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2022年宁夏高考数学试卷（理科）（乙卷）
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这是一份2022年宁夏高考数学试卷（理科）（乙卷），共70页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，直线的极坐标方程，直线的极坐标方程步骤等内容，欢迎下载使用。
2022年宁夏高考数学试卷（理科）（乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2022•乙卷）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（ ）
A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M
2．（5分）（2022•乙卷）已知z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，其中a，b为实数，则（ ）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
3．（5分）（2022•乙卷）已知向量，满足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，则•＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．（5分）（2022•乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1+，b2＝1+，b3＝1+，…，依此类推，其中ak∈N*（k＝1，2，…）．则（ ）
A．b1＜b5 B．b3＜b8 C．b6＜b2 D．b4＜b7
5．（5分）（2022•乙卷）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
6．（5分）（2022•乙卷）执行如图的程序框图，输出的n＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（5分）（2022•乙卷）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（ ）
A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D
8．（5分）（2022•乙卷）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
9．（5分）（2022•乙卷）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
（多选）11．（5分）（2022•乙卷）双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2＝，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2022•乙卷）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则f（k）＝（ ）
A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2022•乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
14．（5分）（2022•乙卷）过四点（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为 ．
15．（5分）（2022•乙卷）记函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T．若f（T）＝，x＝为f（x）的零点，则ω的最小值为 ．
16．（5分）（2022•乙卷）已知x＝x1和x＝x2分别是函数f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1＜x2，则a的取值范围是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022•乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．
（1）证明：2a2＝b2+c2；
（2）若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长．
18．（12分）（2022•乙卷）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
（1）证明：平面BED⊥平面ACD；
（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
19．（12分）（2022•乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得xi2＝0.038，yi2＝1.6158，xiyi＝0.2474．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r＝，≈1.377．
20．（12分）（2022•乙卷）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，﹣2），B（，﹣1）两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点P（1，﹣2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝．证明：直线HN过定点．
21．（12分）（2022•乙卷）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022•乙卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）+m＝0．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（2022•乙卷）已知a，b，c都是正数，且++＝1，证明：
（1）abc≤；
（2）++≤．
2022年宁夏高考数学试卷（理科）（乙卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2022•乙卷）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（ ）
A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M
【考点】补集及其运算．菁优网版权所有
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】根据补集的定义写出集合M，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，∁UM＝{1，3}，
所以M＝{2，4，5}，
所以2∈M，3∉M，4∈M，5∈M．
故选：A．
【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．
2．（5分）（2022•乙卷）已知z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，其中a，b为实数，则（ ）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
【考点】共轭复数；虚数单位i、复数；复数的运算．菁优网版权所有
【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据复数与共轭复数的定义，利用复数相等列方程求出a、b的值．
【解答】解：因为z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，
所以（1﹣2i）+a（1+2i）+b＝（1+a+b）+（﹣2+2a）i＝0，
所以，
解得a＝1，b＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了复数与共轭复数以及复数相等的应用问题，是基础题．
3．（5分）（2022•乙卷）已知向量，满足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，则•＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】利用|﹣2|＝，结合数量积的性质计算可得结果．
【解答】解：因为向量，满足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，
所以|﹣2|＝＝＝＝3，
两边平方得，
13﹣4＝9，
解得＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和性质，属于基础题．
4．（5分）（2022•乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1+，b2＝1+，b3＝1+，…，依此类推，其中ak∈N*（k＝1，2，…）．则（ ）
A．b1＜b5 B．b3＜b8 C．b6＜b2 D．b4＜b7
【考点】归纳推理．菁优网版权所有
【专题】转化思想；归纳法；推理和证明；数学运算．
【分析】ak∈N*（k＝1，2，…），可以取ak＝1，依次求出数列的前8项，能求出正确选项．
【解答】解：∵ak∈N*（k＝1，2，…），∴可以取ak＝1，
则b1＝1+＝2，
b2＝1+＝，
b3＝1+＝，
b4＝1+＝，
b5＝1+＝，
b6＝1+＝，
b7＝＝，
b8＝1+＝，
∴b1＞b5，故A错误；b3＞b8，故B错误；b6＞b2，故C错误；b4＜b7，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，巧妙地把人造行星融入高考数学题，培养学生爱国热情，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）（2022•乙卷）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
【考点】抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，然后求解即可．
【解答】解：F为抛物线C：y2＝4x的焦点（1，0），点A在C上，点B（3，0），|AF|＝|BF|＝2，
由抛物线的定义可知A（1，2）（A不妨在第一象限），所以|AB|＝＝2．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．
6．（5分）（2022•乙卷）执行如图的程序框图，输出的n＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】程序框图．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；算法和程序框图；逻辑推理．
【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的n值．
【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下：
输入a＝1，b＝1，n＝1，
计算b＝1+2＝3，a＝3﹣1＝2，n＝2，
判断|﹣2|＝＝0.25≥0.01，
计算b＝3+4＝7，a＝7﹣2＝5，n＝3，
判断|﹣2|＝＝0.04≥0.01；
计算b＝7+10＝17，a＝17﹣5＝12，n＝4，
判断|﹣2|＝＜0.01；
输出n＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了程序的运行与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．
7．（5分）（2022•乙卷）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（ ）
A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D
【考点】平面与平面垂直；平面与平面平行．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何；逻辑推理．
【分析】对于A，易知EF∥AC，AC⊥平面BDD1，从而判断选项A正确；对于B，由选项A及平面BDD1∩平面A1BD＝BD可判断选项B错误；对于C，由于AA1与B1E必相交，容易判断选项C错误；对于D，易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，由此可判断选项D错误．
