泰安市泰山学院附属中学鲁教版七年级数学上册导学案

这是一份数学本册综合学案，共131页。学案主要包含了学习目标，课前梳理，课堂练习，当堂达标，课后拓展，本章目标，知识梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。




数 学

七年级 上册













目录
第一章 三角形
1.1认识三角形(1) 1
1.1认识三角形(2) 3
1.1认识三角形(3) 5
1.1认识三角形(4) 7
1.1认识三角形(5) 9
1.2图形的全等 11
1.3探索三角形全等的条件(1) 13
1.3探索三角形全等的条件(2) 15
1.3探索三角形全等的条件(3) 17
1.3探索三角形全等的条件(4) 19
1.4三角形的尺规作图 21
1.5利用三角形全等测距离 23
第一章 三角形复习学案 25
第二章 轴对称
2.1轴对称现象 30
2.2探索轴对称的性质 32
2.3简单的轴对称图形(1) 34
2.3简单的轴对称图形(2) 36
2.3简单的轴对称图形(3) 38
2.3简单的轴对称图形(4) 40
第二章 轴对称复习学案 42
第三章 勾股定理
3.1探索勾股定理(1) 47
3.1探索勾股定理(2) 49
3.2一定是直角三角形吗 51
3.3勾股定理的应用举例(1) 53
3.3勾股定理的应用举例(2) 55
第三章 勾股定理复习学案 57
第四章 实数
4.1无理数(1) 61
4.1无理数(2) 63
4.2平方根(1) 65
4.2平方根(2) 67
4.3立方根 69
4.6实数(1) 71
4.6实数(2) 73
第四章 实数复习学案 75
第五章 位置与坐标
5.1确定位置 79
5.2平面直角坐标系(1) 81
5.2平面直角坐标系(2) 83
5.2平面直角坐标系(3) 85
5.3轴对称与坐标变化(1) 87
5.3轴对称与坐标变化(2) 89
第五章 位置与坐标复习学案 91
第六章 一次函数
6.1函数 95
6.2一次函数 97
6.3一次函数的图像(1) 99
6.3一次函数的图像(2) 101
6.3一次函数的图像(3) 103
6.4确定一次函数的表达式 105
6.5一次函数的应用(1) 107
6.5一次函数的应用(2) 109
第六章 一次函数复习学案 111

1.1认识三角形(1)
【学习目标】
1.进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握表示三角形的符号表示方法；
2.探究三角形内角和是180°的过程；
3.能灵活应用三角形内角和是180°解决实际问题；
【课前梳理】
阅读课本第2--3页内容,完成下列问题.
1.由__________ 上的三条__________首尾_________所组成的图形叫做三角形.
2.组成三角形的基本要素有三个______ ,三个________ ,三条________.
如图，线段____、______、______是三角形的边；点A、B、C是三角形的______; _____、 ______、_______是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称____________.


3.三角形可以用符号“______”表示，如图顶点是A、B、C的三角形可以记作“______ ”,三角形的三边有时也可以用____、______、______来表示，如顶点A所对的边BC用______表示，顶点B所对的边AC用______表示，顶点C所对的边AB用______表示，其中∠A的对边是______,∠B的对边是______,∠C的对边是______.
4.将一个三角形的三个角撕下来拼在一起可以拼成一个_____角，由此可以得到三角形的内角和为_______.
【课堂练习】
知识点一 三角形及其概念
1.一位同学用三根木棒拼成如下的图形，其中符合三角形概念的有（ ）个.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点二 三角形的内角和
2.在△ABC中，∠A＝56° ∠B=43° 则∠C＝ _ .
3.在△ABC中，∠A－∠B＝30°，∠C＝4∠B，则∠C＝______．
4.在△ABC中, ∠A:∠B:∠C =2：3:4，则∠C = .

【当堂达标】
1.如图所示，图中共有三角形（ ）个.
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个

2.图中共有_____个三角形；CD为边的三角形有_____个，∠B分别为△BCD、△ACB中_____边、_____边的对角，∠B分别为△_____的内角和△_____的内角.
3.在△ABC中∠C=72°∠B=34°则 ∠A = .
4.一个三角形中最多有________个直角，最多有________个钝角.
5.（1）在△ABC中, ∠A=40°，∠B=∠C ，则∠C = ;
（2）在△ABC中, ∠A=120°，∠B=2∠C ，则∠C = ;
（3）在△ABC中, ∠B=2∠A,∠C =3∠A ，则∠C = ;
（4）若∠A=∠B=∠C，则∠A＝ ，∠B＝ ，∠C＝ 。
【课后拓展】
1.如图，点P是△ABC内一点, ∠P =100°，∠1=∠2 ，求∠ABC的度数.




2.如图，直线a∥b,一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，则∠2=_______
3.如图，平面上六个点A，B， C，D，E，F构成一个封闭折线图形．则
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=

1.1认识三角形(2)
【学习目标】
1.掌握锐角三角形 、直角三角形 、钝角三角形的概念，并会按角将三角形分成三类；
2.理解“直角三角形的两个锐角互余”的性质，并能解决实际问题；
3.通过分类讨论等数学思想方法认识和解决三角形有关的问题.
【课前梳理】
阅读课本第5--6页内容,完成下列问题.
1.三个内角都是__________的三角形叫做锐角三角形;
2.一个内角是__________的三角形叫做直角角三角形;
3.一个内角是__________的三角形叫做钝角三角形;
4.我们按三角形三个内角的大小将三角形分成_______、_______、_______三类;
5.如图，通常我们把直角三角形ABC用符号表示为“______”，把直角所对的边AB称为______，夹直角的两条边BC、AC称为______.

6.直角三角形的两锐角______，如果一个三角形其中有两个角互余，那么这个三角形就是______________.
【课堂练习】
知识点一 按角分类三角形
1.下列说法错误的是（ ）
A.三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形;
B.一个内角是直角的三角形叫做直角三角形;
C.一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形;
D.有一个内角是锐角的三角形叫做锐角三角形.
2.适合条件∠A=2∠B=3∠C的△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形或锐角三角形
知识点二 直角三角形的两锐角互余
3.在Rt△ABC中，∠C =90°，∠A=60°，∠B=
4.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角 度．
知识点三 两锐角互余的三角形为直角三角形
5.一个三角形中两个内角的度数分别为42°、48°，则此三角形为 三角形.

【当堂达标】
1.下列说法错误的是（ ）
A.一个三角形最多有三个锐角；
B. 一个三角形最少有两个锐角；
C.一个三角形最多有一个钝角或一个直角；
D.一个三角形可以有两个钝角或两个直角.
2.在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的
角是 度.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，∠A=65°，CD∥AB, 则∠BCD =
第3题图







4.在△ABC中，已知∠A,∠B,∠C有如下的关系,请判断△ABC的形状.
(1)∠A:∠B:∠C =2：3:4 (2)∠B=2∠A,∠C =3∠A

【课后拓展】
1.如图，在Rt△ABC中，∠C =90°若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2 = .
2.一个直角三角板和长方形纸片如图放置，直角三角板的一锐角顶点恰好落到长方形纸片的一条边上，则∠1+∠2 = .
3.如图，已知∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高线，可得：∠1=_____，∠2=_____.(填写图中的角)



1.1认识三角形(3)
【学习目标】
1.掌握等腰三角形、等边三角形的概念，并会按边将三角形分类；
2.会判断给定的三条线段能否组成三角形；
3.理解三角形三边关系，并能灵活运用三角形三边关系解决一些实际问题；
【课前梳理】
阅读课本第7——8页内容,完成下列问题
1.（1）有两边__________的三角形叫做等腰三角形.
（2）三边都__________的三角形叫做等边三角形，也叫________. （3）两条直角边__________的三角形叫做等腰直角三角形。



2.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,腰是__________,底是_________,顶角指_______,底角指_____________;等边三角形DEF是特殊的_______ 三角形，DE=____=_____.
3.三条线段组成一个三角形的条件是 _______________________________________.
【课堂练习】
知识点一 按边分类三角形
1.下列说法正确的有（ ）
①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
A.①② B.①③④ C.③④ D.①②④
知识点二 三角形的三边关系
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A.2，2，4 B.3，4，5 C.1，2，3 D.2，3，6
3.若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）
A.6 B.2 C.2 D.11
4.如果三条线段a,b,c能组成三角形，那么它们的长度比可能是（ ）
A. 1：2：4 B. 1：3：4 C.3：4：7 D.2：3：4
知识点三 等腰三角形的三边关系
5.一个等腰三角形的两边长分别为2,6，则第三边长为_____，周长为____


【当堂达标】
1.有四根木条，长度分别是5cm、6cm、11cm、16cm，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是（ ）个.
A.1 B.9 C.3 D.10
2.(1) 一个等腰三角形的两边长分别为3,6，则第三边长为_____，周长为____;
(2) 一个等腰三角形的两边长分别为4,6，则第三边长为_____，周长为____.
3.一个等腰三角形的周长是36，
（1）已知腰长是底边长的2倍，求各边长;
（2）已知其中一边长等于8，求其两边长.
（3）已知其中一边长等于10，求其两边长.


【课后拓展】
1.已知△ABC的三边长为a,b,c,且满足，则△ABC是什么三角形？



2.已知△ABC的三边长为a,b,c，求的值




3.一个等腰三角形的周长为20cm，其中两边长度之比为2﹕1，求这个等腰三角形三边长.
1.1认识三角形(4)
【学习目标】
1.了解三角形的中线、角平分线概念及相关性质，并能形象的画出这两条线段；
2.能应用三角形的角平分线、中线的性质解决简单的数学问题；
【课前梳理】
阅读课本第10--11页内容,完成下列问题
1.三角形的中线的定义：在三角形中，连接一个_________与它对边的_________的线段,叫做这个三角形的中线.
2.三角形的角平分线的定义：在三角形中，一个内角的 与它的对边相交，这个角的 与_________之间的线段，叫做三角形的角平分线.
注意：①三角形的中线、角平分线，都是一条线段;
②而角的平分线是一条射线.
A
3.画一画：（1）分别作出下列三角形三边上的中线
A




C
B



B
C

归纳：在每个三角形中，三条边上的中线都在三角形的 ，并且都相交于 .
简述成：三角形的三条中线交于 ，这点成为三角形的重心.
A
C
B
（2）分别作出下列三角形每个角的平分线
A
C
B





归纳：在每个三角形中，三条角平分线都在三角形的 ，并且都相交于 .
简述成：三角形的三条角平分线交于 .
【课堂练习】
知识点一 三角形的中线
1.若AD为△ABC的中线，则下列结论中错误的是（ ）
第3题图
A.AD平分∠BAC B.BD=DC C.AD平分BC D.BC=2DC
2.若AD为△ABC底边BC的中线，则S△ABD= = ;
知识点二 三角形的角平分线
3.如图所示，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=35°，
AD平分∠BAC，则∠ADC的度数为（ ）
A.95° B.90° C.75° D.55°
4.直角三角形的三条角平分线交点在（ ）
A.三角形外 B三角形内 C直角顶点处 D斜边上
【当堂达标】
1.三角形的中线、角平分线都是一条（ ）
A.直线 B.射线 C.线段 D.直线或线段
2.如图所示，D，E分别为△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A.DE是△BDC的中线 B.∠C的对边只有DE
C.BD是△ABC的中线 D.AD=DC，BE=EC
3.例2，如图,已知,BD是AC边上的中线,DE是BC边上的中线, △ABC的面积是32,则△DBE的面积是 .
第4题图
第2、3题图




4.如图所示，BD平分∠ABC，DE∥BC，且∠D=30°，则∠AED的度数为（ ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
【课后拓展】
1.在△ABC中,∠B=30°,AD、CD平分∠BAC、∠ACB，求∠D的度数,试猜想∠D与∠B的关系？

2.在△ABC中，AB=AC，中线BD把这个△ABC的周长分成15和21两部分，求BC边的长.

1.1认识三角形(5)
【学习目标】
1.掌握三角形的高的概念及相关性质，并能在具体的三角形中作出高；
2.能应用三角形的高线的性质解决简单的数学问题；
3.通过归纳、类比和分类的思想方法学习三角形的高线，.
M
N
B
第2题图
【课前梳理】
阅读课本第12--13页内容,完成下列问题
1.垂线：如果两直线相交有一个角是 ，则两
直线互相 ，其中一条直线是另一条直线的 .
2.分别过点A、点B作线段MN的垂线；
过C点作线段MN的垂线段.
3.三角形的高线的定义：从三角形的一个 向它的对边所在直线作垂线， 和 ___ 之间的线段，叫做三角形的高线(简称_________).
4.画一画：分别作出下列三角形三边上的高线.
A
C
B
A
C
B



可以发现：在锐角三角形中，三条高线交于三角形 . 在直角三角形中，三条高线交于直角三角形的 .在钝角三角形中，三条高线所在的直线交于 .
简述成：三角形的三条高线所在的直线交于 .
【课堂练习】
知识点一 三角形的高线及画法
A
B
C
E
A
B
C
E
A
C
B
E
A
C
B
E
A
B
C
D
1.下列四组图形中，BE是△ABC的高线的图是（ ）





知识点二 三角形的高线与面积
2.两个等底（同底）三角形面积之比等于它们的 之比；两个等高（同高）三角形面积之比等于它们的 之比；
3.如图，AD为△ABC的高，AF为中线，若AD=5，CF=4，则△AFB的面积为
第3题图

【当堂达标】
1.三角形的中线、角平分线、高线均是一条（ ）
A.射线 B.线段 C.直线 D.直线或线段
2.下列说法正确的是（ ）
A.三角形的三条高线都在三角形内部 B.三角线高线是垂线
C.三角形的高线、中线、角平分线都是线段 D.三角形角平分线是射线
3.下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的三条高线相交于一点. 其中说法正确的有（ ）．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知：AD、AF分别是△ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠C=76°，
则∠CAD= ∠DAF=
第4题图
第5题图

5.如图所示，有一块三角形ABC空地，要在这块空地上种植草皮来美化环境，已知这种草皮每平方米售价230元，AC=12m,BD=15m，购买这种草皮至少需要多少元？



【课后拓展】
已知△ABC的高为AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数.（提示：本题的高AD有两种情况，如图1和图2）
.


