∵a为方程2x2−3x−1=0的一个根，
∴2a2−3a=1，
∴原式=2(2a2−3a)−1
=2×1−1
=2−1
=1．

【解析】直接利用平方差公式以及单项式乘多项式计算，进而合并同类项，把已知数据整体代入得出答案．
20.【答案】解：如图，连接AC．
∵BC=CD，∠BAD=50°，
∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD=12×50°=25°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°−∠BAC=90°−25°=65°．

【解析】
【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠BAC=∠DAC=25°，再利用AB为直径得到∠ACB=90°，然后利用直角三角形两锐角互余计算∠B的度数．
21.【答案】解：(1)13．
(2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的结果有3种，
∴小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率为39=13．

【解析】
【分析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的结果有3种，再由概率公式求解即可．

22.【答案】(1)解：如图，PB为所作；
(2)OA=OB；(经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线)．

【解析】
【分析】(1)根据几何语言画出对应的几何图形即可；
(2)先根据切线的性质得∠PAO=90°.再证明△PAO≌△PBO得到∠PAO=∠PBO=90°，
然后根据切线的判定定理得到PB是⊙O的切线．

23.【答案】解：连接OB，OC⊥AB.若AB=30mm，
∴BD=AD=12AB=15mm．
在Rt△BOD中，BD=15mm，OD=OC−CD=(r−5)mm，OB2=BD2+OD2，
∴r2=152+(r−5)2，
解得r=25．
答：这个紫砂壶的壶口半径r的长为25mm．

【解析】
【分析】连接OB，根据垂径定理求出BD，在Rt△BOD中，根据勾股定理即可求出r．
24.【答案】(1)证明：连接OC．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∵DC是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥DC．
∵BD⊥DC，
∴OC // BD，
∴∠OCB=∠CBD，
∴∠OBC=∠CBD，
∴BC平分∠ABD．
(2)解：连接OD，过点O作OG⊥BD于点G，
得矩形OCDG，
∴OG=CD=3．
在Rt△OBG中，∠ABD=60°，OG=3．
∴设OB=2x，BG=x，则32+x2=2x2
∴x=3，OB=23
∴OC=OB=23，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得：
OD=OC2+CD2=(23)2+32=21．

【解析】
【分析】(1)连接OC，由题意可证OC // BD，进而证明BC平分∠ABD；
(2)连接OD，过点O作OG⊥BD于点G，得矩形OCDG，可得OG=CD=3，
由勾股定理求出OB的长，再由勾股定理可得出答案．

25.【答案】解：(1)以过拱顶为原点，以过拱顶平行于地面的直线为x轴建立如图所示坐标系．
设抛物线解析式为y=mx2，
∵抛物线过点(−5,−6.25)，
∴25m=−6.25，
解得m=−0.25，
∴抛物线解析式为y=−0.25x2．
(2)能实现，
由(1)知抛物线解析式为y=−0.25x2，
设“之”的坐标为(a,−y)，
则“星”的坐标为(2a,−y−1.5)，
∴−y=−0.25a2，y−1.5=−0.25×4a2，
∴−0.25a2−1.5=−a2，
解得a=±2，
∵a>0，
∴a=2，
∴能实现，a=2．

【解析】
【分析】(1)建立如图所示坐标系，由待定系数法求函数解析式即可；
(2)根据题意求出“之”和“星”的坐标，然后求出a的值即可．

26.【答案】解：(1)将(2,1)代入抛物线表达式得：1=4a+2b+1，
解得：b=−2a．
(2)由(1)得，抛物线的表达式为：y=ax2−2ax+1，
则抛物线的对称轴为直线x=1，
将点M、N、P的坐标代入抛物线表达式得：
m=4a+4a+1=8a+1，n=−a+1，p=3a+1，
①(m−1)(n−1)=8a×(−a)=−8a2<0，
故答案为：<．
②当a>0时，
由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，
即3a+1>0且−a+1≤0，
解得：a≥1．
当a<0时，
同理可得：点N、P在x轴上方，
即3a+1>0且8a+1≤0，
解得：−13综上所述，a的取值范围的为：−13
【解析】
【分析】(1)将(2,1)代入抛物线表达式得：1=4a+2b+1，即可求解；
(2)①(m−1)(n−1)=8a×(−a)=−8a2<0，即可求解；
②当a>0时，由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，进而求解；当a<0时，同理可解．