【解答】解：对于A，由于E，F分别为AB，BC的中点，则EF∥AC，
又AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，且BD，DD1⊂平面BDD1，
∴AC⊥平面BDD1，则EF⊥平面BDD1，
又EF⊂平面B1EF，
∴平面B1EF⊥平面BDD1，选项A正确；
对于B，由选项A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD＝BD，在该正方体中，试想D1运动至A1时，平面B1EF不可能与平面A1BD垂直，选项B错误；
对于C，在平面ABB1A1上，易知AA1与B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，选项C错误；
对于D，易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，故平面B1EF与平面A1C1D不可能平行，选项D错误．
故选：A．
【点评】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．
8．（5分）（2022•乙卷）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【考点】等比数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】由题意，利用等比数列的定义、性质、通项公式，求得a6的值．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，q≠0，由题意，q≠1．
∵前3项和为a1+a2+a3＝＝168，a2﹣a5＝a1•q﹣a1•q4＝a1•q（1﹣q3）＝42，
∴q＝，a1＝96，
则a6＝a1•q5＝96×＝3，
故选：D．
【点评】本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，属于基础题．
9．（5分）（2022•乙卷）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，由勾股定理可知该四棱锥的高h＝，所以该四棱锥的体积V＝，再利用基本不等式即可求出V的最大值，以及此时a的值，进而求出h的值．
【解答】解：对于圆内接四边形，如图所示，
S四边形ABCD＝＝2r2，
当且仅当AC，BD为圆的直径，且AC⊥BD时，等号成立，此时四边形ABCD为正方形，
∴当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，
则r＝，
∴该四棱锥的高h＝，
∴该四棱锥的体积V＝＝≤＝＝，
当且仅当，即时，等号成立，
∴该四棱锥的体积最大时，其高h＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了四棱锥的结构特征，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
10．（5分）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】计算题；数学运算；数据分析．
【分析】已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以P受比赛次序影响，A错误；再计算第二盘分别与甲、乙、丙比赛连赢两盘的概率，比较大小即可．
【解答】解：A选项，已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以P受比赛次序影响，故A错误；
设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为P甲，棋手在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为P乙，棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为P丙，
P甲＝（1﹣p2）p1p3+p2p1（1﹣p3）+（1﹣p3）p1p2+p3p1（1﹣p2）＝2[p1（p2+p3）﹣2p1p2p3]，
同理可得，P乙＝2[p2（p1+p3）﹣2p1p2p3]，
P丙＝2[p1p3+p2p3﹣2p1p2p3]，
P丙﹣P甲＝2p2（p3﹣p1）＞0，P丙﹣P乙＝2p1（p3﹣p2）＞0，
∴P丙最大，即棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率最大．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
（多选）11．（5分）（2022•乙卷）双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2＝，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），设过F1的切线与圆D：x2+y2＝a2相切于点P，从而可求得|PF1|，过点F2作F2Q⊥MN于点Q，由中位线的性质可求得|F1Q|，|QF2|，在Rt△QNF2中，可求得|NF2|，|NQ|，利用双曲线的定义可得a，b的关系，再由离心率公式求解即可．情况二当直线与双曲线交于一支时，同理可求得离心率．
【解答】解：当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），
设过F1的切线与圆D：x2+y2＝a2相切于点P，
则|OP|＝a，OP⊥PF1，又|OF1|＝c，
所以PF1＝＝＝b，
过点F2作F2Q⊥MN于点Q，
所以OP∥F2Q，又O为F1F2的中点，
所以|F1Q|＝2|PF1|＝2b，|QF2|＝2|OP|＝2a，
因为cos∠F1NF2＝，∠F1NF2＜，所以sin∠F1NF2＝，
所以|NF2|＝＝，则|NQ|＝|NF2|•cos∠F1NF2＝，
所以|NF1|＝|NQ|+|F1Q|＝+2b，
由双曲线的定义可知|NF1|﹣|NF2|＝2a，
所以+2b﹣＝2a，可得2b＝3a，即＝，
所以C的离心率e＝＝＝＝．
情况二：当直线与双曲线交于一支时，
如图，记切点为A，连接OA，则|OA|＝a，|F1A|＝b，
过F2作F2B⊥MN于B，则|F2B|＝2a，因为cos∠F1NF2＝，所以|NF2|＝，|NB|＝，
|NF2|﹣|NF1|＝﹣（﹣2b）＝a+2b＝2a，即a＝2b，
所以e＝＝＝＝，A正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，圆的性质，考查转化思想与数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．
12．（5分）（2022•乙卷）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则f（k）＝（ ）
A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24
【考点】抽象函数及其应用；函数的值．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由y＝g（x）的对称性可得f（x）为偶函数，进而得到f（x）关于点（﹣1，﹣1）中心对称，所以f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，再结合f（x）的周期为4，即可求出结果．
【解答】解：∵y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，则g（2﹣x）＝g（2+x），
∵f（x）+g（2﹣x）＝5，∴f（﹣x）+g（2+x）＝5，∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）为偶函数，
∵g（2）＝4，f（0）+g（2）＝5，得f（0）＝1．由g（x）﹣f（x﹣4）＝7，得g（2﹣x）＝f（﹣x﹣2）+7，代入f（x）+g（2﹣x）＝5，得f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，故f（x）关于点（﹣1，﹣1）中心对称，
∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，f（﹣x）＝f（x），得f（x）+f（x+2）＝﹣2，
∴f（x+2）+f（x+4）＝﹣2，故f（x+4）＝f（x），f（x）周期为4，
由f（0）+f（2）＝﹣2，得f（2）＝﹣3，又f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，
所以f（k）＝6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（4）＝11×（﹣1）+5×1+6×（﹣3）＝﹣24，
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2022•乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出3人，先求出基本事件总数，再求出甲、乙被选中包含的基本事件的个数，由此求出甲、乙被选中的概率．
【解答】解：方法一：设5人为甲、乙、丙、丁、戊，
从5人中选3人有以下10个基本事件：
甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；
甲、乙被选中的基本事件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；
故甲、乙被选中的概率为．
方法二：
由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数＝10，
甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数＝3，
根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率P＝＝．
【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．
14．（5分）（2022•乙卷）过四点（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为 x2+y2﹣4x﹣6y＝0（或x2+y2﹣4x﹣2y＝0或x2+y2﹣x﹣y＝0或x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0） ．
【考点】圆的标准方程；圆的一般方程．菁优网版权所有
【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；数学运算．
【分析】选其中的三点，利用待定系数法即可求出圆的方程．
【解答】解：设过点（0，0），（4，0），（﹣1，1）的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
即，解得F＝0，D＝﹣4，E＝﹣6，
所以过点（0，0），（4，0），（﹣1，1）圆的方程为x2+y2﹣4x﹣6y＝0．
同理可得，过点（0，0），（4，0），（4，2）圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0．
过点（0，0），（﹣1，1），（4，2）圆的方程为x2+y2﹣x﹣y＝0．
过点（4，0），（﹣1，1），（4，2）圆的方程为x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0．
故答案为：x2+y2﹣4x﹣6y＝0（或x2+y2﹣4x﹣2y＝0或x2+y2﹣x﹣y＝0或x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0）．
【点评】本题考查了过不在同一直线上的三点求圆的方程应用问题，是基础题．
15．（5分）（2022•乙卷）记函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T．若f（T）＝，x＝为f（x）的零点，则ω的最小值为 3 ．
【考点】三角函数的周期性；余弦函数的图象．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由题意，结合余弦函数的周期和零点，建立相关的方程求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T＝，
若f（T）＝cos（ω×+φ）＝cosφ＝，0＜φ＜π，则φ＝，
所以f（x）＝cos（ωx+）．
因为x＝为f（x）的零点，所以cos（+）＝0，
故 +＝k，k∈Z，所以ω＝9k+3，k∈Z，
