初中数学人教版九年级上册23.2.2 中心对称图形课时作业

第19课  中心对称与中心对称图形

知识点01  中心对称和中心对称图形

1.中心对称：

　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
　　这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

要点诠释：

（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；

（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .

2.中心对称图形：

　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

要点诠释：

（1）中心对称图形指的是一个图形；

（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.

3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：

知识点02  关于原点对称的点的坐标特征

关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为 ，反之也成立.

知识点03  中心对称、轴对称、旋转对称

中心对称与中心对称图形的区别与联系

1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：

2.中心对称图形与轴对称图形比较：

要点诠释：

中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.

考法01   中心对称和中心对称图形

【典例1】如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：

①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；   ③OA=OA1；

④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解析】中心对称的两个图形全等，则①②④正确；

对称点到对称中心的距离相等，故③正确；

故①②③④都正确．

故选D．

【总结升华】中心对称的关键是：旋转180°之后可以与原来的图形重合.

【即学即练1】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　）

A．M或O或N 　　　B．E或O或C 　　　C．E或O或N 　　　D．M或O或C

【答案】A

【典例2】我们平时见过的几何图形,如:线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，有哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？中心对称图形指出对称中心，轴对称图形指出对称轴.

【答案与解析】

【总结升华】线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是重要的几种对称几何图形，要了解其性质特点更要熟记.

考法02   作图

【典例3】已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）.
 

【答案与解析】

【总结升华】解决这类问题时，关键是将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件.

【即学即练2】如图①， ，，，为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是            ；如图②，，，，，为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是             ．

【答案】

图①：或或AC或BD;图②：或

考法03   利用图形变换的性质进行计算或证明

【典例4】已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．

（1）求证：AC=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

【解题思路】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．

【答案与解析】（1）证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，

∴△ABM≌△ACM，

∴AB=AC，

又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，

∴△ABE≌△DCE，

∴AB=CD，

∴AC=CD；

（2）解：∠F=∠MCD．

理由：由（1）可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，

∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，

∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，

设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，

∴∠F=∠CPM﹣∠PMF=α﹣β，

∠MCD=∠CDE﹣∠DMC=α﹣β，

∴∠F=∠MCD．

【总结升华】此题主要考查了中心对称图形的性质以及全等三角形的性质等知识，根据题意得出对应角相等进而得出是解题关键．

【即学即练3】如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为        ．

【答案】.

题组A  基础过关练

1．下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是(    )

A．    B．   C．    D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据中心对称图形特点分别分析判断，中心对称图形绕一个点旋转180°后图形仍和原来图形重合.

【详解】

解：A、属于中心对称图形，不符合题意；

 B、不是中心对称图形，符合题意；

 C、是中心对称图形，不符合题意；

 D、是中心对称图形，不符合题意.

 故答案为：B

【点睛】

本题考查的中心对称图形，由其特点进行判断是解题的关键.

2．下列说法正确的是（　　）

A．成中心对称的两个图形全等

B．全等的两个图形成中心对称

C．成中心对称的两个图形一定关于某条直线对称

D．关于某条直线成轴对称的两个图形一定关于某一点成中心对称

【答案】A

【分析】

根据中心对称图形，中心对称的概念和性质和轴对称图形以及全等图形的概念对各选项进行判断．

【详解】

解：A．成中心对称的两个图形全等，故本选项正确；

B．全等的两个图形不一定成中心对称，故本选项错误；

C．成中心对称的两个图形不一定关于某条直线对称，故本选项错误；

D．关于某条直线成轴对称的两个图形不一定关于某一点成中心对称，故本选项错误；

故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形与中心对称的概念和性质和轴对称图形以及全等图形．正确把握相关概念和性质是解题的关键．

3．在线段、等边三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形、菱形、正方形、圆这些图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】C

