初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数课后复习题

第13课  待定系数法求二次函数的解析式

知识点01  用待定系数法求二次函数解析式

1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：

    (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；

    (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；

    (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．

2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下

第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，

或，其中a≠0；

    第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；

    第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；

    第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．

要点诠释：

在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：

①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；

②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时，可设函数的解析式为；

③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．

考法01   用待定系数法求二次函数解析式

【典例1】已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.

【答案与解析】

本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：

解得

∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.

【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax2+bx+c (a≠0).

【即学即练1】已知二次函数图象过点O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．

【答案与解析】

解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，

把O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6）各点代入上式得

解得 ，

∴抛物线解析式为y=2x2+x；

∴抛物线的对称轴x==．

【典例2】已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．

【答案与解析】

解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），

设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，

把点（2，3）代入解析式，得：

a﹣2=3，即a=5，

∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．

【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式.

【即学即练2】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.

【答案】（1）．

（2）令，得，解方程，得，．

∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．

∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．

平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为.

【典例3】抛物线的图象如图，则它的函数表达式是　            　．当x　              　时，y＞0．

【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式．y＞0时，求x的取值范围，即求抛物线落在x轴上方时所对应的x的值．

【答案】y=x2﹣4x+3．x＜1，或x＞3

【解析】

解：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），

由“交点式”，得抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），

将（0，3）代入，

3=a（0﹣1）（0﹣3），

解得a=1．

故函数表达式为y=x2﹣4x+3．

由图可知当x＜1，或x＞3时，y＞0．

【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

考法02  用待定系数法解题

【典例4】已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．

    (1)求二次函数解析式；

    (2)求△ABC的面积．

【答案与解析】

(1)设抛物线解析式为(a≠0)，将(3，5)代入得，

∴  ．

∴  ．

     即．

(2)由(1)知C(0，8)，

∴  ．

【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．

题组A  基础过关练

1．已知一条抛物线经过 E(0，10)，F(2，2)，G(4，2)，H(3，1)四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为(    )

A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G

【答案】C

【解析】

试题解析：

∵F(2,2),G(4,2)，

∴F和G点为抛物线上的对称点，

∴抛物线的对称轴为直线x=3，

∴H(3,1)点为抛物线的顶点，

设抛物线的解析式为

把E(0,10)代入得9a+1=10，解得a=1，

∴抛物线的解析式为

故选C.

2．抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为          ．

【答案】y=-x2+2x+3．

【解析】

试题分析：此图象告诉：函数的对称轴为x=1，且过点（3，0），因此，

，解得.

∴此抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．

考点：1.二次函数的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.数形结合思想的应用.

3．已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是_____．

【答案】(1，4)

【解析】

∵A(0,3),B(2,3)是抛物线y=−x2+bx+c上两点，

∴c=3，−4+2b+c=3，

解得：b=2，c=2，

即抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，

故抛物线的顶点坐标是：(1,4)，

故答案为：(1,4)

4．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是______．

【答案】x＞

【详解】

解：把（﹣1，0），（1，﹣2）代入二次函数y=x2+bx+c中，得：，

解得：，

那么二次函数的解析式是：，

函数的对称轴是：，

因而当y随x的增大而增大时，

x的取值范围是：．

故答案为．

【点睛】

本题考查待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象性质，利用数形结合思想解题是关键．

5．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1），B（1，0），C（-1，2）；

（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0），（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；

（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．

【答案】（1）

（2）

（3）

（4）

【解析】

试题分析：

（1）已知三点坐标，所以设解析式为，列三元一次方程组求解即可.

（2）已知顶点为（1，-3），所以设解析式为，把点（0，1）坐标代入即可求得.

（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数解析式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；

（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数解析式为，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入关系式为，即可求出a的值．

试题解析：

解：（1）设二次函数的解析式为：，

依题意得：

解得：

∴

（2）∵图象的顶点为（1，－3），

∴设其解析式为，

∵经过点（0，1）

∴，解得a＝4，

∴

（3）∵抛物线与x轴交于点M（-3，0）.（5，0），

∴设二此函数的解析式为，

又∵抛物线与y轴交于点（0，-3），可以得到，解得．

∴所求二次函数的解析式为．

即

（4）因为顶点坐标（3，-2），所以可设函数解析式为，

并且抛物线的对称轴为x=3，

由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），

把（1，0）代入关系式为，得

解得．

所以

考点：待定系数法求二次函数解析式.