因为ω＞0，则ω的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，考查了方程思想，属于基础题．
16．（5分）（2022•乙卷）已知x＝x1和x＝x2分别是函数f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1＜x2，则a的取值范围是 ．
【考点】利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；分类法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】由已知分析函数f′（x）＝2（axlna﹣ex）至少应该两个变号零点，对其再求导f″（x）＝2ax（lna）2﹣2e，分类讨论0＜a＜1和a＞1时两种情况即可得出结果．
【解答】解：对原函数求导f′（x）＝2（axlna﹣ex），分析可知：f′（x）在定义域内至少有两个变号零点，
对其再求导可得：f″（x）＝2ax（lna）2﹣2e，
当a＞1时，易知f″（x）在R上单调递增，此时若存在x0使得f″（x0）＝0，
则f′（x）在（﹣∞，x0）单调递减，（x0，+∞）单调递增，
此时若函数f（x）在x＝x1和x＝x2分别取极小值点和极大值点，应满足x1＞x2，不满足题意；
当0＜a＜1时，易知f″（x）在R上单调递减，此时若存在x0使得f″（x0）＝0，
则f′（x）在（﹣∞，x0）单调递增，（x0，+∞）单调递减，且，
此时若函数f（x）在x＝x1和x＝x2分别取极小值点和极大值点，且x1＜x2，
故仅需满足f′（x0）＞0，
即：⇒⇒＜ln⇒，
解得：，又因为0＜a＜1，故
综上所述：a的取值范围是．
【点评】本题主要考查利用函数的导数研究函数极值点问题，考查运算求解能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022•乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．
（1）证明：2a2＝b2+c2；
（2）若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长．
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）利用两角差与和的正弦公式，三角形内角和公式，正弦和余弦定理，即可求得结论；
（2）利用（1）中结论求出b2+c2和2bc的值，即可求出△ABC的周长．
【解答】（1）证明：△ABC中，sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），
所以sinC（sinAcosB﹣cosAsinB）＝sinB（sinCcosA﹣cosCsinA），
所以sinAsinBcosC+sinAcosBsinC＝2cosAsinBsinC，
即sinA（sinBcosC+cosBsinC）＝2cosAsinBsinC，
所以sinAsin（B+C）＝2cosAsinBsinC，
由正弦定理得a2＝2bccosA，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
所以2a2＝b2+c2；
（2）当a＝5，cosA＝时，b2+c2＝2×52＝50，2bc＝＝＝31，
所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝50+31＝81，解得b+c＝9，
所以△ABC的周长为a+b+c＝5+9＝14．
【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力，是中档题．
18．（12分）（2022•乙卷）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
（1）证明：平面BED⊥平面ACD；
（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；数学运算．
【分析】（1）利用三角形全等可得AB＝BC，可证EB⊥AC，易证DE⊥AC，从而可证平面BED⊥平面ACD；
（2）由题意可知△AFC的面积最小时，EF⊥BD，据此计算可求得CF与平面ABD所成的角的正弦值．
【解答】（1）证明：∵AD＝CD，E为AC的中点．∴DE⊥AC，
又∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，
∴AB＝BC，又∵E为AC的中点．∴EB⊥AC，又BE∩DE＝E，BE⊂平面BED，DE⊂平面BED，
∴AC⊥平面BED，又AC⊂平面ACD，∴平面BED⊥平面ACD；
（2）解：连接EF，由（1）知AC⊥EF，∴S△AFC＝AC×EF，
故EF最小时，△AFC的面积最小，∴EF⊥BD时，△AFC的面积最小，
又AC⊥平面BED，BD⊂平面BED，∴AC⊥BD，又AC∩EF＝E，AC⊂平面AFC，EF⊂平面AFC，
∴BD⊥平面AFC，又BD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面AFC，
过C作CM⊥AF于点M，则CM⊥平面ABD，
故∠CFM，即∠CFA为直线CF与平面ABD所成的角，
由AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，知△BAC是2为边长的等边三角形，
故AC＝2，由已知可得DE＝1，BE＝，又BD＝2，∴BD2＝ED2+EB2，
∴∠BED＝90°，所以EF＝＝，
∴CF＝＝，∴AF＝，
在△ACF中，由余弦定理得cos∠AFC＝＝﹣，
∴sin∠AFC＝．
故CF与平面ABD所成的角的正弦值为．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．
19．（12分）（2022•乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得xi2＝0.038，yi2＝1.6158，xiyi＝0.2474．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r＝，≈1.377．
【考点】线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】对应思想；概率与统计；数学运算．
【分析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即可．
【解答】解：（1）设这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为，
则根据题中数据得：＝＝0.06m2，＝＝0.39m3；
（2）由题可知，r＝＝＝＝≈0.97；
（3）设总根部面积和X，总材积量为Y，则，故Y＝＝1209（m3）．
【点评】本题考查线性回归方程，属于中档题．
20．（12分）（2022•乙卷）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，﹣2），B（，﹣1）两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点P（1，﹣2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝．证明：直线HN过定点．
【考点】直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】（1）设E的方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0且m≠n），将A，B两点坐标代入即可求解；（2）由可得线段，①若过P（1，﹣2）的直线的斜率不存在，直线为x＝1，代入椭圆方程，根据＝即可求解；②若过P（1，﹣2）的直线的斜率存在，设kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3k2+4）x2﹣6k（2+k）x+3k（k+4）＝0，结合韦达定理和已知条件即可求解．
【解答】解：（1）设E的方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0且m≠n），
将两点代入得，
解得m＝，n＝，
故E的方程为；
（2）由可得线段
（1）若过点 P（1，﹣2）的直线斜率不存在，直线 x＝1．代入 ，
可得M（1，﹣），N，将y＝﹣代入 ，可得 ，得到H（﹣，﹣）求得 HN 方程：y＝，过点 （0，﹣2）．
②若过P（1，﹣2）的直线的斜率存在，设kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，得（3k2+4）x2﹣6k（2+k）x+3k（k+4）＝0，
故有，，
x1y2+x2y1＝x1（kx2﹣k﹣2）+x2（kx1﹣k﹣2）
＝kx1x2﹣kx1﹣2x1+kx1x2﹣kx2﹣2x2
＝2kx1x2﹣（k+2）（x1+x2）
＝2k•﹣（k+2）•
＝，
∴（*），
联立，可得，
可求得此时，
将（0，﹣2）代入整理得2（x1+x2）﹣6（y1+y2）+x1y2+x2y1﹣3y1y2﹣12＝0，
将（*）代入，得24k+12k2+96+48k﹣24k﹣48﹣48k+24k2﹣36k2﹣48＝0，
显然成立．
综上，可得直线HN过定点（0，﹣2）．
【点评】本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
21．（12分）（2022•乙卷）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．
【考点】函数的零点与方程根的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）将a＝1代入，对函数f（x）求导，求出f′（0）及f（0），由点斜式得答案；
（2）对函数f（x）求导，分a≥0及a＜0讨论，当a≥0时容易判断不合题意，当a＜0时，令，利用导数判断g（x）的性质，进而判断得到函数f（x）的单调性并结合零点存在性定理即可得解．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ln（1+x）+xe﹣x，则，
∴f′（0）＝1+1＝2，
又f（0）＝0，
∴所求切线方程为y＝2x；
（2），
若a≥0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）＜f（0）＝0，不合题意；
故a＜0，，令，注意到，
令g′（x）＜0，解得或，令g′（x）＞0，解得，
∴g（x）在单调递减，在单调递增，且x＞1时，g（x）＞0，
①若g（0）＝1+a≥0，当x＞0时，g（x）＞0，f（x）单调递增，不合题意；
②若g（0）＝1+a＜0，g（0）g（1）＜0，则存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，
且当x∈（0，x0）时，g（x）＜g（x0）＝0，f（x）单调递减，则f（x0）＜f（0）＝0，
当x＞1时，f（x）＞ln（1+x）+a＞0，f（e﹣a﹣1）＞0，则由零点存在性定理可知f（x）在（x0，e﹣a﹣1）上存在一个根，
当时，g（x）＜0，f（x）单调递减，，
当时，f（x）＜ln（1+x）﹣ae＜0，f（eae﹣1）＜0，则由零点存在性定理可知f（x）在上存在一个根．
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022•乙卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）+m＝0．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化法；坐标系和参数方程；数学运算．
【分析】（1）由ρsin（θ+）+m＝0，展开两角和的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得l的直角坐标方程；
（2）化曲线C的参数方程为普通方程，联立直线方程与曲线C的方程，化为关于y的一元二次方程，再求解m的取值范围．
【解答】解：（1）由ρsin（θ+）+m＝0，得，
∴，
又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴，
即l的直角坐标方程为；
（2）由曲线C的参数方程为（t为参数）．
消去参数t，可得，
联立，得3y2﹣2y﹣4m﹣6＝0（﹣2≤y≤2）．
∴4m＝3y2﹣2y﹣6，
令g（y）＝3y2﹣2y﹣6（﹣2≤y≤2），
可得，当y＝﹣2时，g（y）max＝g（﹣2）＝10，
∴﹣≤4m≤10，﹣≤m≤，
∴m的取值范围是[，]．
【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（2022•乙卷）已知a，b，c都是正数，且++＝1，证明：
