数学八年级下册2 直角三角形当堂达标检测题

直角三角形----知识讲解（提高）

【学习目标】

1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用.

【要点梳理】

要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.

要点诠释：

（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：，， .

（4）勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　

①     3、4、5；  5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……

② 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

③（是自然数）是直角三角形的三条边长；

④（是自然数）是直角三角形的三条边长；

⑤ （是自然数）是直角三角形的三条边长.

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

　　　 图（1）中，所以.

　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

　　　　 　　图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

　　　　   ，所以.

要点三、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：

（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

    （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）       首先确定最大边（如）.

（2）       验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.

要点诠释：

当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.

要点五、互逆命题与互逆定理

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

要点诠释：

原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.

要点六、直角三角形全等的判定（HL）

在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简

称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.

要点诠释：

（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.

（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.

（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.

【典型例题】

类型一、勾股定理

1、（2020春•卢龙县期末）已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为_________　          cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．

【思路点拨】本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即：由于“两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形．

【答案】5或．

【详解】解：①当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长==5，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形；②当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长==，三角形的边长分别为3，，亦能构成三角形；

综合以上两种情况，第三边的长应为5或，

故答案为5或．

【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，解题时注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．

2、（2020春•黔南州期末）长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．

【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE．从而设BE即可表示AE．在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．

【答案与详解】

解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，

△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16．

∴x=（cm）．

答：DE的长为cm.

【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等．

类型二、勾股定理的逆定理 

3、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．

【答案与详解】

解：∵  AB⊥AD，∴  ∠A＝90°，

在Rt△ABD中，．

∴  BD＝4，

∴  ，可知∠ADB＝30°，

在△BDC中，，，

∴  ，∴  ∠BDC＝90°，

∴  ∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°．

【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理．

举一反三：

【变式1】△ABC三边满足，则△ABC是（    ）

A.锐角三角形    B.钝角三角形    C.等腰三角形    D.直角三角形

【答案】D；

提示：由题意，，

因为，所以△ABC为直角三角形.

【变式2】（2020春•厦门校级期末）在四边形ABCD中，AB=AD=2，∠A=60°，BC=2，CD=4．求∠ADC的度数．

【答案】

解：连接BD，

∵AB=AD=2，∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=2，∠ADB=60°，

∵BC=2，CD=4，

则BD2+CD2=22+42=20，BC2=（2）2=20，

∴BD2+CD2=BC2，

∴∠BDC=90°，

∴∠ADC=150°．

类型三、勾股定理、逆定理的实际应用

4、如图所示，在一棵树的10高的B处有两只猴子，一只爬下树走到离树20处的池塘A处，另外一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？

【思路点拨】其中一只猴子从B→C→A共走了(10+20)=30，另一只猴子从B→D→A也共走了30，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．

【答案与详解】

解：设树高CD为，则BD＝－10，AD＝30－(－10)＝40－，

在Rt△ACD中，，

解得：＝15．

答：这棵树高15．

【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC和DA，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解．

举一反三：

【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)

【答案】

解：如图②所示，由题意可得：

    ，

    在Rt△AA′B中，根据勾股定理得：

    则AB＝15．

    所以需要爬行的最短路程是15．

5、（2020春•武昌区期中）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1小时后相距20海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

【答案与详解】

解：1小时“远航”号的航行距离：OB=16×1=16海里；

1小时“海天”号的航行距离：OA=12×1=12海里，

因为AB=20海里，

所以AB2=OB2+OA2，即202=162+122，

所以△OAB是直角三角形，

又因为∠1=45°，

所以∠2=45°，

故“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行．

【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

类型四、原命题与逆命题

6、下列命题中，逆命题错误的是（　　）

A．平行四边形的对角线互相平分

B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形

C．平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等

D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

【答案】C；

【详解】

解：A的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．由平行四边形的判定可知这是真命题；
B的逆命题是：平行四边形的两对邻角互补，由平行四边形的性质可知这是真命题；
C的逆命题是：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故是错误的；
D的逆命题是：平行四边形的两组对边分别相等地，由平行四边形的性质可知这是真命题；
故选C．

【总结升华】分别写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可．此题主要考查学生对逆命题的定义的理解，要求学生对基础知识牢固掌握．

举一反三：

【变式】下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）

A．对顶角相等

B．如果两个实数相等，那么它们的平方数相等

C．等腰三角形两底角相等

D．两个全等三角形的对应角相等

【答案】C；

解：A的逆命题是：相等的角是对顶角是假命题，故本选项错误，
B的逆命题是：如果两实数的平方相等，那么两实数相等是假命题，故本选项错误，
C的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故本选项正确，
D的逆命题是：对角线相等的两个三角形是全都三角形是假命题，故本选项错误，
故选C．

类型五、直角三角形全等的判定——“HL” 

7、已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．

求证：AD=AE．

【思路点拨】证明线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB≌△AEB即可．

【答案与详解】

∴△ADB≌△AEB（AAS），
∴AD=AE．

【总结升华】此题考查线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

8、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．

（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；

（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．

【答案与详解】

（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，

∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，

∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，

∴∠CAF=∠EBA，

在△ABE和△CAF中，

∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，

∴△ABE≌△CAF．

∴EA=FC，BE=AF．

∴EF=EA+AF．

（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，

∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，

∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，

∴∠CAF=∠ABE，

在△ABE和△CAF中，

∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，

∴△ABE≌△CAF．

∴EA=FC=3，BE=AF=10．

∴EF=AF-CF=10-3=7．

【总结升华】此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．