高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题5.5   函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用

【知识清单】

知识点1．求三角函数解析式

（1）的有关概念

（2）用五点法画一个周期内的简图

用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

知识点2．三角函数图象的变换

1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）

平移变换：左加右减，上加下减

把函数向左平移个单位，得到函数的图象;

把函数向右平移个单位，得到函数的图象;+网】

把函数向上平移个单位，得到函数的图象;

把函数向下平移个单位，得到函数的图象.

伸缩变换:

把函数图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图象;

把函数图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图象;

把函数图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图象;

把函数图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图象.

2. 由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.

注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.

知识点3．函数的图象与性质的综合应用

（1）的递增区间是，递减区间是.

（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.

的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．

（3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有.

（4）的最小正周期都是.

【考点分类剖析】

考点一  求三角函数解析式

【典例1】【多选题】（2020·海南省高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】

由函数图像可知：，则，所以不选A,

当时，，

解得：，

即函数的解析式为：

.

而

故选：BC.

【典例2】（2020·山东五莲�高三月考）函数的部分图象如图所示，则__________；将函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则__________.

【答案】       

【解析】

根据函数的图象可得，所以，所以，所以，

又因为，所以，所以，，

所以，，

因为，所以.

所以，

将的图象沿x轴向右移个长度单位得函数的图象，

因为函数是偶函数，所以，，

所以，，

因为，所以，.

故答案为：；.

【规律方法】

1.由的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ．

(1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．

(2)ω：因为T＝，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T．

(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．

依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；

“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝；

“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；

“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝；

“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π．

在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．

(4)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ．

2.利用图象变换求解析式：

由的图象向左或向右平移个单位，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.

【变式探究】

1. （2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，则的解析式为，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为

故选：A

2.（2020·江苏南通�高三其他）已知函数的最小正周期是，若将该函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式________.

【答案】

【解析】

因为函数的最小正周期是，

所以

函数的图象向右平移个单位长度后得到，

因为关于原点对称，

所以

因此

故答案为：

【总结提升】

根据函数的图象确定函数中的参数的主要方法：

（1）主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；

（2）主要由最小正周期确定，而的值主要是根据一个周期内图象的零点与最值点的横坐标确定；

（3）主要是由图象的特殊点的坐标确定．

考点二  三角函数图象的变换

【典例3】（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数g(x)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是（    ）

A．f(x)的最小正周期为

B．f(x)在区间上单调递减

C．f(x)的图象关于直线x＝对称

D．f(x)的图象关于点成中心对称

【答案】D

【解析】

根据函数图象求出解析式，再根据平移伸缩变换求出的解析式，然后根据的解析式逐项判断即可.

【详解】

根据g(x)的部分图象，可得A＝2，，∴ω＝2．

结合五点法作图，可得2×（﹣）+φ＝，∴φ＝，

故g(x)＝2sin（2x+）．

由题意，把g(x)的图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位，

可得f(x)＝2sin（3x+﹣π）＝2sin（3x﹣）的图象，

故f(x)的最小正周期为，故A错误；

在区间上，3x﹣∈[0，]，f(x)没有单调性，故B错误；

令x＝，求得f(x)＝0，不是最值，f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；

令x＝，求得f(x)＝0，故f(x)的图象关于（，0）对称，故D正确，

故选：D．

【典例4】【多选题】（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）为得到函数的图象，只需将的图象（    ）

A．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度

B．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度

C．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)

D．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)

【答案】BC

【解析】

利用先伸缩再平移或是先平移再伸缩两种变换方法，判断选项.

【详解】

如果是先伸缩再平移，那么需先将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到，再向右平移个单位长度，即得

如果是先平移再伸缩，需先将向右的单位长度，得到，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），即得.

故选：BC

【规律方法】

函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本例．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴对称；－f(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于y轴对称．

【变式探究】

1.（2020·浙江高一单元测试）如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ）．

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的，纵坐标不变

C．把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

【答案】AC

【解析】

由图象知，A=1,T=π，所以=2，y=sin（2x+），将（，0）代入得：sin()=0，所以=kπ，，取=，得y=sin（2x+），

向左平移，得．然后各点的横坐标缩短到原来的，得．故A正确．

各点的横坐标缩短到原来的，得．然后向左平移个单位，得．故C正确．

故选：AC

2.【多选题】（2021·江苏高三其他模拟）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则下列结论中正确的有（    ）

A．函数的最大值为2 B．函数的图象关于点对称

C．函数是偶函数 D．直线是函数图象的一条对称轴

【答案】AC

【解析】

先根据平移伸缩表示出函数的解析式，再根据图像性质判断选项即可.