（1）abc≤；
（2）++≤．
【考点】不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；不等式；逻辑推理．
【分析】结合基本不等式与恒成立问题证明即可．
【解答】解：（1）证明：∵a，b，c都是正数，
∴++≥3，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
因为++＝1，
所以1≥3，
所以≥，
所以abc≤，得证．
（2）根据基本不等式b+c≥2，a+c≥2，a+b≥2，
∴++≤++＝++＝＝，
当且仅当a＝b＝c时等号成立，故得证．
【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
考点卡片
1．补集及其运算
【知识点的认识】
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．
【解题方法点拨】
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．
【命题方向】
通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
2．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
3．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
4．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）＝﹣1＝
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
5．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
6．余弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（k∈Z）；
递减区间：
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
7．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
8．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a•b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
9．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
10．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
11．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||cosθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
12．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
13．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
14．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccosA
b2＝a2+c2﹣2accosB
c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosA＝
cosB＝
cosC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝
15．虚数单位i、复数
【虚数单位i的概念】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．
【复数的运算】
①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．
②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．
【例题解析】
例：定义运算，则符合条件的复数z为．
解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z＝＝＝3﹣i．
这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．
【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
16．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
17．共轭复数
共轭复数
18．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
19．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
20．平面与平面平行
【知识点的认识】
两个平面平行的判定：
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
（2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β．
（3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β．
平面与平面平行的性质：
性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面．
性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
21．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
22．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．
23．圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
【解题思路点拨】
已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：
（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；
（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．
另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．
【命题方向】
可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．
例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是 （x﹣3）2+（y+2）2＝5
分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．
解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，
由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，
故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5
点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．
例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．
解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，
化简得：|4a﹣3b|＝5①，
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），
∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故选：A
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．
例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．
解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为 x2+（y+1）2＝2，
故半径等于，
故选B．
点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．
24．圆的一般方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心坐标为（﹣，﹣），半径r＝．
3．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
25．直线与椭圆的综合
v．
26．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
27．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
28．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
29．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：
P（A•B）＝P（A）•P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
30．线性回归方程
【概念】
线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．
【实例解析】
例：对于线性回归方程，则＝
解：，因为回归直线必过样本中心（），
所以．
故答案为：58.5．
方法就是根据线性回归直线必过样本中心（），求出，代入即可求．这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式．
【考点点评】
这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．
31．程序框图
【知识点的知识】
1．程序框图
（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的．
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置．
处理框
赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．
流程线
算法进行的前进方向以及先后顺序
连结点
连接另一页或另一部分的框图
注释框
帮助编者或阅读者理解框图
（3）程序框图的构成．
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．
32．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，
2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（ ）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（ ）
A．A，B为定点，动点P满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n﹣1求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C选项由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3
32＝1+3+5
42＝1+3+5+7
23＝3+5
33＝7+9+11
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n＝（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+11＝＝36，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n的值是解题的关键．
33．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
34．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
