北师大版八年级下册1 因式分解课时训练

《因式分解》全章复习与巩固（提高）

【学习目标】

1. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；

2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；

3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、因式分解

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.

要点二、提公因式法

把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.

要点三、公式法

1.平方差公式

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：

2.完全平方公式

两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．

即，.

形如，的式子叫做完全平方式.

要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.

（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.

（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.

要点四、十字相乘法和分组分解法

十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

对于二次三项式，若存在 ，则

分组分解法

对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.

要点五、因式分解的一般步骤

因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.

因式分解步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；

（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；

（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．

（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．

【典型例题】

类型一、提公因式法分解因式

1、 分解因式：

(1)；

(2)．

【答案与详解】

解：(1)．

    (2)

．

【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．

2、利用分解因式证明：能被120整除．

【思路点拨】25＝，进而把整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．

【答案与详解】

证明：＝

＝

＝

＝

＝

＝

∴能被120整除．

【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式．

类型二、公式法分解因式

3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．

【思路点拨】把分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．

【答案与详解】

解：把看作完全平方式里的；

原式＝

＝

＝．

【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把看作完全平方式里的是解题的关键．

举一反三：

【变式】下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．

解：设

原式＝（第一步）
＝（第二步）
＝（第三步）
＝（第四步）
回答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（    ）．

A、提取公因式              B．平方差公式
C、两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．

【答案】

解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；

（2）还可以分解，分解不彻底；结果为.

（3）设．

＝，

＝，

＝2，

＝，

＝．

4、（2020秋•海安县期末）因式分解：

（1）；

（2）.

【思路点拨】（1）直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）先去括号，利用平方差公式分解因式即可.

【答案与详解】

解：（1）

；

（2）

.

【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．

举一反三：

【变式】设，，…，（为大于0的自然数）．（1）探究是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出，，…，，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数（不必说明理由）．

【答案】

解：（1）∵，

又为非零的自然数，

∴是8的倍数．

这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数

（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．

为一个完全平方数的2倍时，为完全平方数

类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式

5、分解因式：（1）

（2）

（3）

【答案与详解】

解：（1）原式

（2）原式＝

（3）原式＝

【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.

举一反三：

【变式】（浦东新区校级期末）（x﹣y）2+5（x﹣y）﹣50．

【答案】解：将（x-y）看成一个整体，原式=（x﹣y+10）（x﹣y﹣5）．

6、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为厘米、厘米，

且＝0，求长方形的面积．

【思路点拨】把＝0化简成，可得，由题意可得，解方程组即可.

【答案与详解】

解：∵＝0
∴＝0
∵＝0
∴，，（不合题意，舍去）
又由题意可得

解方程组

解之得，＝100，＝50
∴长方形的面积＝100×50＝5000平方厘米．

【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和运用平方差公式法．

举一反三：

【变式】因式分解：，正确的分组是（　　）

A．    B．

C．    D．

【答案】D；

当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中正好符合完全平方公式，应考虑2，3，4项为一组．