人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理精品课后练习题

第05讲  二项式定理

知识点

1. 二项式定理及基本概念：

（1）二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式.

（2）二项式系数:展开式中各项的系数.

（3）项数：共项，是关于与的齐次多项式.

（4）通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示.

【微点拨】

①项数：展开式中总共有项。

②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。

③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等

于.

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。

2.“杨辉三角”与二项式定理的性质：

（1）二项式系数的对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，

（它反映了组合数的性质：），直线 将函数 的图象分成

对称的两部分，它是图象的对称轴.

（2）二项式系数和：令,则二项式系数的和为

，

变形式。

（3）奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令，则，

从而得到：

（4）奇数项的系数和与偶数项的系数和：

（5）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项

系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。

3.常用结论：

令   

令 

令,则二项式系数的和为，

变形式.

【微点拨】

1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和k的隐含条件，即n，k均为非负整数，且n≥k，

如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.

2.求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.

3.解题技巧与方法总结

 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋… ，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

4.整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．

5. 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.

6. 运用二项式定理的解题策略

(1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开.

(2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.

提醒:逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的,则是的形式. 二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．

【即学即练1】的展开式的第8项的系数是（       ）

A． B． C． D．

【即学即练2】若，则等于(       )

A．284 B．356 C．364 D．378

【即学即练3】若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（       ）

A．90 B．-90 C．180 D．-180

【即学即练4】如图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n行(n∈N*)，在这些数中，非1的数之和为________．

【即学即练5】求的展开式中各项系数的和．

【答案】

【解析】

【分析】

采用赋值法，令即可得到结果.

【详解】

令，则展开式各项系数和为.

【即学即练6】写出的展开式．

【即学即练7】化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

考法01  

二项式的展开式：

【典例1】用二项式定理展开(2x－1)4＝____________．

【典例2】．利用二项式定理展开下列各式：

(1)；(2)．

【典例3】求的展开式．

【典例4】已知．

(1)写出的展开式；

(2)化简．

考法02  

二项式展开式的特定项问题：

【典例5】已知的展开式中，各二项式系数的和为，则展开式中的第项为________．

【典例6】求的展开式中的常数项，并说明它是展开式中的第几项．

【典例7】在的展开式中，有多少个有理项？

【典例8】求的展开式中和的指数相等的项．

考法03

二项式的系数与项的系数问题：

【典例9】已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则（       ）

A．4 B．5

C．6 D．7

【典例10】．的展开式中的系数是（       ）

A．90 B．80 C．70 D．60

【典例11】已知的展开式中，第项和第项的系数相等，求这个展开式所有二项式系数之和．

【典例12】在(2x－3y)10的展开式中，求：

(1)二项式系数的和；

(2)各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

(4)奇数项系数和与偶数项系数和.

【典例13】已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．求：

(1)n的值；

(2)展开式中x项的系数；

(3)展开式中所有含x的有理项．

考法04

二项式系数的性质问题：

【典例14】若，则（       ）

A． B．4 C． D．

【典例15】设，若，则展开式中系数最大的项是（       ）

A． B． C． D．

【典例16】已知.求下列各式的值.

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

【典例17】已知(1+3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.求：

(1)展开式中二项式系数最大的项；

(2)展开式中系数最大的项．

【典例18】求的展开式中：

(1)各项系数之和；

(2)各项系数的绝对值之和；

(3)系数最小的项.

考法05

杨辉三角：

【典例19】已知当时，展开式的二项式系数表示形式如下图，

判断图中与的值分别是（       ）

A．5，9 B．5，10 C．6，10 D．6，9

【典例20】如图，它满足①第行首尾两数均为，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第行（）第2个数是______.

【典例21】杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：

（1）求第20行中从左到右的第4个数；

（2）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；

（3）在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数.试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明.

考法06

二项式定理的综合应用：整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．

【典例22】二项式的展开式中所有项的系数的绝对值之和是，所有项的二项式系数之和是，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．2

【典例23】1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位)

【典例24】求证：.

【典例25】已知，求证：能被整除．

【典例26】已知的展开式中，前三项的系数成等差数列.

（1）求；

（2）求展开式中的常数项.