1.2图形的全等
【学习目标】
1.理解图形全等的概念和特征；
2.掌握全等三角形的概念及全等三角形的对应元素；理解全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边；
【课前梳理】
阅读课本第15--17页内容,完成下列问题
1.能够完全重合的两个图形称为 图形;
如果两个图形全等，它们的_______和______一定都相同;
2.（1）能够完全重合的两个三角形为 三角形.
（2）如图当△ABC和△DEF重合，那么这两个三角形全等，记作：△ABC≌△DEF
A
F
B
C
D
E
第2题图
通常把表示______的字母写在 位置上.
互相重合的顶点叫 ，如： ；
互相重合的边叫 ，如： ；
互相重合的角叫 ，如： ；
全等三角形的对应___相等,对应____相等.
3.议一议：一个图形经过翻折、旋转、平移等位置变换后所得到的图形与原图形全等吗？
两个全等的图形除了与它们的形状、大小有关外，还与它们的位置有关吗？
【课堂练习】
知识点一 全等图形、全等三角形
1.给出四对图形(如图)，其中为全等图形的有( )

A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
2.下列说法正确的是( )
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．两个等边三角形是全等三角形
D．全等三角形是指能够完全重合的两个三角形
知识点二 全等三角形的性质
3.如图的两个三角形全等，且△AOD≌△COB,则下列结论错误的是（ ）　
A. ∠B=∠D B.∠A=∠C C.AB=AD D.AD=CB

4.如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列不正确的等式是（　　）
A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD
C.BE=DC D.AD=DE
【当堂达标】
1.下列说法正确的是（ ）
A.同一底片的两张相片一定全等； B.周长相等的两个图形一定全等；
C.全等的两个图形面积一定相等； D.以上说法都不对
2.已知，△ABC≌△DEF，△ABC的周长为15，AB和AC的长度分别为4和5，
则EF的长度为 。
3.下列图中的两个三角形是全等三角形，请依次说出它们的对应边、对应角. △_______≌△________;对应边:______________________对应角:______________________
4.如图，△ABC≌△DCB,则∠ABD=_______________
5.如图，△AEC≌△AFB，∠C=25°，则∠B=_______________

【课后拓展】
1.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，则的度数为多少度？
2.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内部，当∠1+∠2=60°时，则
∠A等于多少度？


1.3探索三角形全等的条件(1)
【学习目标】
1.经历探索三角形全等“边边边”的条件过程；
2.理解三角形全等的条件“边边边”；认识三角形的稳定性.
【课前梳理】
预习课本19-21页，思考并完成下列问题.
1.想一想：要画一个三角形与已知的三角形全等，需要 个条件。
如果给出三个条件画三角形，那么有 可能的情况。
2.通过本节课的学习，全等三角形的判定方法为
3.通过三根木棒摆三角形，你能得出三角形有 性质。
【课堂练习】
知识点 用“SSS”判定三角形全等
1.如图，已知AD，BC相交于O点，AB=AC，BD=CD，根据“边边边”写出图中全等的三角形__________________．
A
D
O
C

B
第1题图

2.ＡＣ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＢＤ，则△ＡＢＣ≌　　　　；应用的判定方法是　　　　　　．

第1题图
【当堂达标】
1.如图，△ABC中，AB=AC，点D是中点，
试说明△ABD≌△ACD。




第2题图


2.如图在建筑工地上，工人师傅砌门时，常用木条
EF固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是 　　　　 .


3.已知AB=CD，BE=CF，AE=DF，问AB∥CD吗？为什么?
D
C
F
E
A
B
第3题图







4.已知：如图，AB=CD，AD=CB，∠A与∠C相等吗？为什么？
第4题图









第5题图
5.如图，BE=FC,AB=DF,AC=DE,∠A与∠D相等吗？为什么？




【课后拓展】
1.如图,是四根木条钉成的四边形,为了使它不变形,小明加了根木条,小明的做法对吗?若不对,该怎么做?
第1题图

2.如图是一个四边形衣帽架,它应用了四边形的 .

1.3探索三角形全等的条件(2)
【学习目标】
1.经历探索判定三角形全等“角边角”“角角边”的条件的过程；
2.理解并能应用“角边角” “角角边”条件说明两个三角形全等.
【课前梳理】
预习课本22-23页，思考并完成下列问题.
1.想一想：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有 种可能的情况，每种情况下得到的三角形都全等吗？
2.本节课学到的判定三角形全等的方法为 和 。
第1题图
【课堂练习】
知识点一 用“ASA”判定三角形全等
1.如图，AC和BD交于点E，∠B＝∠D，BE=DE，
ΔAＢＥ与ΔCＤＥ全等吗？为什么？




第2题图
知识点二 用“AAS”判定三角形全等
2.如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，你能说明△ABO≌△DCO吗？




【当堂达标】
1.根据下列条件，能判定△ABC≌△DEF的是（　　　）
A.AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B.∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
C.∠B=∠E，∠A=∠D，AC=EF D.AB=DE，BC=EF，∠B=∠E
2.已知：如图，，DE=ＢF，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，
试说明ΔAＢＦ≌ΔCＤＥ.

A
D
E
C
B

F
第2题图

3.已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，问AF=CE吗？说明理由。
A
D
C
E
F
B
第3题图








4.已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，试说明：△ABC≌△DEF．

5.如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.试说明△ABE≌△DAF；


【课后拓展】
如图，已知△ABC中，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，且BE=CF,那么BD与CD相等吗？


1.3探索三角形全等的条件(3)
【学习目标】
1.经历探索判定三角形全等“边角边”条件的过程；
2.掌握并能应用“边角边”条件说明两个三角形全等.
【课前梳理】
预习课本24-25页，思考并完成下列问题.
1.想一想： 如果已知一个三角形的两边及一角，有 种可能的情况呢，每种情况下得到的三角形都全等吗？
2.本节课学到的判定三角形全等的方法为
【课堂练习】
知识点 用“SAS”判定三角形全等
第1题图
1.已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，AB＝CD．那么△ABE与△CDF全等吗？为什么？




2.下列条件，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A.两边及一角对应相等 B.两角及其中一角的对边对应相等
C.三边对应相等 D.两边及其夹角对应相等
【当堂达标】

O
第1题图
1.如图，已知AO=DO,BO=CO,说明：∠ABD=∠DCA.




2.已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，BE与CD相等吗？为什么？


3.已知AB=AC， ∠1=∠2，AD=AE，问⊿ABD≌⊿ACE吗？说明理由。
A
D
B
E
C
1
2
第3题图

4.已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE。求证：AE=BD。


【课后拓展】
1.如图，AC=10，AD=BD,ED⊥AB交AC于点E ，若BC=6，求△BEC的周长。


2.已知：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，试证明：BD=CD


1.3探索三角形全等的条件(4)
【学习目标】
1.掌握判定三角形全等“边边边”“角角边”“角角边““边角边”的条件；
2.理解并能应用三角形全等条件说明两个三角形全等；
3.学会利用全等三角形的对应边、对应角相等，可以推得线段相等或角相等.
【课前梳理】
预习课本27-28页，思考并完成下列问题.
1. 叫全等三角形.
2.全等三角形的性质：
3.判定三角形全等的条件有：
第1题图
【课堂练习】
知识点一 三角形全等判定方法的合理选用
1.如图，M是AB的中点，MC=MD，∠1=∠2，判定△AMC≌△BMD
的方法是 ；若M是AB的中点，∠C=∠D，∠1=∠2，判定
△AMC≌△BMD的方法是 ；若M是AB的中点，∠A=∠B，
∠1=∠2，判定△AMC≌△BMD的方法是
知识点二 三角形全等的应用
2.下列说法中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中正确的个数有( )
A、3个 B、2个 C、1个 D、0个
3.已知：如图，点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，AD与CE相等吗？为什么？

【当堂达标】
1.如图，若D为BC中点，若用“SSS”判定△ABD≌△ACD需添加的一个条件是 .
2.如图，已知OA=OB，AC=BC，∠1=30°，则∠ACB的度数是________.

3.如图，AB=CD,BC=DA,E、F分别是AC上两点 ，且AE=CF.试说明BF=DE

4.如图所示，CD=AF,∠B=∠E ,EF//BC.试说明：ED//AB



5.如图，在△ABC中，D、E分别在BC、AC边上。且∠ADE=∠B=∠C,AD=DE
求证：△ADB≌△DEC


【课后拓展】
如图，D，E，F，B在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE，
说明(1)AE=CF(2)AE∥CF
C
D
E
F
A
B

1.4三角形的尺规作图
【学习目标】
1.掌握在分别给出的两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作三角形；
2.能结合三角形全等条件与同伴交流作图过程和结果的合理性，培养学习数学的兴趣.
【课前梳理】
阅读课本第30--32页内容,完成下列问题
学具:________、________.
1.（1）已知：线段a，求作：AB，使AB=a
（2）已知：∠，求作：∠AOB，使∠AOB=∠
2.作一个三角形与已知三角形全等
（1）已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形.
已知：线段a，c，∠α.
求作：ΔABC，使得BC= a，AB=c，∠ABC=∠α.
作出图形：


按照作法与过程画图：
1.作∠DBE=_______；
2.在射线BE上截取线段BC=____,在射线BD上截取线段BA=____；
3.连接AC，ΔABC就是所求作的三角形.
（2）已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.
已知：线段∠α，∠β，线段c .
求作：ΔABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c.
作出图形：

完成作法：1.作____________=∠α;
2.在射线______上截取线段_________=c;
3.以______为顶点,以_________为一边,作∠______=∠β,________
交_______于点_______.ΔABC就是所求作的三角形.
【课堂练习】
知识点 用尺规做三角形
1.根据下列已知条件，能唯一画出ΔABC的是（　　　）
A. AB＝3，BC＝4，AC＝8； B. AB＝4，BC＝3，∠A＝30°；
B. ∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4； D. ∠C＝90°，AB＝6
2. 已知线段a，b，c,求作ΔABC，使得AB=c，AC=b，BC=a,作法的合理顺序为( )
①分别以B,C为圆心,c,b为半径作弧，两弧交于点A; ②作直线BP,在BP上截取BC=a;③连接AB，AC, ΔABC就是所求作的三角形.
A. ①②③ B.②③① C.②①③ D.③②①
【当堂达标】
1.如图所示，小敏做某试题时，不小心将墨水滴在了题目中的三角形上，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘在上面，她作图的依据是（ ）
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
2.如图所示，ΔABC是不等边三角形，DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与ΔABC全等，这样的三角形最多可以画出（ ）
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
第1题图
A
B
C
D
E
第2题图








第3题图

3.已知：线段a，c，∠α，求作ΔABC，使得BC= a，AB=c，∠ABC=∠α，作法的合理顺序为( )
①在射线BE上截取线段BC=a,在射线BD
上截取线段BA=c；
②连接AC，ΔABC就是所求作的三角形；
③作∠DBE=∠α.
A.①②③ B.②③① C.③①② D.③②①
4.已知：线段a,b,c .
c
a
b
第4题图
求作：ΔABC，使得AB=c，AC=b， BC=a.
作出图形：









O
P
Q
R
【课后拓展】
如图，是去年在某地发现的三角形陶瓷碎片示意图的一部分，现打算复制一块完整的陶瓷碎片，请你根据提供的信息用尺规作一个完整的三角形陶瓷片示意图（要求:不写作法，但要保留作图痕迹）.
1.5利用三角形全等测距离
【学习目标】
1.掌握利用三角形全等解决实际问题的能力；
2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考与表达，感受所学数学知识与实际生活的联系.
【课前梳理】
预习课本33-34页，思考并完成下列问题。
1. 叫全等三角形.
2.全等三角形的性质：
3.判定三角形全等的方法有
【课堂练习】
知识点 利用三角形全等测距离
1.小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB＝54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？

2.如图所示，太阳光线AC和A`C`是平行的，同一时刻两个建筑物在太阳下的影子一样长，那么建筑物是否一样高？说明理由。

第2题图
3.雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AB=3AE，AC=3AF，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由。

【当堂达标】
1.如图，有一个工厂制造一种工件，要想保证质量，必须测量工件内横的宽度，工件如图，因为直接测量非常难，因此工人师傅用一种内卡钳就可以测出工件内径，它应满足的条件是
第1题图


2.如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点
C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，测得ED的长就是AB的长.
第2题图
请利用三角形全等的知识说明理由.










第3题图
3.如图，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点的距离，在地面上取一个可以直接到达A、B的点O，连接AO并延长到点C，使AO=CO，完成下面的图形，（用文字语言叙述，并画出图形）并说明求出AB距离的理由.





