高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题8.4   直线、平面平行的判定及性质

1．（2021·山西高一期末）对于两个不同的平面，和三条不同的直线，，.有以下几个命题：

①若，，则；

②若，，则；

③若，，则；

④若，，则；

⑤若，，则.

则其中所有错误的命题是（    ）

A．③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤

【答案】D

【解析】

根据空间中直线平行的传递性，可判断①；根据线线、线面、面面之间的位置关系即可判断②③④⑤.

【详解】

解：因为，，根据空间中直线平行的传递性，得，故①正确；

因为，，所以直线平行，异面，相交均有可能，故②错误；

若，，则或，故③错误；

若，，则平面平行或相交，故④错误；

若，，则或，故⑤错误.

所以错误的命题是②③④⑤.

故选：D.

2．（2021·江苏高一期末）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】D

【解析】

利用线面平行的性质定理可以得到判定A错误的例子；利用面面垂直的性质定理可举出B错误的例子；利用线面平行的判定定理可以举出C错误的例子；利用线面垂直的性质定理可知D正确.

【详解】

若，，则n可能在α内，只要过m作平面β与α相交，交线即可作为直线n,故A错误；

若，，则m可能在α内，只要m在α内垂直于两平面α，β的交线即有m⊥β，故B错误；

若，，则α，β可能相交，只要m不在α，β内，且平行于α，β的交线即可，故C错误；

若，，根据线面垂直的性质定理可知，故D正确；

故选：D.

3．（2020·湖北开学考试）已知平面平面，直线，直线，下列结论中不正确的是（    ）

A． B． C． D．与不相交

【答案】C

【解析】

根据面面平行的的定义和性质知: 平面平面，直线，直线，则， ， 与不相交，

故选:C.

4．（2021·济南市历城第二中学开学考试）如图，四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则　　

A． B． C． D．以上均有可能

【答案】B

【解析】

四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，

平面，平面平面，

由直线与平面平行的性质定理可得：．

故选：．

5．【多选题】（2021·宁波市北仑中学高一期中）下列命题正确的是（    ）

A．若两条平行直线中的一条直线与一个平面相交，则另一直线也与这个平面相交.

B．若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一直线也与这个平面平行.

C．过空间任意一点，可作一个平面与异面直线都平行.

D．若在空间内存在两条异面直线同时平行于平面，则.

【答案】AD

【解析】

对A，利用反证法判断即可；对B，根据线面位置关系判断即可；对C，若点在其中一条直线上，此时作不出一个平面；对D，利用线面平行的性质定理及面面平行的判定定理判断即可.

【详解】

对A，记，与相交.

假设另一直线与这个平面不相交，在平面内作直线，则，但与相交，故与不平行，这与矛盾，故A正确；

对B，若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一直线也与这个平面平行或在这个平面内，故B错误；

对C，当点在两条异面直线中的一条上时，没有平面与异面直线都平行，故C错误；

对D，若，，，，如图

过作平面分别交,于，过作平面分别交,于，

根据线面平行的性质定理可得，，，，所以，，

由面面平行的判定定理可得，故D正确.

故选：AD

6．【多选题】（2021·广东湛江二十一中高一期中）已知，，为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题是（    ）

A．， B．，

C．， D．，n，

【答案】AD

【解析】

对于A：直接根据平行的传递性，可以判断；

对于B：由，，则m、n可以平行，相交，也会是异面直线即可判断；

对于C：由，，则即可判断；

对于D：根据线面平行的判定定理可以判断.

【详解】

对于A：因为，由平行的传递性，可以得到.故A正确；

对于B：，，则m、n可以平行，相交，也会是异面直线.故B错误；

对于C：，，则.故C错误；

对于D：，n，，根据线面平行的判定定理可以得到.故D正确.

故选：AD.

7．【多选题】（2020·佛山市第四中学高二月考）下列命题正确的是（    ）

A．平行于同一直线的两条直线互相平行

B．垂直于同一平面的两个平面互相平行

C．若是两个平面，∥∥，则∥

D．若三棱锥中，，则点在平面内的射影是的垂心

【答案】AD

【解析】

由平行公理判断A；由面面垂直判断B；举特例判断C；由逻辑推理可判断D.

