初中数学人教版九年级上册21.2.2 公式法课堂检测

第03课  一元二次方程的解法（三）--公式法

知识点01  公式法解一元二次方程

1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，推导过程：

当时，.

【知识拓展】

用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：

①把一元二次方程化为一般形式；

②确定a、b、c的值（要注意系数前的符号）；

③求出根的判别式 的值；

④若，则利用公式求出原方程的解；

若，则原方程无实根.

【注意】任意一元二次方程都可以用公式法求解。

【微点拨】

（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.

（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.

    ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.

② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.

③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.

知识点02  一元二次方程根的判别式

在推导过程中，出现的代数式称为一元二次方程根的判别式；

1、根的判别式是判断一个一元二次方程根的情况的关键公式：

2、已知方程跟的情况，判断参数取值范围，会将根的情况转化为根的判别式的取值范围（不等式）：

【注意】当二次项系数中含有字母时，要考虑二次项系数不为零。

考法01   公式法解一元二次方程

【典例1】用公式法解下列方程．

(1) ；        (2)；   (3) ．

【解析】

(1) a=1，b=3，c=1

∴x==．

∴x1=，x2=．

(2)原方程化为一般形式，得．

∵，，，

∴．

∴，即，．

(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1

∴b2﹣4ac=17＞0

∴x=

∴x1=，x2=．

【点睛】

用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．

【即时训练1】用公式法解方程： ．

【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；

∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；

∴x=

=，

∴x1=，x2=．

【典例2】用公式法解下列方程：

(1) ；       (2) ；   （3） ．

【分析】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.

【解析】

解：(1)∵2x2+x﹣2=0，

∴a=2，b=1，c=﹣2，

∴x===，

∴x1=，x2=．

(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，

∴b2﹣4ac=36+24=60＞0，

∴x=，

∴x1=，x2=     

（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．

∴b2﹣4ac=9+28=37.

x= = ，

解得 x1=，x2=．

【总结升华】

首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．

【即时训练2】用公式法解下列方程：；

【答案】

解：移项，得．

∵ ，，，，

∴ ，

∴ ，．

考法02  根的判别式的应用

【典例3】关于的一元二次方程，下列说法正确的是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根  D．无法确定

【答案】C

【分析】

根据根的判别式即可得出答案．

【详解】

解：

原方程没有实数根，

故选C．

【点睛】

本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．

【即学即练3】下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

分别计算每个一元二次方程的根的判别式，从而可得答案．

【详解】

解： ，

方程有两个相等的实数根，故不符合题意；

，

方程没有实数根，故符合题意；

，

方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；

，

则

方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；

故选：

【点睛】

本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“利用一元二次方程根的判别式的值大于或等于，原方程有两个实数根，判别式的值小于 原方程没有实数根．”是解题的关键．

【即学即练4】一元二次方程的根的情况是（    ）

A．没有实数根 B．只有一个实数根

C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根

【答案】D

【分析】

先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

【详解】

解：

∴一元二次方程有两个相等的实数根

故选：D

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

【典例4】关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（    ）

A． B．且 C． D．且

【答案】D

【分析】

根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△≥0，然后解不等式组，即可得到k的取值范围．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程有实根，

∴k≠0，且△＝（−6）2−4k×3＝−12k＋36，

∵方程有实数解，

∴△≥0，

∴−12k＋36≥0，

∴k≤3，

∴k的取值范围是：k≤3且k≠0．

故选：D．

【点睛】

此题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2−4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

【即学即练5】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

直接根据一元二次方程根的判别式的值的符号来判断即可．

【详解】

∵一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴，

解得，，

故选：A．

【点睛】

本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系为：①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根，解答本题的关键是利用判别式判断一元二次方程根的个数．

【即学即练6】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围即可．

【详解】

解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

△，

．

故选：B．

【点睛】

此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．

【即学即练7】若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是（  ）

A．m≤ B．m＞ C．m≤且m≠1 D．m＜且m≠1

【答案】C

【分析】

利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m-1≠0且△=12-4(m-1)×1≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．

【详解】

解：∵，，，

，

根据题意得m-1≠0且，

解得且．

故选：C．

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

题组A  基础过关练

1．用公式法解方程x2﹣4x﹣2＝0，其中b2﹣4ac的值是(   )

A．16 B．24 C．8 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

将a、b、c的值代入b2﹣4ac可得答案.

【详解】

解:由题意得：a=1,b=-4,c=-2,

b2﹣4ac==16+8=24

所以B选项是正确的.

【点睛】

本题主要考查公式法解一元二次方程.

2．用公式法解方程，其中求得的值是（    ）.

A．16 B．

C．32 D．64

【答案】D

【分析】

先将方程化为一般形式，然后计算即可.

【详解】

解：方程整理得：，

∴，，，

∴，

故选D.

【点睛】

此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键．

3．一元二次方程的解是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先观察再确定方法解方程，此题可以采用公式法或配方法．采用公式法时首先要将方程化简为一般式．

【详解】

将化为一般形式得，

所以，

所以方程的解是．故选A．

【点睛】

此题考查解一元二次方程-公式法，解题关键在于把方程转化为一般形式.

4．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　）

A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0

【答案】B

【解析】

分析：根据一元二次方程根的判别式判断即可．

详解：A、x2+6x+9=0.

△=62-4×9=36-36=0，

方程有两个相等实数根；

B、x2=x.

x2-x=0.

△=（-1）2-4×1×0=1＞0.

方程有两个不相等实数根；

C、x2+3=2x.

x2-2x+3=0.

△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，

方程无实根；

D、（x-1）2+1=0.

