初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明1 等腰三角形随堂练习题

【巩固练习】

一.选择题

1．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于(    )．

A．30°       B．36°       C．45°       D．54°

2．用反证法证明：a，b至少有一个为0，应假设（     ）

   A. a，b没有一个为0

B. a，b只有一个为0

C. a，b至多有一个为0

D. a，b两个都为0

3. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有(      )

   ①△BDF，△CEF都是等腰三角形；    ②DE＝DB＋CE；

③AD＋DE＋AE＝AB＋AC；             ④BF＝CF.
A．1个 B．2个  C．3个 D．4个

4. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（　　）

A．顶角的一半 B．底角的一半   C．90°减去顶角的一半 D．90°减去底角的一半

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（　　）

A．cm     B．2cm     C．3cm    D．4cm

6. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　）

A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7

二.填空题

7．（2020•通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为　           　．

8. 用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设　      　．

9. 等腰三角形的周长为22，其中一边的长是8,则其余两边长分别为________.

10.（2020春•盐城校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点D从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，当t=　             　时，△ABD为等腰三角形．

11．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF ＝_________°．

12. 如图，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为______°．

三.解答题

13. 用反证法证明：一条线段只有一个中点．

14．（2020秋•宜昌期中）一个等腰三角形的三边长分别为x，2x﹣3，4x﹣6，求这个三角形的周长．

15.（2020秋•东台市期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的周长．

（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

【答案与详解】

一.选择题

1. 【答案】C；

【详解】设∠A＝，则由题意∠ADE＝180°－2，∠EDB＝，∠BDC＝∠BCD＝90°－，因为∠ADE＋∠EDB＋∠BDC＝180°，所以＝45°.

2. 【答案】A；

【详解】由于命题：“a，b至少有一个为0”的反面是：“a，b没有一个为0”，故选A.

3. 【答案】C ；

【详解】①②③正确.

4. 【答案】A；

   【详解】解：△ABC中，∵AB=AC，BD是高，
∴∠ABC=∠C=
在Rt△BDC中，∠CBD=90°-∠C=90°-=.
故选A．

5. 【答案】C；

   【详解】解：∵ED⊥AB，∠A=30°，

∴AE=2ED，

∵AE=6cm，

∴ED=3cm，

∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，

∴ED=CE，

∴CE=3cm；

故选：C．

6. 【答案】D;

   【详解】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；
∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，
∴AB=6，
∴AP的长不能大于6．
故选D．

二.填空题

7. 【答案】69°或21°；

   【详解】解：分两种情况讨论：

①若∠A＜90°，如图1所示：

∵BD⊥AC，

∴∠A+∠ABD=90°，

∵∠ABD=48°，

∴∠A=90°﹣48°=42°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）=69°；

②若∠A＞90°，如图2所示：

同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，

∴∠BAC=180°﹣42°=138°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）=21°；

综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．

故答案为：69°或21°．

8. 【答案】a=b；

  【详解】a，b的等价关系有a=b，a≠b两种情况，因而a≠b的反面是a=b.

9. 【答案】7，7或8，6；

   【详解】边长为8cm的可能是底边，也可能是腰.

10.【答案】5，6，；

   【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC=3cm，

由运动可知：AD=t，且△ABD时等腰三角形，

有三种情况：

①若AB=AD，则t=5；

②若BA=BD，则AD=2AC，即t=6；

③若DA=DB，则在Rt△BCD中，CD=t﹣3，BC=4，BD=t，

即（t﹣3）2+42=t2，

解得：t=，

综合上述：符合要求的t值有3个，分别为5，6，．

11.【答案】40；

   【详解】AD＝FD，∠FAD＝∠AFD＝70°，所以∠ADF＝40°.

12.【答案】15°；

   【详解】设∠A＝，∠BED＝∠EBD＝2，∠CBD＝120°－2，∠C＝∠BDC＝30°＋，

而∠A＋∠C＝60°，所以＋30°＋ ＝60°，解得＝15°.

三.解答题

13.【详解】

   已知：一条线段AB，M为AB的中点．

求证：线段AB只有一个中点M．

证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，

则AM＜AN，

又因为AM=AB=AN=AB，

这与AM＜AN矛盾，

所以线段AB只有一个中点M．

14.【详解】

解：①x=2x﹣3，则x=3，

∴4x﹣6=6，

∵3+3=6，

∴3、3、6不能构成三角形；

②x=4x﹣6，则x=2，

∴2x﹣3=1，

∵1、2、2任意两边之和大于第三边，

∴这个三角形的周长为1+2+2=5；

③2x﹣3=4x﹣6，则x=，

∴2x﹣3=0，

∴此三角形不存在．

综上可知：这个三角形的周长为5．

15．【详解】

解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm

∴出发2秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm．

∵∠C=90°，

∴有勾股定理得PB=2cm

∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2=（16+2）cm；

（2）若P在边AC上时，BC=CP=6cm，

此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；

若P在AB边上时，有两种情况：

①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，

所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；

②若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，

根据勾股定理求得BP=7.2cm，

所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm，

∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；

③若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，

∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC

∴PA=PB=5cm

∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．

∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；

（3）当P点在AC上，Q在AB上，则AP=8﹣t，AQ=16﹣2t，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴8﹣t+16﹣2t=12，

∴t=4；

当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣8，AQ=2t﹣16，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴t﹣8+2t﹣16=12，

∴t=12，

∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．