35．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，＞1⇒a＞b；b＜0，＜1⇒a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：
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2022年宁夏高考数学试卷（理科）（乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2022•乙卷）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（ ）
A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M
2．（5分）（2022•乙卷）已知z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，其中a，b为实数，则（ ）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
3．（5分）（2022•乙卷）已知向量，满足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，则•＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．（5分）（2022•乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1+，b2＝1+，b3＝1+，…，依此类推，其中ak∈N*（k＝1，2，…）．则（ ）
A．b1＜b5 B．b3＜b8 C．b6＜b2 D．b4＜b7
5．（5分）（2022•乙卷）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
6．（5分）（2022•乙卷）执行如图的程序框图，输出的n＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（5分）（2022•乙卷）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（ ）
A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D
8．（5分）（2022•乙卷）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
9．（5分）（2022•乙卷）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
（多选）11．（5分）（2022•乙卷）双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2＝，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2022•乙卷）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则f（k）＝（ ）
A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2022•乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
14．（5分）（2022•乙卷）过四点（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为 ．
15．（5分）（2022•乙卷）记函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T．若f（T）＝，x＝为f（x）的零点，则ω的最小值为 ．
16．（5分）（2022•乙卷）已知x＝x1和x＝x2分别是函数f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1＜x2，则a的取值范围是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022•乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．
（1）证明：2a2＝b2+c2；
（2）若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长．
18．（12分）（2022•乙卷）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
（1）证明：平面BED⊥平面ACD；
（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
19．（12分）（2022•乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得xi2＝0.038，yi2＝1.6158，xiyi＝0.2474．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r＝，≈1.377．
20．（12分）（2022•乙卷）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，﹣2），B（，﹣1）两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点P（1，﹣2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝．证明：直线HN过定点．
21．（12分）（2022•乙卷）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022•乙卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）+m＝0．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（2022•乙卷）已知a，b，c都是正数，且++＝1，证明：
（1）abc≤；
（2）++≤．
2022年宁夏高考数学试卷（理科）（乙卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2022•乙卷）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（ ）
A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M
【考点】补集及其运算．菁优网版权所有
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】根据补集的定义写出集合M，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，∁UM＝{1，3}，
所以M＝{2，4，5}，
所以2∈M，3∉M，4∈M，5∈M．
故选：A．
【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．
2．（5分）（2022•乙卷）已知z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，其中a，b为实数，则（ ）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
【考点】共轭复数；虚数单位i、复数；复数的运算．菁优网版权所有
【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据复数与共轭复数的定义，利用复数相等列方程求出a、b的值．
【解答】解：因为z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，
所以（1﹣2i）+a（1+2i）+b＝（1+a+b）+（﹣2+2a）i＝0，
所以，
解得a＝1，b＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了复数与共轭复数以及复数相等的应用问题，是基础题．
3．（5分）（2022•乙卷）已知向量，满足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，则•＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】利用|﹣2|＝，结合数量积的性质计算可得结果．
【解答】解：因为向量，满足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，
所以|﹣2|＝＝＝＝3，
两边平方得，
13﹣4＝9，
解得＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和性质，属于基础题．
4．（5分）（2022•乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1+，b2＝1+，b3＝1+，…，依此类推，其中ak∈N*（k＝1，2，…）．则（ ）
A．b1＜b5 B．b3＜b8 C．b6＜b2 D．b4＜b7
【考点】归纳推理．菁优网版权所有
【专题】转化思想；归纳法；推理和证明；数学运算．
【分析】ak∈N*（k＝1，2，…），可以取ak＝1，依次求出数列的前8项，能求出正确选项．
【解答】解：∵ak∈N*（k＝1，2，…），∴可以取ak＝1，
则b1＝1+＝2，
b2＝1+＝，
b3＝1+＝，
b4＝1+＝，
b5＝1+＝，
b6＝1+＝，
b7＝＝，
b8＝1+＝，
∴b1＞b5，故A错误；b3＞b8，故B错误；b6＞b2，故C错误；b4＜b7，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，巧妙地把人造行星融入高考数学题，培养学生爱国热情，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）（2022•乙卷）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
【考点】抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，然后求解即可．
【解答】解：F为抛物线C：y2＝4x的焦点（1，0），点A在C上，点B（3，0），|AF|＝|BF|＝2，
由抛物线的定义可知A（1，2）（A不妨在第一象限），所以|AB|＝＝2．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．
6．（5分）（2022•乙卷）执行如图的程序框图，输出的n＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】程序框图．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；算法和程序框图；逻辑推理．
【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的n值．
【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下：
输入a＝1，b＝1，n＝1，
计算b＝1+2＝3，a＝3﹣1＝2，n＝2，
判断|﹣2|＝＝0.25≥0.01，
计算b＝3+4＝7，a＝7﹣2＝5，n＝3，
判断|﹣2|＝＝0.04≥0.01；
计算b＝7+10＝17，a＝17﹣5＝12，n＝4，
判断|﹣2|＝＜0.01；
输出n＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了程序的运行与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．
7．（5分）（2022•乙卷）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（ ）
A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D
【考点】平面与平面垂直；平面与平面平行．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何；逻辑推理．
【分析】对于A，易知EF∥AC，AC⊥平面BDD1，从而判断选项A正确；对于B，由选项A及平面BDD1∩平面A1BD＝BD可判断选项B错误；对于C，由于AA1与B1E必相交，容易判断选项C错误；对于D，易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，由此可判断选项D错误．
【解答】解：对于A，由于E，F分别为AB，BC的中点，则EF∥AC，
又AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，且BD，DD1⊂平面BDD1，
