初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数综合训练题

第10课  二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)

知识点01  二次函数的概念

一般地，形如            （a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数.

若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.

要点诠释：

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的       .

2.二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：                  （，，为常数，）；

2. 顶点式：              （，，为常数，）；

3. 交点式：              （，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.

要点诠释：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化。

知识点02  二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质

1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象

用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做      .

因为抛物线y=x2关于    对称，所以    是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的     ，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最    点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最  值，它的最小值就是最低点的       .

2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法

用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.

要点诠释：

二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．

画草图时应抓住以下几点：                               .

3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质

二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：

要点诠释：
    顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.

│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.

知识点03  二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质

1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象

（1）

（2）

2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质

关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：

3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.

的图象向   （c＞0）【或向   （c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.

要点诠释：

抛物线的对称轴是   ，顶点坐标是     ，与抛物线的形状     ．

函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．

    抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．

考法01   二次函数的概念

【典例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）．

    A. y=3x﹣1        B. y=ax2+bx+c     C. s=2t2﹣2t+1        D．y=x2+

【即学即练1】如果函数是二次函数，求m的值．

考法02   二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质

【典例2】函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．

【即学即练2】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则        ．

【即学即练3】抛物线y=﹣x2不具有的性质是（　　）．

A.开口向上                                B. 对称轴是y轴   

  C. 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大     D. 最高点是原点

考法03   二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质

【典例3】求下列抛物线的解析式：

（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；

（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．

【典例4】在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．

    (1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；

    (2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；

(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．

题组A  基础过关练

1．下列函数是二次函数的是（  ）

A．y=x（x+1） B．x2y=1

C．y=2x2-2（x-1）2 D．y=x—0.5

2．若y=（m﹣1） 是关于x的二次函数，则m的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣2或1 C．1 D．不存在

3．下列关于二次函数的说法正确的是（    ）

A．它的图象经过点 B．当时，随的增大而减小

C．当时，有最大值为 D．它的图象的对称轴是直线

4．抛物线顶点在（）

A．第一象限 B．第二象限 C．轴上 D．轴上

5．抛物线y＝﹣x2+6的顶点坐标是_____．

6．y=x²过A（1，a），B（2，b），则 a_______b  (填＞，＜或=）

7．抛物线y＝x2﹣2在y轴右侧的部分是_____．（填“上升”或“下降”）

8．抛物线y＝x2的开口方向_____，对称轴是_____，顶点是_____，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____；当x＝0时，y有最_____值是_____．

题组B  能力提升练

1．函数y=（m+2）+2x+1是二次函数，则m的值为（　　）

A．﹣2 B．0 C．﹣2或1 D．1

2．如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是

A． B． C． D．

3．抛物线，，共有的性质是（       ）

A．开口向下 B．对称轴是轴

C．都有最低点 D．y随x的增大而减小

4．已知点（-2，），（0，），（1，）都在函数的图象上，则(  )

A．＞＞ B．＞＞

C．＞＞ D．＞＞

5．如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

6．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）

A．5个 B．4个 C．3个

D．2个

7．函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是

A．B．C．D．

8．若抛物线y=ax2经过点A (，－9)，则其解析式为_______________．

9．若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______.

10．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为_____．

11．二次函数图像的顶点坐标是_____.

22．二次函数y=3x2-3的图象开口向_____，顶点坐标为_____，对称轴为_____，当x>0时，y随x的增大而_____；当x<0时，y随x的增大而_____.因为a=3>0，所以y有最_____值，当x=_____时，y的最_____值是_____.

题组C  培优拔尖练

1．已知 是二次函数，且函数图象有最高点．

（1）求k的值；

（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．

2．已知函数是关于x的二次函数，求：   

  (1)满足条件m的值．

 (2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大?

 (3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小．

3．已知一次函数y=ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y=x2的图象经过A、B两点．

（1）请求出一次函数的表达式；

（2）设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积．

4．在平面直角坐标系中，若抛物线与直线交于点和点，其中，点为原点，求的面积.

5．如图，已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）．

（1）求点A、点B的坐标；

（2）连接，，求的面积．

6．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）．例如：（﹣2，3）的变换点是（2，﹣1）．

（1）（1，2）的变换点为　　，（﹣1，﹣2）的变换点为　　．

（2）点M（m﹣1，5）的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标.

（3）如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点．

①请在方格图中画出点Q所在函数的图象.

②求点Q所在函数图象的表达式．