2023年陕西省西咸新区秦汉中学中考数学第一次适应性训练（含答案）

2023年秦汉中学中考数学第一次适应性试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.）

1．（3分）下列各数中，无理数是（　　）

A． B．3.14 C． D．

2．（3分）如图，直线AB∥CD，如果∠EFB＝30°，∠END＝75°，那么∠E的度数是（　　）

A．30° B．35° C．45° D．50°

3．（3分）（﹣m）3（﹣2m）2＝（　　）

A．﹣4m6 B．﹣2m6 C．4m5 D．﹣4m5

4．（3分）已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）

A．OA＝OC B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD

5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，若BD＝2，sinC＝，则线段AB的长为（　　）

A．10 B．4 C．4 D．2

6．（3分）如图，函数y＝ax+b和y＝﹣x的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组中的解是（　　）

A． B． C． D．

7．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD的度数为（　　）

A．74° B．34° C．44° D．54°

8．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过A（﹣9，y1），B（1，y2），C（﹣2，y3），D（﹣4，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．（3分）计算：﹣22×（﹣3）＝　   　．

10．（3分）实数m在数轴上的位置如图所示，则化简|m﹣1|+m的结果为 　   　．

11．（3分）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为　   　．

12．（3分）若反比例函数图象上的两点（x1，y1），（x2，y2），满足x1＜0＜x2，y1＞y2，则k的取值范围为 　   　．

13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E点为BC边延长线一点，且CE＝3．连接AE交边CD于点F，过点D作DH⊥AE于点H，则DH＝　   　．

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14．（5分）计算：．

15．（5分）解不等式组：，并求出不等式组的整数解．

16．（5分）解分式方程：＝﹣．

17．（5分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线．请用尺规作图法在边AB上求作一点E，使得DE＝AE．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）如图，过△ABC的顶点C作CE∥AB，且CE＝AC，D点在AC边上，连接DE，∠B＝∠CDE．求证：BC＝DE．

19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，1），B（﹣4，5），C（﹣2，2）．

（1）请在图中画出△ABC；

（2）若△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，则点A1的坐标是（ 　   　，　   　）．

20．（5分）将6张印有“有”“志”“者”“事”“竞”“成”字样的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子中，将卡片搅匀．

（1）从盒子中任意取出1张卡片，取出印有“志”字的卡片是 　   　事件（填“必然”、“不可能”、“随机”）；

（2）先从盒子中任意取出1张卡片，记录后不放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片，求取出的两张卡片中，有1张印有“事”字的概率（请用列表的方法求解）．

21．（6分）如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．请利用小明测量的数据算出电线杆AB的高．

22．（7分）八年级260名学生参加捐赠图书活动，活动结束后随机调查了部分学生每人捐赠图书的数量，并按捐书数量分为四种类型，A类：5本；B类：6本；C类：7本；D类：8本，然后统计数据并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．

（1）本次调查获取的样本数据的众数为 　   　，中位数为 　   　；在扇形统计图中，m的值为 　   　；

（2）求本次调查获取的样本数据的平均数；

（3）根据样本数据，估计这260名学生共捐赠图书多少本？

23．（7分）甲网店对某款水果推出试吃活动：5千克及以内为试吃价，超出5千克的部分恢复原价．邮费都为20元，总价y（单位：元）与购买水果质量x（单位：千克）之间的函数图象如图所示．线下乙店的同款水果售价为每千克8元．

（1）求总价y与购买水果质量x之间的函数表达式；

（2）购买该款水果的质量在什么范围时，在甲店购买比在乙店购买省钱？

24．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，过点D作DG⊥BC交BC于点G，交BA的延长线于点H，直线HG是⊙O的切线．

（1）求证：AD＝DC；

（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的长．

25．（8分）足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用吊射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，吊射战术中足球的轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门30米的点O处起脚吊射，假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米，已知球门的高度为2.44米．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）在没有对方球员和守门员阻挡的前提下，球是否会进球门？如果葡萄牙的球员C罗站在起脚吊射球员正前方3.2米处，而C罗跳起后能达到2.9米，那么他能否在空中截住这次吊射？

26．（10分）[问题提出]

（1）如图①，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一动点，若AB＝8，则△PAB面积的最大值为 　   　；

[问题探究]

（2）如图②，AB是⊙O的弦，点P是⊙O优弧上一动点，过点P作PC⊥AB交AB于点C，试说明当且仅当PC经过圆心O时，PC的长度最大；

[问题解决]

