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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式巩固练习
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式巩固练习，文件包含第01讲条件概率教师版-高二数学同步精品讲义人教A版选择性必修第三册docx、第01讲条件概率学生版-高二数学同步精品讲义人教A版选择性必修第三册docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
第01讲 条件概率
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课程标准
课标解读
结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式，了解条件概率与独立性的关系，能计算简单的随机事件的条件概率.
通过本节课的学习，要求会判断条件概率，掌握条件概率的基本求法，能解决与条件概率相关的问题.
知识精讲
知识点
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝（变形） (P(A)>0)．
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝.
(2)条件概率具有的性质：条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.
①0≤P(B|A)≤1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
③设B和互为对立事件，则P（ |A）=1 P（B|A）.
2.条件概率的3种求法
定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ .
缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简
【微点拨】1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．
（5）P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)．
（6）求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据条件概率的定义或利用古典概型概率求解．
【即学即练1】设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件概率公式可求出，然后根据对立事件的概率公式即可求出的值.
【详解】
因为，，，
所以．
故选：C．
【即学即练2】有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72 B．0.8 C． D．0.9
【答案】A
【解析】
【分析】
设一批种子的发芽率为事件，则，出芽后的幼苗成活率为事件B，则，根据条件概率公式计算即可，
【详解】
设一批种子的发芽率为事件，则，
出芽后的幼苗成活率为事件，则，
∴这粒种子能成长为幼苗的概率.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了条件概率的问题，关键是分清是在什么条件下发生的，属于基础题．
【即学即练3】把一枚硬币任意抛掷三次，事件 “至少一次出现反面”，事件 “恰有一次出现正面”求________.
【答案】
【解析】
【详解】由题意，，，所以，故答案为.
考点：条件概率.
【即学即练4】分别在下列各条件下，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2).
【分析】
根据条件概率的计算公式即可求解.
【解析】
(1)因为，所以，
所以；
(2)因为，所以，所以.
【即学即练5】已知，求与．
【答案】，
【解析】
【分析】
由条件概率与对立事件的概率求解即可
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以.
【即学即练6】．抛掷红、蓝两个骰子，设蓝色骰子的点数为1或2，两骰子的点数之和小于5，求与．
【答案】，
【解析】
【分析】分别计算，，，再利用条件概率公式计算得到答案.
【详解】两骰子的点数之和小于5的情况有：6种情况，
故，，
事件同时发生的情况有：5种情况，故.
，.
能力拓展
考法01
条件概率及意义：
【典例1】
1．下面几种概率是条件概率的是（ ）
A．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件概率的定义，结合各选项的描述判断是否条件概率即可.
【详解】由条件概率的定义：某一事件已发生的情况下，另一事件发生的概率.
A：甲乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率；
B：甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率；
C：抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率；
D：一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率..
故选：B
【典例2】某同学算出条件概率，这可能吗？
【答案】不可能
【解析】
【分析】
根据概率的性质即可得出答案.
【详解】由概率的性质可得，所以不可能.
【典例3】已知，判断A与B是否独立．
【答案】A与B不相互独立
【解析】
【分析】
先由条件概率公式计算，判断是否成立，即可判断A与B是否独立.
【详解】
，
,即,
若A与B相互独立，则,
即，这与已知矛盾，
故A与B不相互独立.
【典例4】已知，判断A与B是否独立.
【答案】A,B独立
【解析】
【分析】
先计算再根据数值判断是否成立，即可判断A与B是否独立.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，即A与B独立.
【点睛】本题考查独立事件判断方法，考查基本分析求解能力，属基础题.
考法02
条件概率的公式运用：
【典例5】已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件概率公式计算．
【详解】由，可得.故选：C.
【典例6】若，，，则______．
【答案】
【分析】
由条件概率公式直接计算得到结果.
【详解】
.
故答案为：.
【典例7】已知随机事件A，B，，，，求，.
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件概率的计算公式及其变形求解即可．
【详解】由条件概率公式
得：．
．
【典例8】已知，求：
(1)；(2)．
【答案】(1)0.2；(2).
【分析】
（1）根据条件概率公式计算即可得出答案.（2）根据条件概率公式计算即可得出答案.
【解析】
(1)因为，所以；
(2)因为，所以.
【典例9】设，且，.根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出 和的值再由条件概率公式进行验证.
【答案】,
【解析】
【分析】
由事件包含关系的意义及条件概率的意义直接写结果，再用条件概率的公式验证.
【详解】
因为，且，，则发生一定发生，
所以,，
又因为，由条件概率公式得：
,.
【即学即练7】．已知事件A，B，且则P(B)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】结合条件概率公式，由，再由得到，进而求出答案.
【详解】由题意，，易知,
所以，
所以.
故选：B.
考法03
条件概率的应用：
【典例10】甲、乙两人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛采用三局两胜制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，利用条件概率公式求解.
【详解】设事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，
由题意，得，，
所以.故选：A．
【典例11】将两颗骰子各掷一次，记事件A为“两个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率分别等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件概率的含义结合计数原理的知识即可得解.
【详解】“至少出现一个6点”的情况数目为种，
在“至少出现一个6点”的情况下又满足“两个点数都不相同”，则只有一个6点，
种，
“两个点数都不相同”的数目为种，
.
故选：A.
【典例12】某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为______．
【答案】0.785
【解析】
【分析】根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.
【详解】
记A为事件“植物没有枯萎”，W为事件“邻居记得给植物浇水”，
则根据题意，知，，，，
因此．
故答案为：0.785．
【典例13】已知一个不透明的口袋中有4个白球和8个红球，球除颜色外完全相同.