【详解】

试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．

解：等边三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形；

平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；

线段、矩形、菱形、正方形、圆既是中心对称图形又是轴对称图形，

故选；C．

点评：本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：

①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点；

②直线BD必经过点O；

③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；

④△AOE与△COF成中心对称．

其中正确的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】

试题分析：由于△ABC与△CDA关于点O对称，那么可得到AB=CD、AD=BC，即四边形ABCD是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，据此对各结论进行判断．

△ABC与△CDA关于点O对称，则AB=CD、AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形，即点O就是▱ABCD的对称中心，则有：（1）点E和点F，B和D是关于中心O的对称点，正确；（2）直线BD必经过点O，正确；（3）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等，正确；（5）△AOE与△COF成中心对称，正确；

其中正确的个数为4个

考点：(1)、中心对称；(2)、平行四边形的性质．

5．下列说法中正确的是（   ）

A．能重合的图形一定是成轴对称图形

B．成中心对称的图形一定是重合的图形

C．两个成中心对称的图形的对称点连线不一定过对称中心

D．两个会重合的三角形一定关于某一点成中心对称

【答案】B

【解析】试题解析：轴对称图形是沿对称轴折叠重合的图形，而全等的图形即可重合，所以A错误；

中心对称的图形全等即可重合，所以B正确；

成中心对称的图形的对称点连线一定过对称中心，所以C错误；

全等的三角形关于某一点旋转180°后可以重合，才是成中心对称的．所以D错误.

故选B.

6．如图，若将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A′B′C′，则A点的对应点A′点的坐标是____________．

【答案】（3，-2）．

【解析】

试题分析：∵点A的坐标是（﹣3，2），∴点A关于点O的对称点A'点的坐标是（3，﹣2）．故答案为（3，-2）．

考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．网格型．

题组B  能力提升练

1．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，2），若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段，则点的坐标是 ___．

【答案】（2，﹣3）

【分析】

作AB⊥y轴于B，⊥x轴于．根据A点坐标可知AB、OB长度，由旋转的性质知 、 的长度，根据所在象限确定其坐标．

【详解】

解：作AB⊥y轴于B，⊥x轴于．

∵A（3，2），

∴AB＝3，OB＝2．

∴＝3，＝2．

∵在第四象限，

∴（2，﹣3）．

故答案为：（2，﹣3）．

【点睛】

考查了坐标与图形变化﹣旋转，需注意旋转前后对应线段的长度不变，确定坐标时注意点所在象限．

2．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（2，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是_____．

【答案】（﹣2，2）．

【分析】

利用旋转的性质得到OP2=2OP1=OP3=4，∠xOP2=∠P2OP3=60°，作P3H⊥x轴于H，利用含30度的直角三角形求出OH、P3H，从而得到P3点坐标．

【详解】

解：如图，∵点P0的坐标为（2，0），

∴OP0=OP1=2，

∵将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，

∴OP2=2OP1=OP3=4，∠xOP2=∠P2OP3=60°，

作P3H⊥x轴于H，

OH=OP3=2，P3H=OH=2，

∴P3（-2，2）．

故答案为（-2，2）．

【点睛】

本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．

3．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且……依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______．

【答案】(22020，0)

【分析】

根据题中规律得出A点的位置规律和OA长度的变化规律，即可得出A2020的坐标．

【详解】

根据题中规律，可知A1，A2，A3，A4依次在y轴的负半轴，x轴的负半轴，y轴的正半轴和x轴的正半轴上，每4次一个循环

∵2020÷4=505

∴A2020在x轴的正半轴；又由OA=1，A1O=2AO=2， A2O=2A1O=4，…，

∴OA2020=22020

∴A2020的坐标为(22020，0)

故答案为(22020，0) ．

【点睛】

本题考查点坐标的变化规律，找出点的位置和坐标的数量变化规律是解答此题的关键．

4．在平面坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，4），延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2；作第3个正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第5个正方形的边长为_____．