点评：熟悉不同形式解析式的应用条件，根据已知恰当设出解析式是简化运算的基础.

6．二次函数图象与轴交于点，与轴交于点，且经过点D（3，-8）．求此二次函数的解析式及顶点坐标．

【答案】，顶点坐标为（2，-9）；

【分析】

直接利用待定系数法求二次函数解析式即可，进而利用配方法求出函数顶点坐标；

【详解】

由题意，有

解得

∴此二次函数的解析式为；
∴，顶点坐标为（2，-9）；

【点睛】

此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的顶点坐标，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题关键．

7．已知二次函数的图像的顶点坐标为A（3，3），且过点B（2，0），求该函数的关系式．

【答案】

【分析】

设二次函数的解析式为y=a(x﹣3)2+3(a≠0)，然后把原点坐标代入求解即可．

【详解】

设二次函数的解析式为y=a(x﹣3)2+3(a≠0)．

∵函数图象经过原点(2，0)，

∴a(2﹣1)2+3=0，

解得：a=-3，

∴该函数解析式为．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用顶点式解析式求解更加简便．

8．已知抛物线对称轴为直线x＝3，且抛物线经过点A(2，0)，B(1，6)，求抛物线解析式．

【答案】

【分析】

对称轴，设抛物线解析式为，将A、B两点坐标代入解析式中，和对称轴关系式联立即可求解．

【详解】

设抛物线解析式为，

∵抛物线对称轴为直线x＝3

∴

将A、B两点坐标代入抛物线解析式中，得6=-3a-+6a

解得

因此抛物线解析式为

故答案为．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，此类题关键是旋转合适的不同函数的解析式．

题组B  能力提升练

1．已知抛物线的顶点坐标为，它与轴有两个交点，两交点间的距离为6，则此抛物线的解析式为__________．

【答案】y=-（x-1）2+9

【分析】

利用顶点坐标求得抛物线与x轴的交点坐标分别为（-2，0）或（4，0），由题意设抛物线解析式为y=a（x-1）2+9，利用待定系数法即可解决问题．

【详解】

解：由题意设抛物线解析式为y=a（x-1）2+9，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-2，0）或（4，0），
把点（4，0）代入0=9a+9，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+9．

故答案为：y=-（x-1）2+9．

【点睛】

本题考查待定系数法求二次函数解析式．能结合顶点坐标求得抛物线与x轴的交点坐标是解题关键．

2．关于x的二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点

（1）求二次函数的解析式；

（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标.

【答案】（1）（2）对称轴：直线；顶点坐标为.

【分析】

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，3）代入求得a的值可得到抛物线的解析式；

（2）把抛物线的解析式配方即可

【详解】

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将C（0，3）代入得：3=-3a，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．

（2）y=-x2+2x+3=-．

∴对称轴：直线；顶点坐标为.

【点睛】

本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式以及对称轴和顶点坐标，熟练掌握相关知识是解题的关键

3．已知二次函数的图象经过两点．

（1）求的值．

（2）试判断点是否在此函数的图象上．

【答案】（1）p=-3，q=1；（2）不在

【分析】

（1）把两点代入即可得出p，q的值；

（2）把x=-1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案．

【详解】

解：（1）把A（0，1），B（2，-1）代入y=x2+px+q，

得，

解得：，

∴p，q的值分别为-3，1；

（2）把x=-1代入y=x2-3x+1，得y=5，

∴点P（-1，2）不在此函数的图象上．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键．

4．已知抛物线经过，两点．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）若将该抛物线向上平移3个单位长度，求出平移后的函数关系式并直接写出开口方向及顶点坐标．

【答案】（1）；（2），开口方向向上，顶点坐标为（﹣1，1）．

【分析】

（1）直接将，代入得到二元一次方程组，再求得a、b即可；

（2）根据抛物线的平移规律“上加下减”以及二次函数图象的特征解答即可．

【详解】

解：（1）把，代入

得解得，

∴抛物线解析式为．

（2）抛物线向上平移3个单位长度的解析式为，

故平移后得解析式为

∴开口方向向上，顶点坐标为（﹣1，1）．

【点睛】

本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数图象的平移、二次函数图象的性质等知识点，掌握二次函数图象的平移规律和二次函数图象的特征是解答本题的关键．

5．已知二次函数的图象经过两点，求此二次函数的解析式．

【答案】

【分析】

将（1,0）、（0,5）两点坐标代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可．

【详解】

解：把（1,0）、（0,5）代入

得，

解得，

所以二次函数的解析式为

【点睛】

本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．

6．已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.

