数学九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角复习练习题

第24课  弧、弦、圆心角、圆周角

知识点01  弧、弦、圆心角的关系

1.圆心角定义
　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样              叫做圆心角．
 

2.定理：
　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的        相等，所对的        也相等．
3.推论：
　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的        相等，所对的        也相等．
　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的        相等，所对的        也相等．
要点诠释：
　　(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.
　　(2)注意定理中不能忽视“        ”这一前提.

知识点02  圆周角

1.圆周角定义：
　　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在        ，并且两边都与圆        的角叫做圆周角．
 

2.圆周角定理：
　　在同圆或等圆中，        所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的        ．
3.圆周角定理的推论：
　　半圆（或直径）所对的圆周角是        ，90°的圆周角所对的弦是        ．
要点诠释：
　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在        中.
4.圆内接四边形：

（1）定义: 圆内接四边形：        ，叫圆内接四边形．

   （2）性质：圆内接四边形        ，外角等于        （即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．

5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：

在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).

   *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.

考法01   圆心角、弧、弦之间的关系及应用

【典例1】已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．

【即学即练1】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．

        求证：．

考法02   圆周角定理及应用

【典例2】如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．求证：∠ABC=2∠CBO．

【即学即练2】如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是            .

【典例3】如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=___________.
 

【即学即练3】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D=　    ．

【典例4】已知，如图，⊙O上三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径长.
 

【即学即练4】如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（    ）．

A．      B．4       C．      D．5

题组A  基础过关练

1．如图，AC是⊙O的直径，弦AB//CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于（   ）

A．64° B．48° C．32° D．76°

2．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于（   ）

A．37° B．74° C．54° D．64°

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于（    ）

A．69° B．42° C．48° D．38°

4．如图，△ABC内接于圆O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是圆O的直径，BD交AC于点E，连接DC，则∠AEB等于（  ）

A．70°       B．110°        C．90°      D．120°

5．如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（　　）

A．∠1＞∠2＞∠3 B．∠3＞∠1＞∠2   C．∠2＞∠1＞∠3 D．∠3＞∠2＞∠1

6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC=110°，则∠BCD的度数是（　　）

A．35° B．46° C．55° D．70°

7．在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，则∠D=     度．

题组B  能力提升练

1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为_____．

2．如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为_______．

3．如图,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度.

4．如图所示，C，D是半圆O上的两点，AB是圆O的直径，且OD∥BC，OD与AC交于点E．AB=，BC=，求AD的长．

5．如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为_________．

6．如图，半圆O的直径AB＝10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动（点C、点D分别不与点A、点B重合），点E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD．

（1）求证：EO＝OF；

（2）联结OC，如果△ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长；

（3）当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE＝x，四边形CDFE面积为S，周长为l，问：S与l是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论．

题组C  培优拔尖练

1．如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于E，求证：AE=BD+DE．

2．如图所示，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC，求证：AF＝CF．

3．如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和AD的长．

4．在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连结FG．

①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，则线段DG的长为 　 　；

②如图2，点E不与点A，B重合，GF延长线交BC边于点H，连接EH，则＝　 　．

5．问题背景：如图①在四边形中，探究线段、、之间的数量关系．

小杨同学探究此问题的思路是：将绕点逆时针旋转到处点、分别落在点、处（如图②），，易证点，、、在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论

简单应用：

（1）在图①中，直接利用小杨得出的结论，若，，则______．

（2）利用小杨同学探究图②问题提供的思路，解决③图中的问题．如图③，已知是的直径点、在上，求证：．

拓展延伸：

（3）如图④，，，是四边形的外接圆，若，，求的长（用含,的代数式表示）