2023安庆高三模拟考试（二模）数学含解析

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2023年安庆市高三模拟考试（二模）

数学试题

命题：安庆市高考命题研究课题组

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.若复数满足（i是虚数单位），的共轭复数是，则的模是（    ）

A. B.4044 C.2 D.0

3.为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为（    ）

A.43.5分钟 B.45.5分钟 C.47.5分钟 D.49.5分钟

4.已知非零向量，的夹角为，，且，则夹角的最小值为（    ）

A. B. C. D.

5.已知第二象限角满足，则的值为（    ）

A. B. C. D.

6.已知等差数列满足，则不可能取的值是（    ）

A. B. C. D.

7.已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

8.一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截（如图），为底面圆的中心，为截面的中心，为截面上距离底面最小的点，到圆柱底面的距离为1，为截面图形弧上的一点，且，则点到底面的距离是（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.将函数图象上点的横坐标缩短为原来的倍，然后将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象。则下列说法中正确的是（    ）

A.函数的最小正周期为

B.函数的图象有一条对称轴为

C.函数的单调递增区间为

D.函数在区间上的值域为

10.在三棱锥中，，，，分别是，，，的重心。则下列命题中正确的有（    ）

A.平面  B.

C.四条直线，，，相交于一点D.

11.牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛，其定义是：对于函数和数列，若，则称数列为牛顿数列.已知函数，数列为牛顿数列，且，，，则下列结论中正确的是（    ）

A. B. C.是等比数列 D.

12.已知、为抛物线上两点，以，为切点的抛物线的两条切线交于点，设以，为切点的抛物线的切线斜率为，，过，的直线斜率为，则以下结论正确的有（    ）

A.，，成等差数列；

B.若点的横坐标为，则；

C.若点在抛物线的准线上，则不是直角三角形；

D.若点在直线上，则直线恒过定点；

三、填空题（每小题5分，共20分）

13.设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为______。

14.在棱长为4的正方体中，点是棱上一点，且.过三点、、的平面截该正方体的内切球，所得截面圆面积的大小为______。

15.已知双曲线，的两个焦点分别为，，过轴上方的焦点的直线与双曲线上支交于，两点，以为直径的圆经过点，若，，成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为______。

16.已知函数，其中，若不等式对任意恒成立，则的最小值为______。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和。

18.（本小题满分12分）

在中，角，，所对的边分别为，，，.

（Ⅰ）若角，求角的大小；

（Ⅱ）若，，求.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，侧面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若是棱上的一点，且平面.求平面与平面所成二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

为了“锤炼党性修养，筑牢党性根基”，党员教师小A每天自觉登录“学习强国APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛。每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束。每天的四人赛共有30局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后28局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分。经统计，小A每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为，，，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为，.

（Ⅰ）设小A每天获得的得分为，求的分布列、数学期望和方差；

（Ⅱ）若小A每天赛完30局，设小A在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A贏得多少局的比赛概率最大？

21.（本题满分12分）

如图，在平面直角坐标系中，、、分别为椭圆的三个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点.

（Ⅰ）若点在直线上，求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设直线与椭圆的另一个交点为，是线段的中点，椭圆的离心率为，试探究的值是否为定值（与，无关）.若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

22.（本小题满分12分）

已知函数，，..

（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程是，求和的值；

（Ⅱ）若，且的导函数恰有两个零点，求的取值范围.

2023年安庆二模数学试题参考答案

1.A.解析：，，所以∩，故选A.

2.B.解析：.模是故选B.

3.C.解析：由频率之和为1得：，解得，

由，，故第25百分位数位于内，

则第25百分位数为.可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5，故选C.

4.C.解析：由有，，即，因此. 由于，所以，于是夹角为的最小值为.故选C.

5.D.解析: 因为，且为第二象限角，所以，

于是

. 故选D.

6. A. 解析： 法1：设，，则，所以. 故选A.

法2：因为,所以.    

因此 故选A.

7.A.解析：方法1.由题意得，方程有三个不等的实数根.

，分别作出函数和的图象，可得的取值范围是. 故选A.

方法2.取作图检验可得.

8.C.解析：圆柱半径为1，截面与底边所成角为，作于，则， . 截面椭圆是以为中心，为长轴端点的椭圆，其长轴长为，短轴长为2，作于，利用解析几何知识易得，，过作，则，由于均平行于底面，故点到底面的距离是. 故选C.

9.ABD.解析：因为与的图象振幅相等，所以，而，因此.所以函数. 将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，然后将所得图象向右平移个单位得到函数的图象，所以，由于，从而.于是，即，从而，.因此，，函数的最小正周期为. A正确.是函数的一条对称轴，故B正确；单调递增区间为， C不正确. 函数在区间的值域为， D正确. 故选ABD.

