初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转23.2 中心对称23.2.2 中心对称图形综合训练题

第19课  中心对称与中心对称图形

知识点01  中心对称和中心对称图形

1.中心对称：

　把一个图形绕着某一个点旋转              ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做           ．
　　这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

要点诠释：

（1）有两个图形，能够           ，即形状大小都相同；

（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .

2.中心对称图形：

　把一个图形绕着某一个点旋转            ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

要点诠释：

（1）中心对称图形指的是  个图形；

（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.

3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：

知识点02  关于原点对称的点的坐标特征

关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为             ，反之也成立.

知识点03  中心对称、轴对称、旋转对称

中心对称与中心对称图形的区别与联系

1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：

2.中心对称图形与轴对称图形比较：

要点诠释：

中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.

考法01   中心对称和中心对称图形

【典例1】如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：

①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；   ③OA=OA1；

④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【即学即练1】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　）

A．M或O或N 　　　B．E或O或C 　　　C．E或O或N 　　　D．M或O或C

【典例2】我们平时见过的几何图形,如:线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，有哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？中心对称图形指出对称中心，轴对称图形指出对称轴.

考法02   作图

【典例3】已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）.
 

【即学即练2】如图①， ，，，为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是            ；如图②，，，，，为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是             ．

考法03   利用图形变换的性质进行计算或证明

【典例4】已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．

（1）求证：AC=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

【即学即练3】如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为        ．

题组A  基础过关练

1．下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是(    )

A．    B．   C．    D．

2．下列说法正确的是（　　）

A．成中心对称的两个图形全等

B．全等的两个图形成中心对称

C．成中心对称的两个图形一定关于某条直线对称

D．关于某条直线成轴对称的两个图形一定关于某一点成中心对称

3．在线段、等边三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形、菱形、正方形、圆这些图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

4．如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：

①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点；

②直线BD必经过点O；

③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；

④△AOE与△COF成中心对称．

其中正确的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．下列说法中正确的是（   ）

A．能重合的图形一定是成轴对称图形

B．成中心对称的图形一定是重合的图形

C．两个成中心对称的图形的对称点连线不一定过对称中心

D．两个会重合的三角形一定关于某一点成中心对称

6．如图，若将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A′B′C′，则A点的对应点A′点的坐标是____________．

题组B  能力提升练

1．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，2），若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段，则点的坐标是 ___．

2．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（2，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是_____．

3．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且……依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______．

4．在平面坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，4），延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2；作第3个正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第5个正方形的边长为_____．

5．如图，在10×10的网格中，每个格子都是边长为1的小正方形，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)．B(4，2)、C(3，4)．

(1)请画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1；

(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；

(3)当△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB1C1，求点C所经过的路径长．

6．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A(0，0)，B(6，0)，D(0，4)

(1) 根据图形直接写出点C的坐标；

(2) 已知直线m经过点P(0，6)且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m，并求该直线m的解析式.

7．如图，在三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，将三角板ABC绕点C逆时针旋转，当起始位置时的点B恰好落在边A1B1上时，求A1B的长

题组C  培优拔尖练

1．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）.

(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC；

(2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC；

(3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标.

2．下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：

(1)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；

(2)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；

(3)选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．

(请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形)

3．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C的坐标为，线段，上分别有两个动点P，Q，连结，已知，以，为邻边作平行四边形，设．

（1）求点A，B的坐标，并用含m的代数式表示点D的坐标．

（2）当与平行四边形的面积相等时，求点Q的坐标．

（3）是否存在点P，Q使得以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，说明理由．

（4）作点D关于点Q的对称点，当点恰好落在直线上时，________．（直接写出结果）

4．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．

（1）画出关于点O成中心对称的，并写出点B1的坐标；

（2）求出以点B1为顶点，并经过点B的二次函数关系式.