高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题6.3   平面向量的应用

1．（2021·重庆九龙坡区·高三二模）已知等边的边长为为它所在平面内一点，且，则的最大值为（    ）

A． B．7 C．5 D．

【答案】B

【解析】

取的中点，连接，并延长到，则有，从而将转化为，而，所以结合图形可得答案

【详解】

解：取的中点，连接，并延长到，使，

因为为等边三角形，所以，

所以,

因为，

所以,

因为等边的边长为，

所以，

要使取得最大值，则与共线且同向，

所以的最大值为，

故选：B

2．（2021·浙江高一期末）在中，，则（    ）

A．5∶3∶4 B．5∶4∶3 C． D．

【答案】D

【解析】

利用两个向量的数量积的定义可得，由此求得的值，利用正弦定理可得的值.

【详解】

由题意，在中，，

 利用向量的数量积的定义可知，即

即，

即，

设，

解得，所以，

所以由正弦定理可得.

故选:D.

3．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知中，角的对边分别为为边上的高，以下结论：其中正确的选项是（    ）

A． B．为锐角三角形

C． D．

【答案】ACD

【解析】

画出图形，利用向量的数量积公式，三角形中余弦定理及向量的运算法则对各命题进行判断，看出每一个命题的正误

【详解】

解：

，所以，故A正确；

若，则为锐角，无法得到其他角的关系，故无法判断的形状，故B错误；

而，故C正确

由余弦定理有

故有，故D正确

故选：ACD．

4．【多选题】（2021·麻城市实验高级中学高三其他模拟）已知点为外接圆的圆心，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】

根据垂径定理先求出，再求即可.

【详解】

令，则，所以（舍）或，

所以，

所以.

故选：BD.

5．（2021·河北高一期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，若的边长为﹐且，则的面积为___________.

【答案】

【解析】

先根据图形的构成判断出，利用余弦定理解出AF，利用面积公式即可求出的面积.

【详解】

因为，所以.

设，则，

在中，由余弦定理可得，解得，

所以.

故答案为：.

6．（2021·苏州市第三中学校高一期中）在中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是_________．

【答案】

【解析】

取，，作，由平行四边形法则可得点轨迹，确定所求最大值为；利用平面向量数量积的定义和余弦定理可求得所需边长，利用勾股定理可求得结果.

【详解】

取，，作，

为内（包含边界）的一动点且，

根据平行四边形法则可知：点的轨迹为线段，.

在中，，

，，

，，

即的最大值为.

故答案为：.

7．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐标系中，非零向量，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

由条件得，代入坐标形式进行运算，得到，从而求得范围.

【详解】

设点，由条件可知，，设向量与的夹角为，由得，即，

因为是非零向量，所以，于是，

因为，所以，所以的取值范围是．

故答案为：

8．（2021·浙江高三月考）已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）的最小值，则的最大值是__________．

【答案】

【解析】

将条件转化，然后用数形结合求解.

【详解】

设，，，则，，

依题意可知，，，，故点在△的外接圆上.

其半径，为点到直线的距离，

显然，当运动到点处时，有最大值.

故答案为：.

9．（2021·江苏苏州市·高一月考）我们知道，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的己知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证明“三角形的三条高交于一点”.已知，，是的三条高，求证：，，相交于一点.

【答案】证明见解析.

【解析】

结合向量的数量积即可证明.

【详解】

如图，设，则，

①-②得：，即

故，即，又

所以，，三点共线，

所以，，相较于一点.

10．（2021·浙江高一期末）甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东方向，

（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．

（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．

【答案】（1）点B与点P之间的距离为海里，（2）.

【解析】

（1）画出图形，利用余弦定理求解即可；

（2）利用向量的加法的平行四边形法则画出图形，然后利用正弦定理求解即可.

【详解】

（1）两船的位置图如下：

由图可得，，所以

所以由余弦定理可得

所以点B与点P之间的距离为海里

（2）如图，的方向为水流的方向，的方向为船头的方向，的方向为实际行进的方向，

其中

在中，由正弦定理可得

所以

即甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值为

1．（2020·江苏高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．

【答案】或0

【解析】

根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.

【详解】

∵三点共线，

∴可设，

∵，

∴，即，

若且，则三点共线，

∴，即，

∵，∴，

∵,,，

∴，

设，，则，.

∴根据余弦定理可得，，

∵，

∴，解得，

∴的长度为.

当时， ，重合，此时的长度为，

当时，，重合，此时，不合题意，舍去.

故答案为：0或.

2．（2021·宁夏石嘴山市·高三二模（理））△ABC内角A，B，C的对边分別为a，b，c，，则角B的值为________；若a＋c＝6，则AC边的中线的最小值为________．

【答案】       

【解析】

结合诱导公式及二倍角公式对已知式子进行化简，然后结合辅助角公式可得B；利用余弦定理及基本不等式即可直接求解AC边的中线的最小值

【详解】

∵，∴，

而，

∴，

∵，∴

即，

∵，∴，∴，故；

延长中线到点，使得，

不妨设中线长为，如图所示，即，

由平面几何知识易得四边形是平行四边形，而，

∴，，，

∴在中，由余弦定理得，

∴，当且仅当时等号成立.

故答案为：；.

3．（2021·全国高三专题练习（理））中，内角所对的边分别是，且，则角=__________；设点是的中点，若，则线段的取值范围是__________.

【答案】       

【解析】

先由正弦定理，然后再化简、变形得，就可以求出角.求的取值范围时，先将图形补成平形四边形，然后运用余弦定及基本不等式求范围.

【详解】

由正弦定理及得，

.因为所以所以，又

所以；

把补成平行四边形（如图所示），在中，，

由余弦定理得等号成立，

所以.又，所以.综上得.