10.ABC.解析：由于分别是的重心，所以分别延长,交于中点

因为，，

所以故.平面,平面,因此. A正确.              

因为是的重心，所以

因此.B正确.

显然线段的交点分为同理线段和线段的交点分为因此四条直线 相交于一点.C正确.

因为，所以因此.D错误.故选ABC.

11.ACD.解析：由得，解得.

就是.

由得，.一方面，.

另一方面，.因此，

于是，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故.故选ACD.

12.AD.解析：设，，由，得，故，，所以切线的方程为，即，同理，切线的方程为，设点坐标为，所以，，从而为方程的两根，故，，，故，，成等差数列，A正确；

若，则，B不正确；

若点在抛物线的准线上，则，，故两切线垂直，则为直角三角形，C不正确；

若点在直线上，则，直线的方程为，即，由于，故直线的方程为，即，从而过定点，故D正确.选AD.

三、 填空题（每小题5分，共20分）

13.5%.解析：A 表示“取到的是一件次品”，，， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然是样本空间 S 的一个划分，且有 ，，.由于，，设，

由全概率公式得

而2.95%，故5%.

14. . 解析：由条件知正方体的内切球半径大小为2，设球心到平面的距离为，则得到，解得.于是截面圆的半径大小为，  

故截面圆的面积大小为.

15..解析：由双曲线的定义

16.. 解析：因为所以不等式就是即两边是同构式.构造函数则就是因为所以在上单增.而，因此由得，

故正实数的最小值为

17.解析：（Ⅰ）由条件知，故.

设数列的公差为，则.

因成等比数列，所以，     

即，解得，                     ……………………………3分

所以.                  ……………5分  

（Ⅱ）由（1）知，所以

，

故

.                    ……………………………………10分

18.解析：（Ⅰ）由于，有，即，,，，所以.

由于,且，故 .                       …………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

                …………8分

当为锐角时，          ……10分

当为钝角时，       ……12分

19. 解析：（Ⅰ）如图①，在梯形中，作于点.

因为//， °，，所以四边形是正方形，且，，所以，.

在△中，，，，所以，所以.

在四棱锥中，由，，得平面.

…………  5分

（Ⅱ）解法一、如图②，连接交于点，连接.

因为//平面，平面经过与平面相交于，所以//.

…………  6分

因为//，所以△∽△，所以.

由//，得.                              …………  7分

由，，可知. 又由于（1）平面，故

、、两两垂直，故可以点为原点，以、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图③所示.                    …………  8分

则，，，由，可得，

所以，.

设平面的一个法向量为，则，取，，，则.

又平面的一个法向量为，设平面与平面所成二面角大小为，则.

故平面与平面所成二面角的余弦值为.           …………  12分

解法二：由（1）平面，所以.

因为，，所以△是直角三角形，，所以平面. 又在平面内，所以.

由，，平面，平面，平面平面，所以就是平面与平面所成二面角的一个平面角.                …………  7分

如图④，连接交于点，连接，作垂足为点.

因为//平面，平面经过与平面相交于，所以//.

因为//，所以△∽△，故 .

由//，得.                             …………  8分

在△中，，，所以//，所以，，所以，.

在中，，.

所以平面与平面所成二面角的余弦值为.…………  12分

20.解析：（Ⅰ）由条件知的可能值为5，4，3，2.           …………………………1分

其分布列为

………………4分

，

.   ………6分

（Ⅱ）设小A每天赢得的局数为，则~，

于是.           ……………………………………8分

根据条件得，解得，                        

又因为，所以，因此在每天的30局四人赛中，小A赢得10局的比赛概率最大.                                              ……………………………………12分

21. 解析：（Ⅰ）由题意可知点，，的坐标分别为 ()，()，()，所以直线的方程为：，直线的方程为：.

由和，消除得，，即为点的横坐标. ………3分

因为点在直线上，所以.

整理得，所以离心率.            …………  5分

（Ⅱ）当椭圆的离心率为时，，，所以椭圆的方程为，即，直线的方程为：.

，消去，化简整理得，所以点的横坐标为，纵坐标为.

因为点的坐标为()，所以中点的坐标为. ……… 8分

又由（1）知点的横坐标为，所以点的纵坐标为.

所以，

，

故，为定值.                                       …………  12分

22.解析：（Ⅰ）因为，所以         …………2分                                                          

因为曲线在点处的切线方程是

所以即

解得                                       …………4分

（Ⅱ）由得，.显然

因此 .                                               …………5分

令且，则

解方程得，                                 …………7分 

因此函数在和内单增，在和内单减，且极大值为，极小值为.                                       …………9分                          

由图象可知,当或时，直线与曲线分别有两个交点，即函数恰有两个零点.

故的取值范围是           ……12分