【详解】

对于选项A：由平行公理可知A正确；

对于选项B：垂直于同一平面的两个平面互相平行或相交，故B错误；

对于选项C：反例如图，故C错误；

对于选项D：设点在平面内的射影是，连接，则平面，又平面，所以，又，且，所以平面，又平面，所以. 同理可证，所以点是的垂心. 故D正确.

故选：AD.

8．（2021·大连市第一中学高一月考）已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题：

①；②若，，则；

③，，则；④直线，直线，那么；

⑤若，，，则；⑥若，，则．

其中正确的说法为______（填序号）

【答案】①⑥

【解析】

利用线线平行、线面平行、面面平行的判定和性质应用，逐一判断选项可得结论.

【详解】

解：对于①，根据平行的性质有：，即，故①正确；

对于②，由得或相交，故②错误；

对于③，由得，或异面，故③错误；

对于④，由直线，直线，可得，异面，相交，故④错误；

对于⑤，由，得或相交，故⑤错误；

对于⑥，若，由面面平行的传递性得，故⑥正确，

故答案为：①⑥.

9．（2020·云南省下关第一中学高二月考（文））如图，在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为5，G、H分别为PB、PC的中点.

（1）求证：平面ABC；

（2）求正三棱锥的表面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由于G、H分别为PB、PC的中点，所以由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可证得结论；

（2）由于正三棱锥的侧面是等腰三角形，所以利用等腰三角形的性质可求出侧面面积，底面是正三角形，利用面积公式可求出面积，从而可求出表面积

【详解】

解：（1）证明：因为G、H分别为PB、PC的中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面ABC.

（2）设BC中点为D，连接PD，

因为三棱锥P-ABC是正三棱锥，所以是等腰三角形，

所以，

在Rt中

又 ，PB=5 ，PD=，

所以正三棱锥侧面积为，底面积为，

所以正三棱锥P-ABC的表面积为

10.（2020·佛山市第四中学高二月考）如图在正方体 中，分别是的中点，求证

（1）∥平面；

（2）平面∥平面.

【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.

【解析】

（1）证得，进而由线面平行的判定定理可证得结果；

（2）由（1）可知，只需证明平面，进而由面面平行的判定定理可证得结果.

【详解】

（1）连接，依题意知，，所以，又平面，平面，所以平面.

（2）连接，依题意可知，且，所以四边形是平行四边形，则，

又平面，平面，所以平面.

由（1）知平面，且，故平面平面.

1.（2020·全国月考）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，已知，，则“，”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

充分性：已知，，由于，，若，则与不一定平行，充分性不成立；

必要性：已知，，若，由面面平行的性质可得，，必要性成立.

因此，“，”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

2．（2021·山东高一期末）在正方体中，，，分别为，，的中点，为底面上一动点，且直线平面，则与平面所成角的正切值的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

由题意知面在正方体上的截面为且为中点，根据正方体、线面平行的性质，有在上，即与平面所成角为，进而可求其正切值的范围.

【详解】

由题意，如上图示，面在正方体上的截面为且为中点，

∵平面，而面面，

∴面，又为底面上一动点，则在上，

∴与平面所成角为，

当与重合时，最小，此时，

当与重合时，最大，此时；

∴.

故选：B

3．（2021·江苏南京一中高一月考）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点､，且，则下列结论中正确的是（    ）

A．线段上存在点､使得

B．平面

C．的面积与的面积相等

D．三棱锥的体积不为定值

【答案】B

【解析】

利用异面直线的定义可判断A；根据线面平行判定定理可判断B；根据三角形的高不相等可判断C；直接计算体积可判断D.

【详解】

线段上不存在点､使得，

因为在平面平面外，在平面内，

所以，是异面直线，所以A不正确；

连接，几何体是正方体，所以，平面，平面，可知平面，所以B正确.