∴AC⊥平面BDD1，则EF⊥平面BDD1，
又EF⊂平面B1EF，
∴平面B1EF⊥平面BDD1，选项A正确；
对于B，由选项A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD＝BD，在该正方体中，试想D1运动至A1时，平面B1EF不可能与平面A1BD垂直，选项B错误；
对于C，在平面ABB1A1上，易知AA1与B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，选项C错误；
对于D，易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，故平面B1EF与平面A1C1D不可能平行，选项D错误．
故选：A．
【点评】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．
8．（5分）（2022•乙卷）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【考点】等比数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】由题意，利用等比数列的定义、性质、通项公式，求得a6的值．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，q≠0，由题意，q≠1．
∵前3项和为a1+a2+a3＝＝168，a2﹣a5＝a1•q﹣a1•q4＝a1•q（1﹣q3）＝42，
∴q＝，a1＝96，
则a6＝a1•q5＝96×＝3，
故选：D．
【点评】本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，属于基础题．
9．（5分）（2022•乙卷）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，由勾股定理可知该四棱锥的高h＝，所以该四棱锥的体积V＝，再利用基本不等式即可求出V的最大值，以及此时a的值，进而求出h的值．
【解答】解：对于圆内接四边形，如图所示，
S四边形ABCD＝＝2r2，
当且仅当AC，BD为圆的直径，且AC⊥BD时，等号成立，此时四边形ABCD为正方形，
∴当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，
则r＝，
∴该四棱锥的高h＝，
∴该四棱锥的体积V＝＝≤＝＝，
当且仅当，即时，等号成立，
∴该四棱锥的体积最大时，其高h＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了四棱锥的结构特征，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
10．（5分）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】计算题；数学运算；数据分析．
【分析】已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以P受比赛次序影响，A错误；再计算第二盘分别与甲、乙、丙比赛连赢两盘的概率，比较大小即可．
【解答】解：A选项，已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以P受比赛次序影响，故A错误；
设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为P甲，棋手在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为P乙，棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为P丙，
P甲＝（1﹣p2）p1p3+p2p1（1﹣p3）+（1﹣p3）p1p2+p3p1（1﹣p2）＝2[p1（p2+p3）﹣2p1p2p3]，
同理可得，P乙＝2[p2（p1+p3）﹣2p1p2p3]，
P丙＝2[p1p3+p2p3﹣2p1p2p3]，
P丙﹣P甲＝2p2（p3﹣p1）＞0，P丙﹣P乙＝2p1（p3﹣p2）＞0，
∴P丙最大，即棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率最大．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
（多选）11．（5分）（2022•乙卷）双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2＝，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），设过F1的切线与圆D：x2+y2＝a2相切于点P，从而可求得|PF1|，过点F2作F2Q⊥MN于点Q，由中位线的性质可求得|F1Q|，|QF2|，在Rt△QNF2中，可求得|NF2|，|NQ|，利用双曲线的定义可得a，b的关系，再由离心率公式求解即可．情况二当直线与双曲线交于一支时，同理可求得离心率．
【解答】解：当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），
设过F1的切线与圆D：x2+y2＝a2相切于点P，
则|OP|＝a，OP⊥PF1，又|OF1|＝c，
所以PF1＝＝＝b，
过点F2作F2Q⊥MN于点Q，
所以OP∥F2Q，又O为F1F2的中点，
所以|F1Q|＝2|PF1|＝2b，|QF2|＝2|OP|＝2a，
因为cos∠F1NF2＝，∠F1NF2＜，所以sin∠F1NF2＝，
所以|NF2|＝＝，则|NQ|＝|NF2|•cos∠F1NF2＝，
所以|NF1|＝|NQ|+|F1Q|＝+2b，
由双曲线的定义可知|NF1|﹣|NF2|＝2a，
所以+2b﹣＝2a，可得2b＝3a，即＝，
所以C的离心率e＝＝＝＝．
情况二：当直线与双曲线交于一支时，
如图，记切点为A，连接OA，则|OA|＝a，|F1A|＝b，
过F2作F2B⊥MN于B，则|F2B|＝2a，因为cos∠F1NF2＝，所以|NF2|＝，|NB|＝，
|NF2|﹣|NF1|＝﹣（﹣2b）＝a+2b＝2a，即a＝2b，
所以e＝＝＝＝，A正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，圆的性质，考查转化思想与数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．
12．（5分）（2022•乙卷）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则f（k）＝（ ）
A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24
【考点】抽象函数及其应用；函数的值．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由y＝g（x）的对称性可得f（x）为偶函数，进而得到f（x）关于点（﹣1，﹣1）中心对称，所以f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，再结合f（x）的周期为4，即可求出结果．
【解答】解：∵y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，则g（2﹣x）＝g（2+x），
∵f（x）+g（2﹣x）＝5，∴f（﹣x）+g（2+x）＝5，∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）为偶函数，
∵g（2）＝4，f（0）+g（2）＝5，得f（0）＝1．由g（x）﹣f（x﹣4）＝7，得g（2﹣x）＝f（﹣x﹣2）+7，代入f（x）+g（2﹣x）＝5，得f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，故f（x）关于点（﹣1，﹣1）中心对称，
∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，f（﹣x）＝f（x），得f（x）+f（x+2）＝﹣2，
∴f（x+2）+f（x+4）＝﹣2，故f（x+4）＝f（x），f（x）周期为4，
由f（0）+f（2）＝﹣2，得f（2）＝﹣3，又f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，
所以f（k）＝6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（4）＝11×（﹣1）+5×1+6×（﹣3）＝﹣24，
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2022•乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出3人，先求出基本事件总数，再求出甲、乙被选中包含的基本事件的个数，由此求出甲、乙被选中的概率．
【解答】解：方法一：设5人为甲、乙、丙、丁、戊，
从5人中选3人有以下10个基本事件：
甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；
甲、乙被选中的基本事件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；
故甲、乙被选中的概率为．
方法二：
由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数＝10，
甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数＝3，
根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率P＝＝．
【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．
14．（5分）（2022•乙卷）过四点（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为 x2+y2﹣4x﹣6y＝0（或x2+y2﹣4x﹣2y＝0或x2+y2﹣x﹣y＝0或x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0） ．
【考点】圆的标准方程；圆的一般方程．菁优网版权所有
【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；数学运算．
【分析】选其中的三点，利用待定系数法即可求出圆的方程．
【解答】解：设过点（0，0），（4，0），（﹣1，1）的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
即，解得F＝0，D＝﹣4，E＝﹣6，
所以过点（0，0），（4，0），（﹣1，1）圆的方程为x2+y2﹣4x﹣6y＝0．
同理可得，过点（0，0），（4，0），（4，2）圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0．
过点（0，0），（﹣1，1），（4，2）圆的方程为x2+y2﹣x﹣y＝0．
过点（4，0），（﹣1，1），（4，2）圆的方程为x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0．
故答案为：x2+y2﹣4x﹣6y＝0（或x2+y2﹣4x﹣2y＝0或x2+y2﹣x﹣y＝0或x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0）．
【点评】本题考查了过不在同一直线上的三点求圆的方程应用问题，是基础题．
15．（5分）（2022•乙卷）记函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T．若f（T）＝，x＝为f（x）的零点，则ω的最小值为 3 ．
【考点】三角函数的周期性；余弦函数的图象．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由题意，结合余弦函数的周期和零点，建立相关的方程求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T＝，
若f（T）＝cos（ω×+φ）＝cosφ＝，0＜φ＜π，则φ＝，
所以f（x）＝cos（ωx+）．
因为x＝为f（x）的零点，所以cos（+）＝0，
故 +＝k，k∈Z，所以ω＝9k+3，k∈Z，
因为ω＞0，则ω的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，考查了方程思想，属于基础题．
16．（5分）（2022•乙卷）已知x＝x1和x＝x2分别是函数f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1＜x2，则a的取值范围是 ．