（x-1）2=-1，

则方程无实根；

故选B．

点睛：本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．

5．下列方程中，没有实数根的是（　　）

A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1 =0 D．x2﹣2x+2=0

【答案】D

【分析】

分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．

【详解】

A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；

B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；

C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；

D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．

故选D．

6．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是(    )

A．q<16 B．q>16

C．q≤4 D．q≥4

【答案】A

【详解】

∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，

∴△>0，即82-4q>0，

∴q<16，

故选 A.

7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1

【答案】C

【详解】

根据题意得k-1≠0且△=2²-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1．

故选C

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

题组B  能力提升练

1．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根

D．实数根的个数与实数b的取值有关

【答案】A

【分析】

先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．

【详解】

解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

2． 是下列哪个一元二次方程的根（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据一元二次方程的求根公式解答即可．

【详解】

解：对于一元二次方程，方程的根为：．

因为，所以，，，

所以对应的一元二次方程是：．

故选：D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的求根公式，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．

3．若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0

【答案】A

【分析】

把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．

【详解】

解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，

解得：k＝﹣1，

故选A．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

4．若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A．k=0 B．k≥﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1

【答案】B

【分析】

讨论: ①当k=0时,方程化为一次方程, 方程有一个实数解; 当k≠0时,方程为二次方程 ，Δ≥0,然后求出两个中情况下的的公共部分即可.

【详解】

解:①当k=0时,方程化为-3x-=0,解得x=;

当k≠0时,Δ=≥0,解得

k≥-1,所以k的范围为k≥-1.

故选B.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式，注意讨论k的取值.

5．已知关于x的方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1＝0有实数根，则k的取值范围是(　　)

A．k＞且k≠2 B．k≥且k≠2 C．k＞ D．k≥

【答案】D

【解析】

【分析】

分类讨论：当k-2=0，解k=2，原方程为一元一次方程，有一个实数根；当k-2≠0，即k≠2，当△=(2k+1)2-4(k-2)2≥0方程有实数根，然后综合两种情况得到k的取值范围．

【详解】

当k﹣2＝0，即k＝2时，原方程为5x+1＝0，

解得：x＝﹣，

∴k＝2符合题意；

当k﹣2≠0，即k≠2时，△＝(2k+1)2﹣4×1×(k﹣2)2＝20k﹣15≥0，

解得：k≥且k≠2，

综上所述：k≥，

故选D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，一元一次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程的根的关系是解题的关键.

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

6．方程有两个实数根，则的取值范围（    ）

A． B．且 C． D．且

【答案】B

【分析】

根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到，，，然后解不等式组即可．

【详解】

解：根据题意得

，

，

，

解得m≤且m≠2．

故选B．

7．已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　)

A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6

【答案】B

【分析】

当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到结论．

【详解】

当m=4或n=4时，即x=4，

∴方程为42﹣6×4+k+2=0，

解得：k=6；

当m=n时，﹣6+k+2=0

∵，，，

∴，

解得：，

综上所述，k的值等于6或7，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键．

8．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第(　　)象限．

A．四 B．三 C．二 D．一

【答案】D

【详解】

∵一元二次方程x2- 2x - m = 0无实数根

∴△=4+4m<0,即m<-1

∴一次函数的比例系数m+1<0,图像经过二四象限

截距m-1<0，则图象与y轴交于负半轴，图像过第三象限

∴一次函数y =(m+1)x + m - 1的图像不经过第一象限，故选D.

题组C  培优拔尖练

1．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（　　）

A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根

B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根

C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

【答案】D

【分析】

根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=-（a+1），当b=a+1时，-1是方程x2+bx+a=0的根；当b=-（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠-（a+1），可得出1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．

【详解】

∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，

∴，

∴b=a+1或b=-（a+1）．

当b=a+1时，有a-b+1=0，此时-1是方程x2+bx+a=0的根；

当b=-（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．

∵a+1≠0，

∴a+1≠-（a+1），

∴1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．

故选D．

【点睛】

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．

2．已知实数满足，则代数式的值是(  )

A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3

【答案】A

【分析】

将x2-x看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x2-x的值，再整体代入进行求解即可.

【详解】

∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0，

∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，

∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，

∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；

当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，

∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，

∴此方程无实数解；

当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7，

故选A．

【点睛】

本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x2-x看成一个整体．

3．若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 的取值范围是________.

【答案】3＜m≤4

【分析】

根据原方程可知x-2=0，和x2-4x+m=0，因为关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，所以x2-4x+m=0的根的判别式△＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围

【详解】

解：∵关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，

∴①x-2=0，解得x1=2；

②x2-4x+m=0，

∴△=16-4m≥0，即m≤4，

∴x2=2+

x3=2-

又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，

且最长边为x2，

∴x1+x3＞x2；

解得3＜m≤4，

∴m的取值范围是3＜m≤4．

故答案为3＜m≤4

4．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．

【答案】（1）k＞；（2）.

【分析】

（1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；

（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.

【详解】

解：（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，

∴k＞；

(2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0，

设方程的两个根为m，n，

∴m＋n＝5，mn＝5，

∴矩形的对角线长为：.

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

5．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．

（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．

【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣1+，x2=﹣1﹣或

【解析】

试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.

试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，

∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，

∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣）2+，

∴△＞0，

则方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x1•x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，

∴x1，x2异号，

又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，

若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，

∴m﹣3=﹣2，即m=1，

方程化为x2+2x﹣1=0，

解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，

若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，

∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，

方程化为x2﹣2x﹣25=0，

解得：x1=1﹣，x2=1+．

6．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．

【详解】

试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；

（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；

（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．

试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；

理由：∵x=﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，

∴a+c﹣2b+a﹣c=0，

∴a﹣b=0，

∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，

∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴4b2﹣4a2+4c2=0，

∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：

2ax2+2ax=0，

∴x2+x=0，

解得：x1=0，x2=﹣1．

考点：一元二次方程的应用．