(1)求k的值：

(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.

【答案】(1)k=-3；(2)点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5).

【分析】

(1)根据抛物线的对称轴是y轴以及对称轴公式可得关于k的方程，解方程后再根据抛物线与x轴的交点个数即可确定答案；

(2)由点P到y轴的距离即可确定出点P的横坐标，再根据抛物线的解析式即可求得点P的纵坐标即可得答案.

【详解】

(1)∵抛物线y=x2+(k2+k－6)x+3k的对称轴是y轴，

∴，

即k2+k－6=0，

解得k=－3或k=2，

当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去，

当k=－3时，二次函数解析式为y=x2－9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意，

∴k=－3；

(2)∵P到y轴的距离为2，

∴点P的横坐标为－2或2，

当x=2时，y=－5；

当x=－2时，y=－5，

∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5).

【点睛】

本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键.

7．已知点A（1，1）在抛物线y＝x2+（2m+1）x﹣n﹣1上

（1）求m、n的关系式；

（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求出它的解析式．

【答案】（1）n＝2m；（2）y＝x2或y＝x2﹣4x+4．

【分析】

(1)把A(1,1)代入抛物线即可得到n与m的关系式；（2）根据顶点在x轴上则顶点纵坐标是0，=0，根据公式求出n和m的值，即可求出表达式.

【详解】

解：（1）将点A（1，1）代入y＝x2+（2m+1）x﹣n﹣1得：

1＝12+（2m+1）×1﹣n﹣1，

整理得：n＝2m，

故m、n的关系式为：n＝2m；

（2）∵抛物线的顶点在x轴上，

∴=0，

∵n＝2m，

∴代入上式化简得，4m2+12m+5＝0，

解得m＝﹣或m＝﹣，

当m＝﹣时，n＝﹣5，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+4，

当m＝﹣时，n＝﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2，

∴抛物线的解析式为y＝x2或y＝x2﹣4x+4．

【点睛】

本题考查二次函数的解析和二次函数的顶点坐标（-，），学生们要灵活运用.

题组C  培优拔尖练

1．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．

(1)求此抛物线的解析式.

(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.

【答案】（1）y＝－x2＋2x＋4；（2）12.

【解析】

试题分析：（1）根据题意确定出B与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；

（2）把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，四边形ABDC面积=三角形ABC面积+三角形BCD面积，求出即可．

试题解析：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），

把B与C坐标代入y=-x2+bx+c得：，

解得：b=2，c=4，

则解析式为y=-x2+2x+4；

（2）∵y=-x2+2x+4=-（x-2）2+6，

∴抛物线顶点坐标为（2，6），

则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．

考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数图象上点的坐标特征．

2．如图，抛物线的图象与轴交于和两点，交轴于点，点、是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点、．

（1）请直接写出D点的坐标．

（2）求抛物线的解析式．

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【分析】

（1）根据抛物线的对称性，利用点A、B求出抛物线的对称轴，即点C和点D关于抛物线的对称轴对称，即可求出点D坐标；

（2）设抛物线的解析式为，把点A、B、C的坐标代入解析式中，列出关于、、的方程组，通过解方程组即可求出它们的值，即可求出抛物线的解析式；

（3）根据题意要使的周长要最小，即的和要最小，因为点C和点D是抛物线上两对称点，则，即的和要最小，当B、P、D三点共线时的周长最小，此时直线BD与抛物线的对称轴的交点P即为所求，先求出直线BD的解析式，把代入直线BD解析式即可求出P点坐标．

【详解】

（1）抛物线与轴交于点A(-3、0),和点B(1、0),

抛物线的对称轴为：，

C、D是抛物线上一对对称点，点C(0、3),

（2）设抛物线的解析式为（，a、b、c常数），

根据题意得

解得

所以抛物线的解析式为        

（3）根据题意要使的周长要最小，的和要最小，因为点C和点D是抛物线上两对称点，则，即的和要最小，

如图：直线BD与抛物线的对称轴相交点P即为所求，

设直线BD的解析式为

∵经过，,

∴

解得：

直线BD的解析式为

抛物线的对称轴为直线，点P在抛物线对称轴上，

当时，，

为所求．

【点睛】

本题主要考查了二次函数和一次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，及利用对称性求点的坐标，解题关键是灵活运用这些知识解决问题，利用对称解决最值问题．

