初中数学第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程课时训练

第二十一章  一元二次方程

提分小卷

（考试时间：50分钟  试卷满分：100分）

一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2021·江苏九年级专题练习）下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】依据一元二次方程的定义求解即可．

【详解】①当a＝0时，ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程；②x2+ =6＝6是分式方程，不是一元二次方程；

③x2＝0是一元二次方程；④x＝3x2是一元二次方程；⑤（x＋1）（x−1）＝x2＋4x，整理后不含x的二次项，不是一元二次方程．故选A．

【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

2．（2021·浙江丽水市·中考真题）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．

【详解】解：，，

，，故选：D．

【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．

3．（2021·山东中考真题）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（  ）

A． B．4 C．25 D．5

【答案】A

【分析】先求出方程的解，即可得到，根据菱形的性质求出和 ，根据勾股定理求出即可．

【详解】解：解方程，得，即，

∵四边形是菱形，∴，

由勾股定理得，即菱形的边长为，故选：．

【点睛】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，正确求出方程的根是解题的关键．

4．（2021·福建中考真题）某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设年平均增长率为x，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘，据此即可列方程求解．

【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得：，故选：B．

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，列出方程即可．

5．（2021·河南驻马店市·九年级二模）对于函数，规定，例如，若，则有．已知函数，那么方程的解的情况是（    ）

A．有一个实数根   B．没有实数根  C．有两个不相等的实数根  D．有两个相等的实数根

【答案】C

【分析】根据规定将方程转化为一般式，再由根的判别式判断即可．

【详解】解：根据题意：，

由：，故：，即：，

，方程有两个不相等的实数根．故选：C．

【点睛】本题考查了利用根的判别式来判断方程根的情况，解题的关键是：要理解规定的内容，将函数转化为一般式后，方程就为一元二次方程再解即可．

6．（2021·四川宜宾市·中考真题）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．12

【答案】C

【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．

【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，∴m＋n＝−3，mn＝−9，

∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，∴m2＋3m−9＝0，∴m2＋3m＝9，

∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6．故选：C．

【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=．

7．（2020·广西河池市·中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】D

【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．

【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：x（x﹣1）＝36，

化简，得x2﹣x﹣72＝0，解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），

答：参加此次比赛的球队数是9队．故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．

8．（2021·四川绵阳市·九年级二模）已知实数满足，那么的值为（     ）．

A．-5或1 B．-5 C．5或-1 D．1

【答案】D

【分析】设，将已知方程转化为关于的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．

【详解】设，∴原式可转化为：，

整理得，，解得，或，

∵，∴将(舍去)∴的值为1，故答案为：D．

【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程、完全平方式等知识点，解答本题的关键是将设为一个整体，并对所求值进行取舍．

9．（2021·广西贵港市·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是（    ）

A．－2 B．2 C．－1 D．1

【答案】D

【分析】利用根与系数的关系得出，，进而得出关于的一元二次方程求出即可．

【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，

，，

，，，

整理得出：，解得：，故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根与系数的关系：，．

10．（2021·北京市十一学校龙樾实验中学九年级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值为（    ）．

A．1 B．9 C．－1或9 D．1或-9

【答案】D

【分析】通过解方程x2-2x=0，可得出方程的根，分x=0为两方程相同的实数根或x=2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x=0是两个方程相同的实数根，将x=0代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=1符合题意；②若x=2是两个方程相同的实数根，将x=2代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=2符合题意．综上此题得解．

【详解】解：解方程x2-2x=0，得：x1=0，x2=2．

①若x=0是两个方程相同的实数根．将x=0代入方程x2+3x+m-1=0，得：m-1=0，

∴m=1，此时原方程为x2+3x=0，解得：x1=0，x2=-3，符合题意，∴m=1；

②若x=2是两个方程相同的实数根．将x=2代入方程x2+3x+m-1=0，得：4+6+m-1=0，

∴m=-9，此时原方程为x2+3x-10=0，解得：x1=2，x2=-5，符合题意，∴m=-9．

综上所述：m的值为1或-9．故答案为：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键．

二、填空题：本题共5个小题，每题4分，共20分。

11．（2021·湖南长沙市·中考真题）若关于的方程的一个根为3，则的值为______．

【答案】

【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．

【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．

12．（2021·湖北十堰市·九年级一模）已知实数，，，满足，若，则________．

【答案】或

【分析】已知等式利用题中的新定义化简，整理得到，原式化简后代入计算即可求出值．

【详解】解：根据题中的新定义得：，即，

因式分解得：，解得：．故答案为：或．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确理解新定义、熟练掌握运算法则是解本题的关键．