【答案】5×

【分析】

分别求出第1个正方形的面积，再求出第2个正方形的面积，以此类推，求出5个正方形的面积，然后寻找规律即可．

【详解】

∵点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，4），

∴OA＝3，OD＝4，BC＝AB＝AD＝5，

∵正方形ABCD，正方形A1B1C1C，

∴∠OAD+∠A1AB＝90°，∠ADO+∠OAD＝90°，

∴∠A1AB＝∠ADO，

∵∠AOD＝∠A1BA＝90°，

∴△AOD∽△A1BA，

∴，

∴，

∴，

∴

同理可得，A2B2＝5×，

同理可得，A3B3＝5×，…

按这样的规律进行下去，第5个正方形的边长为A4B4＝5×．

故答案为5×．

【点睛】

本题属于开放性题目，寻找正方形面积的规律．

5．如图，在10×10的网格中，每个格子都是边长为1的小正方形，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)．B(4，2)、C(3，4)．

(1)请画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1；

(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；

(3)当△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB1C1，求点C所经过的路径长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【分析】

(1)根据旋转的定义作出点B、C绕点A顺时针旋转90°后得到的对应点，再与点A首尾顺次连接即可得；

(2)根据中心对称的概念作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可得；

(3)先利用勾股定理求出AC的长，再利用弧长公式计算可得．

【详解】

解：(1)如图所示，根据旋转的定义作出点B、C绕点A顺时针旋转90°后得到的对应点B1、C1，再与点A首尾顺次连接得到△AB1C1即为所求；

(2)如图所示，作出三个顶点关于原点的对称点，顺次连接三点得到△A2B2C2即为所求；

(3)∵AC＝＝，∠CAC1＝90°，

∴点C所经过的路径长为．

【点睛】

本题考查了网格图中图形旋转的性质，勾股定理的应用，弧长公式的计算，掌握网格中图形旋转的性质是解题的关键．

6．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A(0，0)，B(6，0)，D(0，4)

(1) 根据图形直接写出点C的坐标；

(2) 已知直线m经过点P(0，6)且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m，并求该直线m的解析式.

【答案】(1)（6，4）；(2) y= x+6.

【分析】

（1）根据点B、D的坐标求出点C的横坐标与纵坐标，然后写出即可；

（2）连接OC、BD得到矩形的中心，然后根据平分矩形面积的直线必过中心作出直线m即可，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．

【详解】

（1）∵B（6，0）、D（0，4），

∴点C的横坐标是6，纵坐标是4，

∴点C的坐标为（6，4）；

故答案为（6，4）；

（2）直线m如图所示，

对角线OC、BD的交点坐标为（3，2），

设直线m的解析式为y=kx+b（k≠0），

则，

解得，

所以，直线m的解析式为y=-x+6．

【点睛】

本题考查了中心对称，矩形的性质，待定系数法求一次函数解析式，熟记过矩形的中心的直线把矩形的面积分成面积相等的两份是解题的关键．

7．如图，在三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，将三角板ABC绕点C逆时针旋转，当起始位置时的点B恰好落在边A1B1上时，求A1B的长

【答案】2

【分析】

先依据特殊锐角三角函数值可求得、的长，然后由旋转的性质和等边三角形的判定定理可得到是等边三角形，从而得到的长度，最后依据求解即可．

【详解】

解：，，，

，，．

由旋转的性质可知：，，，

是等边三角形．

．

．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查的是旋转的性质的应用，得到是等边三角形是解题的关键．

题组C  培优拔尖练

1．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）.

(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC；

(2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC；

(3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标.