故线段的取值范围是.

故答案为：；.

4．（2021·浙江高一期末）在中，，G为其重心，直线经过点G，且与射线、分别交于D、E两点，记和的面积分别为，则当取得最小值时，的值为______．

【答案】

【解析】

设，，根据重心位置及共线定理求得，根据面积公式分别表示出分别与，的关系，代入求得取最小值时的参数的值，根据与间的关系求得结果.

【详解】

设，，，且G为三角形ABC的重心，延长AG交BC于H，延长CG交AB于M，则，

则，又D，G，E三点共线，

则，即，

，

同理得，

则，又，

则

当且仅当即时，等号成立，此时，

故答案为：

5．（2021·上海普陀区·高三二模）如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则________．

【答案】

【解析】

根据已知的向量关系先分析出，然后通过设，根据相似三角形以及正弦定理找到的关系，从而可求解出的结果.

【详解】

因为，所以，

 所以，

所以，

所以，所以，

即，同理可知：，

不妨设，所以，

又因为，，，所以，

所以，所以，

所以，所以，所以；

在中，，

所以，所以，

又在中，，

所以，所以，

所以，所以，

又因为，所以，

又因为，所以，

所以.

故答案为：.

6．（2021·浙江高三其他模拟）已知单位向量，与非零向量满足，，则的最大值是______.

【答案】

【解析】

根据题意设，，，由得出的范围，由得出关系，则，根据得出的关系以及取等的条件可得出答案.

【详解】

设，，

所以

由，可得，即

由，可得

所以

又，所以

则

当时，等号成立.

 此时，或

即，或（这与矛盾，故舍去），

由，则，即

所以，解得

此时

所以

故答案为：

7．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高三三模）已知边长为2的正方形边上有两点P､Q，满足，设O是正方形的中心，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

先建立平面直角坐标系，再分类讨论求出各种情况下的的范围即可得到答案.

【详解】

建立如下图所示的平面直角坐标系.

①当两点在正方形的同一边上时（含正方形的顶点）.

根据对称性，不妨设，由于，所以满足，

可得，

所以；

②当两点在正方形的相邻边上时（含正方形的顶点）.

根据对称性，不妨设，

所以，

由于，所以满足，

其表示的平面区域如下图所示：

令，当过时，有最小值，

当与圆相切时，有最大值，

所以这种情况下；

③当两点在正方形的对边上时（含正方形的顶点）.

根据对称性，不妨设，

所以，由图可知，，

所以.

综上可知：.

故答案为：.

8．（2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟）已知平面内不同的三点O，A，B满足，若时，的最小值为，则___________.

【答案】

【解析】

由题设，将平面向量转化为平面几何图形，B在以A为圆心5为半径的圆上，利用向量加减、数乘的几何意义分别确定D、E使、，进而可知表示，若是关于的对称点，可知共线时最小，△中应用余弦定理求，即可求.

【详解】

由题设，如下图示，若，，则，，，即，

∴，即，

若是关于的对称点，

∴，即，如下图示，

当且仅当共线时，即最小，

∵，即，，

∴此时，△中，，而且为锐角，

∴，而.

故答案为：.

9．（2021·江西南昌市·高一期末）已知，，分别是内角，，所对的边，且满足，若角的角平分线交边于点，且，，求：

（1）求的值；

（2）求边的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根据条件先用正弦定理，再由两角和的公式化简即可求解；

（2）由题意得，再两边平方及角平分线定理求得，再运用余弦定理可求解.

【详解】

（1）因为， 由正弦定理得，

，

即，

因为、为的内角，所以，

所以，因此．

（2）由题意得，两边平方得，

整理得，

又因为角的角平分线交边于点，可得，即得

代入上式得，

整理得，

再由余弦定理得：，

解得边.

10．（2021·山东泰安市·高一月考）三角形ABC中，，点E是边BC上的动点，当E为BC中点时，

（1）求和;

（2）是延长线上的点，，当在上运动时，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）在中利用余弦定理求解出的值，在中利用余弦定理求解出的值，然后利用余弦值求解出；

（2）将分别表示为，，然后根据数量积运算确定出何时取最大值并求解出最大值.

【详解】

解：（1）当为中点时，设，则由余弦定理得

，解得，

此时，由余弦定理得

，所以，

所以，所以，

所以，

所以；

（2）由得，，

所以
 

，

所以，当取最小即时上式最大，此时，

所以，所以的最大值为.

1．（2020·全国高考真题（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.

【详解】

在中，，，

根据余弦定理：

可得 ，即

由

故.

故选：A.

2．（2020·全国高考真题（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（    ）

A． B．2 C．4 D．8

【答案】C

【解析】

先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求

【详解】

设

故选：C

3.（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ）

A．346 B．373 C．446 D．473

【答案】B

【解析】

通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．

【详解】

过作，过作，

故，

由题，易知为等腰直角三角形，所以．

所以．

因为，所以

在中，由正弦定理得：

，

而，

所以，

所以．

故选：B．

4．（2021·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ）

A．表高 B．表高

C．表距 D．表距

【答案】A

【解析】

利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．

【详解】

如图所示：

由平面相似可知，，而，所以

，而，

即＝．

故选：A.

5.（2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.

【详解】

因为，由双曲线的定义可得，

所以，；

因为,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即.

故选：A

6．（2021·全国高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.

（1）证明：；

（2）若，求.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.

（2）由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求.

【详解】

（1）由题设，，由正弦定理知：，即，

∴，又，

∴，得证.

（2）由题意知：，

∴，同理，

∵，

∴，整理得，又，

∴，整理得，解得或，

由余弦定理知：，

当时，不合题意；当时，；

综上，.