第一章 三角形复习学案
【本章目标】
1.理解三角形中线、高线、角平分线等概念；了解三角形的内角和为180°；理解全等三角形的概念，掌握三角形全等的判定方法，并能利用三角形全等解决实际问题.
2.掌握在分别给出的两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作三角形；
【知识梳理】
1.由 上的三条 首尾 所组成的图形叫做三角形.三角形的内角和为_______.
2.按三角形三个内角的大小将三角形分成_______、_______、_______三类;直角三角形的两锐角______，如果一个三角形其中有两个角互余，那么这个三角形就是______________.
3.（1）有两边__________的三角形叫做等腰三角形.
（2）三边都__________的三角形叫做等边三角形，也叫________.
（3）两条直角边__________的三角形叫做等腰直角三角形.
4.三条线段组成一个三角形的条件是 _______________________________________.
5.（1）三角形的中线的定义：在三角形中，连接一个_________与它对边的_________的线段,叫做这个三角形的中线.
（2）三角形的角平分线的定义：在三角形中，一个内角的 与它的对边相交，这个角的 与_________之间的线段，叫做三角形的角平分线.三角形的三条角平分线交于 .
（3）三角形的高线的定义：从三角形的一个 向它的对边所在直线作垂线， ____和 之间的线段，叫做三角形的高线(简称_________).三角形的三条高线所在的直线交于 .
6.能够完全重合的两个三角形为 三角形.全等三角形的对应___相等,对应____相等.
7.判定三角形全等的方法有：
【典型例题】
考点一 三角形的元素
例1.若∠A=2∠B=6∠C，则∠A=
巩固训练1
若∠A=∠B=∠C，则△ABC是 三角形．
例2.已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边a的范围是__________________
巩固训练2
如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为_________，
如果第三边长为偶数，则此三角形的周长为 _________


例3.如果一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则此等腰三角形的周长为_________
巩固训练3
若一个三角形的两边长相等，周长为，有一边的长为，则该三角形的另两条边的长为_______：

考点二 全等三角形及判定方法
例4.如图一，已知∠A=∠D，∠1=∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（ ）
A.∠E=∠B B.ED=BC C.AB=EF D.AF=CD


例5.如图二，AO=BO，CO=DO，AD与BC交于E，则图中全等三角形的对数为（ ）
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
巩固训练4
如图三，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①②③去
例6.如图四，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，说明△ABD≌△ACD的理由．





巩固训练5
如图五.已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，试说明△ABC≌△DEF．


【达标测试】
一． 选择题
1.如果三条线段a,b,c能组成三角形，那么它们的长度比可能是（ ） 。
A.1：2：4 B. 1：3：4 C. 3：4：7 D. 2：3：4
2.在一个三角形的三个内角中，说法正确的是（ ）
A.至少有一个直角 B.至少有一个钝角 C.至多有两个锐角 D.至少有两个锐角
3.三角形的下列三种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A.角平分线 B.高线 C.中线 D.角平分线和中线
4.如图,已知△ABC六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（ ）
A. 甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙

5.如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长为13，DE=3，EF=4，则AC的长（ ）
A.13 B.3 C.4 D.6
二.填空题
6.在△ABC中（1）若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC是_________三角形．
（2）若∠A+∠B=∠C，则△ABC是 三角形．
（3）若∠A=∠B=∠C，则△ABC是 三角形．
7.如图，ＡＣ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＢＤ，则△ＡＢＣ≌　　　　；应用的判定方法是　　　　　　．
8.如图，△ＡＢＤ≌△ＢＡＣ，若ＡＤ＝ＢＣ，则∠ＢＡＤ的对应角为　　　　　　．


三.解答题
9.如图，已知△EFG≌△NMH,∠F与∠M是对应角．
（1）写出相等的线段与相等的角；
（2）若EF=2.1 cm，FH=1.1 cm，HM=3.3 cm，求MN和HG的长度.



10.如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，
试说明: ∠5=∠6．




11.如图，在中,，D、E分别为AC、AB上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.试说明：DE⊥AB


12.如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，E为AC、BD的交点．试说明：AC＝DB．




13.如图，已知CA＝CD，AB＝DE，∠A＝∠D，试说明：∠BCE＝∠ACD．





14.已知：如图，AC⊥CE，AB⊥BD，ED⊥BD，BC＝DE，试说明：△ABC≌△CDE．

2.1轴对称现象
【学习目标】
1.掌握对称轴的画法及条数的确定，体会轴对称在生活中的应用及其丰富的文化价值；
2.认识轴对称图形和两个图形成轴对称的概念；
3.理解轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系.
【课前梳理】
预习课本40-41页，思考并完成下列问题.
1. 叫做轴对称图形，
叫做对称轴.
2.如果
那么称这两个图形成轴对称， 叫做这两个图形的对称轴.
【课堂练习】
知识点 轴对称图形
1.如图，下列图形中是轴对称图形的是（ ）
2.下列说法正确的是( )
A.两个全等的三角形一定关于某条直线对称
B.关于某条直线的对称的两个三角形一定全等
C.直角三角形是轴对称图形
D.锐角三角形都是轴对称图形
【当堂达标】
1.如图是用纸折叠成的图案，其中是轴对称图形的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.如图所示的图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）

3.下图轴对称图形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

4.下列几何图形中，线段角直角三角形半圆，其中一定是轴对称图形的（　 ）
　　A．1个　　　　　B．2个　　　　　C．3个　　　　　D．4个

5.下列数中，成轴对称图形的有___________个

6.下列几何图形哪些是轴对称图形？如果是，画出它们的对称轴.








2.2探索轴对称的性质
【学习目标】
1.掌握轴对称性质的综合应用；
2.理解轴对称的性质；
3.认识轴对称中的对应线段、对应角.
【课前梳理】
预习课本43-44页，思考并完成下列问题.
成轴对称的图形和轴对称图形的性质:
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴
对应线段 ，对应角 .
注意：（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的________、________完全一样
（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于______的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴______________．
【课堂练习】
知识点一 轴对称的性质
1.下列说法错误的是( )[来源:学科网ZXXK]
A.等边三角形是轴对称图形
B.轴对称图形的对应边相等,对应角相等
C.成轴对称的两条线段必在对称轴一侧
D.成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分
知识点二 用轴对称的性质作图
A
C
B
2.如图画出△ABC关于图中直线成轴对称的图形.










【当堂达标】
1.已知Rt△ABC中,斜边AB=2BC,以直线AC为对称轴,点B的对称轴是B′,如图所示,则与线段BC相等的线段是_______，与线段AB相等的线段是________和______,与∠B相等的角是________和_______,因此,∠B=________.
2.下列说法中错误的是( )
A.两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴
B.关于某直线对称的两个图形全等
C.面积相等的两个四边形对称
D.轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合
3.如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是( )


A.AC=A′C′ B.AB∥B′C′ C.AA′⊥MN D.BO=B′O
4.先找出下列各点关于图中直线的对称点，再将下面的轴对称图形补充完整.







.
【课后拓展】
“两个图形关于某条直线对称，对应点一定在这条直线的两旁”这个说法对吗？为什么？

2.3简单的轴对称图形(1)
【学习目标】
1.探索并掌握线段的垂直平分线的性质；
2.掌握线段的垂直平分线的尺规作图；
3.在“操作--探究---归纳---说理”过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力.
【课前梳理】
阅读课本第46至47页的内容，思考并解答下列问题.
1.线段是________图形，线段的__________是它的对称轴；
2.线段的垂直平分线上的点到________________相等.
3.利用尺规，作线段AB的垂直平分线。

A
B



【课堂练习】
知识点一 线段垂直平分线的性质
1.已知：如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P是直线CD上一点，已知PA=6cm,求线段PB的长度.

2.如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于E，如果BC=10cm，求△BCE的周长.


M
N
A . 。
B. . 。
知识点二 “将军饮马”———最短路径
3.如图，在金水河的同一侧居住两个村庄A、B，要从河边同一点修两条水渠到A、B两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河MN何处两条水渠最短？





【当堂达标】
1.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离__________.
2.到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ）
A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE∶∠EBA=1∶4，则∠A=______度，∠ABC=_________度．
4.如图，AB是△ABC的一条边，,DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA= .




第4题图


【课后拓展】
如图，四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是( )
A. AB=AD. B. AC平分∠BCD. C. AB=BD. D. △BEC≌△DEC

2.3简单的轴对称图形(2)
【学习目标】
1.掌握角平分线性质的应用；
2.能根据角平分线的性质进行计算；
3.能用尺规作已知角的平分线.
【知识梳理】
阅读课本第48至49页的内容，思考并解答下列问题.
1.角是轴对称图形，它的对称轴是
角平分线上的点到____________________相等
注意：几何语言
∵点P在∠AOB的角平分线上 PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
2.用尺规作图做出角的平分线.
【课堂练习】
知识点一 角平分线的性质
1.如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PO⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PE=2.5cm,则PD=__________cm.


2.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF=60°，那么
∠DAE=_________
3.如图所示，求作一点P，使P到∠AOB的两边的距离相等，且PM=PN




【当堂达标】
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线； ②∠ADC=60°； ③ ∠ADB=120°．
A.1 B.2 C.3 D.0.
2.如图，已知∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到边AB的距离为_____．
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是 .

4.如图，△ABC中，∠A=90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数。


5.某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点C，D表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.
（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；
（2）阐述你设计的理由.

2.3简单的轴对称图形(3)
【学习目标】
1.掌握等腰三角形、等边三角形性质的应用；
2.理解等腰三角形的性质并会用符号语言表示；
3.认识等边三角形的轴对称性及性质.
【课前梳理】
阅读课本第50至51页的内容，思考并解答下列问题.
1.等腰三角形的两个_______相等，等腰三角形的 平分线、 上的高和 上的中线互相重合（简称“三线合一”）
几何语言： 在△ABC中， AB=AC时，
（1）若AD平分∠BAC，那么 、
（2）若BD＝CD，那么 、
（3）若AD⊥BC,那么 、
2.等边三角形是______________，并且有____条对称轴.
等边三角形的每个内角都等于________.
【课堂练习】
知识点一 等腰三角形边、角的性质
1.等腰三角形的两边长分别为3cm，6cm，则周长为 ；
2.等腰三角形中，若底角是65°，则顶角的度数是_____；
知识点二 等腰三角形的“三线合一”
3.已知：如图△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且∠BAC=∠ABE，
试说明∠ABE=2∠CAD

知识点三 等边三角形的性质
4.如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，试说明BE=DC

【当堂达标】
1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）
A.过顶点的直线 B.顶角平分线所在的直线 C.底边上的中线 D. 底边上的高
2.等腰三角形的一个角是80°,则它的底角是 （ ）
A.50° 　 B.80° 　　 C.20°或80° D.50°或80°
3.等腰三角形的周长为10，一边长为3，则其他两边长分别为_____；
4.如图，AB = AC = AD，且AD∥BC，∠C =2∠D吗？试说明理由.

5.已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D、E在BC边上，且AD＝AE．试说明BD＝CE．

6.如图，已知AB=AC,∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,试说明：BD平分∠ABC

2.3简单的轴对称图形(4)
【学习目标】
1.掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法；
2.认识和探索30°直角三角形的性质；
3.会综合运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算和推理.
【课前梳理】
阅读课本第52至53页的内容，思考并解答下列问题.
1.等腰三角形的判定方法
定义：有 相等的三角形,叫做等腰三角形.
判定： .
2.等边三角形的判定方法
定义：有 相等的三角形,叫做等边三角形.
判定方法1：三个角都相等的三角形是 三角形；
判定方法2：有一个角等于600 的等腰三角形是 三角形.
应用：在直角三角形中，如果一个锐角 ，那么 的一半.

【课堂练习】
知识点一 等腰（边）三角形的判定
1.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A.40°，50 ° B. 40°,60 ° C. 20°,80 ° D 40°,80°
2.如图，点B、A、E在同一条直线上，∠1=∠2，AD∥BC
试说明：AB=AC


3.在△ABC中，AB=AC=8cm，∠BAC=60°，则BC=
知识点二 含30°角的直角三角形的性质
4.等腰三角形一个底角是30°，腰长为16，则顶角的角平分线为 .
5.在直角△ABC中，AB=8cm，∠C=90°，∠A=60°，则AC=
【当堂达标】
1.把两个都有一个锐角为30°的一样大小的直角三角形拼成如图所示的图形，两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，试说明△CEB是等腰三角形.


3.如图，已知△ABC中，AB=AC， ∠C=30°，AB⊥AD，AD=2，求BC的长




【课后拓展】
已知AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，试说明
△ADF是等腰三角形．


第二章 轴对称复习学案
【本章目标】
1.掌握对称轴的画法及条数的确定，体会轴对称在生活中的应用及其丰富的文化价值；
2.认识轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，并理解轴对称图形的性质；
3.探索并了解基本图形的轴对称性及其相关性质.
【知识梳理】
1. 叫做轴对称图形
叫做对称轴.
2.如果
那么称这两个图形成轴对称， 叫做这两个图形的对称轴.
3.轴对称的性质；在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴
对应线段 ，对应角 .
4.线段的轴对称性：线段是________图形，线段的__________是它的对称轴；线段的垂直平分线上的点到________________相等.
5.角的轴对称性：角是 图形，它的对称轴是 ;角平分线上的点到____________________相等.
6.等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是 图形，等腰三角形的两个______相等，等腰三角形的 平分线、 上的高和 上的中线互相重合（简称“三线合一”） 等腰三角形的判定方法：(1)定义:有 相等的三角形,叫做等腰三角形.
(2)判定： .
7.等边三角形的轴对称性：等边三角形是____________图形，并且有____条对称轴.
等边三角形的每个内角都等于________.
等边三角形的判定方法：(1)定义：有 相等的三角形,叫做等边三角形.(2)判定方法1：三个角都相等的三角形是 三角形；判定方法2：有一个角等于600 的等腰三角形是 三角形.
应用：在直角三角形中，如果一个锐角 ，那么 的一半.
【典型例题】
考点一 轴对称图形
例1.下列图形中对称轴最多的是( )
A.等腰三角形 B.正方形 C.圆 D.线段
巩固训练1
下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.

考点二 轴对称的性质
例2.如图一，△ABC和△ADE关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△ADE；②l垂直平分DB；③∠C=∠E；④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上．
其中错误的有（　　）
A.0个 B．1个 C．2个 D．3个
图一
图二

图三
巩固训练2
如图二，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．[




考点三 简单的轴对称图形的性质
例3.如图三，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于________．
例4.在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=3，BD=5，则点D到AB的距离为 .
巩固训练3
如图四，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交AB于E，交 BC 于D，
∠1=∠2，则∠B=
图四
图五

例5.如图五，△ABC和△ADE是等边三角形.试说明：BD=CE.




