初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程课时练习

第14课  用函数观点看一元二次方程

知识点01  二次函数与一元二次方程的关系

1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：

　要点诠释：
　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.

(1)当二次函数的图象与x轴              ，，方程有两个不相等的实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴            ，，方程有两个相等的实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴              ，，方程没有实根.
知识点02  抛物线与直线的交点问题

抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．

抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．

抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．

   当方程组有两组不同的解时两函数图象             ；

   当方程组有两组相同的解时两函数图象             ；

   当方程组无解时两函数图象                       ．

   总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．

要点诠释：

求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．

知识点03  利用二次函数图象求一元二次方程的近似解

用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与

             的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．

要点诠释：

求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：
　(1)直接作出函数的图象，则图象与             就是方程的根；

　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的

             就是方程的根；
　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的             即为方程的根.

知识点04  抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式

当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．

知识点04  抛物线与不等式的关系

二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：

注：a＜0的情况请同学们自己完成．

要点诠释：

抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；

在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．

不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．

考法01   二次函数图象与坐标轴交点

【典例1】已知抛物线．求：

(1)k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；

(2)k为何值时，抛物线与x轴有唯一交点；(3)k为何值时，抛物线与x轴没有交点．

【即学即练1】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；

（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；

（3）求y的取值范围．

考法02   利用图象法求一元二次方程的解

【典例2】利用函数的图象，求方程组的解.

考法03   二次函数与一元二次方程的综合运用

【典例3】如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E

（1）求直线BC的解析式；

（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．

【即学即练2】已知抛物线． 

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．

【典例4】如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；

（3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积．

题组A  基础过关练

1．已知二次函数y=x2+2x﹣10，小明利用计算器列出了下表：

那么方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是（　　）

A．﹣4.1 B．﹣4.2 C．﹣4.3 D．﹣4.4

2．已知函数与函数的图象大致如图。若则自变量x的取值范围是（  ）.

A．    B．    C．   D．

3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为(    )

A．x1＝－3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝－1

C．x＝－3 D．x1＝－3，x2＝1

4．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 （       ）

A.k＞  B.k≥  C. k≥且k≠0  D. k＞且k≠0

5．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论不正确的是（ ）

A．b2-4ac＜0  B．a+b+c＜0 

C．c-a=2  D．方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根

6．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是_____．

7．若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，则c的取值范围是_____．

题组B  能力提升练

1．若函数的图象与x轴只有一个公共点，则m=________.

2．已知函数y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，则不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集为___．

3．如图所示，二次函数的图象经过点（－1，2），且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）

A．个 B．个 C．个 D．个

4．已知抛物线与x轴有两个不同的交点．

（1）求c的取值范围；

（2）抛物线与x轴两交点的距离为2，求c的值．

5．已知二次函数y＝（x﹣m）2+2（x﹣m）（m为常数）

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；

（2）当m取什么值时，该函数的图象关于y轴对称？

题组C  培优拔尖练

1．已知抛物线.

（1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；

（2）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围.

2．如图，二次函数的图像与x轴相交于A（－3，0）、B(1，0)两点，与y轴相交于点C (0，3)，点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D．

（1）D点坐标         ；

（2）求二次函数的解析式；

（3）若把二次函数向左平移2个单位，再向下平移3个单位，直接写出平移后的解析式；

（4）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．

3．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；

（3）当y≤时，直接写出x的取值范围是　   ．

4．已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．

（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=25，求m的值；

（3）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，且△ABC的面积为1，求a的值．

5．给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3（k≠0），

（1）当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k的值；

（2）当该二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B，已知AB＝2，求k的值；

（3）由于k的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：

①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；

请判断以上结论是否正确，并说明理由．

6．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：

（）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表：

其中，__________．

（）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象剩下的部分．

（）观察函数图象，写出一条性质__________．

（）进一步探究函数图象发现：

①方程有__________个实数根．

②关于的方程有个实数根时，的取值范围是__________．