初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明1 等腰三角形习题

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明1 等腰三角形习题，共9页。
等腰三角形（基础）知识讲解 【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；      2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧      相交于点A;      3.连接AB,AC.      △ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形；    (2)∠B＝∠C；    (3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质　　等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.要点三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.　　（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．2.等边三角形的判定定理三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3. 含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点四、反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：（1） 假定命题的结论不成立；
   （2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；
    （3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关角度的计算题1、（2020春•太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【思路点拨】由于AB=BD=DC，所以△ABD和△BDC都是等腰三角形，可设∠C=∠CDB=x，则∠BDA=∠A=2x，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理的推论，可以求出∠A，∠C度数．【答案与详解】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解得：x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题． 举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴设∠ECD＝∠EDC＝，∠BCD＝∠BDC＝，则∠AED＝∠ADE＝2，∠A＝∠B＝180°－4在△ABC中，根据三角形内角和得，＋＋180°－4＋180°－4＝180°①又∵A、D、B在同一直线上，∴2＋＋＝180°②由① ，②解得＝36°∴∠B＝180°－4＝180°－144°＝36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40°，分别从40°是等腰三角形顶角与40°是底角的角度去分析求解即可求得答案．【答案与详解】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数；(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．∴其余各角为70°，70°或40°，100°． 【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解． 3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案与详解】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；    (2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长．    这样得两组：①3，3，7    ②5，5，3．    由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，3＋3＜7，故不能构成三角形，应舍去．    ∴  等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．举一反三：【变式】已知等腰三角形的底边BC＝8，且|AC－BC|＝2，那么腰AC的长为(   )．       A．10或6    B．10    C．6    D．8或6【答案】A；解  ：∵  |AC－BC|＝2，∴  AC－BC＝±2．      又BC＝8．∴  AC＝10或6．∴  AB＝10（）或（6）．类型三、等腰三角形的性质及其运用4、如图，在△ABC中，边AB＞AC．求证：∠ACB＞∠ABC【思路点拨】在AB上截取AE=AC，连接CE，根据等腰三角形的性质推出∠AEC=∠ACE，根据三角形的外角性质求出∠AEC＞∠ABC即可．【答案与详解】证明：证明：在AB上截取AE=AC，连接CE，∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE，∵∠AEC＞∠B，∴∠ACB＞∠ABC．【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，能推出∠AEC=∠ACE和∠AEC＞∠ABC是解此题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．【答案与详解】证明：如图，在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠2=60°，∵BD是中线，∴BD是∠ABC的平分线，∴∠1=30°，∵CE=CD，∴∠E=∠3，∴∠E=∠2=30°，∴∠E=∠1，∴DB=DE． 类型四、等腰三角形的判定5、如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；（2）若BD=4、CE=3，求DE的长；（3）若 AB=12、AC=9，求△ADE的周长；（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么结论呢？【思路点拨】（1）运用两三角形两底角相等得出等腰三角形；（2）由等腰三角形两腰相等求解；（3）由△ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AB+AC求解；（4）由OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，得出△BDO和△ECO是等腰三角形，利用等腰三角形两腰相等得出△ODE的周长等于BC的长度．【答案与详解】解：（1）△DBO和△EOC是等腰三角形．∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠CBO，∵DE∥BC，∴∠CBO=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴DB=DO，∴△DBO是等腰三角形，同理△EOC是等腰三角形；（2）∵BD=4、CE=3，∴由（1）得出DO=4，EO=3，∴DE=DO+OE=4+3=7；（3）△ADE的周长=AD+DO+OE+AE；∵DO=DB，OE=EC，∴△ADE的周长=AB+AC，∵AB=12、AC=9，∴△ADE的周长=AB+AC=12+9=21；（4）∵OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴△BDO和△ECO是等腰三角形，∴BD=DO，CE=OE，∵BC=16，∴△ODE的周长为16．即△ODE的周长等于BC的长度．【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等．举一反三【变式】如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．【答案】①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形；证明：∵在△EBO和△DCO中，∵，∴△EBO≌△DCO（AAS），∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．类型五、 含有30°角的直角三角形6. 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD. 【答案与详解】证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，又∵∠A=60°，∴∠ACD=30°∴在Rt△ACD中，AD=AC，又∵∠ACB=90°，在Rt△ACB中，∴∠B=30°，∴AC=AB ∴AD= AB，则AD=BD，即BD=3AD.
【总结升华】根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半可得到BC=2BD，AB=2BC，从而可推出AB=4BD，从而不难证得BD与AD的数量关系．此题主要考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．举一反三：
【变式】如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD=4cm，∠ABC=∠DCB，求BC的长．【答案】解：∵AD∥BC，∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，又∵∠ABC=∠DCB=60°，∴∠BDC=180°﹣30°﹣60°=90°，∴BC=2CD=2×4=8cm．类型六、反证法7. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。【答案】已知：△ABC     求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°则∠A＞60°,∠B＞60°,∠C＞60°∴∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180°即∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°【总结升华】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
  （1）假设结论不成立；
  （2）从假设出发推出矛盾；
  （3）假设的结论不成立，则原题中的结论成立．
   在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．举一反三：【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（　　）        A . a= —2    B .  a= —1    C .   a=1   D. a=2【答案】A．