（1）若一个人从口袋中随机抽取一个球，求其抽取到白球的概率；
（2）若一个人从口袋中随机不放回连续抽取球两次，每次抽取一个球，求在第一次抽取出白球的条件下第二次抽取出的也是白球的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率计算得解；（2）先计算出,再利用条件概率计算得解.
【详解】
（1）从口袋中随机抽取一个球，抽取到白球的概率.
（2）记“第一次抽取出球是白球”为事件，“第二次抽取出球是白球”为事件，则第一次抽取出白球和第二次抽取出球也是白球的概率，,
所以在第一次取出白球的条件下第二次取出的也是白球的概率.
【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
【典例14】国家文明城市评审委员会对甲、乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查，派出10人的调查组，先后到甲、乙两个城市的街道、社区进行问卷调查，然后打分（满分100分），他们给出甲、乙两个城市分数的茎叶图如图所示：
（1）请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，并说明理由；
（2）从甲、乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率．
（参考数据：， ）
【答案】（1）乙城市，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）求出甲已两个城市的打分平均数及方差，根据大小判断即可；
（2）设事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，根据条件概率公式求解即可.
【详解】
（1）甲城市的打分平均数为：，
乙城市的打分平均数为：，
则甲城市的打分的方差为：
乙城市的打分的方差为：
甲乙两城市的打分平均数的平均数相同，但是乙城市打分波动更小，故乙城市更应该入围“国家文明城市”；
（2）由茎叶图可得，分数在80分以上的甲城市有4个，乙城市有5个．
设事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，
事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，
则，
因为，，
所以.
【点睛】本题考核方差，平均数的计算，考查条件概率的求解，是中档题.
【典例15】某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
（1）求男生甲被选中的概率；
（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）将所有的基本事件一一列举出来，从中找出该事件所发生的基本事件，从而计算概率；
（2）利用条件概率的公式即可计算结果；
（3）与（2）解法相同.
【详解】（1）记4名男生为A，B，C，D，2名女生为a，b，
从6名成员中挑选2名成员，有
，，，，，，，，
，，，，，，共有15种情况，，
记“男生甲被选中”为事件M，不妨假设男生甲为A
事件M所包含的基本事件数为，，，，
共有5种，故．
（2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，
不妨设女生乙为，
则，又由（1）知，故．
（３）记“挑选的2人一男一女”为事件，则，
“女生乙被选中”为事件，，故．
【点睛】本题考查了等可能事件的概率，列举法求古典概型的概率，条件概率的计算，属于中档题.
【即学即练8】把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据条件概率公式转化为，分别求解事件和实际包含的基本事件的个数，代入求解.
【详解】
事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，，故；为“至少有一次点数是5”，则事件为，，，，，，所以.
故选：B.
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列说法中正确的是（ ）
A． B．是可能的
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用条件概率的公式可判断ABD的正误，利用独立事件的定义可判断C的正误.
【详解】
，故A错误；
当时，，可能成立，故B正确；
当且仅当与相互独立时成立，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
2. 下列说法中正确的是（ ）
A． B．是可能的
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件概率公式计算判断即可.
【详解】
，故A错误；
当时，，可能成立，故B正确；
当且仅当与相互独立时成立，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
3. 已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件概率公式即可得出答案.
【详解】
解：因为，，
所以.
故选：D.
4. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件概率的定义即可求得两事件同时发生的概率.
【详解】
解析：记“该地区下雨”为事件A，“刮风”为事件B，
则P(A)=，P(B)=，P(B|A)=，
所以P(AB)=P(A)P(B|A)=.
故选：C.
5. 若B，C是互斥事件且P(B|A)=，P(C|A)=，则P(B∪C|A)=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)可得解.
【详解】
因为B，C是互斥事件，
所以P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
故选：D.
6. 袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球，
分别求出利用条件概率公式即可求解.
【详解】
记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球，则,，
所以
所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：.
故选：C.
7. 某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为（ ）
A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0
【答案】A
【解析】
【分析】
他答对题目的概率等于知道正确答案时答对和不知道正确答案时猜对的概率和，依题意求解即可．
【详解】
用A表示事件“考生答对了”，用B表示“考生知道正确答案”，
用表示“考生不知道正确答案”，
则，，，
，则
故选：A
8. 一个盒子中装有个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分别为、、、、、 ，从中不放回地随机抽取个小球，将其编号之和记为.在已知为偶数的情况下，能被整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
记“能被整除”为事件，“为偶数”为事件，求出事件包括的基本事件数和事件包括的基本事件的个数，由条件概率公式可得答案.
【详解】
记“能被整除”为事件，“为偶数”为事件，
事件包括的基本事件有，，，，，共6个.
事件包括的基本事件有、共2个.
则，
故选:B.
9. 甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A为“四名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选羽毛球”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出事件、事件B的可能的种数，代入条件概率公式即可得解.
【详解】
事件：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，所以其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为，
事件B：甲选羽毛球，所以其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为，
.
故选：B
【点睛】
本题考查条件概率、排列组合，属于基础题.
10. 一袋中共有10个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，若已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算出黑球和白球的数量，然后根据条件概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
设黑球有个（），则白球有个. 从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，没有白球的概率为.即，由于，故解得.所以黑球有个，白球有个.
设事件｛第2次取得白球｝，事件｛第1次取得黑球｝，
，.
所以已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为
.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查条件概率计算，属于基础题.
11. 2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ）
A．0.99% B．99% C．49.5%. D．36.5%
【答案】C
【解析】
【分析】
利用条件概率可求某人检验呈阳性时他确实患病的概率.
【详解】
设为“某人检验呈阳性”，为“此人患病”.
则“某人检验呈阳性时他确实患病”为，
又，
故选：C.
【点睛】
本题考查条件概率的计算及其应用，此题需将题设的各个条件合理转化为事件的概率或条件概率.
12. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用古典概型概率公式，结合条件概率公式求解即可.
【详解】
设事件 “4个人去的景点不相同”，
事件 “小赵独自去一个景点”，
则（A），
（B），
，
则
故选：A
【点睛】
本题主要考查分组分配问题、古典概型概率公式，考查了条件概率的求解，属于中档题.
题组B 能力提升练
1. （多选题）某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，则下列说法正确的是（ ）
A．第一次就接通电话的概率是
B．若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是
C．拨号不超过三次接通电话的概率是
D．若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过三次接通电话的概率是
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据题意，结合古典概率与条件概率，以及互斥事件概率的“加法”与“乘法”计算公式，一一判断即可.
【详解】
设表示“第i次接通电话”，，2，3，…，10；表示“拨号不超过3次接通电话”．
由题意，知，选项A正确；
若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是，选项B错误；
事件，
则，选项C正确；
若已知最后一位数字是奇数，
则，选项D正确．
故选：ACD．
2. （多选题）下列说法正确的是（ ）
A． B．是可能的
C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据条件概率的概念及其公式、概率的性质，分析判断各选项的正误.
【详解】
由条件概率公式及知：，故A正确；
当事件包含事件有，此时，故B正确；
由于，，故C，D错误.
故选：AB
3. （多选题）下列说法正确的是（ ）
A． B．是可能的
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据条件概率公式及性质相关知识逐一判断，即可求解.
【详解】
由条件概率公式及，知，故A错误．
当事件包含事件时，有，此时，故B正确．
由于，，故C，D正确．
故选：BCD．
4. （多选题）记，分别为，的对立事件，且，，.则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据对立事件的概念及条件概率的相关知识对选项一一分析即可.
【详解】
由题可知，，则，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误；
故选：ABC
5. （多选题）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.
【详解】
,故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，，，故D错误.
故选: ABC
6. （多选题）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．，，是两两互斥的事件
【答案】BD
【解析】
【分析】
A. 由 求解判断； B. 由条件概率求解判断； C. 由独立事件的概率判断； D.由互斥的事件的定义判断.
【详解】
因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；
因为，所以，故B正确；
同理，
所以，故A错误；
因为，所以，故C错误.
故选：BD
7. （多选题）有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6% ，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出
来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0. 06
B．任取一个零件是次品的概率为0. 0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
【答案】BC
【解析】
【分析】
运用条件概率公式对每个选项逐一分析即可.
【详解】
记为事件“零件为第台车床加工”，记为事件“任取一个零件为次品”
则，，
对于A，即，A错误.
对于B，
，B正确.
对于C，，C正确.
对于D，，D错误.
故选：BC
8. （多选题）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）
A． B．
C．事件与事件不相互独立 D．，，是两两互斥的事件
【答案】BCD
【解析】
根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案．
【详解】
解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；
再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，
对A，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，当发生时，，当不发生时，，事件与事件不相互独立，故C正确；
对D，，，不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】
本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力.
9. 已知事件A和B是互斥事件，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意知，，，
则．
故答案为：.
10. 如图所示，三行三列的方阵有9个数（，2，3，，2，3，从中任取三个数，已知取到的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
记事件{任取的三个数中有}，事件{三个数至少有两个数位于同行或同列}，则事件至少有两个数位于同行或同列的概率为，根据条件概率公式求其对立事件概率，由此可得.
【详解】
记事件{任取的三个数中有}，事件{三个数至少有两个数位于同行或同列}，
则{三个数互不同行且不同列}，
依题意得，，
故，
则．
即已知取到的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为．
11. 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则2张都是假钞的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
设表示事件“抽到的2张都为假钞”，表示事件“抽到的2张中至少有1张为假钞”，由求解.
【详解】
设表示事件“抽到的2张都为假钞”，表示事件“抽到的2张中至少有1张为假钞”，
因为，，
所以.
故答案为：
12. 已知随机事件，有概率，，条件概率，则______.
【答案】0.82
【解析】
【分析】
根据条件概率公式计算即可.
【详解】
∵，∴，.
由乘法公式得.
∴.
故答案为：0.82.
13. 一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野免的概率为0.8，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野免的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
记事件“猎人第一次击中野兔”，“猎人第二次击中野兔”，“猎人第三次击
中野兔”，“野兔被击中”，注意的发生是不发生的情况才可能发生，由概率公式计算出概率，求出后，再由条件概率公式计算．
【详解】
记事件“猎人第一次击中野兔”，“猎人第二次击中野兔”，“猎人第三次击中野兔”，“野兔被击中”，
则，
，
，
故答案为：．
14. 投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数为5或6；事件：两骰子的点数之和大于8，则已知事件发生的条件下事件发生的概率______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出所有可能的事件的总数，及事件，事件的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，，再根据条件概率的概率公式计算可得答案．
【详解】
解：设为掷红骰子得的点数，为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件与建立一一对应的关系，则共有36种基本事件，事件：蓝色骰子的点数为5或6，有以下基本事件：，，，，，，，，，，，共12个；
事件：两骰子的点数之和大于8，有以下基本事件：，，，，，，，，，共10个；
故，，
所以
故答案为：
15. 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.
【答案】
【解析】
设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，可得，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥，
又，，，
故.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：求条件概率的常用方法：
（1）；
（2）；
（3）转化为古典概型求解.
16. 某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由条件概率计算方式，分别计算事件A：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的基本事件个数，其中分两类乙在最后与乙不在最后计数，与事件AB的基本事件个数，最后由公式求解即可.
【详解】
设事件A：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件B：“学生丙第一个出场”，
对事件A，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选一
个给甲，再将余下的4个人全排列有种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4
个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有种，故总的有.
对事件AB，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列有种
故.