巩固训练4.
如图六，△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线。求证：BE=BD。
图六



【达标测试】
一.选择题
1.下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ）
A．等腰直角三角形 B．正方形 C．等边三角形 D．长方形
2.在下列说法中，正确的是（ ）
A.如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形
B.如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C.等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形
D.一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形
3.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝，则斜边的长为（ ）
A.2 ㎝ B.4 ㎝ C.6 ㎝ D.8㎝
4.若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（ ）
A.11cm B.7.5cm C.11cm或7.5cm D.以上都不对
5.∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则 （　　）
A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤5
二.填空题
6.角是轴对称图形，其对称轴是________________________．
7.等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是__________度；
8.已知线段AB的端点B在直线 上（AB与 不垂直）请在直线 上另找一点C，使三角形ABC是等腰三角形，这样的点能找 个。
A
B
l
第8题图


三．解答题
9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD＝CE，∠DBC＝∠ECB．
试说明：AB＝AC．
第9题图


10.△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15°，EC＝1求AB的长。




11.如图，已知AB=AC,∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M, 试说明：（1）BD平分∠ABC （2）△BCD为等腰三角形.

第11题图



12.如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AC延长线于点F、E．试说明：DF∥AC
第12题图


13.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．试说明△BDE是等腰三角形．
第13题图




14.如图，∠B＝∠C＝90°，AE平分∠BAD，DE平分∠CDA，且AE与DE交BC于E．试说明：（1）BE＝CE （2）AE⊥DE
第14题图

3.1探索勾股定理(1)
【学习目标】
1.掌握用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程；
2.理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系；
3.认识勾股定理的各种探究方法．
【课前梳理】
阅读课本第66至67页的内容，思考并回答下列问题。
1.直角三角形两个锐角的关系：
2.直角三角形勾股定理：
【课堂练习】
知识点一 勾股定理
1.在直角三角形中，两条直角边分别为3cm和4cm，则斜边的长为（ ）
A.5cm B.7cm C.25cm D.25cm或7cm
知识点二 勾股定理的简单应用
2.如图，字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A.12 B.13 C.144 D.194

第2题图

【当堂达标】
1.直角三角形两边长为3和4，则第三边的平方为
2.如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为　　　　　．（不取近似值）
第2题图

3.底边长为16cm，底边上的高为6cm的等腰三角形的腰长为多少？




4.直角三角形的斜边为15，一直角边为9，则它的面积是多少？




5.在Rt△ABC中，∠C=90°
(1) 已知a=6， c=10，求b
(2)已知a=40，b=9，求c
(3)已知c=25，b=15，求a



6.已知直角三角形两直角边的长为3和4，则此三角形的周长为多少？



7.如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?




【课后拓展】
如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高线AD的长.


3.1探索勾股定理(2)
【学习目标】
1.掌握运用勾股定理解决一些实际问题的方法；
2.理解勾股定理的多种方法验证。
【课前梳理】
阅读课本第68至69页的内容，思考并解答下列问题。
1.搜集关于勾股定理的有趣的人物或故事在班级内分享。
2.勾股定理的内容是_______________________________________。
3.利用下图来验证勾股定理。

【课堂练习】
知识点一 验证勾股定理
1.1876年，美国总统Garfield利用此图验证了勾股定理，你能利用它来验证勾股定理吗？



知识点二 勾股定理的简单应用
2.一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一根木条加固，求这根木条的长。



3.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？




【当堂达标】
1.若△ABC中，∠C=90°，
（1）若a=5，b=12，则c= ；
（2）若a=6，c=10，则b= ；
（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .
2.在下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A.a=32，b=42，c=52 B.a=11、b=12、c=13
C.a=9，b=40，c=41 D.a:b:c=1：1：2
3.等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则面积为（ ）
A.30 cm2 B.130 cm2 C.120 cm2 D.60 cm2
4.一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长( )
A.18cm B.20cm C.24cm D.25cm
5.我方侦查员小王在距离东西向公路500米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外测距仪，侧得汽车与他相距500米，30秒后，汽车与他相距1300米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？





【课后拓展】
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为______cm2.


3.2一定是直角三角形吗
【学习目标】
1.掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用；
2.理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别.
【课前梳理】
阅读课本第73至74 页的内容，思考并解答下列问题。
1.如果直角三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
2.满足a2+b2=c2的三个 ，称为勾股数。
注：数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律；利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将作适当变形，便于计算。
【课堂练习】
知识点 直角三角形的判定
1.下列说法不能推出△ABC是直角三角形的是（ ）
A.a2-c2=b2 B.(a-b)(a+b)+c2=0
C.∠A=∠B=∠C D.∠A=2∠B=2∠C
2.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由。
（1）9,12,15; (2)15,36,39 ； 　（3）12，35，36；　（3）12，18，22



3.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？
C
A
B
北

【当堂达标】
1.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ 　　）
A.8,15,17；　　　B.４，５,６；　　C.５,８,10；　D.8,39,40
2.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
3.如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（ ）
A.25
B.12.5
C.9
D.8.5
4.在△ABC中，∠C=90°，若AB＝5，则++=__________。
5.在△ABC中，AB为最长边，若AC=8，BC=15，则AB=________时，△ABC为直角三角形。
6．如果直角三角形的三条边分别是2，4，a，那么这样的直角三角形的个数为______个。
7.若△ABC的三边ａ、ｂ、ｃ满足（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ2－ｃ2）＝０，则△ABC是（　　　）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形　 D.等腰三角形或直角三角形
8.如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＝90０，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积。



【课后拓展】
如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC= BC，试说明AF⊥EF.


3.3勾股定理的应用举例(1)
【学习目标】
B
a
c
C
A
b
1.运用勾股定理及直角三角形的判别条件（勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题；
2.通过解决实际问题，体会到数学来源于生活，又应用于生活.
【课前梳理】
1.勾股定理： ，几何语言表述为：
在Rt△ABC中，，则
2.如果三角形的三边长a、b、c有关系：　　　　　　 ，
那么这个三角形是直角三角形．
注意：几何体表面上两点之间最短路程的求法：将立体图形展成平面，根据
两点之间线段最短确定最短路线，然后以最短路线的边构造直角三角形，
利用勾股定理求解。
【课堂练习】
知识点 两点间的最短距离
1.一圆柱体的底面周长为16cm，高ＡＢ为6cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

【当堂达标】
1.如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程是________cm．
路



2.如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（　　）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A.6 B.5 C.4 D.3
3.如图，直线上有三个正方形，a、b、c若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）A.4 B.6 C.16 D.55
4.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米， AB=50米，如果在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（ ）
A.50元 B.600元 C.1200元 D.1500元
5.如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，则梯足将向外移（　　）
A.0.6米 B．0.7米 C．0.8米 D．0.9米第5题图

【课后拓展】
如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，到河的距离分别为AC＝10千米、BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD边上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用．

3.3勾股定理的应用举例(2)
【学习目标】
1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题；
B
a
c
C
A
b
2.学会将实际问题转化成数学问题，提高分析问题、解决问题的能力.
【课前梳理】
1.勾股定理： ，几何语言表述为：
在Rt△ABC中，，则
2.如果三角形的三边长a、b、c有关系：　　　　　　 ，
那么这个三角形是直角三角形．
注：遇到直角三角形就要想到勾股定理，有时需要设未知数，并根据
勾股定理列出相应的方程来解.
【课堂练习】
知识点 构造直角三角形，应用勾股定理
1.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到，那么大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？你认为 ( )
A.一定不会 B.可能会
C.一定会 D.以上答案都不对
2.一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部地面半径为2.5cm，高为12cm，吸管斜置于杯中，并在杯口外面至少露出4.6cm，问吸管需要多长？

【当堂达标】
1.若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16 cm,那么它的面积为 ( )
A.48 cm2 B.36 cm2 C.24 cm2 D.12 cm2
2.若△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长是（ ）
A.14 B.4 C.14或4 D.以上都不对
3.已知：如图，在Rt△ABC中，两直角边AC、BC的长分别为6和8，现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
4.下列说法不能推出△ABC是直角三角形的是（ ）
A.a2-c2=b2 B.(a-b)(a+b)+c2=0
C.∠A=∠B=∠C D.∠A=2∠B=2∠C


5.如图，一轮船以16海里／时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里／时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，则离开港口2小时后，两船相距多少海里？





6.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。
（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长


第三章 勾股定理复习学案
【本章目标】
经历勾股定理及直角三角形判别条件的探索过程，并能利用它们解决简单问题。
B
a
c
C
A
b
【知识梳理】
1.勾股定理： ，几何语言表述为：
.在Rt△ABC中，，则
勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个 称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
2.如果三角形的三边长a、b、c有关系：　　　　　　，
那么这个三角形是直角三角形．
3.勾股定理的应用：最短路程、构造直角三角形
【典型例题】
考点一 勾股定理
例1.在直角三角形中，一条直角边长为5，另一条直角边边长为12，则第三条边的平方为（ ）
A.169 B. 119 C. 169或119 D. 以上都不对
例2.如图一，∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长为
图一

巩固训练1
等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为 .
考点二 直角三角形的判别条件
例3.如图二，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13 求四边形ABCD的面积。
图二

例4.三角形的三边长为,则这个三角形是( ) 三角形
A等边 B钝角 C 直角 D锐角

巩固训练2
如图三，已知中，，，边上的中线，试说明：
图三

考点三 勾股定理在实际问题中的应用
例5.如图四，有两棵树，一棵高m，另一棵高m，两树相距m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了　　　　　
图四
图五

巩固训练4
将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图五所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（　　）．
A. h≤17cm　　 B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
【达标测试】
一.选择题
1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　）
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
3.若直角三角形的两条直角边长分别为3cm、4cm，则斜边上的高为 ( )
A. cm B. cm C. 5 cm D. cm
4.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形

5.直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长（ ）
A. 4 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm
二.填空题
6.一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前的高度为为　 　．
7.已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方为
8.在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2= 　
三.解答题
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8．求AC的长．
第9题图

10.如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．
第10题图


11.如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝20，BC＝15，CD＝9．
（1）求AC的长；
（2）判断△ABC的形状并说明．
第11题图

12.如图，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．
（1）连接BC，求BC的长；
（2）求△BCD的面积．
第12题图




13.已知：如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，AD是BC边上的高．
（1）试说明：△ABC是直角三角形；
（2）求AD的长．
第13题图



4.1无理数(1)
【学习目标】
1.感受无理数产生的实际背景和引入的必要性；
2.能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由.
【课前梳理】
阅读课本第86至87页的内容，总结并解答下列问题：
1.
2.在生活中存在既不是 也不是 的数（如a2=2，b2=5中的a，b ），也就是不是有理数的数.
【课堂练习】
知识点一 判断无理数
1.如图，等边三角形ABC的边长为4，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？

【当堂达标】
1.以下各正方形的边长不是有理数的是 ( )
A.面积为49的正方形 B.面积为 的正方形
C.面积为8的正方形 D.面积为1.21的正方形
2.如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则其中△ABC的各边长满足：AB2＝ ，BC2＝ ，CA2＝ .并判定AB、BC、CA是整数吗？ 是分数吗？

3.在下列实数中，无理数是（　　）
A．2 B．3.14 C． D．
4.下面几个数： ，1.010010001…，，3π，，，其中，不是有理数的个数有（ ）
A.2　　　 B.3　　 C.4　　　 D.5
5. ，3.14，－，，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)这些数中，哪些是有理数？哪些不是有理数？




6.我国国旗旗面为长方形，长与宽的比为3：2，国旗通用制作尺寸的一种为长为240cm，宽为160cm，国旗对角线的长可能是整数吗？可能是分数？可能是有理数吗？





7.下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可以得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段。

【课后拓展】
1.面积为2的等腰直角三角形的直角边长是多少？是什么数？
2.面积为3的等腰直角三角形的直角边长是多少？是什么数？
3.若长方形的长、宽分别是3、4，那么它的对角线的长是有理数吗？为什么？
4.若长方形的长、宽分别是3、1，那么它的对角线的长是有理数吗？为什么？
5.正方形的边长和对角线的长可能都为整数吗？

4.1无理数(2)
【学习目标】
1.了解无理数概念的探索过程；
2.会借助计算器进行无理数的估算；
3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断一个数是有理数还是无理数.
【课前梳理】
阅读课本第87至88页的内容，思考并解答下列问题.
1. 无理数的定义：
归纳起来有以下3类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
2.有理数与无理数的主要区别
(1)无理数是 小数，有理数是 小数．
(2)任何一个 都可以化为分数的形式，而 则不能．（填有理数或无理数）
【课堂练习】
知识点一 正确理解无理数的概念
1.下列各数中，3.14159，，0.131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），，，﹣π，，无理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点二 会大致估计一个无理数的大小，形成数感
2.(2018 天津市) 估计的值在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
知识点三 借助计算器估算无理数
3.式子2+的结果精确到0.01为（可用计算器计算）（　　）
A．4.9 B．4.87 C．4.88 D．4.89

【当堂达标】
1.判断下列说法是否正确：
（1）所有无限小数都是无理数（ ） （2）所有无理数都是无限小数 （ ）
（3）有理数都是有限小数（ ） （4）不是有限小数的不是有理数（ ）
（5）分数是有理数（ ） （6）是分数（ ）
2.__________________________________的小数叫无理数.
3.(2018 山东省淄博市)与最接近的整数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
π，0.351，－ ，3.14159，－5.232 33 2 333 2…(相邻两个2之间3的个数逐次加1)，123 456 789 101 112…(由相邻的正整数组成)．在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数．





有理数集合



…


无理数集合








5.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.4583，，－3π，－，18．
有理数：______________________________；无理数：______________________________.
6.以下各数：－1, , 3.14, －π, 3., 0, 2, , , －0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1) ，
其中，是有理数的是_________________________，是无理数的是_______________________________________.
在上面的有理数中，分数有____________________，整数有______________.
【课后拓展】
设面积为5π的圆的半径为．
(1)是有理数吗？说说你的理由．
(2)估计的值(精确到0.1，并利用计算器验证你的估计)．
(3)如果精确到0.01呢？
4.2平方根(1)
【学习目标】
1.知道算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根；
2.会用平方运算求某些非负数的算术平方根，知道二者的互逆关系.
【课前梳理】
1.定义：一般的，如果一个 的_________等于 ，即___________，那么这个__________叫做的算术平方根。记作__________，读作____________.
规定：0的算术平方根是__________，即__________.
2.算术平方根的结果有两种情况：
当a是完全平方数时，是一个 如；
‚当a不是一个完全平方数时，是一个 如。
注意：算术平方根等于本身的数是
3.性质：
的 性：且　　
负数为什么没有算术平方根？
因为x2 =，其中是平方运算的结果，要么是_____，要么是_____，所以负数没有算术平方根.
【课堂练习】
知识点一 求解算术平方根
1.的算术平方根是________；的算术平方根的相反数是__________.
知识点二 的性质
2.若，求x，y的值。




知识点三 比较大小
3.估计大小： 12.（填“＞”或“＜”）
【当堂达标】
1.一个数的算术平方根等于它本身，这个数是
2.下列说法中，正确的是（  ）
A.一个数的算术平方根一定是正数 B.-4 的算术平方根是2
C.-7是的算术平方根    D.如果﹤0，那么没有意义
3.已知正方形的边长是，面积是S，下列说法中正确的是（   ）
①S= 2， ②= S， ③S是的算术平方根 ④是S的算术平方根 
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
4.求下列各数的算术平方根：
⑴144   (2)－（－3.61）  (3) (－7)2 （4）0.0001

5.小明计划用100块地砖来铺设面积为16的客厅，求所需要的正方形地砖的边长.





