初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆一课一练

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆一课一练，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二十四章  圆提分小卷（考试时间：50分钟  试卷满分：100分）一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2021·山东聊城市·九年级期末）下列关于圆的说法中，正确的是（　　）A．等圆中，相等的弦所对的弧也相等B．过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦C．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．三角形的内心一定在三角形内部，且到三条边的距离相等【答案】D【分析】根据切线的判定，圆心角、弧、弦定理，三角形的内切圆与内心进行逐一判断即可．【详解】解：A．等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故A错误；B．过圆心且平分弦（不是直径 ）的直线一定垂直于这条弦，故B错误；C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故C错误；D．三角形的内心一定在三角形内部，且到三条边的距离相等，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定，圆心角、弧、弦定理，解决本题的关键是掌握切线的判定定理．2．（2021·江苏张家港初三期末）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是（　　）A．60° B．45° C．35° D．30°【答案】D【解析】直接根据圆周角定理求解．连结OC，如图，∵=，∴∠BDC=∠BOC=∠AOB=×60°=30°．故选D．考点：圆周角定理．3．（2021.绵阳市期中）体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（  ）A．M B．N C．P D．Q【答案】C【分析】根据点和圆的位置关系，知最好成绩在P点.【详解】P点与O点距离最长，且在有效范围内，所以最好成绩在P点.【点睛】考查了点和圆的位置关系．4．（2021·内蒙古农业大学附属小初二期中）设的半径为，圆心到直线的距离，且使得关于的方程没有实数根，则直线与的位置关系为（    ）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】A【分析】欲求圆与AB的位置关系，关键是求出点C到AB的距离d，再与半径r=2进行比较，即可求解．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解析】∵关于x的方程6x2-4x+m-1=0没有实数根，∴△=b2-4ac＜0，
即48-4×6×（m-1）＜0，解这个不等式得m＞3，
又因为⊙O的半径为3，所以直线与圆相离．故选：A．【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式．解题关键在于通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判断．5．（2021·河北怀安·初三期末）如图，正六边形内接于圆，圆半径为2，则六边形的边心距的长为（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】连接OB、OC，证明△OBC是等边三角形，得出即可求解．【解析】解：连接OB、OC，如图所示：则∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=2，∵OM⊥BC，∴△OBM为30°、60°、90°的直角三角形，∴，故选：D．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．6．（2021·广东九年级期中）如果在中的两条弦和的弦心距分别为和，且，那么两弦和的大小关系为（    ）A．      B．      C．      D．无法确定【答案】C【分析】根据弦心距的概念可求得AE和CF的长度,比较两者大小，后结合垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，进而可比较和的大小关系，即可求解.【详解】如图，由勾股定理可得AE=CF=.因为OE>OF，OA＝OC(两者都是圆的半径)  所以AE<CF由垂径定理可知：AB＝2AE，CD＝2CF  所以AB<CD.  故选C.【点睛】此题考查垂径定理与弦心距的结合运用，解题关键在于求AE和CF的长度,比较两者大小.7．（2021·浙江）已知的直径与弦交于点，且，则的度数是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．根据垂径定理求得DH=CH=CD=；然后根据已知条件“AE=6，BE=2”求得⊙O的直径，从而知⊙O的半径；最后利用勾股定理求得OH=1，再边角关系得到∠AED=45°．【详解】解：如图，连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．∴DH=CH=CD，∵CD=，∴DH=，又∵AE=6，BE=2，∴AB=8，∴OA=OD=4，∴OE=2；∴在Rt△ODH中，OH==，∴EH==，∴△OEH是等腰直角三角形，∴∠OEH=45°，即∠AED=45°．故选：C．【点睛】本题综合考查了垂径定理、勾股定理．解答此题时，借助于辅助线OH，将隐含在题干中的已知条件OH垂直平分CD显现了出来，从而构建了两个直角三角形：Rt△ODH和Rt△OEH，然后根据勾股定理、直角三角形的相关知识点来求∠AED的度数．8．（2020·浙江宁波初三学业考试）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题：如图1，以直角三角形的各边为直径分别向上作半圆，则直角三角形的面积可表示成两个月牙形的面积之和，现将三个半圆纸片沿直角三角形的各边向下翻折得到图2，把较小的两张半圆纸片的重叠部分面积记为S1，大半圆纸片未被覆盖部分的面积记为S2，则直角三角形的面积可表示成（　　）A．S1+S2 B．S2﹣S1 C．S2﹣2S1 D．S1•S2【答案】B【分析】设以Rt△ABC的斜边为直径的半圆为大半圆，以AC为直径的半圆为中半圆，以BC为直径的半圆为小半圆，根据圆的面积公式和勾股定理进行解答即可．【解析】解：设以Rt△ABC的斜边为直径的半圆为大半圆，以AC为直径的半圆为中半圆，以BC为直径的半圆为小半圆，∵S小半圆＝π×＝BC2，S中半圆＝AC2，S大半圆＝AB2，∴S大半圆﹣S中半圆﹣S小半圆＝（AB2﹣BC2﹣AC2）＝0，∵S△ABC+S大半圆﹣S中半圆﹣S小半圆+S1＝S2，∴S△ABC+S1＝S2，∴S△ABC＝S2﹣S1，∴直角三角形的面积可表示成S2﹣S1，故选B．