故答案为：
【点睛】
本题考查条件概率实际应用，属于中档题.
C 培优拔尖练
1. 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张．他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
【答案】中奖的概率与抽奖的次序无关．
【解析】
【分析】
用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则，，由条件概率公式计算出概率可得结论．
【详解】
用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则，．
；
；
．
因为，所以中奖的概率与抽奖的次序无关．
2. 已知,求.
【答案】， .
【解析】
【分析】
根据条件概率公式以及对立事件概率关系转化条件，求出结果.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
因此，,
从而.
【点睛】
本题考查条件概率公式以及对立事件概率关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
3. 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】
(1)求出从6个节目中依次抽取2个节目的试验的基本事件总数，再求出第1次抽到舞蹈节目的事件所含基本事件数即可.
(2)求出第1次和第2次都抽到舞蹈节目的事件所含基本事件数，结合(1)中信息即可得解.
(3)利用(1)(2)的结论结合条件概率的定义计算作答.
【解析】
(1)设第1次抽到舞蹈节目为事件，第2次抽到舞蹈节目为事件，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件，
从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为，根据分步计数原理有，
所以.
(2)由(1)知，，所以.
(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
.
4. 利用证明．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据，，计算范围得到证明.
【详解】
，故，，故，
即.
5. 某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保费
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率.
【答案】（1）0.55（2）
【分析】（1）将保费高于基本保费转化为一年内的出险次数，再根据表中的概率求解即可．（2）根据条件概率并结合表中的数据求解可得结论．
【解析】
（1）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，
则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，
故．
（2）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，
则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，
故．
又，
故，
因此其保费比基本保费高出的概率为．
【点睛】求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据条件概率的定义或利用古典概型概率求解．
6. 抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色．事件：“两枚骰子的点数相同”，事件：“红骰子的点数小于蓝骰子的点数”，事件：“两枚骰子的点数之和是6"．分别计算事件，，的概率．
【答案】，，
【解析】
【分析】
依据古典概型和条件概率的计算公式去求解即可得到事件，，的概率．
【详解】
抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色．可以得到36个基本事件
（红1，蓝1），（红1，蓝2），（红1，蓝3），（红1，蓝4），（红1，5），（红1，蓝6）
（红2，蓝1），（红2，蓝2），（红2，蓝3），（红2，蓝4），（红2，5），（红2，蓝6）
（红3，蓝1），（红3，蓝2），（红3，蓝3），（红3，蓝4），（红3，5），（红3，蓝6）
（红4，蓝1），（红4，蓝2），（红4，蓝3），（红4，蓝4），（红4，5），（红4，蓝6）
（红5，蓝1），（红5，蓝2），（红5，蓝3），（红5，蓝4），（红5，5），（红5，蓝6）
（红6，蓝1），（红6，蓝2），（红6，蓝3），（红6，蓝4），（红6，5），（红6，蓝6）
事件包含21个基本事件，
事件包含10个基本事件，
事件包含2个基本事件，
事件包含15个基本事件，
则
7. 证明：当且时，有．你能给出这个结论的直观解释吗？
【答案】证明见解析；这个结论说明：若事件相互独立，则与，与，与也都相互独立.
【解析】
【分析】
根据题意得出为相互独立事件.然后由根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式即可得出证明.
【详解】
若，即，所以，
所以为相互独立事件.
因为，
所以；
因为，
所以；
因为，
所以.
这个结论说明：若事件相互独立，则与，与，与也都相互独立.
8. 某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9和0.65，各项考核是相互独立的.每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰.
（1）求该部门招工的淘汰率；
（2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率；
（3）假设考核按第一项到第四项的顺序进行，应聘者一旦经某项考核不合格即被淘汰（不再参加后面的考核），求这种情况下的淘汰率.
【答案】（1）0.7192；（2）0.48；（3）0.7192.
【解析】
【分析】
(1)由独立事件的概率乘法公式求出通过率，再由独立事件概率公式求该部门招工的淘汰率；(2)由条件概率公式求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率；(3)由概率乘法公式和加法公式求被淘汰的概率.
【详解】
设B表示最终通过考核，表示分别通过第一、二、三、四项考核.
（1）因为各项考核是相互独立的，所以该部门招工的通过率为
，
因此该部门招工的淘汰率为.
（2）在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为
，
因此，通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为
.
（3）在考核按第一项到第四项的顺序进行的情况下，淘汰率为
.
9. 设b和c分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数．
（1）求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；
（2）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
【答案】（1）；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题得，利用古典概型的概率公式求解；
（2）把“出现5点”记为事件A，“方程有实根”记为事件B，利用条件概率公式求解.
【详解】
（1）方程有实根，，∴，
又b，c∈{1，2，3，4，5，6}，
∴当b＝2时，c＝1，
当b＝3时，c＝1，2，
当b＝4时，c＝1，2，3，4，
当b＝5时，c＝1，2，3，4，5，6，
当b＝6时，c＝1，2，3，4，5，6，共19种情况．
故所求的概率为．
（2）把“出现5点”记为事件A，“方程有实根”记为事件B，满足的有序数对记为(b，c)，
则事件A包含的事件有(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5)，(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共11种，
事件AB包含的有(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共7种，
故所求的概率为．
10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不放回抽样．求下列事件的概率：
（1）两只都是正品；
（2）两只都是次品；
（3）正品、次品各一只；
（4）第二次取出的是次品．
【答案】（1）；（2） ；（3） ；（4）．
【解析】
【分析】
设Ai＝{第i次取正品}，i＝1，2．
（1）由求出；
（2）由求出；
（3）由求出；
（4）由求出.
【详解】
设Ai＝{第i次取正品}，i＝1，2．
（1）两只都是正品，则；
（2）两只都是次品，则；
（3）一只是正品，一只是次品，则
；
(4)第二次取出的是次品，则
.