13．（2021·湖北黄冈市·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可）

【答案】0（答案不唯一）

【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案．

【详解】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式，

解得，则的值可以是0，故答案为：0（答案不唯一）．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．

14．（2020·山东莱州初二期末）用因式分解法解方程，将左边分解后有一个因式是，则m的值为__________．

【答案】

【分析】根据题意得到x2-mx-6=（x-3）（x-a），即可求出m的值．

【解析】解：根据题意得：x2-mx-6=（x-3）（x-a）=x2-（a+3）x+3a=0，
∴-m=-a-3，3a=-6，解得：a=-2，则m=1．故答案为：1．

【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题关键．

15．（2021·山东德州市·九年级一模）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于______________．

【答案】6或7．

【分析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．

【详解】解：∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，

∴当m＝4或n＝4时，即x＝4，∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，解得：k＝6，

此时该方程为x2﹣6x+8＝0，解得：x1＝4，x2＝2，此时三角形的三边为4，4，2，符合题意；

当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解得：k＝7，

此时该方程为x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3，此时三角形的三边为3，3，4，符合题意，

综上所述，k的值等于6或7，故答案为：6或7．

【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确的理解题意是解题的关键．

三、解答题：本题共5个小题，每题10分，共50分。

16．（2021·苏州工业园区九年级期中）解方程：

（1）   （2）   （3）     （4）

【答案】（1）或；（2）；（3）；（4）．

【分析】（1）移项，利用提公因式解题；（2）利用完全平方公式、直接开平方法解题；

（3）利用公式法解题；（4）先化为一般式，再利用十字相乘法法解题．

【详解】解：（1）

或；

（2）

；

（3）

；

（4）

．

【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及提公因式法、公式法、十字相乘法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

17．（2021·山西吕梁市·九年级二模）2020年12月25日，太原市地铁2号线一期线路正式投入载客初期运营，历时四年9个月的建设后，太原人终于能乘坐自己的地铁了．在2号线轨道铺设作业中，为了提前完成铺轨任务，采用了新型轮胎式铺轨机和全自动混凝土布料机，使得每天铺设轨道的长度比原计划多120米，原计划300天的铺轨任务，仅用了120天就全部完成．

（1）求原计划每天铺设轨道多少米？

（2）图2所示是太原地铁内关于“五台山”和“平遥古城”的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米？

图1                                 图2

【答案】（1）80米；（2）0.2米

【分析】（1）设原计划每天铺设轨道x米，根据等量关系，列出一元一次方程，即可求解；

（2）设镶上的木质框架的宽为y米．根据“镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的”列出一元二次方程，即可求解．

【详解】解：（1）设原计划每天铺设轨道x米．

根据题意，得300x=120（x+120）． 解得x=80．

答：原计划每天铺设轨道80米；

（2）设镶上的木质框架的宽为y米．

根据题意，得．解得y1=-3.2（不合题意，舍去），y2=0.2．

答：镶上的木质框架的宽度为0.2米．

【点睛】本题考查一元一次方程与一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．

18．（2021·北京中考真题）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．

【答案】（1）见详解；（2）

【分析】

（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；

（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．

【详解】（1）证明：由题意得：，

∴，

∵，∴，∴该方程总有两个实数根；

（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，

∵，∴，

解得：，∵，∴．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．

19.（2021·成都市初三期中）某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货．

（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？

【答案】(1) 200元;(2) 190元

【分析】（1）设每个售价应为x元，根据月销量=980-30×，结合月销量不低于800个，即可得出关于x的一元一次不等式；（2）根据总利润=每个利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解析】（1）设使背包的月销量不低于800个，每个售价是x元，980﹣30×≥800，解得x≤200， 故要使背包的月销量不低于800个，每个售价应不高于200元．

（2）由题意可得：[200（1﹣a%）﹣150]•800（1+5a%）＝40000，

整理，得：a%﹣20 （a%）2＝0， 解得：a1＝5，a2＝0（不合题意，舍去）．

故200（1﹣a%）＝190（元） 答：在实际销售过程中每个背包售价为190元．

【点睛】本题考查了一元一次不等式、一元二次方程在实际问题中的应用---销售利润问题，解题关键是利润问题中数量关系，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系和等量关系，列出不等式和方程，再求解．

20．（2021·江苏宿迁初三模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动(P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止)．

（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？

（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．

【答案】（1）点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；（2）能，需运动7s，△APQ的面积能等于22cm2．

【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题；

（2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题．

【解析】（1）点P从开始到运动停止用的时间为：(12+6)÷2=9s，

点Q从开始到运动停止用的时间为：(6+12)÷1=18s．

∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，

∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：(6+12)﹣1×9=9cm，

答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；

（2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2，

当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as．

∵△APQ的面积能否等于22cm2，，

∴12×622，解得：此方程无解；

当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为(b+6)s．

∵△APQ的面积能否等于22cm2，，

∴12×622，解得：b1=1，b2=14(舍去)，

即需运动6+1=7s，△APQ的面积能等于22cm2．

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意要巧设未知数，这样可以使问题简单化．