（3）如图③是四边形休闲区域设计示意图ABCD，已知∠BAD＝∠BCD＝90°，CB＝CD，休闲区域内原有一条笔直小路AC的长为80米，现为了市民在该区域内散步方便，准备再修一条长为30米的小路MN，满足点M在边AB上，点N在小路AC上．按设计要求，需要给图中△ACD与四边形MBCN区域内种植花卉（小路宽度忽略不计），为了节约成本且满足设计要求，种植花卉部分的面积要尽可能的小．请问，是否存在符合设计要求的方案？若存在，请求出种植花卉部分面积的最小值；若不存在，请说明理由．

2023年秦汉中学中考数学第一次适应性试卷

（参考答案与详解）

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.）

1．（3分）下列各数中，无理数是（　　）

A． B．3.14 C． D．

【解答】解：是无理数的是﹣，

是有理数的是3.14，，．

故选：A．

2．（3分）如图，直线AB∥CD，如果∠EFB＝30°，∠END＝75°，那么∠E的度数是（　　）

A．30° B．35° C．45° D．50°

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠EMB＝∠END＝75°，

∵∠EMB＝∠E+∠EFB，

∴∠E＝∠EMB﹣∠EFB＝75°﹣30°＝45°，

故选：C．

3．（3分）（﹣m）3（﹣2m）2＝（　　）

A．﹣4m6 B．﹣2m6 C．4m5 D．﹣4m5

【解答】解：（﹣m）3（﹣2m）2

＝﹣m3•4m2

＝﹣4m5．

故选：D．

4．（3分）已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）

A．OA＝OC B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD

【解答】解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；

平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；

平行四边形对角线不一定相等，C错误，不符合题意；

平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．

故选：A．

5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，若BD＝2，sinC＝，则线段AB的长为（　　）

A．10 B．4 C．4 D．2

【解答】解：∵∠CAB＝90°，

∴∠B+∠C＝90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∴∠B+∠BAD＝90°，

∴∠BAD＝∠C，

∴sin∠BAD＝＝sinC＝，

∴AB＝BD＝×2＝2，

故选：D．

6．（3分）如图，函数y＝ax+b和y＝﹣x的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组中的解是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：当y＝1时，﹣x＝1，解得x＝﹣3，则点P的坐标为（﹣3，1），

所以关于x，y的二元一次方程组中的解为．

故选：C．

7．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD的度数为（　　）

A．74° B．34° C．44° D．54°

【解答】解：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴在Rt△ABD中，

∠A＝90°﹣∠ABD＝34°，

∵＝，

∴∠BCD＝∠A＝34°，

故选：B．

8．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过A（﹣9，y1），B（1，y2），C（﹣2，y3），D（﹣4，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2

【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过C（﹣1，y3），D（﹣5，y3），

∴二次函数对称轴为直线，

∵a＜0，

∴抛物线开口向下，

∵﹣3﹣（﹣10）＜2﹣（﹣3），

∴y1，y2，y3的大小关系为y1＜y2＜y3，

故选：A．

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．（3分）计算：﹣22×（﹣3）＝　12　．

【解答】解：﹣22×（﹣3）＝﹣4×（﹣3）＝12．

故答案为：12．

10．（3分）实数m在数轴上的位置如图所示，则化简|m﹣1|+m的结果为 　1　．

【解答】解：由数轴得：0＜m＜1，

∴m﹣1＜0，

∴|m﹣1|+m

＝﹣（m﹣1）+m

＝﹣m+1+m

＝1．

故答案为：1．

11．（3分）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为　10　．

【解答】解：（14×14﹣2×2）÷8

＝（196﹣4）÷8

＝192÷8

＝24，

24×4+2×2

＝96+4

＝100，

＝10．

答：正方形EFGH的边长为10．

故答案为：10．

12．（3分）若反比例函数图象上的两点（x1，y1），（x2，y2），满足x1＜0＜x2，y1＞y2，则k的取值范围为 　k＞1　．

【解答】解：∵反比例函数数图图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＜0＜x2而y1＞y2，

∴该反比例函数经过第二、四象限，

∴1﹣k＜0，即k＞1．

故答案是：k＞1．

13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E点为BC边延长线一点，且CE＝3．连接AE交边CD于点F，过点D作DH⊥AE于点H，则DH＝　　．