【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、圆的面积等知识点，正确的识别图形并灵活运用所求知识是解答本题的关键．9．（2021•萧山区一模）如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E．设∠A＝α，∠C＝β（　　）A．若α+β＝70°，则20° B．若α+β＝70°，则40° C．若α﹣β＝70°，则20° D．若α﹣β＝70°，则40°【分析】连接BE，根据圆周角定理求出∠ABE＝90°，∠AEB＝90﹣α，再根据三角形外角性质得出90°﹣α＝β，得到的度数为180°﹣2（α+β），再逐个判断即可．【解析】连接BE，设的度数为θ，则∠EBD，∵AE为直径，∴∠ABE＝90°，∵∠A＝α，∴∠AEB＝90﹣α，∵∠C＝β，∠AEB＝∠C+∠EBC＝β，∴90°﹣α＝β，解得：θ＝180°﹣2（α+β），即的度数为180°﹣2（α+β），A、当α+β＝70°时，的度数是180°﹣140°＝40°，故本选项错误；B、当α+β＝70°时，的度数是180°﹣140°＝40°，故本选项正确；C、当α﹣β＝70°时，即α＝70°+β，的度数是180°﹣2（70°+β+β）＝40°﹣4β，故本选项错误；D、当α﹣β＝70°时，即α＝70°+β，的度数是40°﹣4β，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．10．（2021·江苏工业园区·初三期中）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】先依据题意画出图形，如图（见解析），过点A作于D，利用勾股定理可求出AD的长，再根据三角形内切圆的性质、三角形的面积公式即可得出答案．【解析】解：如图，，内切圆O的半径为，切点为，则过点A作于D，设，则由勾股定理得：则，即解得，即 又即解得，则内切圆的半径为故选：C．【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质、勾股定理等知识点，读懂题意，正确画出图形，并求出AD的长是解题关键．二、填空题：本题共5个小题，每题4分，共20分。11．（2021·甘肃张掖初三一模）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是_____．【答案】8＜AB≤10．【分析】首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当AB与小圆相切时有一个公共点，此时可知AB最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．【解析】如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，连接OA，OD，可得OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD＝BD．在Rt△ADO中，OD＝3，OA＝5，∴AD＝4．∴AB＝2AD＝8．当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB＝10．∴AB的取值范围是8＜AB≤10．故答案为：8＜AB≤10．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，以及切线的性质，其中解题的关键是抓住两个关键点：1、当弦AB与小圆相切时最短；2、当AB过圆心O时最长．12．（2021·浙江九年级期末）如图1是棒球，图2是其示意图．是直径上一点，点和点关于弦对称，若，则⊙O的半径长为_______．
【答案】【分析】连接OA构成直角三角形，先利用轴对称性质及垂径定理求出，，即可利用勾股定理求出OA．【详解】解：如图，连接OA，∵点和点关于弦对称，∴，．∵是⊙O的直径，，∴，．设⊙O的半径为r，即，则．在Rt△AOF中，由勾股定理得：．即，解得．∴⊙O的半径长为．故答案为：．【点睛】此题考查了垂径定理的运用，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．13．（2021·河北玉田·初三期末）如图，在平面直角坐标系中，，则经过三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为__________；点坐标为，连接，直线与的位置关系是___________．【答案】（2，0）    相切    【分析】由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M，根据图形即可得出点M的坐标；由于C在⊙M上，如果CD与⊙M相切，那么C点必为切点；因此可连接MC，证MC是否与CD垂直即可．可根据C、M、D三点坐标，分别表示出△CMD三边的长，然后用勾股定理来判断∠MCD是否为直角．【解析】解：如图，作线段AB，CD的垂直平分线交点即为M，由图可知经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）．连接MC，MD，
∵MC2=42+22=20，CD2=42+22=20，MD2=62+22=40，∴MD2=MC2+CD2，∴∠MCD=90°，
又∵MC为半径，∴直线CD是⊙M的切线．故答案为：（2，0）；相切．【点睛】本题考查的直线与圆的位置关系，圆的切线的判定等知识，在网格和坐标系中巧妙地与圆的几何证明有机结合，较新颖．14．（2021·陕西碑林西北工业大学附属中学初三一模）如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD的中点，连接CD，则∠ACD的度数是        【答案】15°【分析】如图，连接AO，BO，CO，DO，由等腰三角形的性质可求∠ABC＝∠ACB＝65°，∠BAC＝50°，由圆周角定理可求∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，可求∠AOD＝30°，即可求解．【解析】如图，连接AO，BO，CO，DO，∵AB＝AC，∠ACB＝65°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝50°，∴∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，∵点C是弧BD的中点，∴，∴∠BOC＝∠COD＝100°，∴∠AOD＝30°，∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ACD＝15°．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角、圆心角、弧的关系是解题的关键．