【课后拓展】
1.的算术平方根是 .
2.要使有意义，则a得取值范围是 。
3.在数轴上表示实数a的点如图所示，化简的结果为          。
第3题图
4.小亮卧室的地面是长4米，宽3米的矩形，计划用48块大小相同的正方形地板砖铺设地面，求每块地板砖的边长?
4.2平方根(2)
【学习目标】
1.知道平方根的定义、性质和开平方的定义；
2.会求一个数的平方根；
3.能区别平方根与算术平方根.
【课前梳理】
阅读课本第92至94页的内容，思考并解答下列问题.
1.平方根的定义：
如果一个数x的平方等于，即____________，那么这个数____就叫做 的平方根。记为“__________”，读作“________________”.
2.平方根的性质:
一个正数有_____个平方根.0只有_______平方根，它是_______；负数_______平方根.
注意：平方根等于本身的数是
（1）==　　 　（2）　　（）
3.开平方的定义：（平方与开平方互为逆运算）
求一个数的___________的运算，叫做开平方，其中叫做___________.
4.平方根与算术平方根的联系与区别
联系：(1)具有包含关系： 包含 .
(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.
(3)0的平方根是 ，算术平方根是 .
区别：(1)定义不同：“ 叫做a的平方根”；
“ 叫做a的算术平方根”.[
(2)个数不同：一个正数有 平方根，而一个正数的算术平方根 个.
(3)表示法不同：正数a的平方根表示为 ，算术平方根表示为 .
(4)取值范围不同：正数平方根一正一负，互为相反数；正数算术平方根只有一个.
【课堂练习】
知识点一 求一个数的平方根
1.求下列各数的平方根(1)12.1；(2)0.01；(3)2；(4)(－13)；(5)－(－4)


知识点二 平方根的性质
2.已知a+6和2a-15是数m的两个不同的平方根，求数m的值。



【当堂达标】
1.判断：
（1）是2的平方根；（ ） （2）是2的平方根； （ ）
（3）2的平方根是；（ ） （4）2的算术平方根是. （ ）
2.平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是
3. = _______； （）2 = ______
4.若，x+y= 。
5.求满足下列未知数的x.
（1） （2）




6.已知一个正数x的两个平方根分别是+4和-2，求与x的值.


【课后拓展】
1.的平方根是_______；（）2的平方根是_______.
2.已知x是4的算术平方根，y是25的平方根，求x2+y2+x+2的值.





3.若，则x=_________；若，则n= ________。
4.已知9.972=99.4009，9.982=99.6004，9.992=99.8001，求之值的个位数字为何？（　　）
A．0 B．4 C．6 D．8
4.3立方根
【学习目标】
1.理解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；
2.知道一个数的立方根的性质；
3.学会用类比学习法学习新知.
【课前梳理】
阅读课本第95至96页的内容，思考并解答下列问题.
1.定义：如果一个数的立方等于，这个数就叫做的 .（或 ）.
换句话说，如果 ,那么x叫做的立方根或三次方根. 记作： .
读作“ ”.
注意：符号中根指数“3”不能省略；
2.性质： 正数的立方根是一个 。
负数的立方根是一个 。
０的立方根是 。
注意：立方根等于本身的数是
3.开立方与立方互为逆运算
　开立方的定义：求一个数的立方根的运算。
注意：灵活运用公式：()3=, ，=.
【课堂练习】
知识点一 求一个数的立方根
1.﹣8的立方根是（　　）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．﹣
知识点二 立方根的性质
2.求x的值：






【当堂达标】
1.的平方根与－8的立方根之和是（ ）
A.0 B.－4 C.0或－4 D.4
2.如果，那么是（ ）
A.±1 B.1，0 C.±1，0 D.以上都不对
3.求下列各数的立方根
⑴ ⑵ ⑶



4.求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4）



5.将一个体积为216的正方体分成等大的8个小正方体，求每个小正方体的表面积.





【课后拓展】
1.（1）若，则x= __________； 若，则x =__________；
（2）的平方根是 ； ；
（3）制作一个无盖的正方体水箱，使其容积为0.729M3,则需要铁皮 ㎡.
2.一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的27倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的1000倍呢？体积变为原来的n倍呢？

4.6实数(1)
【学习目标】
1.了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；
2.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
【课前梳理】
自主学习 阅读课本103——104页，回答下列问题：
1.实数： 和 统称为实数。
2.实数的分类：
（1) 按定义分： (2)按正负分：




3.实数的运算
(1)实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义同有理数范围内完全一样；
(2)实数范围内，加、减、乘、除、乘方的运算顺序和运算律同有理数范围内完全一样。
4.实数和数轴上的点的对应关系：
和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．
数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
【课堂练习】
知识点一 实数的分类
1.把下列各数分别填入相应的集合内：
，，， π， ，，，，，，0 ，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）



…

有理数集合



…


无理数集合

知识点二 掌握相反数、绝对值、倒数等概念
2.(2018 山东省潍坊市)|1﹣|=（　　）
A．1﹣ B．﹣1 C．1+ D．﹣1﹣
知识点三 实数与数轴的关系
3.(2018 山东省枣庄市)实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（　　）
第3题图
A． |a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0
【当堂达标】
1. 和 -互为相反数.
2.小奇设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2﹣3b﹣5，例如把（1，﹣2）放入其中，就会得到12﹣3×（﹣2）﹣5=2．现将实数对（m，3m）放入其中，得到实数-5，则m=　　　　　　．
3.如图，以数轴的单位长度为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）.
A.1 B.1.4 C. D.第3题图
4.把下列各数填入相应的集合
-，－，，，0，－，3.1415926，0.31，0.8989989998…（相邻两个8之间9的个数逐次加1）.
有理数集合{ …}
无理数集合{ …}
正实数集合{ …}
负实数集合{ …}
【课后拓展】
1.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,x是2的算术平方根,求的值.



2.若a、b、c满足，求代数式的值.
4.6实数(2)
【学习目标】
1.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样；
2.知道有理数的运算法则在实数范围内仍然适用； 会比较实数的大小.
【课前梳理】
1.估算无理数的方法：
（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围，在真正值的范围内取出近似值。
注意：“精确到”与“误差小于”意义不同。
如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。
2.实数大小比较的方法
（1）求差法：设a、b是实数，
（2）平方法：设a、b是两正实数，则。
设a、b是两负实数，则。
（3）求商法：设a、b是两正实数，
【课堂练习】
知识点一 实数的运算
1.计算：32﹣|﹣2|﹣（π﹣3）0+



知识点二 估算无理数
2.如图，已知正方形的边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是（　　）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
知识点三 比较大小
3.将实数，π，0，﹣6由小到大用“＜”号连起来，可表示为　　　　　　．
【当堂达标】
1.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（　　）
A.5 B.6 C.7 D.8
2.如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断那一点所表示的数与
11﹣2最接近？(　　)
第2题图
A.A B.B C.C D.D
3.计算：
(1)（）﹣1﹣（﹣2）0﹣|﹣3|+． （2）



（3）（）﹣1+（﹣1）0-2×（﹣3） （4）-．



【课后拓展】
1.（2017•泰安）下列四个数：﹣3，﹣，﹣π，﹣1，其中最小的数是（　　）
A．﹣π B．﹣3 C．﹣1 D．﹣
2.时，的大小排序是（ ）

3.（2016•泰安）如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（　　）
第3题图
A．p B．q C．m D．n
4.任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72[]=8[]=2[]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行　　　　　　次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是　　　　　　．
第四章 实数复习学案
【本章目标】
1.感受学习无理数的必要性；
2.在学习实数的有关概念和运算法则时，感受类比的思想；
3.能进行实数运算，解决简单的问题；
4.根据实际要求选择恰当的方法，估计实数的大小.
【知识梳理】
1.无理数是 小数，归纳起来有以下3类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
2.算术平方根
（1）定义：一般的，如果一个 的_________等于 ，即___________，那么这个__________叫做的算术平方根。记作__________，读作____________.
规定：0的算术平方根是__________，即__________.
（2） 的结果有两种情况：
当a是完全平方数时，是一个 如；
‚当a不是一个完全平方数时，是一个 如。
注意：算术平方根等于本身的数是
（3）性质：
的 性：且　　
3.平方根
（1）定义： 如果一个数x的平方等于，即____________，那么这个数____就叫做 的平方根。记为“__________”，读作“________________”.
（2）性质:正数有______个平方根，用 表示；
0只有_______个平方根，它是____________；
负数_______平方根.
注意：平方根等于本身的数是
=　　 　‚（）
（3）平方与开平方互为逆运算
开平方的定义：求一个数的___________的运算，叫做开平方，其中叫做___________.
4.立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于，呢么这个数叫做的 ，记作 读作：“ ”，
（2）性质： 正数的立方根是一个 。
负数的立方根是一个 。
０的立方根是 。
注意：立方根等于本身的数是
（3）开立方与立方互为逆运算
　 开立方的定义：求一个数的立方根的运算。
5.实数： 和 统称为实数
（1）实数的分类：
① 按定义分： ② 按正负分;

（2）实数的运算
实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义同有理数范围内完全一样；
‚实数范围内，加、减、乘、除、乘方的运算顺序和运算律同有理数范围内完全一样。
（3）实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．
数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
（4）实数大小比较的方法
求差法：设a、b是实数，
‚平方法：设a、b是两正实数，则。
设a、b是两负实数，则。
ƒ求商法：设a、b是两正实数，
【典型例题】
考点一 无理数的判断
例1.一组数 这几个数中，无理数的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
巩固训练1.
下列4个数：、、π、（）0，其中无理数是（　　）
A． B． C. D．（）0
考点二 算术平方根、平方根、立方根有关概念
例2.下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
巩固训练2.
一个自然数的算术平方根是x，把么下一个与他它相邻的自然数的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
例3.下列说法正确的是（　 ）．
A．（-5）是的算术平方根 B．16的平方根是
C．2是-4的算术平方根 D．64的立方根是
巩固训练3.
若一个数的平方根是，则这个数的立方根是（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
考点三 实数有关概念和计算
例4.若a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，则ab=　　　　　　．
巩固训练4.
实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（　　）
A．a B．b C．c D．d
例5.计算：|1﹣|-﹣（3.14﹣π）0﹣（﹣）﹣1=　　　　　　．
巩固训练5.
在|﹣2|，20，2﹣1，这四个数中，最大的数是（　　）
A．|﹣2| B．20 C．2﹣1 D．
【达标测试】
一、选择题
1.下列各数中，3.14159，，0.131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），﹣π，，，无理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.的算术平方根是（　　） A．2 B．±2 C． D．±
3.下列各组数中，互为相反数的一组是（　　）
A.﹣2与 B.﹣2与 C.﹣2与﹣ D.|﹣2|与2
4.如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（　　）
A.﹣1 B.1﹣ C.2﹣ D.﹣2
5.下列说法不正确的是（　　）
A.1的平方根是±1 B.﹣1的立方根是﹣1
C.是2的平方根 D.﹣3是的平方根
二、填空题
6.﹣（）2=　 　．
7.比较大小：﹣　 　﹣．
8.的整数部分是 小数部分是　 　．
9.若为实数，且，则的值为　 　．
10.若将三个数-，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是　 　．
三、解答题
11.计算：．


12.已知一个正数的平方根是和，则这个正数是多少？



13.已知：的平方根是±2，的立方根是3，求的算术平方根．
5.1确定位置
【学习目标】
1.在现实情境中感受确定物体位置的多种方式和方法。
2.会确定平面内点的位置； 会用一对有序数确定平面内点的位置。
【课前梳理】
自学课本P114-P116，体会用有序数表示平面内点的位置.
1.在平面内要确定一个点的位置，一般需要________个数据；
在空间内要确定一个点的位置，一般需要________个数据．
2.平面内确定位置的几种方法:
（1）行列定位法：在这种方法中常把平面分成若干行、若干列，然后利用______和______表示平面上点的位置，在此方法中，要牢记某点的位置需要两个互相独立的数据，两者缺一不可。  
（2）方位角距离定位法：需要_________和_______。  
（3）经纬定位法：它也需要两个数据_________和_______。  
（4）区域定位法：只描述某点所在的大致位置。如“解放路22号”。
【课堂练习】
知识点一 确定位置
1. 在平面内，确定物体的位置需要 个数据.
2. 下列数据不能确定物体位置的是（ ）
A.4楼8号 B.北偏东30° C.希望路30号 D.东经118°，北纬40°
3. 如果用有序数对(3,2)表示教室里第3列第2排的座位,则第5列第4排的座位记作( )
A.(4，5) B.(5，5) C.(4，4 ） D.（5，4）
4.如图所示，准确表示小岛A相对于灯塔O的位置是________________.