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴CD∥AB，DC＝AB＝4．

∴∠EFC＝∠EAB，

∵∠E＝∠E，

∴△EFC∽△EAB．

∴，

∴，

∴FC＝1.5，

∴DF＝DC﹣FC＝2.5．

∴AF＝＝．

∵∠ADC＝90°，DH⊥AE，

∴S△＝AD•DF＝AF•DH．

∴AD•DF＝AF•DH，

∴5×2.5＝×DH．

∴DH＝．

故答案为：．

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14．（5分）计算：．

【解答】解：

＝2﹣2+1

＝2﹣1．

15．（5分）解不等式组：，并求出不等式组的整数解．

【解答】解：解不等式2（x﹣1）＜x+1，得：x＜3，

解不等式≥，得：x≥0，

则不等式组的解集为0≤x＜3，

所以不等式组的整数解为0、1、2．

16．（5分）解分式方程：＝﹣．

【解答】解：原方程即＝﹣，

两边同时乘以（2x+1）（2x﹣1）得：x+1＝3（2x﹣1）﹣2（2x+1），

x+1＝6x﹣3﹣4x﹣2，

解得：x＝6．

经检验：x＝6是原分式方程的解．

∴原方程的解是x＝6．

17．（5分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线．请用尺规作图法在边AB上求作一点E，使得DE＝AE．（保留作图痕迹，不写作法）

【解答】解：如图，分别以A、D为圆心，大于AD长为半径画弧，交M、N两点，作直线MN交AB于点E，点E即为所求．

18．（5分）如图，过△ABC的顶点C作CE∥AB，且CE＝AC，D点在AC边上，连接DE，∠B＝∠CDE．求证：BC＝DE．

【解答】证明：∵CE∥AB，

∴∠A＝∠ECA，

在△ABC和△CDE中

，

∴△ABC≌CDE（AAS），

∴BC＝DE．

19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，1），B（﹣4，5），C（﹣2，2）．

（1）请在图中画出△ABC；

（2）若△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，则点A1的坐标是（ 　5　，　1　）．

【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；

（2）∵△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，

∴点A1的坐标是（5，1）．

故答案为：5，1．

20．（5分）将6张印有“有”“志”“者”“事”“竞”“成”字样的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子中，将卡片搅匀．

（1）从盒子中任意取出1张卡片，取出印有“志”字的卡片是 　随机　事件（填“必然”、“不可能”、“随机”）；

（2）先从盒子中任意取出1张卡片，记录后不放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片，求取出的两张卡片中，有1张印有“事”字的概率（请用列表的方法求解）．

【解答】解：（1）从盒子中任意取出1张卡片，取出印有“志”字的卡片是随机事件，

故答案为：随机；

（2）画树状图如下：

共有30种等可能的结果，其中取出的两张卡片中，有1张印有“事”字的结果有10种，

∴取出的两张卡片中，有1张印有“事”字的概率为＝

21．（6分）如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．请利用小明测量的数据算出电线杆AB的高．

【解答】解：过C点作CG⊥AB于点G，

∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米．

∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，

∴∠NFM＝∠ACG，

∴△NMF∽△AGC，

∴＝，

∴AG＝＝＝6，

∴AB＝AG+GB＝6+2＝8（米），

故电线杆子的高为8米．

22．（7分）八年级260名学生参加捐赠图书活动，活动结束后随机调查了部分学生每人捐赠图书的数量，并按捐书数量分为四种类型，A类：5本；B类：6本；C类：7本；D类：8本，然后统计数据并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．

（1）本次调查获取的样本数据的众数为 　6　，中位数为 　6.5　；在扇形统计图中，m的值为 　40　；

（2）求本次调查获取的样本数据的平均数；

（3）根据样本数据，估计这260名学生共捐赠图书多少本？

【解答】解：（1）本次接受随机调查的学生人数为6÷30%＝20（人），

根据条形统计图可知众数为6本，中位数为＝6.5（本），

∵m%＝×100%＝40%，

∴m＝40，

故答案为：6，6.5，40；

（2）平均数为 ＝6.6（本），

答：本次调查获取的样本数据的平均数6.6本；

（3）260×6.6＝1716（本），

答：估计这260名学生共捐赠图书1716本．

23．（7分）甲网店对某款水果推出试吃活动：5千克及以内为试吃价，超出5千克的部分恢复原价．邮费都为20元，总价y（单位：元）与购买水果质量x（单位：千克）之间的函数图象如图所示．线下乙店的同款水果售价为每千克8元．

（1）求总价y与购买水果质量x之间的函数表达式；

（2）购买该款水果的质量在什么范围时，在甲店购买比在乙店购买省钱？

【解答】解：（1）根据图象可知，甲网店水果的试吃价：（30﹣20）÷5＝2（元/千克），

甲网店水果原价为（60﹣30）÷（8﹣5）＝10（元/千克），

∴甲网店y与x的函数关系式为y＝，

线下乙店的总价y与x的函数关系式为y＝8x；

（2）当0≤x≤5时，2x+20＜8x，

解得x＞，

∴＜x≤5时，甲网店省钱；

当x＞5时，10x﹣20＜8x，

解得x＜10，

∴5＜x＜10时，甲网店省钱；

综上所述，当＜x＜10时，在甲店购买比在乙店购买省钱．

24．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，过点D作DG⊥BC交BC于点G，交BA的延长线于点H，直线HG是⊙O的切线．