第01讲 条件概率
目标导航
课程标准
课标解读
结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式，了解条件概率与独立性的关系，能计算简单的随机事件的条件概率.
通过本节课的学习，要求会判断条件概率，掌握条件概率的基本求法，能解决与条件概率相关的问题.
知识精讲
知识点
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝（变形） (P(A)>0)．
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝.
(2)条件概率具有的性质：条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.
①0≤P(B|A)≤1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
③设B和互为对立事件，则P（ |A）=1 P（B|A）.
2.条件概率的3种求法
定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ .
缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简
【微点拨】1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．
（5）P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)．
（6）求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据条件概率的定义或利用古典概型概率求解．
【即学即练1】设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件概率公式可求出，然后根据对立事件的概率公式即可求出的值.
【详解】
因为，，，
所以．
故选：C．
【即学即练2】有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72 B．0.8 C． D．0.9
【答案】A
【解析】
【分析】
设一批种子的发芽率为事件，则，出芽后的幼苗成活率为事件B，则，根据条件概率公式计算即可，
【详解】
设一批种子的发芽率为事件，则，
出芽后的幼苗成活率为事件，则，
∴这粒种子能成长为幼苗的概率.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了条件概率的问题，关键是分清是在什么条件下发生的，属于基础题．
【即学即练3】把一枚硬币任意抛掷三次，事件 “至少一次出现反面”，事件 “恰有一次出现正面”求________.
【答案】
【解析】
【详解】由题意，，，所以，故答案为.
考点：条件概率.
【即学即练4】分别在下列各条件下，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2).
【分析】
根据条件概率的计算公式即可求解.
【解析】
(1)因为，所以，
所以；
(2)因为，所以，所以.
【即学即练5】已知，求与．
【答案】，
【解析】
【分析】
由条件概率与对立事件的概率求解即可
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以.
【即学即练6】．抛掷红、蓝两个骰子，设蓝色骰子的点数为1或2，两骰子的点数之和小于5，求与．
【答案】，
【解析】
【分析】分别计算，，，再利用条件概率公式计算得到答案.
【详解】两骰子的点数之和小于5的情况有：6种情况，
故，，
事件同时发生的情况有：5种情况，故.
，.
能力拓展
考法01
条件概率及意义：
【典例1】
1．下面几种概率是条件概率的是（ ）
A．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件概率的定义，结合各选项的描述判断是否条件概率即可.
【详解】由条件概率的定义：某一事件已发生的情况下，另一事件发生的概率.
A：甲乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率；
B：甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率；
C：抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率；
D：一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率..
故选：B
【典例2】某同学算出条件概率，这可能吗？
【答案】不可能
【解析】
【分析】
根据概率的性质即可得出答案.
【详解】由概率的性质可得，所以不可能.
【典例3】已知，判断A与B是否独立．
【答案】A与B不相互独立
【解析】
【分析】
先由条件概率公式计算，判断是否成立，即可判断A与B是否独立.
【详解】
，
,即,
若A与B相互独立，则,
即，这与已知矛盾，
故A与B不相互独立.
【典例4】已知，判断A与B是否独立.
【答案】A,B独立
【解析】
【分析】
先计算再根据数值判断是否成立，即可判断A与B是否独立.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，即A与B独立.
【点睛】本题考查独立事件判断方法，考查基本分析求解能力，属基础题.
考法02
条件概率的公式运用：
【典例5】已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件概率公式计算．
【详解】由，可得.故选：C.
【典例6】若，，，则______．
【答案】
【分析】
由条件概率公式直接计算得到结果.
【详解】
.
故答案为：.
【典例7】已知随机事件A，B，，，，求，.
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件概率的计算公式及其变形求解即可．
【详解】由条件概率公式
得：．
．
【典例8】已知，求：
(1)；(2)．
【答案】(1)0.2；(2).
【分析】
（1）根据条件概率公式计算即可得出答案.（2）根据条件概率公式计算即可得出答案.
【解析】
(1)因为，所以；
(2)因为，所以.
【典例9】设，且，.根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出 和的值再由条件概率公式进行验证.
【答案】,
【解析】
【分析】
由事件包含关系的意义及条件概率的意义直接写结果，再用条件概率的公式验证.
【详解】
因为，且，，则发生一定发生，
所以,，
又因为，由条件概率公式得：
,.
【即学即练7】．已知事件A，B，且则P(B)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】结合条件概率公式，由，再由得到，进而求出答案.
【详解】由题意，，易知,
所以，
所以.
故选：B.
考法03
条件概率的应用：
【典例10】甲、乙两人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛采用三局两胜制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，利用条件概率公式求解.
【详解】设事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，
由题意，得，，
所以.故选：A．
【典例11】将两颗骰子各掷一次，记事件A为“两个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率分别等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件概率的含义结合计数原理的知识即可得解.
【详解】“至少出现一个6点”的情况数目为种，
在“至少出现一个6点”的情况下又满足“两个点数都不相同”，则只有一个6点，
种，
“两个点数都不相同”的数目为种，
.
故选：A.
【典例12】某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为______．
【答案】0.785
【解析】
【分析】根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.
【详解】
记A为事件“植物没有枯萎”，W为事件“邻居记得给植物浇水”，
则根据题意，知，，，，
因此．
故答案为：0.785．
【典例13】已知一个不透明的口袋中有4个白球和8个红球，球除颜色外完全相同.
（1）若一个人从口袋中随机抽取一个球，求其抽取到白球的概率；
（2）若一个人从口袋中随机不放回连续抽取球两次，每次抽取一个球，求在第一次抽取出白球的条件下第二次抽取出的也是白球的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率计算得解；（2）先计算出,再利用条件概率计算得解.