27.【答案】解：(1)结论：AD=2AE．
理由：∵DE⊥AE，
∴∠E=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAE=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AD=2AE．
(2)①图形如图所示：
②结论：△DFC是等边三角形．
证明：延长BA至点H使AH=AB，连接CH，FH，如图．
∵AB=AC，
∴AH=AC．
∵∠HAC=180∘−∠BAC=60∘，
∴△ACH是等边三角形．
∴HC=AC，∠AHC=∠ACH=60∘．
∵AH=AB，EF=BE，
∴HF=2AE，HF//AE．
∴∠FHA=∠HAC=60∘．
∴∠FHC=∠FHA+∠AHC=120．
∴∠FHC=∠DAC，
∵AD=2AE，
∴HF=AD．
∵HC=AC，
∴△FHC≌△DAC(SAS)
∴FC=DC，∠HCF=∠ACD．
∴∠FCD=∠ACH=60∘．
∴△DCF是等边三角形．

【解析】
【分析】(1)结论：AD=2AE.利用直角三角形30度角的性质证明即可；
(2)①根据要求作出图形即可；
②结论：△DFC是等边三角形．延长BA至点H使AH=AB，连接CH，FH，.证明△FHC≌△DAC，推出FC=DC，∠HCF=∠ACD，可得结论．

28.【答案】解：(1)①P1，P3．
②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，
∵A(3,0)，B(5,0)，
∴AB=2，
当y=t与圆相切时，t=2或t=−2，
∴当−2≤t≤2时，直线y=t上存在线段AB的融合点．
(2)由(1)可知，AˈBˈ的融合点在以Aˈ、Bˈ为圆心，AˈBˈ为圆心的圆及内部，
∵A(a,0)，B(a+1,0)，
∴AB=AˈBˈ=1．
∵⊙O上有AˈBˈ的融合点，
∴圆O与圆Aˈ、Bˈ有交点，
∴圆O与圆Aˈ、圆Bˈ的公共区域为以O为圆心2为半径，以O为圆心6为半径的圆环及内部区域，
当a>0时，a的最大值为62−12=35，最小值为22−12−1=3−1，
∴3−1≤a≤35；
当a<0时，a的最大值为−22−12=−3，最小值为−62−12−1=−35−1，
∴−35−1≤a≤−3．
综上所述：a的取值范围为3−1≤a≤35或−35−1≤a≤−3．

【解析】
【分析】
(1)①∵P1(6,0)，A(3,0)，
∴P1A的线段垂直平分线与x轴的交点为(92,0)，
∴P1是线段AB的融合点．
∵P2(1,−2)，B(5,0)，
设直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为(a,0)，
∴(a−1)2+4=(5−a)2，
解得a=52，
∴直线P2B的垂直平分线与x轴的交点为(52,0)，
∴P2不是线段AB的融合点．
∵P3(3,2)，B(5,0)，
设直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为(b,0)，
∴(b−3)2+4=(5−b)2，
解得b=3，
∴直线P3B的垂直平分线与x轴的交点为(3,0)，
∴P3是线段AB的融合点．
故答案为：P1，P3．
②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，当y=t与圆有交点时，直线y=t上存在线段AB的融合点；
(2)由(1)可知，AˈBˈ的融合点在以Aˈ、Bˈ为圆心，AˈBˈ为圆心的圆及内部，圆O与圆Aˈ、圆Bˈ的公共区域为以O为圆心2为半径，以O为圆心6为半径的圆环及内部区域满足题意，当a>0时，a的最大值为62−12=35，最小值为22−12−1=3−1，当a<0时，a的最大值为−22−12=−3，最小值为−62−12−1=−35−1，由此可求a的取值范围为3−1≤a≤35或−35−1≤a≤−3．
投篮次数n
50
100
150
200
300
400
500
投中次数m
28
49
78
102
153
208
255
投中频率m/n
0.56
0.49
0.52
0.51
0.51
0.52
0.51
X
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
−3
1
3
3
1
…