（1）求证：AD＝DC；

（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的长．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵GH是⊙O的切线，OD是半径，

∴OD⊥HG，

∵GH⊥BC，

∴OD∥BC，

∵OA＝OB，

∴AD＝DC；

（2）解：设⊙O的半径为x，则OH＝x+3，BC＝2x，

∵OD∥BC，

∴∠HOD＝∠B，

∴cos∠HOD＝，即＝＝，

解得：x＝2，

∴BC＝4，BH＝7，

∵cosB＝，

∴＝，即＝，

解得：BG＝，

∴CG＝BC﹣BG＝4﹣＝．

25．（8分）足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用吊射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，吊射战术中足球的轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门30米的点O处起脚吊射，假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米，已知球门的高度为2.44米．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）在没有对方球员和守门员阻挡的前提下，球是否会进球门？如果葡萄牙的球员C罗站在起脚吊射球员正前方3.2米处，而C罗跳起后能达到2.9米，那么他能否在空中截住这次吊射？

【解答】解：（1）由题意可得，足球距离点O（30﹣14）＝16米时，足球达到最大高度8米，

设抛物线解析式为：y＝a（x﹣16）2+8，

把（0，0）代入解析式得：0＝a（0﹣16）2+8，

解得：a＝﹣，

故抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣16）2+8，

（2）当x＝30时，y＝﹣×（30﹣16）2+8＝＜2.44，

故在没有对方球员和门将阻挡的前提下，球会进球门；

当x＝3.2时，y＝﹣（3.2﹣16）2+8＝2.88＜2.9，

故C罗能在空中截住这次吊射．

26．（10分）[问题提出]

（1）如图①，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一动点，若AB＝8，则△PAB面积的最大值为 　16　；

[问题探究]

（2）如图②，AB是⊙O的弦，点P是⊙O优弧上一动点，过点P作PC⊥AB交AB于点C，试说明当且仅当PC经过圆心O时，PC的长度最大；

[问题解决]

（3）如图③是四边形休闲区域设计示意图ABCD，已知∠BAD＝∠BCD＝90°，CB＝CD，休闲区域内原有一条笔直小路AC的长为80米，现为了市民在该区域内散步方便，准备再修一条长为30米的小路MN，满足点M在边AB上，点N在小路AC上．按设计要求，需要给图中△ACD与四边形MBCN区域内种植花卉（小路宽度忽略不计），为了节约成本且满足设计要求，种植花卉部分的面积要尽可能的小．请问，是否存在符合设计要求的方案？若存在，请求出种植花卉部分面积的最小值；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）解：当点P为的中点时，PO⊥AB，此时PO取最大值为4，

∴△PAB面积的最大值为AB•PO＝8×4＝16；

故答案为：16；

（2）证明：设PC经过圆心O时的线段为P1C1，则P1C1⊥AB，过点O作OE⊥PC于点E，连接OP，如图，

∵OE⊥PC，P1C1⊥AB，PC⊥AB，

∴四边形OC1CE是矩形，

∴OC1＝EC，

∵OP＝OP1，

∴P1C1＝OP1+OC1＝OP+CE，

∵OP≥PE，

∴OP+EC≥PE+EC，

∴OP+EC≥PC，

∴OP1+OC1≥PC，

即P1C1≥PC，

∴当且仅当PC经过圆心O时，PC最大；

（3）解：存在符合设计要求的方案，阴影部分面积的最小值（2975﹣225）平方米，

理由：根据题意，要使阴影部分面积最小，只需△AMN的面积最大即可，

连接BD，如图，

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，CB＝CD，

∴∠CBD＝∠CDB＝45°．

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠BAC＝∠CDB＝45°．

作△ANM的外接圆⊙O，连接OM，ON，如图．

∴∠MON＝2∠MAN＝90°，

∵OM＝ON，

∴△OMN为等腰直角三角形，

∴OM＝ON＝×MN＝15，

由（2）的结论可知：当点A为优弧的中点时，

△AMN的面积的最大值为×30×（15+15）＝（225+225）平方米．

将△CDA绕着点C旋转90°得到△CBP，如图，

则△ADC≌△PBC，

∴CP＝CA，∠ACP＝90°，∠CBP＝∠D．

∵∠BAD+∠BCD＝180°，

∴∠D+∠ABC＝180°，

∴∠ABC+∠CBP＝180°，

∴A，B，P三点共线，

∴△ACP为等腰直角三角形，

∴AC＝CP＝80米，

∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△CPB＝S△ACP，

∴四边形ABCD的面积＝S△ACP＝80×80＝3200平方米，

∴阴影部分面积的最小值＝3200﹣（225+225）＝（2975﹣225）平方米．