题组A  基础过关练

1．对任意实数，有，则的值为（       ）

A． B． C． D．

2. 已知，则可化简为（       ）

A． B． C． D．

3. 的展开式中含的项的系数是（       ）

A． B． C． D．

4. 已知，则（       ）

A．-2 B．-1 C．0 D．2

5. 已知的展开式中，二项式系数的和为，则等于（       ）

A． B． C． D．

6. 的展开式中常数项是（       ）

A．60 B．120 C．160 D．960

7. 二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中的系数为15，则n等于（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

8. 等于（       ）

A．2n B．2n－1 C．3n D．1

9. 若的展开式中含项的系数为，常数项为，则函数在上的最小值为（       ）

A．-200 B．-100 C．160 D．220

10. 的展开式中，的系数是（       ）

A．120 B．－120 C．60 D．30

11. 已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10

12. 已知的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为（       ）

A． B． C．和 D．和

13. 已知二项式的展开式的二项式系数和为32，所有项系数和为243，则（       ）

A． B．2 C． D．3

14. 设，若，则展开式中系数最大项是（       ）

A． B． C． D．

15. 已知多项式可以写成，则（       ）

A．0 B． C． D．

16. 若展开式中的常数项是60，则实数的值为（       ）

A．±3 B．±2

C．3 D．2

题组B  能力提升练

1.（多选题）在的展开式中，下列说法正确的有（       ）

A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0

C．常数项为20 D．二项式系数最大的项为第4项

2. （多选题）记的展开式中第项的系数为，则下列结论中正确的是（       ）

A．当时，

B．当时，展开式中的常数项是

C．若，则

D．若展开式中含常数项，则的最小值是

3. （多选题）已知的展开式中第3项与第2项系数的比是4，展开式里x的有理项有（       ）

A． B． C． D．

4. （多选题）的展开式中不含的项的系数的绝对值的和为243，不含的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为（       ）

A．a＝1，b＝2，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6

C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝－1，b＝－2，n＝5

5. （多选题）下列关于(a－b)10的说法，正确的是（       ）

A．展开式中的二项式系数之和是1 024

B．展开式的第6项的二项式系数最大

C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最小

6. （多选题）对任意实数，有 ，则（       ）

A． B．

C． D．

7. （多选题）若为正整数，的展开式中存在常数项，则的可能取值为（       ）

A．16 B．10 C．5 D．2

8. （多选题） 对于二项式，以下判断正确的有（       ）

A．存在，展开式中有常数项

B．对任意，展开式中没有常数项

C．对任意，展开式中没有x的一次项

D．存在，展开式中有x的一次项

9.（多选题）在的展开式中，下列说法正确的有（       ）

A．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128

B．展开式中所有项的系数和为

C．展开式中二项式系数的最大项为第五项

D．展开式中含项的系数为

10.（多选题）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（       ）

A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：

B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：

C．由“第行所有数之和为”猜想：

D．由“，，”猜想

11. 若， 则的值为___________

12. 的展开式中第4项的二项式系数为______．

13. 已知的展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，则的一次项为______．

14. 设，则＝________.

15. 已知的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小，则______．

16. 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则锐角______．

17. 已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为______．

18. 若(x＋a)25的展开式中常数项为－1，则a的值为________．

19. 的计算结果精确到0.001的近似值是________

20. 的展开式中的系数是______．

C  培优拔尖练

1. 在的展开式中

（1）求二项式系数最大的项；

（2）系数的绝对值最大的项是第几项?

2. 证明：（n是偶数）.

3. 求下列各式的二项展开式中指定各项的系数.

（1）的含的项；

（2）的常数项.

4. （1）求的展开式的前4项；

（2）求的展开式的第8项；

（3）求的展开式的中间一项；

（4）求的展开式的中间两项.

5.在的展开式中，

（1）求系数的绝对值最大的项；

（2）求二项式系数最大的项；

（3）求系数最大的项；

（4）求系数最小的项．

6. 求证:（1）能被7整除；

（2）是64的倍数．

7．设.

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值.

8. 已知的展开式中，前三项的系数成等差数列.

（1）求n；

（2）求展开式中的有理项；

（3）求展开式中系数最大的项.

9. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③.

已知在的展开式中，________.

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中含的项.

10. 在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为，③各项系数之和为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由.

设二项式，若其展开式中，______，是否存在整数，使得是展开式中的常数项？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.