到的距离为，到的距离大于上下底面中心的连线，

则到的距离大于1，

∴的面积大于的面积，故C错误；

到平面的距离为，的面积为定值，

∴三棱锥的体积为定值，故D不正确.

故选：B.

4．（2021·江西省分宜中学高二月考（理））点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形 (包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

如图，分别取的中点，连接，则可证得平面‖平面，从而可得点在上，从而可求出的长度范围

【详解】

解：如图，分别取的中点，连接，，

则‖，

因为是的中点，所以‖，

所以‖，

因为平面，平面，

所以‖平面，

因为是的中点，是的中点，

所以‖，，

因为‖，，

所以‖，，

所以四边形为平行四边形，所以‖，，

因为平面，平面，

所以‖平面，

因为，所以平面‖平面，

因为平面平面，

所以点在上运动，使面，

因为的棱长为2，

所以

所以当点与或重合时，最长，当点在的中点时，最短，

的最小值为，

所以的长度范围是，

故选：B

5．【多选题】（2021·江苏省镇江中学高一月考）下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】

对于A通过线面平行判定定理即可判断；对于B找到与平面内某一直线相交即可；对于C找到平行线与平面内某一直线相交即可；对于D通过线面平行判定定理即可判断.

【详解】

对于A，如下图所示，根据正方体性质易证得,又因为平面，平面,所以平面.故A正确；

对于B，如下图所示，在平面内，与相交，又因为平面，平面,所以与平面相交，故B错误；

对于C，如下图所示，易证,由于与平面相交，则与面相交.故C错误；

对于D，如下图所示，由正方体性质易证得，由中位线定理知，所以,又因为平面，平面,所以平面.故D正确.

故选:AD

6．（2021·珠海市第二中学高一期中）已知正方体中的棱长为2，是中点．

（1）求证：平面平面；

（2）设的中点为，过､､作一截面，交于点，求截面的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接，，若，连接，由平行四边形的性质及线面平行的判定易得平面、平面，根据面面平行的判定即可证平面平面；

（2）连接，，设平面与平面交于，根据面面平行的性质可得四边形为平行四边形，结合正方体的性质易知四边形为菱形，再求出对角线、，即可求截面的面积.

【详解】

（1）如图，连接，，若，连接，

由，，可得四边形为平行四边形，

∴，又，

∴四边形为平行四边形，即，而平面，平面，

平面，

同理，是平行四边形，即，而平面，平面，

∴平面，而，

∴平面平面.

（2）连接，，平面与平面交于，

由平面平面，且平面平面，平面平面，

，同理有，即四边形为平行四边形，

在与中，易知，即四边形为菱形，故为的中点．

∵正方体的棱长为2，

，．

∴截面面积．

7．（2021·福建高一期末）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别为，，，的中点，点为线段上的动点，且.

（1）是否存在使得平面，若存在，求出的值并给出证明过程；若不存在，请说明理由；

（2）画出平面截该正方体所得的截面，并求出此截面的面积.

【答案】（1）存在，，证明见解析；（2）画图见解析；.

【解析】

（1）取中点，由面面平行的判定定理即可证明平面平面，即可得到平面时的值.

（2）画出截面，根据正六边形的性质即可求出截面的面积.

【详解】

解：（1）当时，平面.

取中点，连接，，，则，，

如图所示：

故，

又平面，平面，

平面，

同理，平面，

又，平面，

故平面平面，

平面，

平面；

（2）平面截正方体的截面为正六边形，

如图所示：

又正方体的棱长为2，

故正六边形边长为，

截面面积为：.

8．（2021·山东高一期末）如图，点是正方形两对角线的交点，平面，平面，，是线段上一点，且．

（1）证明：三棱锥是正三棱锥；

（2）试问在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

（1）根据正三棱锥的定义即可证明；

（2）利用反证法，由平面，假设存在这样的点，使得平面，推出平面平面，与平面和平面是相交平面矛盾，即可求解.