【答案】（1）图形见解析；

（2）图形见解析；

（3）图形见解析，点P的坐标为：（2，0）

【分析】

(1)按题目的要求平移就可以了

关于原点对称的点的坐标变化是:横、纵坐标都变为相反数，找到对应点后按顺序连接即可

(3)AB的长是不变的，要使△PAB的周长最小，即要求PA+PB最小，转为了已知直线与直线一侧的两点，在直线上找一个点，使这点到已知两点的线段之和最小，方法是作A、B两点中的某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与另一点．

【详解】

（1）△A1B1C1如图所示；

（2）△A2B2C2如图所示；

（3）△PAB如图所示，点P的坐标为：（2，0）

【点睛】

1、图形的平移；2、中心对称；3、轴对称的应用

2．下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：

(1)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；

(2)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；

(3)选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．

(请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形)

【答案】作图见解析.

【详解】

试题分析：(1)根据轴对称图形的定义作图即可；(2)根据中心对称图形的定义作图即可；(3)根据轴对称图形的定义作图即可；

试题解析：

（1）画出下列一种即可：

；

（2）画出下列一种即可：

；

（3）画出下列一种即可：

.

考点：轴对称图形；中心对称图形.

3．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C的坐标为，线段，上分别有两个动点P，Q，连结，已知，以，为邻边作平行四边形，设．

（1）求点A，B的坐标，并用含m的代数式表示点D的坐标．

（2）当与平行四边形的面积相等时，求点Q的坐标．

（3）是否存在点P，Q使得以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，说明理由．

（4）作点D关于点Q的对称点，当点恰好落在直线上时，________．（直接写出结果）

【答案】（1）点A（-3，0），点B（0，4），点D（2+m，4-2m）；（2）点Q （3）的值为1或或；（4）．

【分析】

（1）分别根据、时求出B点和A点坐标，再根据点的平移规律求出点D坐标；

（2）由三角形面积，列出关于m的方程即可求解；

（3）两点距离公式用m表示出OD、BD的距离，再根据等腰三角形定义三种情况解方程求解m即可；

（4）由对称的性质可知点Q是线段中点，根据中点坐标公式列方程求解即可．

【详解】

解：（1）当时，，即点B坐标为（0，4），

当时，，解得：，即点A坐标为（-3，0），

∵，，

∴，，

∵在平行四边形中，，，

∴点D坐标为（2+m，4-2m），

综上所述：点A坐标为（-3，0），点B坐标为（0，4），点D坐标为（2+m，4-2m）；

（2）由（1）可知：，

∴，

∴，

，

∴当与平行四边形的面积相等时，，

解得，（舍去），

故点Q的坐标为

（3）由（1）可知：点B（0，4），点D（2+m，4-2m），

∴，

，

以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形有三种可能：

①当时，则：，

解得：

②当时，则：，

解得：，（舍去），

③当时，则：，

解得：，（此时，故舍去），

综上所述：当等于1，，时，以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形；

（4）当点恰好落在直线上时，设点坐标为，

∵点D关于点Q的对称点是点，

∴点Q是线段中点，

∵点D坐标为（2+m，4-2m），点Q坐标为（-m，0），

∴ ，

解得：，

故填：．

【点睛】

本题主要考查了一次函数与几何综合，涉及了一次函数图像上点的特征、平行四边形性质、平面直角坐标系中两点距离计算及等腰三角形的判定、中心对称的点坐标特征等，解题关键是掌握相关知识，利用点的坐标表示线段的关系，利用数形结合思想进行解题．

4．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．

（1）画出关于点O成中心对称的，并写出点B1的坐标；

（2）求出以点B1为顶点，并经过点B的二次函数关系式.

【答案】（1）图见解析，点；（2）.

【分析】

(1) 先由条件求出A点的坐标, 再根据中心对称的性质求出、 的坐标, 最后顺次连接、, △OAB关于点O成中心对称的△就画好了,可求出B1点坐标.

(2) 根据 (1) 的结论设出抛物线的顶点式, 利用待定系数法就可以直接求出其抛物线的解析式.

【详解】

（1）如图，点.

（2）设二次函数的关系式是，

 把（4，2）代入上式得，，

即二次函数关系式是.

【点睛】

本题主要考查中心对称的性质，及用待定系数法求二次函数的解析式，难度不大.