3．已知二次函数（）与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中．

（1）请求出以上两个函数的解析式；

（2）求点B的坐标；

（3）求的面积．

【答案】（1）一次函数表达式为，二次函数表达式为；（2） (2，-4)；（3）

【分析】

（1）代入点A的坐标可求出直线与抛物线的解析式；

（2）两个函数解析式联立即可求解B点坐标；

（3）设AB交y轴于点G，过B作BH⊥OG于点H，利用S△OAB=OG•|A的横坐标|+OG•|点B的横坐标|，求解即可．

【详解】

（1）一次函数的图象相过点，

，解得

一次函数表达式为，

∵y=ax2过点A(-1，-1),

∴-1=a×(-1)2，解得a= -1

∴二次函数的解析式为

（2）由一次函数与二次函数联立可得解得，

∴B(2，-4)

（3）设AB交y轴于点G，过B作BH⊥OG于点H

在y=-x-2中，令x=0，得y= -2

∴

由（2）得BH=2

∴S△OAB=S△AOG+S△BOG=×2×1+×2×2=1+2=3．

【点睛】

本题主要考查了待定系数法求函数解析式，题目较为基础，难度较低，解题的关键是正确的求出点B的坐标．

4．如图，已知抛物线的方程y=－ (x+2)(x－m)  (m>0)与x轴交于B、C，与y轴交于点E,且点B在点C的左侧，抛物线还经过点P(2，2) 

（1）求该抛物线的解析式   

（2）在(1)的条件下，求△BCE的面积   

（3）在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使EH+BH的值最小。求出点H的坐标。

【答案】（1） ；（2）；（3）.

【分析】

（1）直接带入P点坐标求出m即可；（2）由（1）求出的函数关系式，解出函数与x，y轴的交点坐标，即可求出三角形面积；（3）作E关于抛物线对称轴的对称点F，连接BF交y轴于点H，由两点之间线段最短可得最小值。

【详解】

（1）解：将P点代入函数式得：

解得: m=4,

∴ 该抛物线的解析式为：    .

（2）解： 由（1）得-(x+2)(x-4)=0,

解得x=-2或x=4,

∴B（-2,0），C（4,0），

∴BC=4-（-2）=6，

当x=0, y=2,

∴OE=2.

∴

（3）解： 如图，作E关于抛物线对称轴的对称点F，连接BF交y轴于点H，

∵  ，

则F（2,2）,

EH+BH=FH+HB=FB,

设直线FB的解析式为：y=kx+b,

∴

解得:,

故y=  ,

当x=1, y=×1+1=  ，

∴H（1,）.

【点睛】

本题考察二次函数的综合问题，需要熟练掌握求解二次函数的方法，函数与坐标轴的交点求法，第3小题为典型的“将军饮马”问题，线段最值问题里面必掌握的基本模型。

5．如图，▱ABCD与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于点A，B，D，点C在抛物线的对称轴上，已知点B（﹣1，0），BC＝4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求BD的函数表达式．

【答案】（1）y＝﹣x2+6x+7；（2）y＝2x+2．

【分析】

（1）由B的坐标及BC的长，求出C的坐标，确定出抛物线对称轴，利用待定系数法求出解析式即可；（2）由四边形ABCD为平行四边形可知对边平行且相等，得到AD的长，利用对称性求出D横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出D坐标，设出直线BD解析式为y＝kx+b，把B与D坐标代入确定出k与b的值即可．

【详解】

（1）∵B（﹣1，0），BC＝4，

∴C（3，0），即抛物线对称轴为直线x＝3，

∴，

解得：，

则抛物线解析式为y＝﹣x2+6x+7；

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，且AD＝BC＝4，

∵A与D关于对称轴直线x＝3对称，且AD＝4，

∴A横坐标为1，D横坐标为5，

把x＝5代入抛物线解析式得：y＝12，即D（5，12），

设直线BD解析式为y＝kx+b，

把B与D坐标代入得：，

解得： ，

则直线BD的解析式为y＝2x+2．

【点睛】

本题考查二次函数及其性质、一次函数和平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．