【当堂达标】
1.下列关于有序数对的说法正确的是（ ）
A.（3，4）与（4，3）表示的位置相同
B.（，）与（，）表示的位置肯定不同
C.（3，5）与（5，3）是表示不同位置的两个有序数对
D.有序数对（4，4）与（4，4）表示两个不同的位置
2.2019年4月泰安市中学生春季运动会在明湖中学体育场举行，由明湖中学的学生组成的仪仗队通过主席台，若同学甲站在第6行第8列，可以表示为(6，8)，则同学乙站在第7行第20列，应表示为(　　)
A. (7，20) B.(20，7) C.(7，6) D.(6，7)
3.如图所示，圆的直径是4cm，点B的位置在点O的____________________处，点C的位置在点O的____________________处.
4.如图所示一张脸，小强对小亮说：如果我用(1，3)表示左边的眼，用(3，3)表示右边的眼，你说嘴的位置是__________.

5.如图所示,如果点A的位置为(2,1)，那么点B的位置为_________，点C 的位置为________，点D和点E的位置分别为__________，_________.

【课后拓展】
1.如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（-4,2），点B的坐标为（2，-4），则坐标原点为（  ）。
A.O1 B.O2 C.O3 D.O4

2.小明的家在学校的北偏东45°方向，距离学校 3km 的地方，请在图中标出小明家 P 的位置.
5.2平面直角坐标系(1)
【学习目标】
1.知道平面直角坐标系及相关概念，会建立适当的直角坐标系；
2.在给定的直角坐标系中，会根据坐标轴描出点的位置，由点的位置写出它的坐标.
【课前梳理】
阅读118页旅游景点的示意图，回答下列问题：
1.在平面内，两条 数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫 或 ，向_______为正方向；铅直的数轴叫 或 .向_______为正方向；两条数轴交点叫平面直角坐标系的_________。
2.坐标平面上的任意一点P的坐标，都和唯一的一对有序实数对（a，b）一一对应；其中，a为 坐标，b为 坐标，括号内横坐标写在纵坐标前面，中间用逗号隔开。
3.在直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成四部分，从右上部分开始，逆时针依次为 、 、 、 。
注意：坐标轴上的点不在任何一个象限内。
【课堂练习】
知识点一 平面直角坐标系概念
1.下列说法正确的是（ ）
A.平面内，两条互相垂直的直线构成数轴。 B.坐标原点不属于任何象限。
C.X轴上的点必是纵坐标为0，横坐标不为0。D.坐标为(3, 4)与（4，3）表示同一个点。
知识点二 坐标与象限
2.如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（　　）

A．景仁宫（4，2）)B．养心殿（﹣2，3）C．保和殿（1，0）D．武英殿（﹣3.5，﹣4）
【当堂达标】
1.下列说法正确的是（ ）
A.点P（0，5）在X轴上 B.点A（-3，4）与点B(3,-4)在x轴的同一侧
C.点M（-a，a）在第二象限 D.坐标平面内的点与有序数对是一一对应的
2.点P（-2，m）在第二象限的角平分线上，则m =＿＿＿＿.
3.如点A(-5,0),点B也在x轴上且A,B两点间的距离AB=2,则点B的坐标是 .
4.已知点A在x轴上方，到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，那么点A的坐标是_________
5.如下图，求出A、B、C、D、E、F的坐标.
【课后拓展】
1. 如图所示的平面直角坐标系中描出A（2，3），B（5，-2），C（-3，-2）三点，并用线段将A、B、C三点依次连接起来，你能求出它的面积吗？

2.在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：
（1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）；
（2）g（m，n）=（﹣m，﹣n），如g （2，1）=（﹣2，﹣1）
按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4）=（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]=　　　　　　．
5.2平面直角坐标系(2)
【学习目标】
1.会分析坐标轴上及各象限内点的坐标的特征；
2.通过对一些点的坐标进行观察，探索坐标轴上点的坐标有什么特点，纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，培养探索意识和能力.
【课前梳理】
1.坐标轴上的点不属于任何象限，它们的坐标特征为：
在x轴上的点______坐标为0；
在y轴上的点______坐标为0 .
2.平行于坐标轴的点的坐标特征：
平行于x轴的直线上的点______坐标相同；
平行于y轴的直线上的点_______坐标相同．
3.坐标轴把平面分隔成四个象限。根据点所在位置填表
点的位置
横坐标符号
纵坐标符号
第一象限


第二象限


第三象限


第四象限



4.若P的坐标为(a,b)，则：
P到x轴距离为_______，P到y轴距离为_______．P到原点距离为_________________．
5.两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：
若点P（m，n）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标_____________；
若点P（m，n）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标_____________。

【课堂练习】
知识点一 平行于坐标轴的点
1.已知线段AB平行于y轴，且已知A(2，-6)，B(x，3)，那么x=________.
知识点二 各象限内点的坐标符号特征
2.在点A（-2，-4）、B（-2，4）、C（3，-4）、D（3，4）中,属第一象限的点是 ，属第二象限的点是 ,属第三象限的点是 ,属第四象限的点是 .
知识点三 点到坐标轴的距离
3.直角坐标系中，点P（x，y）到x 轴、y 轴距离分别为3，７，则P 点坐标
为
知识点四 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征
4.已知点P（x2-3，1）在一、三象限夹角平分线上，则x= .

【当堂达标】
1.点（5，4）在第_______象限，点（-1.5，-1）在第_________象限；
2.点（-3，0）在______轴上；若点（1-，b-5）在y轴上，则_____________；
3.若点（-1, )在第二象限，则的取值范围是_________，b的取值范围__________；
4.若点P在第四象限，它的横坐标与纵坐标的和为-1，则点P的坐标可以是 ；（写出两组满足条件的坐标）
5.已知点P（x，y）在第四象限，且|x|=3，|y|=5，则点P的坐标是 _________．
6.如点(2m,m-4)在第四象限,且m为偶数,则m= .
7.在平面直角坐标系中，点（-1，m2+1）一定在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.点P(x，y)的坐标x，y满足xy=0，则点P在(　　)
A.x轴上 B.y轴上 C.坐标轴上 D. 原点
9.若点P(m , 3-m)在第一象限 , 则m应满足的条件是 ( )
A.m<0 B.m>3 C.03
10.若点P（，）在第四象限，则点M（-,-）在第 　 象限.

【课后拓展】
1.如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O，A，B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（，）．
如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为_________；

5.2平面直角坐标系(3)
【学习目标】
1.能结合所给图形的特点，建立适当的坐标系，写出点的坐标；能结合具体情景灵活运用多种方式确定物体的位置；
2.能根据一些特殊点的坐标复原坐标系.
【课前梳理】
1.确定直角坐标系
（1）分析条件，选择适当的点作为坐标 （使尽可能多得点落在坐标轴上）；
（2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出 轴和 轴；
（3）确定正方向、单位长度。
【课堂练习】
知识点一 建立平面直角坐标系确定点的坐标
1.对于边长为6的正△ABC，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标.

【当堂达标】
1.如图所示，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点（2，2），“炮”位于点（-1，2），写出“兵”所在位置的坐标 ．
2.用两个数字来确定一个点的位置是常用的确定位置的方法，如图,A点用（2,3）来表示，那么B点的位置为 ．

3.如图：正方形ABCD中点A和点C的坐标分别为（-2,3）和（3，-2），则点B和点D的坐标分别为（  ）。
A.（2,2）和（3,3）B.（-2,-2）和（3,3）C.（-2,-2）和（-3,-3）D.（2,2）和（-3,-3）
4.一只蚂蚁由（0，0）先向上爬4个单位长度，再向右爬3个单位长度，再向下爬2个单位长度后，它所在位置的坐标是_________。
5.某地为了发展城市群，在现有的四个中小城市A、B、C、D附近新建机场E，试建立适当的直角坐标系，并写出各点的坐标.

6.如图，这是我军缴获的敌人埋设地雷的地图。通过破译的密码知道，一棵大树作为参照物，树的坐标是（10，-10）。这个区域埋设地雷的坐标分别是（10，20），（20，40），（30，30），（0，50），（-50，-40），（-40，40），(50,-30)，（ -10,0）.
请在图中描出地雷的埋藏点，并在图上标出坐标，为我扫雷部队提供准确情报.
7.如图所示是某战役缴获敌军防御工事坐标地图的碎片,依稀可见:一号暗堡A的坐标为（4,3）,五号暗堡B的坐标为（-2,3）,另有情报得知敌军指挥部的坐标为（-3，-2）.请你在图中画出直角坐标系,并且标示出敌军指挥部的位置.

【课后拓展】
1.在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线y=x对称点的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
2.一个机器人从点O出发，向正东方向走3m到达点A1，再向正北方向走6m到达点A2，再向正西方向走9m到达点A3，再向正南方向走12m到达点A4，…，按此规律走下去，当机器人走到点A6时，离起点O 的距离是 。
5.3轴对称与坐标变化(1)
【学习目标】
1.在同一直角坐标系，感受图形上点的横、纵坐标的变化与图形的轴对称之间的关系；
2.经历图形的坐标变化与图形的轴对称之间的关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识.
【课前梳理】
1.点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标是　　 　；
关于x轴对称的两个点的坐标特点：横坐标 ，纵坐标 。
2.点P（a，b）关于y轴对称的点的坐标是　　　　；
关于y轴对称的两个点的坐标特点：横坐标 ，纵坐标 。
3.点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是　　　　；
关于原点对称的两个点的坐标特点：横坐标 ，纵坐标 。
口诀：关于谁，谁不变；关于原点，都改变。

【课堂练习】
知识点一 轴对称与坐标变化
1.关于x轴或y轴对称的两个点的坐标的关系如图，
点A，B，C，D的坐标分别为_______，_______，_______，________，
（1）作出点A，B，C，D关于x轴的对称点A1，B1，C1，D1，则A1，B1，C1，D1的坐标分别为________，________，________，_________.
（2）作出点A，B，C，D关于y轴的对称点A2，B2，C2，D2，则A2，B2，C2，D2的坐标分别为________，________，________，________.
（3）作出点A，B，C，D关于原点的对称点A3，B3，C3，D3，则A3，B3，C3，D3的坐标分别为________，________，________，________.



【当堂达标】
1.已知A、B两点的坐标分别是(－2，3)和(2，3），则下面四个结论：①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④A、B之间的距离为4，其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知：△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，如果△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A1的坐标为(　　)
A.(-4，2)　　B.(-4，-2) C.(4， 2) D.(4，2)

3.点 A（2，- 3）关 于 x 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是 ；关 于 y 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是 .
4.点（m，- 1）和点（2，n）关于 x轴对称，则 mn等于( )
A.- 2 B.2 C.1 D.- 1
5.点P 关于 x 轴对称点P＇的坐标为（4，-5）,那么点 P 关于 y 轴对称点 P" 的坐标为( )
A.(-4，5) B.(4，-5) C.(-4，-5) D.(-5，-4)
【课后拓展】
1.已知A（2,a）B(-b,4），分别根据下列条件求a、b,的值.
(1) 若A,B关于y轴对称，则a= ，b= .
(2)若A,B关于x轴对称，则a= ，b= .
2.已知△ABC为等边三角形，它的一个顶点为B（3,0）顶点C与顶点B关于y轴对称
（1）求点C的坐标；（2）求△ABC的边长；（3）确定顶点A的坐标.
5.3轴对称与坐标变化(2)
【学习目标】
1.在同一直角坐标系，感受图形上点的横、纵坐标的变化与图形的轴对称之间的关系；
2.经历图形的坐标变化与图形的轴对称之间的关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识.

【课前梳理】
1.若两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数，则这两个点关于 对称；
2.若两个点纵坐标相同，横坐标互为相反数，则这两个点关于 对称；
3.横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，则所得图形与原图形关于　　 对称.
4.纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，则所得图形与原图形关于　　 对称.[来

【课堂练习】
知识点一 轴对称与坐标变化
1.如下图，在第一象限里有一只“蝴蝶”，在第二象限里作出一只和它形状、大小完全一样的“蝴蝶”，并写出第二象限中“蝴蝶”各个“顶点”的坐标。网]

【当堂达标】
1.已知A(－3，5)，则该点关于x轴对称的点的坐标为_________；关于y轴对的点的坐标为____________；关于原点对称的点的坐标为___________；关于直线x=2对称的点的坐标为____________。
2.将△ABC的三个顶点的横坐标乘以-1，所得图形与原图形的关系是(　　)
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.△ABC沿y轴负方向平移了1个单位长度
3.若P（, 3－b）,Q(5, 2)关于y轴对称，则= ， b=______.
4.P(－5，4）到x轴的距离是________，到y轴的距离是_______,关于y轴的对称点为 .
5.如下图所示，（1）在平面直角坐标系中依次连接下列各点：（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，0），你得到了一个怎样的图案？
（2）将所得的图案的各个顶点的纵坐标保接不变，横坐标分别乘－1，依次连接这些点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案又有怎样的位置关系呢？

6.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A.C的坐标分别为（-4，5），（-1，3）.
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出三角形ABC关于x轴对称的三角形A1B1C1；
（3）写出点B1的坐标.

