2023丽江古城区一中高三下学期3月月考试题数学含解析

云南省丽江市古城区第一中学2022-2023学年高三下学期3月月考检测

数学

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题

1. 集合，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：.选C.

考点：集合的基本运算.

2. （　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．

【详解】.

故选：D.

3. 若函数与的图像有三个不同的交点，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据两个函数的图像交点即为相应方程的根，转化为函数的零点，构造函数并求导，通过导数，结合参数的取值情况进行分类讨论，由此根据零点考查参数的取值情况．

【详解】因为函数与的图像有三个不同的交点，令，即该函数有三个不同的零点.

因为则，

所以在上有两个零点.

当时，方程的根一正一负，不符合条件；

当时，要使满足条件，则，所以

设的两个根满足，

因为，所以

此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为，

，所以

因为，，所以可知

综上可知，，

故选：D．

4. 设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的极大值点为求出参数的值，然后再根据函数的单调性求出函数的极小值即可．

【详解】∵，

∴，

∵是函数的极大值点，

∴，解得，

∴，

∴当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；

∴当时，有极小值，且极小值为．

故选A．

【点睛】解答类似问题时常犯的错误是误认为导函数的零点即为函数的极值点，解题时，在求得导函数的零点后，还要判断出导函数在零点两侧的符号是否相反，若不相反则可得该零点不是函数的极值点．

5. 已知角的终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由条件利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值．

【详解】解：由于角的终边经过点，

则，
．

故选：B．

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

6. 记全集，集合，集合，则

A.  B. Ø

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先解一元二次不等式和指数不等式，再求补集与交集.

【详解】由得或，由得，则，所以，故选C.

【点睛】本题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式，其一容易把交集看作并集，概念符号易混淆；其二求补集时要注意细节.

7. 在中，若，，，则（    ）

A.  B. 3 C. 6 D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用余弦定理，代入即得解

【详解】在中，由余弦定理：

故

即

解得或（舍去）

故选：B

8. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线与的位置关系为（    ）

A. 相交 B. 平行 C. 异面并且垂直 D. 异面但不垂直

【答案】D

【解析】

【分析】将展开图还原成正方体，即可判断两直线的位置关系.

【详解】将展开图还原成正方体，由下图可知，直线与的位置关系是：异面.

连接BE，则，或其补角即为直线与的夹角，

，所以直线与不垂直.

故选：D.

二、多选题

9. 已知由样本数据点集合，求得回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为，则（    ）

A. 变量与具有正相关关系

B. 去除后的回归方程为

C. 去除后的估计值增加速度变慢

D. 去除后相应于样本点的残差为

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据回归直线一定经过样本中心点，及残差概念等来逐项判断.

【详解】对于A选项，因为回归直线方程为，，所以变量与具有正相关关系.故A正确；

对于B选项，当时，，样本中心点为，去掉两个数据点和后，样本中心点还是，又因为去除后重新求得的回归直线的斜率为，所以，解得，所以去除后的回归方程为，故B正确；

对于C选项，因为，所以去除后的估计值增加速度变慢，故C正确；

对于D选项，因为，所以，故D错误.

故选：ABC

10. 下列函数中为奇函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据奇函数的定义即可逐一选项求解.

【详解】对于A,的定义域为R,关于原点对称，而，为偶函数，

对于B,的定义域为，关于原点对称，且，为奇函数，

对于C，的定义域为R，关于原点对称，且，为奇函数，

对于D,的定义域为R，关于原点对称，而，不是奇函数，

故选：BC

11. 如图，正方体的棱长为1，点是内部(不包括边界)的动点，若，则线段长度的可能取值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】由所给条件探求出动点P的轨迹，然后在三角形中求出点A与动点P的距离范围得解.

【详解】在正方体AC1中，连接AC，A1C1，，如图，

BD⊥AC，BD⊥AA1，则BD⊥平面ACC1A1，

因AP⊥BD，所以平面ACC1A1，又点P是△B1CD1内部(不包括边界)的动点，

连接CO，平面B1CD1平面ACC1A1=CO，所以点P在线段CO上(不含点C，O)，

连接AO，在等腰△OAC中，，而底边AC上的高为1，

腰OC上的高，从而有，

都符合，不符合

故选：ABC

【点睛】几何体中定点到符合某个条件的动点的距离问题，先探求出符合所给条件的动点轨迹，再转化成平面问题解决，探求轨迹是关键.

12. 随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则

A. 甲专业比乙专业的录取率高 B. 乙专业比甲专业的录取率高

C. 男生比女生的录取率高 D. 女生比男生的录取率高

【答案】BC

【解析】

【分析】根据数据进行整合，甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；结合选项可得结果.

【详解】由题意可得甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；

甲专业的录取率为，乙专业的录取率为，所以乙专业比甲专业的录取率高.

男生的录取率为，女生的录取率为，所以男生比女生的录取率高.

故选：BC.

【点睛】本题主要考查频数分布表的理解，题目较为简单，明确录取率的计算方式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题

13. 设函数若，则实数_______.

【答案】

【解析】

【分析】分类讨论当时，由已知可知，那么，求得此时a值，同理当时，表示，此时无解，综上得答案.

【详解】因为

当时，，由，可得，

即，此时

当时，，由，可得，

此时无解

综上所述：

故答案为：

【点睛】本题考查分段函数中复合函数给值求参问题，应借助分类讨论思想分别表示已知关系式，属于较难题.

14. 已知抛物线的焦点为F，K为C的准线l与x轴的交点，过点K且倾斜角为45°的直线与C点仅有一个公共点，则__________.

【答案】6

【解析】

【分析】根据过点K的直线的倾斜角为45°，设直线方程为，与抛物线方程联立求解.