【考点】利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；分类法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】由已知分析函数f′（x）＝2（axlna﹣ex）至少应该两个变号零点，对其再求导f″（x）＝2ax（lna）2﹣2e，分类讨论0＜a＜1和a＞1时两种情况即可得出结果．
【解答】解：对原函数求导f′（x）＝2（axlna﹣ex），分析可知：f′（x）在定义域内至少有两个变号零点，
对其再求导可得：f″（x）＝2ax（lna）2﹣2e，
当a＞1时，易知f″（x）在R上单调递增，此时若存在x0使得f″（x0）＝0，
则f′（x）在（﹣∞，x0）单调递减，（x0，+∞）单调递增，
此时若函数f（x）在x＝x1和x＝x2分别取极小值点和极大值点，应满足x1＞x2，不满足题意；
当0＜a＜1时，易知f″（x）在R上单调递减，此时若存在x0使得f″（x0）＝0，
则f′（x）在（﹣∞，x0）单调递增，（x0，+∞）单调递减，且，
此时若函数f（x）在x＝x1和x＝x2分别取极小值点和极大值点，且x1＜x2，
故仅需满足f′（x0）＞0，
即：⇒⇒＜ln⇒，
解得：，又因为0＜a＜1，故
综上所述：a的取值范围是．
【点评】本题主要考查利用函数的导数研究函数极值点问题，考查运算求解能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022•乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．
（1）证明：2a2＝b2+c2；
（2）若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长．
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）利用两角差与和的正弦公式，三角形内角和公式，正弦和余弦定理，即可求得结论；
（2）利用（1）中结论求出b2+c2和2bc的值，即可求出△ABC的周长．
【解答】（1）证明：△ABC中，sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），
所以sinC（sinAcosB﹣cosAsinB）＝sinB（sinCcosA﹣cosCsinA），
所以sinAsinBcosC+sinAcosBsinC＝2cosAsinBsinC，
即sinA（sinBcosC+cosBsinC）＝2cosAsinBsinC，
所以sinAsin（B+C）＝2cosAsinBsinC，
由正弦定理得a2＝2bccosA，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
所以2a2＝b2+c2；
（2）当a＝5，cosA＝时，b2+c2＝2×52＝50，2bc＝＝＝31，
所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝50+31＝81，解得b+c＝9，
所以△ABC的周长为a+b+c＝5+9＝14．
【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力，是中档题．
18．（12分）（2022•乙卷）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
（1）证明：平面BED⊥平面ACD；
（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；数学运算．
【分析】（1）利用三角形全等可得AB＝BC，可证EB⊥AC，易证DE⊥AC，从而可证平面BED⊥平面ACD；
（2）由题意可知△AFC的面积最小时，EF⊥BD，据此计算可求得CF与平面ABD所成的角的正弦值．
【解答】（1）证明：∵AD＝CD，E为AC的中点．∴DE⊥AC，
又∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，
∴AB＝BC，又∵E为AC的中点．∴EB⊥AC，又BE∩DE＝E，BE⊂平面BED，DE⊂平面BED，
∴AC⊥平面BED，又AC⊂平面ACD，∴平面BED⊥平面ACD；
（2）解：连接EF，由（1）知AC⊥EF，∴S△AFC＝AC×EF，
故EF最小时，△AFC的面积最小，∴EF⊥BD时，△AFC的面积最小，
又AC⊥平面BED，BD⊂平面BED，∴AC⊥BD，又AC∩EF＝E，AC⊂平面AFC，EF⊂平面AFC，
∴BD⊥平面AFC，又BD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面AFC，
过C作CM⊥AF于点M，则CM⊥平面ABD，
故∠CFM，即∠CFA为直线CF与平面ABD所成的角，
由AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，知△BAC是2为边长的等边三角形，
故AC＝2，由已知可得DE＝1，BE＝，又BD＝2，∴BD2＝ED2+EB2，
∴∠BED＝90°，所以EF＝＝，
∴CF＝＝，∴AF＝，
在△ACF中，由余弦定理得cos∠AFC＝＝﹣，
∴sin∠AFC＝．
故CF与平面ABD所成的角的正弦值为．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．
19．（12分）（2022•乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得xi2＝0.038，yi2＝1.6158，xiyi＝0.2474．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r＝，≈1.377．
【考点】线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】对应思想；概率与统计；数学运算．
【分析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即可．
【解答】解：（1）设这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为，
则根据题中数据得：＝＝0.06m2，＝＝0.39m3；
（2）由题可知，r＝＝＝＝≈0.97；
（3）设总根部面积和X，总材积量为Y，则，故Y＝＝1209（m3）．
【点评】本题考查线性回归方程，属于中档题．
20．（12分）（2022•乙卷）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，﹣2），B（，﹣1）两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点P（1，﹣2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝．证明：直线HN过定点．
【考点】直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】（1）设E的方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0且m≠n），将A，B两点坐标代入即可求解；（2）由可得线段，①若过P（1，﹣2）的直线的斜率不存在，直线为x＝1，代入椭圆方程，根据＝即可求解；②若过P（1，﹣2）的直线的斜率存在，设kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3k2+4）x2﹣6k（2+k）x+3k（k+4）＝0，结合韦达定理和已知条件即可求解．
【解答】解：（1）设E的方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0且m≠n），
将两点代入得，
解得m＝，n＝，
故E的方程为；
（2）由可得线段
（1）若过点 P（1，﹣2）的直线斜率不存在，直线 x＝1．代入 ，
可得M（1，﹣），N，将y＝﹣代入 ，可得 ，得到H（﹣，﹣）求得 HN 方程：y＝，过点 （0，﹣2）．
②若过P（1，﹣2）的直线的斜率存在，设kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，得（3k2+4）x2﹣6k（2+k）x+3k（k+4）＝0，
故有，，
x1y2+x2y1＝x1（kx2﹣k﹣2）+x2（kx1﹣k﹣2）
＝kx1x2﹣kx1﹣2x1+kx1x2﹣kx2﹣2x2
＝2kx1x2﹣（k+2）（x1+x2）
＝2k•﹣（k+2）•
＝，
∴（*），
联立，可得，
可求得此时，
将（0，﹣2）代入整理得2（x1+x2）﹣6（y1+y2）+x1y2+x2y1﹣3y1y2﹣12＝0，
将（*）代入，得24k+12k2+96+48k﹣24k﹣48﹣48k+24k2﹣36k2﹣48＝0，
显然成立．
综上，可得直线HN过定点（0，﹣2）．
【点评】本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
21．（12分）（2022•乙卷）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．
【考点】函数的零点与方程根的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）将a＝1代入，对函数f（x）求导，求出f′（0）及f（0），由点斜式得答案；
（2）对函数f（x）求导，分a≥0及a＜0讨论，当a≥0时容易判断不合题意，当a＜0时，令，利用导数判断g（x）的性质，进而判断得到函数f（x）的单调性并结合零点存在性定理即可得解．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ln（1+x）+xe﹣x，则，
∴f′（0）＝1+1＝2，
又f（0）＝0，
∴所求切线方程为y＝2x；
（2），
若a≥0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）＜f（0）＝0，不合题意；
故a＜0，，令，注意到，
令g′（x）＜0，解得或，令g′（x）＞0，解得，
∴g（x）在单调递减，在单调递增，且x＞1时，g（x）＞0，
①若g（0）＝1+a≥0，当x＞0时，g（x）＞0，f（x）单调递增，不合题意；
②若g（0）＝1+a＜0，g（0）g（1）＜0，则存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，
且当x∈（0，x0）时，g（x）＜g（x0）＝0，f（x）单调递减，则f（x0）＜f（0）＝0，
当x＞1时，f（x）＞ln（1+x）+a＞0，f（e﹣a﹣1）＞0，则由零点存在性定理可知f（x）在（x0，e﹣a﹣1）上存在一个根，
当时，g（x）＜0，f（x）单调递减，，
当时，f（x）＜ln（1+x）﹣ae＜0，f（eae﹣1）＜0，则由零点存在性定理可知f（x）在上存在一个根．
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022•乙卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）+m＝0．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化法；坐标系和参数方程；数学运算．
【分析】（1）由ρsin（θ+）+m＝0，展开两角和的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得l的直角坐标方程；
（2）化曲线C的参数方程为普通方程，联立直线方程与曲线C的方程，化为关于y的一元二次方程，再求解m的取值范围．
【解答】解：（1）由ρsin（θ+）+m＝0，得，
∴，
又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴，
即l的直角坐标方程为；
（2）由曲线C的参数方程为（t为参数）．
消去参数t，可得，
联立，得3y2﹣2y﹣4m﹣6＝0（﹣2≤y≤2）．
∴4m＝3y2﹣2y﹣6，
令g（y）＝3y2﹣2y﹣6（﹣2≤y≤2），
可得，当y＝﹣2时，g（y）max＝g（﹣2）＝10，
∴﹣≤4m≤10，﹣≤m≤，
∴m的取值范围是[，]．
【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（2022•乙卷）已知a，b，c都是正数，且++＝1，证明：
（1）abc≤；
（2）++≤．
【考点】不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；不等式；逻辑推理．
【分析】结合基本不等式与恒成立问题证明即可．
【解答】解：（1）证明：∵a，b，c都是正数，