【课后拓展】
1.已知点P的坐标是(,)，且点P关于轴对称的点的坐标是(,)，则
m= n= ；
2.若 关于原点对称 ，则m= n= ；
3.已知，则点（，）在 。
第五章 位置与坐标复习学案
【本章目标】
1.感受多种确定位置的方法，形成一定的空间想象能力；
2.认识平面直角坐标系，并借助平面直角坐标系来确定物体的位置，形成数形结合意识；
3.体会图形坐标的变化与轴对称图形变化之间的关系。
【知识梳理】
1.平面内确定一个物体的位置需要 个数据。
2.在平面内,两条互相_____且具有公共_____的数轴组成平面直角坐标系.其中水平方向的数轴叫_____或______,向_____为正方向；竖直方向的数轴叫_______或______，向____为正方向；两条数轴交点叫平面直角坐标系的_____。
3.坐标平面上的任意一点P的坐标，都和唯一的一对有序实数对（a，b）一一对应；其中，a为 坐标，b为 坐标；
4.平面直角坐标系内特殊点的坐标特征:
（1）四个象限的点的坐标的符号具有如下特征：
象限
横坐标x
纵坐标y
第一象限


第二象限


第三象限


第四象限








（2）坐标轴上的点不属于任何象限，它们的坐标特征
①在x轴上的点______坐标为0；
②在y轴上的点______坐标为0 。

（3）平行直线上的点的坐标特征：
①在与轴平行的直线上， 所有点的 坐标相等；
②在与轴平行的直线上，所有点的 坐标相等；

（4）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：
①若点P（m，n）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标 ；
②若点P（m，n）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标 ；
（5）在平面直角坐标系中，已知点P（a，b）到x轴，y轴，到原点O的距离，则

（1）点P到轴的距离为 ；
（2）点P到y轴的距离为 ；
（3）点P到原点O的距离为PO＝
5.(1)若两个图形关于x轴对称．则对应各点横坐标________，纵坐标互为___________．
(2)若两个图形关于y轴对称，则对应各点纵坐标________，横坐标互为___________．
(3)若两个图形关于原点对称，则对应各点横坐标互为________，纵坐标互为________．
口诀：关于谁，谁不变；关于原点，都改变。
【典型例题】
考点一 平面直角坐标系概念
例1.在平面直角坐标系内，下列说法错误的是（ ）
A.原点O不在任何象限内 B.原点O的坐标是0
C.原点O既在X轴上也在Y轴上 D.原点O在坐标平面内
巩固训练1.
平面内点的坐标是（ ）
A.一个点 B.一个图形 C.一个数 D.一个有序数对
考点二 特殊点坐标特征
例2.点(，)不可能在（ ）
A.第一象限　　B.第二象限　　 C.第三象限　 　D.第四象限
巩固训练2.
如果a－b＜0,且ab＜0,那么点(a，b)在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例3.已知点P（a-1，a2-9）在轴的负半轴上，则P点坐标为 ；
巩固训练3.
点P(m+2,m-1)在y轴上,则点P的坐标是 .
例4.平行于x轴的直线上的点的纵坐标一定（　　）
A.大于0　　　B.小于0　　　C.相等　　　D.互为相反数
巩固训练4.
已知线段AB=3，AB∥x轴，若点A的坐标为（-1，2），则B点的坐标为 ；
例5.已知点P（x2-3，1）在一、三象限夹角平分线上，则x= .
巩固训练5.
已知点A（-4,a）在第三象限的角平分线上，则 ；
例6.X轴上的点P到Y轴的距离为2.5,则点P的坐标为（ 　）
A.（2.5,0) 　B.(-2.5,0) 　C.(0,2.5) D.(2.5,0)或(-2.5,0)
巩固训练6.
点A(2,3）到x轴的距离为　　　；点B(-4,0)到y轴的距离为　　　；点C到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第三象限，则C点坐标是　　　　。
考点三 对称点的坐标特征
例7.若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则此点一定在（　　）
A．原点 B．两坐标轴第一、三象限夹角的平分线上
C．x轴上 D．两坐标轴第二、四象限夹角的平分线上
巩固训练7.
若+（b+2）2=0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为_______．
考点四 在平面直角坐标系中，特殊图形点的坐标
例8.已知等边△ABC的两个顶点坐标为A（-1，0），B（1，0）.求：
（1） 点C的坐标；（2）△ABC的面积。



巩固训练8.
如图，正方形ABCD以（0，0）为中心，边长为，求各顶点的坐标．

【达标测试】
一、选择题
1.在平面直角坐标中，点M(－2，3)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.过点A（2，-3）且垂直于y轴的直线交y轴于点B，则点B坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（0，-3） D．（-3，0）
3.已知A（－3，2m－1）在x轴上， B（n＋1，4）在y轴上，则点C（m，n）在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点（-1，-2），“馬”位于点（2，-2），则“兵”位于点（ ）
A.（-1,1）B.（-2，-1）C.（-3,1）D.（1，-2）

5.如图，在直角坐标系中，△AOB的顶点O和B的坐标分别是O（0，0），B（6，0），且∠OAB＝90°，AO＝AB，则顶点A关于轴的对称点的坐标是 （ ）
A.（3，3） B.（-3，3） C.（3，-3） D.（-3，-3）

二、填空题
6.点M(3,0) 到点N(-2,0) 的距离是________；点P(5,-12) 到原点的距离是________；
7.在平面直角坐标系中，已知点P（m+5，m-2）在x轴上，则P点坐标为____________。
8.已知x轴上一点A（3，0），y轴上一点B（0，b），且AB=5，则b的值为 ；
9.已知点P（2a-3,3）和点A（-1,3b+2）关于x轴对称，那么a+b= ；
10.如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2，-1），则△ABC的面积为 平方单位。

三、解答题
11.已知：A（1+2a，4a-5），且点A到两坐标轴的距离相等，求A点坐标．




12.点A (0,-3)，点B(0,-4) ,点C 在x 轴上，如果△ABC 的面积为15，求点C的坐标.



13.在平面直角坐标系中，已知：A（1,2），B（4,4）,在轴上确定点C，使得AC+BC最小。



6.1函数
【学习目标】
1.初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数；
2.根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值.

【课前梳理】
阅读课本第144至146页的内容，思考并解答下列问题.
1.定义：一般地，在某个变化过程中，有两个 x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称 是 的函数，其中x是自变量，y是因变量.
2.表示函数之间的关系常用  、  、  三种方法．
注意：x与y的对应关系，在变化过程中一个x值只能确定一个y值，而不同的x值可以确定相同的y值，如：y=x²也符合函数的定义是函数，但y²=x不是函数.
3.函数值
对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x＝a时，函数有唯一确定的对应值y，这个对应值，叫做x＝a时的函数值．

【课堂练习】
知识点一 函数的定义
1.下列各图像中，y不是x的函数的是（ ）

知识点二 函数的表示方法
2.均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（ 　　） 知识点三 函数值
3.已知函数y=3x-2, 当x=1时，则函数值y=

【当堂达标】
1.下列关系中，y不是x的函数的是（ ）
A.y+x=0 B.| y|=2x C.y=|2x| D.y+2x²=4
2.（2015•娄底）如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数F（N）与时间t（s）的函数图象大致是（　　）

3.下列图象中，表示是的函数的个数有（　　）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图，某个函数的图象由线段AB和BC组成，其中点A（0，），B（1，），C（2，），则此函数的最小值是（　　）
A．0 B． C．1 D．
5.已知等腰三角形的周长为20 cm,则腰长y(cm)与底边x(cm)的函数关系式为 。
6.2一次函数
【学习目标】
1.掌握一次函数和正比例函数的概念，能根据所给的信息确定一次函数的表达式；
2.经历一次函数概念的抽象概括过程，努力拓展自己的抽象思维能力.
【课前预习】
自学课本第148至150页的内容，思考并解答下列问题.
1.若两个变量x、y间的关系式可以表示成 （k、b为常数k≠0）的形式，则称 （x为自变量，y为因变量）.
特别地，当b=0时，即 （k常数且k≠0），称 .
注意：一次函数与正比例函数的辨证关系.可以用下图来表示:
一次函数
正比例函数

2.确定函数有意义的方法：
（1）关系式为整式时，函数自变量为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
【课堂练习】
知识点一 一次函数的定义
1.下列函数（1）y=πx (2)y=2x－1 (3)y= (4)y=－3x (5)y=x2－1中，是一次函数的有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
知识点二 正比例关系
2.已知y与x+2成正比例，且x＝1时y＝－6．求y与x之间的函数关系式





知识点三 函数有意义的条件
3.函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣5 B．x≤﹣5 C．x≥5 D．x≤5
【当堂达标】
1.下列函数中，是一次函数的有_____________，是正比例函数的有______________
（1） （2） （3） （4）
（5）y=2x （6） （7）
2.下列说法不正确的是( )
A.一次函数不一定是正比例函数 B.不是一次函数就一定不是正比例函数
C.正比例函数是特定的一次函数 D.不是正比例函数就不是一次函数
3.今年植树节，同学们种的树苗高约1.80米。据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高0.35米，则树高y与年数x之间的函数关系式是_____________，它是_______函数，同学们在3年之后毕业，则这些树高________米.
4.某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表
质量x（千克）
1
2
3
4
售价y（元）
3.60+0.20
7.20+0.20
10.80+0.20
14.40+0.2
由上表得y与x之间的关系式是
【课后拓展】
1.已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时,
(1)此函数为一次函数? (2)此函数为正比例函数?




2.将长为30厘米，宽10厘米的长方形纸条，按图中所示的方法黏合起来，黏合的部分的宽为3厘米.
（1）求5张白纸黏合后的长度。
（2）设x张白纸黏合后的总长度为y厘米，写出y与x之间的关系式.
（3） 当黏合后的总长度为543厘米时，请问这是由几张白纸黏合而成的.

6.3一次函数的图像(1)
【学习目标】
1.掌握正比例函数的图象的画法；
2.理解并掌握正比例函数的图象和性质.
【课前梳理】
阅读课本第152至154页的内容，思考并解答下列问题.
1．函数图象的概念：把一个函数的 与对应的 的值作为点的 和 ，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
2.描点法画函数图形的一般步骤
第一步： （表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步： （在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步： （按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
3.正比例函数的性质
（1）正比例函数是一条 ，它一定经过 点.
（2）因为过 点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，通常是（ ， ）和（ ， ） .
（3）当k＞0时，直线经过 象限，从左到右呈 趋势，即随的增大而 ；
当k＜0时，直线经过 象限，从左到右呈 趋势，即随的减小而 .
【课堂练习】
知识点一 函数的图像
1.下列图象哪个可能是函数y=-8x的图象（ ）

知识点二 正比例函数的性质
2.函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )
A. B. C. D.
3.已知点（2，-4）（-1，m）在正比例函数y=kx的图象上.
(1)求k和m的值；
(2)若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）在函数y=kx的图象上,且x1＜x2＜x3,试比较y1、y2、y3的大小.


【当堂达标】
1.若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为（　　）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
2.关于函数y=-2x，下列判断正确的是( )
A.图象必过点（-1，-2） B.图象经过一、三象限
C.y随x增大而减小 D.不论x为何值都有y<0
3.已知正比例函数的图像过第二、四像限，则（ ）
A.y随x的增大而增大 B.y随x的增大而减小 C.不论x如何变化，y不变
D.当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减少
4．（ 2014•广西贺州）已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y=x的图象上的两点，则y1　　y2（填“＞”或“＜”或“=”）．
5.设函数是正比例函数，且图像过一、三像限，则m的值为 .
6.（2014年云南省）写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y=kx（k≠0）的解析式（关系式）　 　．
【课后拓展】
1.一个函数的图像是经过原点的直线，并且这条直线经过点（1，-3），求这个函数解析式.