【详解】因为抛物线的焦点为F，K为C的准线l与x轴的交点，

所以，

因为过点K的直线的倾斜角为45°，

所以设直线方程为，

由，得，

即，

所以，

又，交点，

即.

故答案为：6.

15. 若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为______．

【答案】

【解析】

【详解】设切点，则由，得，由，得，则有

，解得，故的值为．

16. 曲线在处的切线方程为 _____________ .

【答案】

【解析】

【分析】求导，根据导数的几何意义即可得出答案.

【详解】解：，

当时，，

所以曲线在处的切线方程为，

即.

故答案为：.

四、解答题

17. 如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据长度以及角度关系先求解出，然后利用勾股定理证明，利用面面垂直的性质定理可证明，由线面垂直的判定定理可证明平面，则面面垂直可证；

（2）建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面、平面的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：连接，

依题可得，

，

，，

，

，

平面平面，平面平面，

又四边形为矩形，，

平面，

，

，

平面，且平面，

平面平面．

（2）取中点，连接．

如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

，不妨设，，则，

；

设平面的一个法向量为，

，不妨设，则，，

，

设向量与的夹角为，

，

结合图形可知二面角为钝二面角，

二面角的余弦值为．

【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：

（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标；

（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）

（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值.

18. 已知函数（为常数），且在点处的切线平行于轴．

（1）求实数的值；

（2）求函数的单调区间．

【答案】（1）；（2）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．

【解析】

【分析】（1）根据导数的几何意义可得，即可求得实数的值；

（2）利用导数求解函数的单调区间即可.

【详解】解：（1）∵，∴；

又∵在点处的切线平行于轴，

∴，得．

（2）由（1）知，

∴；

由，得或；由，．

∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．

19. 根据国家工信部关于全面推行中国特色企业新型学徒制，加强技能人才培养的通知．我区明确面向各类企业全面推行企业新型学徒制培训，深化产教融合，校企合作，学徒培养目标以符合企业岗位需要的中、高级技术工人.2020年度某企业共需要学徒制培训200人，培训结束后进行考核，现对考核取得相应岗位证书进行统计，统计情况如下表：

（1）现从这200人中采用分层抽样的方式选出10人组成学习技能经验交流团，求交流团中取得技师类(包括技师和高级技师)岗位证书的人数．

（2）再从（1）选出的10人交流团中任意抽出3人作为代表发言，记这3人中技师类的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

【答案】（1）3；    （2）分布列见解析，数学期望是：.

【解析】

【分析】（1）根据题意，求得抽样比，再根据技师类人数即可求得技师类抽取的人数；

（2）求得随机变量X的取值，利用超几何分布的概率计算公式求得分布列，再根据分布列求得数学期望即可.

【小问1详解】

从200人中采用分层抽样的方式选出10人，故抽样比是，

故技师和高级技师应该抽取的人数是：人.

【小问2详解】

根据（1）中所求，人中有人是技师，人是非技师.

则从人中抽取人，技师人数可以取：.

，，

，.

故的分布列如下所示：

则.

故随机变量X的数学期望是.

20. 在三棱柱中，侧面，，，．

（1）求证：；

（2）若E为棱的中点，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小．

【答案】（1）证明见详解；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用边长关系、勾股定理证明，结合侧面，建立空间直角坐标系证明，即证结论；

（2）先利用平面的法向量与成角的余弦值的绝对值等于，解出长度，再利用平面与平面的法向量所成的角求二面角的大小即可.

【详解】解：（1）三角形中，，，，

利用余弦定理可得，，即，

故，又侧面，建立如图空间直角坐标系，设,.

则，，，，

则，故，

所以，即；

（2）由，，且相交于平面内，故平面，即是平面的法向量，由E为棱的中点知，，

因为与平面所成角正弦值为，则，

故，解得，

则，，,

设平面法向量为，由得，即，

设平面的法向量为，由得，即 ，

则，又由图可知二面角是锐二面角，

故二面角的大小为.

【点睛】方法点睛：

求空间角的常用方法：

（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.

21. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，在棱上．

（1）若为的中点，求证：平面平面；

（2）若二面角的余弦值为时，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）取D为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值，进而可求得的长.

【详解】（1）证明：在矩形中，为中点，由题设得，

，

又，，即，

由题意可知，四棱柱为长方体，则平面，

平面，，

，平面，

平面，平面平面；

（2）取D为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则、、、、，

设，则，

显然平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，，，

由，令，可得，

又二面角的余弦值为，设二面角的大小为，

，

，解得，因此，.

【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：

（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；

（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；

（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.

22. 已知为等差数列，数列的前和为，___________.

在①，②这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】条件选择见解析；（1），；（2）.

【解析】

【分析】

选①（1）由等差数列的基本量法求出公差后可得通项公式，再利用确定数列是等比数列，从而得出通项公式；

（2）用分组（并项）求和法求和．

选②（1）由等差数列的基本量法求出公差后可得通项公式，由求得，从而得通项公式，并并确定其是等比数列；

（2）用分组（并项）求和法求和．

【详解】解：选①解：

（1）设等差数列的公差为，

，

，

由，得，

当时，，

即，所以是一个以2为首项，2为公比的等比数列.

.

（2）由（1）知，

，

，

.

选②解：

（1）设等差数列的公差为，

，

.

，

令，得，即，

.

（2）解法同选①的第（2）问解法相同.

【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列和等比数列通项公式，考查分组（并项）求和法．

数列求和的常用方法：

设数列是等差数列，是等比数列，

（1）公式法：等差数列或等比数列求和直接应用公式求和；

（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；

（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；

（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；

（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．