【详解】
（1）从口袋中随机抽取一个球，抽取到白球的概率.
（2）记“第一次抽取出球是白球”为事件，“第二次抽取出球是白球”为事件，则第一次抽取出白球和第二次抽取出球也是白球的概率，,
所以在第一次取出白球的条件下第二次取出的也是白球的概率.
【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
【典例14】国家文明城市评审委员会对甲、乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查，派出10人的调查组，先后到甲、乙两个城市的街道、社区进行问卷调查，然后打分（满分100分），他们给出甲、乙两个城市分数的茎叶图如图所示：
（1）请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，并说明理由；
（2）从甲、乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率．
（参考数据：， ）
【答案】（1）乙城市，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）求出甲已两个城市的打分平均数及方差，根据大小判断即可；
（2）设事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，根据条件概率公式求解即可.
【详解】
（1）甲城市的打分平均数为：，
乙城市的打分平均数为：，
则甲城市的打分的方差为：
乙城市的打分的方差为：
甲乙两城市的打分平均数的平均数相同，但是乙城市打分波动更小，故乙城市更应该入围“国家文明城市”；
（2）由茎叶图可得，分数在80分以上的甲城市有4个，乙城市有5个．
设事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，
事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，
则，
因为，，
所以.
【点睛】本题考核方差，平均数的计算，考查条件概率的求解，是中档题.
【典例15】某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
（1）求男生甲被选中的概率；
（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）将所有的基本事件一一列举出来，从中找出该事件所发生的基本事件，从而计算概率；
（2）利用条件概率的公式即可计算结果；
（3）与（2）解法相同.
【详解】（1）记4名男生为A，B，C，D，2名女生为a，b，
从6名成员中挑选2名成员，有
，，，，，，，，
，，，，，，共有15种情况，，
记“男生甲被选中”为事件M，不妨假设男生甲为A
事件M所包含的基本事件数为，，，，
共有5种，故．
（2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，
不妨设女生乙为，
则，又由（1）知，故．
（３）记“挑选的2人一男一女”为事件，则，
“女生乙被选中”为事件，，故．
【点睛】本题考查了等可能事件的概率，列举法求古典概型的概率，条件概率的计算，属于中档题.
【即学即练8】把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据条件概率公式转化为，分别求解事件和实际包含的基本事件的个数，代入求解.
【详解】
事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，，故；为“至少有一次点数是5”，则事件为，，，，，，所以.
故选：B.
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列说法中正确的是（ ）
A． B．是可能的
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用条件概率的公式可判断ABD的正误，利用独立事件的定义可判断C的正误.
【详解】
，故A错误；
当时，，可能成立，故B正确；
当且仅当与相互独立时成立，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
2. 下列说法中正确的是（ ）
A． B．是可能的
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件概率公式计算判断即可.
【详解】
，故A错误；
当时，，可能成立，故B正确；
当且仅当与相互独立时成立，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
3. 已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件概率公式即可得出答案.
【详解】
解：因为，，
所以.
故选：D.
4. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件概率的定义即可求得两事件同时发生的概率.
【详解】
解析：记“该地区下雨”为事件A，“刮风”为事件B，
则P(A)=，P(B)=，P(B|A)=，
所以P(AB)=P(A)P(B|A)=.
故选：C.
5. 若B，C是互斥事件且P(B|A)=，P(C|A)=，则P(B∪C|A)=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)可得解.
【详解】
因为B，C是互斥事件，
所以P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
故选：D.
6. 袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球，
分别求出利用条件概率公式即可求解.
【详解】
记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球，则,，
所以
所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：.
故选：C.
7. 某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为（ ）
A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0
【答案】A
【解析】
【分析】
他答对题目的概率等于知道正确答案时答对和不知道正确答案时猜对的概率和，依题意求解即可．
【详解】
用A表示事件“考生答对了”，用B表示“考生知道正确答案”，
用表示“考生不知道正确答案”，
则，，，
，则
故选：A
8. 一个盒子中装有个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分别为、、、、、 ，从中不放回地随机抽取个小球，将其编号之和记为.在已知为偶数的情况下，能被整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
记“能被整除”为事件，“为偶数”为事件，求出事件包括的基本事件数和事件包括的基本事件的个数，由条件概率公式可得答案.
【详解】
记“能被整除”为事件，“为偶数”为事件，
事件包括的基本事件有，，，，，共6个.
事件包括的基本事件有、共2个.
则，
故选:B.
9. 甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A为“四名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选羽毛球”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出事件、事件B的可能的种数，代入条件概率公式即可得解.
【详解】
事件：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，所以其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为，
事件B：甲选羽毛球，所以其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为，
.
故选：B
【点睛】
本题考查条件概率、排列组合，属于基础题.
10. 一袋中共有10个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，若已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算出黑球和白球的数量，然后根据条件概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
设黑球有个（），则白球有个. 从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，没有白球的概率为.即，由于，故解得.所以黑球有个，白球有个.
设事件｛第2次取得白球｝，事件｛第1次取得黑球｝，
，.
所以已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为
.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查条件概率计算，属于基础题.
11. 2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ）
A．0.99% B．99% C．49.5%. D．36.5%
【答案】C
【解析】
【分析】
利用条件概率可求某人检验呈阳性时他确实患病的概率.
【详解】
设为“某人检验呈阳性”，为“此人患病”.
则“某人检验呈阳性时他确实患病”为，
又，
故选：C.
【点睛】
本题考查条件概率的计算及其应用，此题需将题设的各个条件合理转化为事件的概率或条件概率.
12. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用古典概型概率公式，结合条件概率公式求解即可.