2.（1）已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x的值.
（2）已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x-1成正比例，且当x=3时，y=4；当x=1时，y=2，求y与x的函数解析式。


6.3一次函数的图像(2)
【学习目标】
1.理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系；
2.掌握用两点法作一次函数图象的方法.
【课前梳理】
阅读课本第155至156页的内容，思考并解答下列问题.
1.一次函数y=kx＋b的图象的画法：
根据几何知识：经过两点只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.
一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：与y轴的交点 ，与x轴的交点 .即横坐标或纵坐标为0的点.
2.一次函数及性质
（1） 解析式： (k、b是常数，k0)
（2）图象： ，习惯上也称为直线y=kx+b.
（3）必过点： 和
（4）走向：
直线经过第 象限 直线经过第 象限
直线经过第 象限 直线经过第 象限
（5）增减性： k>0，y随x的增大而 ；k<0，y随x增大而 .
（6）倾斜度：|k| 越大，图象越接近于 轴；|k| 越小，图象越接近于 轴.
（7）图像的平移：（上加下减）
当b>0时，将直线y=kx的图象向 平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向 平移b个单位.
3.判断点是否在函数图象上的方法:看点的坐标是否满足函数关系式.
【课堂练习】
知识点一 一次函数图像与性质
1.若实数a，b满足ab＜0，且a＜b，则函数y=ax+b的图象可能是（　　）

知识点二 判断点是否在函数图象上
2.下面哪个点不在函数y=﹣2x+3的图象上（　　）
A．（﹣5，13）B．（0.5，2）C．（3，0）D．（1，1）
【当堂达标】
1.正比例函数一定经过　　　　点，经过（1， ），一次函数经过（0， ）点，（ ，0）点．
2.直线与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ,与坐标轴围成的三角形的面积是 .
3.若一次函数的图像过原点，则m的值为　　　　　．
4.如果函数的图像经过点P（0,1），则它经过x轴上的点的坐标为　　　．
5.一次函数的图像经过点（ ，5）和（2， ）.
6.关于直线L：，下列说法不正确的是（ ）
A.点（0，k）在L上 B.L经过定点（-1,0）
C.当k＞0时，y随x的增大而增大 D.L经过第一、二、三象限
【课后拓展】
1.已知一次函数y=(3-k)x-2k+18,
(1) k为何值时,它的图像经过原点；


(2) k为何值时,它的图像经过点(0,-2)。


2.请在同一个平面直角坐标系中画出了下列函数和 的图像。

6.3一次函数的图像(3)
【学习目标】
1.理解一次函数的图象间的位置关系；
2.理解并掌握一次函数的图象及性质.
【课前梳理】
1.正比例函数、一次函数图像及性质

正比例函数
一次函数
概 念
y=kx(k是常数，k≠0)
y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)
图 象
一条
必过点
（0， ）、（1， ）
（0， ）和（-，0）
走 向
k 0
k 0
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0






直线经过一、三象限；
直线经过二、四象限
直线经过第一、二、三象限
直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限
直线经过第二、三、四象限
增减性
k>0，y随x的增大而 ；（从左向右上升）
k<0，y随x的增大而 。（从左向右下降）
倾斜度
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的
平 移
直线y=kx+b的图象可由直线y=kb向上、向下平移得到，
b>0时，图象向 平移，b<0时，图象向 平移.
2.直线（）与（）的位置关系
（1）两直线平行且 （2）两直线相交
3.一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积
一次函数y=kx＋b的图象与两条坐标轴的交点：
与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（，0）.
直线y=kx+b（b≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为s=
【课堂练习】
知识点一 正比例函数、一次函数的图像与性质
1.设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）

知识点二 两函数的图像位置关系
2.若直线y=kx＋b平行直线y=3x＋4，且过点（1，－2），则k= b= .
【当堂达标】
1. (2015年四川)一次函数y=﹣2x+1的图象不经过下列哪个象限（　　）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知直线不经过第二象限，也不经过原点，则下列结论正确的是( )
A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0 C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0
3.下列函数中，y随x的增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图像大致是（ ）

5.（2015•泰州）将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为　　 ．
【课后拓展】
1.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3w

2.若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y1=k1x+a1和y2=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为
6.4确定一次函数的表达式
【学习目标】
1.会用两个条件确定一次函数的表达式，用一个条件确定正比例函数的表达式；
2.能从所给的信息中找出条件，确定一次函数的表达式，解决简单的实际问题.
【课前梳理】
自学课本第159至160页的内容，思考并解答下列问题.
1.确定一次函数表达式的一般步骤：可归纳为：“一设、二列、三解、四定”
一设：设出函数关系式的一般形式y=kx+b；
二列：根据已知两点的坐标列出关于k、b的二元一次方程组；
三解：解这个方程组，求出k、b的值；
四定：把求得的k、b的值代入y=kx+b，得出函数关系式.
2.两个函数的交点坐标：
满足两个函数的解析式，将点的坐标代入函数解析式求解即可。
3.若直线l与直线y=kx+b关于
（1）x轴对称，则直线l的解析式为y=-kx-b
（2）y轴对称，则直线l的解析式为y=-kx+b
【课堂练习】
知识点一 确定函数表达式
1.若一次函数y=3x+b的图像经过点P(1,4)，则该函数图像的解析式为______________
2.(2018 陕西省) 如图，在矩形AOBC中，A（﹣2，0），B（0，1）．若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
知识点二 两个函数交点坐标
3.有两条直线y1=ax+1，y2=cx+5c，学生甲解出它们的交点坐标为（3，－2）,求这两条直线解析式。




知识点三 两函数对称关系
4.若直线L与直线y=2x-1关于y轴对称，则直线L的解析式为____________。
【当堂达标】
1.已知一次函数，当x = 5时，y = 4，
（1）求这个一次函数；（2）求当时，函数y的值.




2.已知一次函数的图象经过点A（2，0）与B（0，4）．
求出这个一次函数的解析式，并在直角坐标系内画出这个函数的图象.




3.（2015•湖南）设一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（1，3）、B（0，﹣2）两点，试求k，b的值．




【课后拓展】
1.若直线和直线的交点坐标为(),则____________.
2.（2015•重庆）已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．

（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；
（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数．


6.5一次函数的应用(1)
【学习目标】
1.能通过函数图象获取信息，发展形象思维；
2.能利用函数图象解决简单的实际问题.
【课前梳理】
自学课本第161至163页的内容题.
1.一次函数的图像与性质

2.确定一次函数的表达式

【课堂练习】
知识点一 函数的图像与性质
1.如图，A、B两站相距42千米，甲骑自行车匀速行驶，由A站经P处去B站，上午8时，甲位于距A站18千米处的P处，若再向前行驶15分钟，使可到达距A站22千米处.设甲从P处出发小时，距A站千米，则与之间的关系可用图象表示为（ ）

知识点二 确定一次函数的表达式
2.某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x的函数解析式．
（2）一箱油可供拖位机工作几小时？


【当堂达标】
1.已知油箱中有油25升，每小时耗油5升，则剩油量P(升)与耗油时间t(小时)之间的函数关系式为（ ）
A.P=25+5t B.P=25－5t C.P= D.P=5t－25
2.(2015.徐州)将函数y＝－3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为( )
A.y＝－3x＋2 B.y＝－3x－2 C.y＝－3(x＋2) D.y＝－3(x－2)
3.若函数y=2x+3与y=3x－2b的图象交x轴于同一点，则b的值为（ ）
A.－3 B.－ C.9 D.－
4.假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间T的关系在平面直角坐标系中所示，如图，请结合图形和数据回答问题：
（1）这是一次 米赛跑；
（2）甲、乙两人中先到达终点的是 ；
（3）乙在这次赛跑中的速度为 ；
(4)甲到达终点时，乙离终点还有　　　　米.

【课后拓展】
1.(2015•宜昌）A，B两地相距1100米，甲从A地出发，乙从B地出发，相向而行，甲比乙先出发2分钟，乙出发7分钟后与甲相遇.设甲、乙两人相距y米，甲行进时间为t分钟，y与t之间的函数关系式如图所示.请你结合图象探究：
（1）甲的行进速度为每分钟　　　　米， m= 　　　　 分钟；
（2）求直线PQ对应的函数表达式；
（3）求乙的行进速度.

6.5一次函数的应用(2)
【学习目标】
1.提高学生的读图能力，解决与两个一次函数相关的图象信息题；
2.进一步培养学生数形结合思想，以及分析、解决问题的能力，提高思维能力.
【课前梳理】
自学课本第164至166页的内容，思考并解答下列问题。
1.一次函数的图像与性质
2.确定一次函数的表达式

【课堂练习】
知识点一 一次函数的应用
1.若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（ ）

2.甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分，（a
【当堂达标】
1.在函数y=x－1的图象上的点是（ ）
A.(－3,－2) B.(－4,－3) C.(,) D.(5,)

2.如果一个正比例函数的图象经过点A（3，－1），那么正比例函数的解析式为（ ）
A.y=3x B.y=－3x C.y=x D.y=－x
3.直线 y=x＋4与 x轴交于 A，与y轴交于B, O为原点，则△AOB的面积为（ ）
A.12 B.24 C.6 D.10
4.(2015.资阳)一次函数y＝－2x＋1的图象不经过下列哪个象限( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.若点（m，n）在函数y=-x+2的图象上，则m，n之间的关系式是
【课后拓展】
1.（2010•北京）如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
⑴ 求A，B两点的坐标；
⑵ 过B点作直线BP与x轴相交于P，且使OP=2OA， 求ΔABP的面积.

2.“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉,图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系,请你根据图中给出的信息,解决下列问题.
(1)填空:折线OABC表示赛跑过程中 的路程与时间的关系,线段OD表示赛跑过程中 的路程与时间的关系.赛跑的全程是 米．
(2)兔子在起初每分钟跑多少米?乌龟每分钟爬多少米?
(3)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子?
(4)兔子醒来,以48千米/时的速度跑向终点,结果还是比乌龟晚到了0.5分钟,请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟?

第六章 一次函数复习学案
【本章目标】
1.“发现”一些生活中的函数；
2.从“数”“形”两个角度认识一次函数，并形成一定的数形结合的意识；
3.会用一次函数解决一些简单的实际问题。
【知识梳理】
1.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为 ，把y称为 ，y是x的 。
注意：判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应。
2.函数的表示方法： 、 、 。
3.一般地，形如 (k是常数，k≠0)的函数叫做 .
注意：正比例函数① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零
一般地，形如 (k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的 .
注意：一次函数 ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
4.正比例函数、一次函数图像及性质

正比例函数
一次函数
概 念
y=kx(k是常数，k≠0)
y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)
图 象
一条
必过点
（ , ）、（1, ）
（ , ）和（-， ）
走 向
k>0
k<0
k＞0，b＞0
k＞0，b＜0
k＜0，b＞0
k＜0，b＜0






直线经过一、三象限；
直线经过二、四象限
直线经过第一、二、三象限
直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限
直线经过第二、三、四象限
增减性
k>0，y随x的增大而 ；（从左向右上升）
k<0，y随x的增大而 。（从左向右下降）
倾斜度
|k|越大，越接近 轴；|k|越小，越接近 轴
图像的
平 移
直线y=kx+b的图象可由直线y=kb向上、向下平移得到，
b>0时，图象向 平移，b<0时，图象向 平移.


☆k、b的符号对直线位置的影响☆

过一、二、三象限 过一、三、四象限 过一、二、四象限 过二、三、四象限
（大大不过四） （大小不过二） （小大不过三） （小小不过一）
5.一次函数y=kx＋b的图象的画法.
经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，采用 法，即只要先描出两点，再连成直线即可.
一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点： , 即横坐标或纵坐标为0的点.
6.直线（）与（）的位置关系
（1）两直线平行且 （2）两直线相交
（3）两直线重合且 （4）两直线垂直
7.用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
8.一元一次方程与一次函数的关系
（1）任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，
（2）解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
（3）从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
9.一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积
一次函数y=kx＋b的图象与两条坐标轴的交点：

与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（，0）.
直线（b≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为s=


【典型例题】
考点一 函数、正比例函数、一次函数定义
例1.下列各曲线中不能表示y是x的函数是（　　）。
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y

A . B. C. D.
巩固训练1.
判断下列变化过程存在函数关系的是( )
A. 是变量， B.人的身高与年龄
C.三角形的底边长与面积 D.速度一定的汽车所行驶的路程与时间
例2.下列各函数中，y与x成正比例函数关系的是（其中k为常数）( )
A.y=3x－2 B.y=(k+1)x C.y=(|k|+1)x D.y= x2
巩固训练2.
一次函数y=kx+k+1，当k= 时，y叫做x正比例函数
例3.下列函数关系中，是一次函数的个数是( )
②③y=210－x ④y=x2－2 ⑤
A.1 B.2 C.3 D.4
巩固训练3.
若函数是y关于x的一次函数，则的值为 ；解析式为 .
考点二 正比例函数、一次函数图像与性质
例4.直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（ ）

巩固训练4.
已知k＞0，b＞0，则直线y=kx+b不经过第　　　　　　象限．
例5.如图，表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y=mnx(m，n是常数，且 mn≠0)图像的是( ).

巩固训练5.
一次函数y=－2x+4的图象经过第 象限，y的值随x的值增大而 （增大或减小）图象与x轴交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是　　　　　　　　．
考点三 确定一次函数表达式
例6.已知:一次函数的图象与正比例函数y=－x平行,且通过点(0,4),
(1)求一次函数的解析式.(2)若点M(－8,m)和N(n,5)在一次函数的图象上,求m,n的值





巩固训练6.
一次函数的图像经过(－1,2)且函数y的值随x的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式 .
考点四 一次函数的应用
例7.甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习.图1中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S(km)随时间t(分)变化的函数图象.以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

巩固训练7.
2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图2所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港．
（1）哪个队先到达终点？
（2）求乙队到达终点用了多少时间？

【达标测试】
一、选择题
1.当时,函数的函数值为 ( )
A.-25 B.-7 C. 8 D.11
2.一次函数的图象与直线y= -x+1平行，且过点（8，2），此一次函数的解析式为：（ ）
A.y=2x-14 B.y=-x-6 C.y=-x+10 D.y=4x
3.点A（x1，y1）和B（x2，y2）在同一直线y=kx+b上，且k＜0．若x1＞x2，则y1，y2的关系是（ ）
A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1=y2 D、无法确定．
4.已知两个一次函数y=x+3k和y=2x－6的图象交点在y轴上，则k的值为（ ）
A.3 B.1 C.2 D.－2
5.已知一次函数y=kx－k，若y随x的增大而减小，则该函数的图象经过（ ）
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
二、填空题
6.若是正比例函数，则b的值是
7.已知函数y=－3x+b的图象过点（1，－2）和（a，－4），则a=__________
8.写出一个图象经过点（－1，－1），且不经过第一象限的函数关系式____________.
9.一次函数y=kx+b的图象与正比例函数的图象平行，且与直线y=－2x－1交于y轴上同一点，则这个一次函数的关系式为_________.
10.在某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间 x（分钟）之间的函数关系用图象表示如图.小明打了2分钟需付费 元；小莉打了8分钟需付费 元.

三、解答题
11.已知直线y=-x+3与y=2x-1，求它们与y轴所围成的三角形的面积．





12.已知与成正比例,且时,.
(1)求与的函数关系式；(2)当时,求的值。






13. 周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到烈山水上公园（景点），游玩一段时间后按原速前往龙脊山．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往龙脊山，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．
（1）求小明骑车的速度和在烈山水上公园游玩的时间；
（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在龙脊山门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．