人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数同步测试题

第12课  二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质

知识点01  二次函数与之间的相互关系

1.顶点式化成一般式
　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点          ，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．

2.一般式化成顶点式

  ．

对照，可知                        

∴  抛物线的对称轴是直线          ，顶点坐标是           ．

要点诠释：

1．抛物线的对称轴是直线     ，顶点坐标是      ，可以当作公式加以记忆和运用．

2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

知识点02  二次函数的图象的画法

1.一般方法：列表、描点、连线；

2.简易画法：五点定形法.

    其步骤为：

    (1)先根据函数解析式，求          和          ，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．

    (2)求抛物线与          的交点，

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．

要点诠释：

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，

知识点03  二次函数的图象与性质

1.二次函数图象与性质

2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系

知识点04  求二次函数的最大（小）值的方法

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即

当          时，          ．

要点诠释：

如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．

考法01   二次函数的图象与性质

【典例1】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：

①abc＞0

②4a+2b+c＞0

③4ac﹣b2＜8a

④

⑤b＞c．

其中含所有正确结论的选项是（　　）

A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤

【即学即练1】若二次函数（）的图象如图所示，则的值是    ．

考法02   二次函数的最值

【典例2】分别在下列范围内求函数的最大值或最小值．

       (1)0＜x＜2；  (2)2≤x≤3．

考法03   二次函数性质的综合应用

【典例3】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），交y轴于点C，且S△ABC=16．

（1）求点C的坐标；

（2）求抛物线的解析式及其对称轴；

（3）若正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），求S正方形DEFG．

【典例4】一条抛物线经过A（2，0）和B（6，0），最高点C的纵坐标是1．

（1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；

（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P(除点A、B、C、E外)，先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线的距离；

    (3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律．

【即学即练2】已知二次函数（其中a>0，b>0，c<0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个

在y轴的右侧．以上说法正确的个数为（     ）

        A．0      B．1      C．2      D．3

题组A  基础过关练

1．将二次函数化为的形式，结果为(      )

A．         B．

C．         D．

2．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）

A．开口向上

B．对称轴是直线x＝1

C．与x轴没有交点

D．与y轴的交点坐标是（0，1）

3．抛物线的图象先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得图象的解析式是，则

A．13 B．11 C．10 D．12

4．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（3，0），对称轴是直线x＝1，则a+b+c的值为（   ）

A． B．1 C．0 D．

5．二次函数，当________时，的最小值是_______.

6．已知抛物线经过两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．

7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（　　）

A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大

C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与x轴的另一个交点是（4，0）

8．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．

（1）写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值；

（2）求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标．

题组B  能力提升练

1．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

2．若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

3．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(    )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．

5．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（-4，0）两点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求出抛物线的对称轴和顶点坐标；

（3） 若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

题组C  培优拔尖练

1．二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为_____．(填“”、“”或“”)

2．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是_____．

3．如图，抛物线与x轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且．

⑴求此抛物线的解析式；

⑵当点位于轴下方时，求面积的最大值；

⑶设此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为．

①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

②当时，直接写出的面积．

4．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线有且只有一个公共点．

（1）直接写出抛物线的顶点的坐标，并求出与的关系式；

（2）若点为抛物线上一点，当时，均满足，求的取值范围；

（3）过抛物线上动点（其中）作轴的垂线，设与直线交于点，若、两点间的距离恒大于等于1，求的取值范围．