【详解】
设事件 “4个人去的景点不相同”，
事件 “小赵独自去一个景点”，
则（A），
（B），
，
则
故选：A
【点睛】
本题主要考查分组分配问题、古典概型概率公式，考查了条件概率的求解，属于中档题.
题组B 能力提升练
1. （多选题）某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，则下列说法正确的是（ ）
A．第一次就接通电话的概率是
B．若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是
C．拨号不超过三次接通电话的概率是
D．若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过三次接通电话的概率是
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据题意，结合古典概率与条件概率，以及互斥事件概率的“加法”与“乘法”计算公式，一一判断即可.
【详解】
设表示“第i次接通电话”，，2，3，…，10；表示“拨号不超过3次接通电话”．
由题意，知，选项A正确；
若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是，选项B错误；
事件，
则，选项C正确；
若已知最后一位数字是奇数，
则，选项D正确．
故选：ACD．
2. （多选题）下列说法正确的是（ ）
A． B．是可能的
C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据条件概率的概念及其公式、概率的性质，分析判断各选项的正误.
【详解】
由条件概率公式及知：，故A正确；
当事件包含事件有，此时，故B正确；
由于，，故C，D错误.
故选：AB
3. （多选题）下列说法正确的是（ ）
A． B．是可能的
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据条件概率公式及性质相关知识逐一判断，即可求解.
【详解】
由条件概率公式及，知，故A错误．
当事件包含事件时，有，此时，故B正确．
由于，，故C，D正确．
故选：BCD．
4. （多选题）记，分别为，的对立事件，且，，.则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据对立事件的概念及条件概率的相关知识对选项一一分析即可.
【详解】
由题可知，，则，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误；
故选：ABC
5. （多选题）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.
【详解】
,故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，，，故D错误.
故选: ABC
6. （多选题）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件B与事件相互独立 D．，，是两两互斥的事件
【答案】BD
【解析】
【分析】
A. 由 求解判断； B. 由条件概率求解判断； C. 由独立事件的概率判断； D.由互斥的事件的定义判断.
【详解】
因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；
因为，所以，故B正确；
同理，
所以，故A错误；
因为，所以，故C错误.
故选：BD
7. （多选题）有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6% ，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出
来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0. 06
B．任取一个零件是次品的概率为0. 0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
【答案】BC
【解析】
【分析】
运用条件概率公式对每个选项逐一分析即可.
【详解】
记为事件“零件为第台车床加工”，记为事件“任取一个零件为次品”
则，，
对于A，即，A错误.
对于B，
，B正确.
对于C，，C正确.
对于D，，D错误.
故选：BC
8. （多选题）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）
A． B．
C．事件与事件不相互独立 D．，，是两两互斥的事件
【答案】BCD
【解析】
根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案．
【详解】
解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；
再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，
对A，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，当发生时，，当不发生时，，事件与事件不相互独立，故C正确；
对D，，，不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】
本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力.
9. 已知事件A和B是互斥事件，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意知，，，
则．
故答案为：.
10. 如图所示，三行三列的方阵有9个数（，2，3，，2，3，从中任取三个数，已知取到的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
记事件{任取的三个数中有}，事件{三个数至少有两个数位于同行或同列}，则事件至少有两个数位于同行或同列的概率为，根据条件概率公式求其对立事件概率，由此可得.
【详解】
记事件{任取的三个数中有}，事件{三个数至少有两个数位于同行或同列}，
则{三个数互不同行且不同列}，
依题意得，，
故，
则．
即已知取到的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为．
11. 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则2张都是假钞的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
设表示事件“抽到的2张都为假钞”，表示事件“抽到的2张中至少有1张为假钞”，由求解.
【详解】
设表示事件“抽到的2张都为假钞”，表示事件“抽到的2张中至少有1张为假钞”，
因为，，
所以.
故答案为：
12. 已知随机事件，有概率，，条件概率，则______.
【答案】0.82
【解析】
【分析】
根据条件概率公式计算即可.
【详解】
∵，∴，.
由乘法公式得.
∴.
故答案为：0.82.
13. 一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野免的概率为0.8，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野免的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
记事件“猎人第一次击中野兔”，“猎人第二次击中野兔”，“猎人第三次击
中野兔”，“野兔被击中”，注意的发生是不发生的情况才可能发生，由概率公式计算出概率，求出后，再由条件概率公式计算．
【详解】
记事件“猎人第一次击中野兔”，“猎人第二次击中野兔”，“猎人第三次击中野兔”，“野兔被击中”，
则，
，
，
故答案为：．
14. 投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数为5或6；事件：两骰子的点数之和大于8，则已知事件发生的条件下事件发生的概率______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出所有可能的事件的总数，及事件，事件的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，，再根据条件概率的概率公式计算可得答案．
【详解】
解：设为掷红骰子得的点数，为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件与建立一一对应的关系，则共有36种基本事件，事件：蓝色骰子的点数为5或6，有以下基本事件：，，，，，，，，，，，共12个；
事件：两骰子的点数之和大于8，有以下基本事件：，，，，，，，，，共10个；
故，，
所以
故答案为：
15. 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.
【答案】
【解析】
设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，可得，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥，
又，，，
故.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：求条件概率的常用方法：
（1）；
（2）；
（3）转化为古典概型求解.
16. 某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由条件概率计算方式，分别计算事件A：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的基本事件个数，其中分两类乙在最后与乙不在最后计数，与事件AB的基本事件个数，最后由公式求解即可.
【详解】
设事件A：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件B：“学生丙第一个出场”，
对事件A，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选一
个给甲，再将余下的4个人全排列有种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4
个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有种，故总的有.
对事件AB，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列有种
故.
故答案为：
【点睛】
本题考查条件概率实际应用，属于中档题.