【详解】

由题意得，

所以的最大值为2，为偶函数，

的图像关于点对称，关于直线对称，

故B和D错误，A和C正确.

故选：AC.

【特别提醒】

1.图象的左右平移是针对x而言的，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言的．

2．图象的伸缩变换即周期变换也是针对x而言的，即只是自变量x的系数发生改变，变为原来的倍，而不涉及φ．

3.在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了||个单位长度，这是因为由y＝sinωx的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了||个单位长度，即x→x＋，ωx→ωx＋φ．

考点三  三角函数模型的应用

【典例5】【多选题】（2021·广东深圳市·高三二模）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（    ）

A．摩天轮离地面最近的距离为4米

B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则

C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30

D．，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米

【答案】BC

【解析】

易知摩天轮离地面最近的距离，从而可判断A；求出分钟后，转过的角度，即可求出关于的表达式，即可判断B；由余弦型函数的性质可求出的最小值即可判断C；求出在上的单调性，结合当时，即可判断D.

【详解】

解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确；

分钟后，转过的角度为，则，B正确；

周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，

则，又高度相等，则关于对称，则，则；

令，解得，令，解得，

则在上单调递增，在上单调递减，当时，，

当时，，所以在只有一个解；

故选:BC.

【典例6】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深（米）是随着一天的时间呈周期性变化，某天各时刻的水深数据的近似值如下表：

（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从

①， ②，③

中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ）   中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.

【答案】(1) 选②做为函数模型， ;(2) 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练.

才能确保集训队员的安全.

【解析】

（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：

-

依题意，选②做为函数模型，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

令，即

又

∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，

才能确保集训队员的安全.

【规律方法】

三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．

【变式探究】

（2021·全国高一课时练习）如图是一半径为2米的水轮，水轮的圆心距离水面1米，已知水轮自点开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点距水面的高度（米与时间（秒满足函数关系式，，，则__，__．

【答案】2    ．   

【解析】

根据三角函数性质及水轮的结构可得，再由周期求得．

【详解】

水轮的半径为2，水轮圆心距离水面1，

，

又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，

，

，

故答案为：2；．

考点四  函数的图象与性质的综合应用
【典例7】(2019年高考全国Ⅲ卷文)函数在[0，2π]的零点个数为（     ）

A．2    B．3

C．4  D．5

【答案】B

【解析】由，

得或，

，．

在的零点个数是3，

故选B．

【典例8】(2019年高考浙江卷)设函数.

（1）已知函数是偶函数，求的值；

（2）求函数的值域．

【答案】（1）或；（2）．

【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，

即，

故，

所以．

又，因此或．

（2）

．

因此，函数的值域是．

【典例9】（2017·山东高考真题（理））设函数，其中.已知.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.

【答案】(1) .

(2) .

【解析】

（Ⅰ）因为，

所以

由题设知，

所以，.

故，，又，

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

所以.

因为，

所以，

当，

即时，取得最小值.

【规律方法】

1.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．

2.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．

【变式探究】

1. （2021·江西新余市·高一期末（理））已知函数.

（1）已知，求的值；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）结合三角恒等变化化简得，得到，然后将利用诱导公式，余弦的倍角公式转化计算；

（2）根据（1）求出当时，进而，原不等式等价于，看成关于的一次函数，其端点函数值大于等于0，得，化简即可.

【详解】

解：（1）

，

，

.

（2）当时，，可得，

由，不等式可化为

，有.

令，，则，

若不等式恒成立，则等价于，解得：.

故实数的取值范围为.

2. （2020·全国高三（文））已知，函数．

（Ⅰ）若，求的单调递增区间；

（Ⅱ）若的最大值是，求的值．

【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由题意

由，得． 

所以单调的单调递增区间为，.

（Ⅱ）由题意，由于函数的最大值为，即， 从而，又，

故．