∴++≥3，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
因为++＝1，
所以1≥3，
所以≥，
所以abc≤，得证．
（2）根据基本不等式b+c≥2，a+c≥2，a+b≥2，
∴++≤++＝++＝＝，
当且仅当a＝b＝c时等号成立，故得证．
【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
考点卡片
1．补集及其运算
【知识点的认识】
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．
【解题方法点拨】
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．
【命题方向】
通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
2．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
3．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
4．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）＝﹣1＝
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
5．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
6．余弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（k∈Z）；
递减区间：
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
7．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
8．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a•b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
9．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
10．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
11．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||cosθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
12．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
13．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
14．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccosA
b2＝a2+c2﹣2accosB
c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosA＝
cosB＝
cosC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝
15．虚数单位i、复数
【虚数单位i的概念】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．
【复数的运算】
①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．
②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．
【例题解析】
例：定义运算，则符合条件的复数z为．
解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z＝＝＝3﹣i．
这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．
【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
16．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
17．共轭复数
共轭复数
18．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
19．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
20．平面与平面平行
【知识点的认识】
两个平面平行的判定：
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
（2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β．
（3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β．
平面与平面平行的性质：
性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面．
性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
21．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
22．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．
23．圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
【解题思路点拨】
已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：
（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；
（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．
另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．
【命题方向】
可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．
例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是 （x﹣3）2+（y+2）2＝5
分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．
解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，
由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，
故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5
点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．
例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．
解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，
化简得：|4a﹣3b|＝5①，
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），
∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故选：A
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．
例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．
解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为 x2+（y+1）2＝2，
故半径等于，
故选B．
点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．
24．圆的一般方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心坐标为（﹣，﹣），半径r＝．
3．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
25．直线与椭圆的综合
v．
26．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
27．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
28．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
29．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：
P（A•B）＝P（A）•P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
30．线性回归方程
【概念】
线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．
【实例解析】
例：对于线性回归方程，则＝
解：，因为回归直线必过样本中心（），
所以．
故答案为：58.5．
方法就是根据线性回归直线必过样本中心（），求出，代入即可求．这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式．
【考点点评】
这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．
31．程序框图
【知识点的知识】
1．程序框图
（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的．
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置．
处理框
赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．
流程线
算法进行的前进方向以及先后顺序
连结点
连接另一页或另一部分的框图
注释框
帮助编者或阅读者理解框图
（3）程序框图的构成．
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．
32．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，
2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（ ）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（ ）
A．A，B为定点，动点P满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n﹣1求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C选项由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3
32＝1+3+5
42＝1+3+5+7
23＝3+5
33＝7+9+11
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n＝（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+11＝＝36，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n的值是解题的关键．
33．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
34．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
35．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，＞1⇒a＞b；b＜0，＜1⇒a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：
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