【详解】

解：（1）证明：设，

则

∴是正三角形，

如图所示：连接，，

，

∴，，，

在中，由知：．   

又平面，

，

∵，，

∴平面，

∴．

又平面，，

∴平面，  

在线段上取点，使得，

则点是的重心，也就是的中心，

连接，则，

∴平面，

∴三棱锥是正三棱锥；    

（2）∵平面与平面有公共点，

故平面与平面是相交平面，    

∵，平面，平面，

∴平面，

假设存在这样的点，使得平面，

∵点与点不重合，

∴与是相交直线，      

又平面，平面，且平面，平面，

∴平面平面，

这与平面和平面是相交平面矛盾，

∴不存在一点，使得平面．

9．（2019·河南高三月考（文））如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）连接，∴，，∴为正三角形.

∵为的中点，∴.

∵，平面，∴.

又平面，平面，∴平面.

∵，分别为，的中点，∴.

又平面，平面，∴平面.

又平面，，

∴平面平面.

（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证.

∵平面平面，平面，∴平面.

又，，∴.

在中，∵，，∴.

∵，分别为，的中点，

∴的面积，

∴三棱锥的体积.

10．（2021·陕西高二期末（文））如图，正三棱柱中，、分别为、的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，，求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）本题可连接与交于点，连接、，然后根据三角形的中位线法则得出，，根据是中点得出，，即可得出，最后通过线面平行的判定即可得出结果；

（2）本题可作，通过线面垂直以及面面垂直的判定得出平面平面，然后根据面面垂直的性质得出平面，则长即点到平面的距离，最后通过等面积法即可得出结果.

【详解】

（1）如图，连接与交于点，连接、，

因为三棱柱是正三棱柱，

所以四边形是矩形，是中点，

因为是的中点，所以，，

因为是中点，所以，，

故，，四边形是平行四边形，，

因为平面，平面，所以平面.

（2）如图，作，

因为三棱柱是正三棱柱，

所以底面三角形是等边三角形，侧棱垂直于底面，

易知，，

因为，所以平面，

因为，所以平面，

因为平面，所以平面平面，

因为平面平面，，平面，

所以平面，长即点到平面的距离，

，，则，，

根据等面积法易知，，解得，

故点到平面的距离为.

1．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）

A．直线与直线垂直，直线平面

B．直线与直线平行，直线平面

C．直线与直线相交，直线平面

D．直线与直线异面，直线平面

【答案】A

【解析】

由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.

【详解】

连，在正方体中，

M是的中点，所以为中点，

又N是的中点，所以，

平面平面，

所以平面.

因为不垂直，所以不垂直

则不垂直平面，所以选项B,D不正确；

在正方体中，，

平面，所以，

，所以平面，

平面，所以，

且直线是异面直线，

所以选项C错误，选项A正确.

故选：A.

2.（2018·浙江高考真题）已知直线和平面，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

从充分性和必要性两方面分别分析判断得解.

【详解】

直线和平面，，若，

当时，显然不成立，故充分性不成立；

当时，如图所示，显然不成立，故必要性也不成立．

所以“”是“”的既不充分又不必要条件.

故选：D

3.（北京高考真题（理））设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．

4.（2017·全国高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（　　）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

对于选项A，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知A不满足题意；

对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；

对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；

对于选项D，由于直线AB不平行与平面MNQ，满足题意.

故答案为：D

5．（2019·全国高考真题（文））如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求点C到平面C1DE的距离．

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，

，分别为，中点    为的中位线

且

又为中点，且    且

    四边形为平行四边形

，又平面，平面

平面

（2）在菱形中，为中点，所以，

根据题意有，，

因为棱柱为直棱柱，所以有平面，

所以，所以，

设点C到平面的距离为，

根据题意有，则有，

解得，

所以点C到平面的距离为.

6.（2017·全国高考真题（文））四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 ,

（1）证明：直线平面;

（2）若△面积为，求四棱锥的体积.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（1） 在平面内，因为,所以

又平面平面故平面

（2）取的中点，连接

由及

得四边形为正方形，则.

因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，

所以底面

因为底面，所以,

设，则，取的中点，连接，则,所以，

因为的面积为，所以，

解得（舍去），

于是

所以四棱锥的体积