C 培优拔尖练
1. 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张．他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
【答案】中奖的概率与抽奖的次序无关．
【解析】
【分析】
用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则，，由条件概率公式计算出概率可得结论．
【详解】
用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则，．
；
；
．
因为，所以中奖的概率与抽奖的次序无关．
2. 已知,求.
【答案】， .
【解析】
【分析】
根据条件概率公式以及对立事件概率关系转化条件，求出结果.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
因此，,
从而.
【点睛】
本题考查条件概率公式以及对立事件概率关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
3. 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】
(1)求出从6个节目中依次抽取2个节目的试验的基本事件总数，再求出第1次抽到舞蹈节目的事件所含基本事件数即可.
(2)求出第1次和第2次都抽到舞蹈节目的事件所含基本事件数，结合(1)中信息即可得解.
(3)利用(1)(2)的结论结合条件概率的定义计算作答.
【解析】
(1)设第1次抽到舞蹈节目为事件，第2次抽到舞蹈节目为事件，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件，
从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为，根据分步计数原理有，
所以.
(2)由(1)知，，所以.
(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
.
4. 利用证明．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据，，计算范围得到证明.
【详解】
，故，，故，
即.
5. 某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保费
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率.
【答案】（1）0.55（2）
【分析】（1）将保费高于基本保费转化为一年内的出险次数，再根据表中的概率求解即可．（2）根据条件概率并结合表中的数据求解可得结论．
【解析】
（1）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，
则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，
故．
（2）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，
则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，
故．
又，
故，
因此其保费比基本保费高出的概率为．
【点睛】求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据条件概率的定义或利用古典概型概率求解．
6. 抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色．事件：“两枚骰子的点数相同”，事件：“红骰子的点数小于蓝骰子的点数”，事件：“两枚骰子的点数之和是6"．分别计算事件，，的概率．
【答案】，，
【解析】
【分析】
依据古典概型和条件概率的计算公式去求解即可得到事件，，的概率．
【详解】
抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色．可以得到36个基本事件
（红1，蓝1），（红1，蓝2），（红1，蓝3），（红1，蓝4），（红1，5），（红1，蓝6）
（红2，蓝1），（红2，蓝2），（红2，蓝3），（红2，蓝4），（红2，5），（红2，蓝6）
（红3，蓝1），（红3，蓝2），（红3，蓝3），（红3，蓝4），（红3，5），（红3，蓝6）
（红4，蓝1），（红4，蓝2），（红4，蓝3），（红4，蓝4），（红4，5），（红4，蓝6）
（红5，蓝1），（红5，蓝2），（红5，蓝3），（红5，蓝4），（红5，5），（红5，蓝6）
（红6，蓝1），（红6，蓝2），（红6，蓝3），（红6，蓝4），（红6，5），（红6，蓝6）
事件包含21个基本事件，
事件包含10个基本事件，
事件包含2个基本事件，
事件包含15个基本事件，
则
7. 证明：当且时，有．你能给出这个结论的直观解释吗？
【答案】证明见解析；这个结论说明：若事件相互独立，则与，与，与也都相互独立.
【解析】
【分析】
根据题意得出为相互独立事件.然后由根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式即可得出证明.
【详解】
若，即，所以，
所以为相互独立事件.
因为，
所以；
因为，
所以；
因为，
所以.
这个结论说明：若事件相互独立，则与，与，与也都相互独立.
8. 某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9和0.65，各项考核是相互独立的.每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰.
（1）求该部门招工的淘汰率；
（2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率；
（3）假设考核按第一项到第四项的顺序进行，应聘者一旦经某项考核不合格即被淘汰（不再参加后面的考核），求这种情况下的淘汰率.
【答案】（1）0.7192；（2）0.48；（3）0.7192.
【解析】
【分析】
(1)由独立事件的概率乘法公式求出通过率，再由独立事件概率公式求该部门招工的淘汰率；(2)由条件概率公式求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率；(3)由概率乘法公式和加法公式求被淘汰的概率.
【详解】
设B表示最终通过考核，表示分别通过第一、二、三、四项考核.
（1）因为各项考核是相互独立的，所以该部门招工的通过率为
，
因此该部门招工的淘汰率为.
（2）在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为
，
因此，通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为
.
（3）在考核按第一项到第四项的顺序进行的情况下，淘汰率为
.
9. 设b和c分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数．
（1）求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；
（2）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
【答案】（1）；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题得，利用古典概型的概率公式求解；
（2）把“出现5点”记为事件A，“方程有实根”记为事件B，利用条件概率公式求解.
【详解】
（1）方程有实根，，∴，
又b，c∈{1，2，3，4，5，6}，
∴当b＝2时，c＝1，
当b＝3时，c＝1，2，
当b＝4时，c＝1，2，3，4，
当b＝5时，c＝1，2，3，4，5，6，
当b＝6时，c＝1，2，3，4，5，6，共19种情况．
故所求的概率为．
（2）把“出现5点”记为事件A，“方程有实根”记为事件B，满足的有序数对记为(b，c)，
则事件A包含的事件有(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5)，(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共11种，
事件AB包含的有(5，5)，(6，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共7种，
故所求的概率为．
10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不放回抽样．求下列事件的概率：
（1）两只都是正品；
（2）两只都是次品；
（3）正品、次品各一只；
（4）第二次取出的是次品．
【答案】（1）；（2） ；（3） ；（4）．
【解析】
【分析】
设Ai＝{第i次取正品}，i＝1，2．
（1）由求出；
（2）由求出；
（3）由求出；
（4）由求出.
【详解】
设Ai＝{第i次取正品}，i＝1，2．
（1）两只都是正品，则；
（2）两只都是次品，则；
（3）一只是正品，一只是次品，则
；
(4)第二次取出的是次品，则
.
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