15．（2021·四川九年级期末）如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为__________________．【答案】20cm【分析】作OD⊥AB于D，连接OB，根据垂径定理得到AD=BD=30cm，即可得到PD=100cm，利用勾股定理即可求得结果．【详解】解：作OD⊥AB于D，连接OB，∴AD＝BDAB＝30cm，∴OD40（cm），∴PD＝PA+AD＝70+30＝100（cm），∴OP20（cm）；故答案为：20cm．．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，作出辅助线根据直角三角形是解题的关键．三、解答题：本题共5个小题，每题10分，共50分。16.（2021•兴化市初三月考）如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．（1）求证：CD＝CE．（2）求证：．【分析】（1）连接OC，只要证明△COD≌△COE（SAS）即可解决问题；（2）欲证明，只要证明∠MOD＝∠NOE即可；【解答】（1）证明：连接OC．∵，∴∠COD＝∠COE，∵OA＝OB，AD＝BE，∴OD＝OE，∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（SAS），∴CD＝CE．（2）分别连结OM，ON，∵△COD≌△COE，∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE，∵OC＝OM＝ON，∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC，∴∠OMD＝∠ONE，∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON，∴∠MOD＝∠NOE，∴．【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（2021•江夏区期中）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，5为半径作⊙O分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．（1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝8，求OP的长．【分析】（1）∠APO＝∠AOP得到AP＝AO；（2）过O点作OH⊥AB于H，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝4，则可利用勾股定理可计算出OH＝3，然后在Rt△POH中利用勾股定理计算OP．【解答】（1）证明：∵PG平分∠EPF，∴∠DPO＝∠APO，∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠AOP，∴∠APO＝∠AOP，∴AP＝AO；（2）解：过O点作OH⊥AB于H，如图，则AH＝BHAB＝4，在Rt△AOH中，∵OA＝5，AH＝4，∴OH3，∵AP＝AO＝5，∴PH＝PA+AH＝9，在Rt△POH中，OP3．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形的判定和勾股定理．18．（2021·山东九年级二模）如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？【答案】（1）；；；（2）41次【分析】（1）根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可；（2）利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出π=10×π+π，即可得出旋转次数．【详解】解：（1）如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：，                        顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：=1+π，正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：．（2）∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：，根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程， ∴ π=10×π+π，∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转．【点睛】本题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别求出旋转3，4，5次旋转的路径是解决问题的关键． 19．（2021·浙江省温岭市第四中学九年级期中）如图，已知直线l与⊙O相交于点E、F， AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D，交⊙O于G（1）求证：∠BAF=∠DAE；（2）若AB=4，DE=2，∠B=45°，求AG的长 【答案】(1)见解析；(2)【分析】(1)连接BF，得到∠BAF=90°-∠ABF，由圆内角四边形对角互补得到∠AEF=180°-∠ABF，再由∠DAE=∠AEF-90°即可证明；(2)由∠ABE=45°得到△ABE为等腰直角三角形，进而求出AE的长，利用勾股定理求出AD的长；再连接GE，由圆内接四边形对角互补得到∠AGE=135°，进而得到∠DGE=45°，△GDE为等腰直角三角形，最后AG=AD-GD即可求解．【详解】解：(1) 如图，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°-∠ABF，∵在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠ABF=180°，∴∠AEF=180°-∠ABF，又∠AEF是△DAE的一个外角，∴∠DAE=∠AEF-∠90°=180°-∠ABF-90°=90°-∠ABF，∴∠BAF=∠DAE；(2)∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∠ABE=45°时，△AEB为等腰直角三角形，∴AE=BE=，在Rt△ADE中，AD=，连接GE，如下图所示，由圆内接四边形对角互补可知，∠AGE=180°-∠B=135°，∴∠DGE=180°-135°=45°，又AD⊥DE，∴△GDE为等腰直角三角形，∴GD=DE=2，∴AG=AD-GD=，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内角四边形对角互补，勾股定理求线段长等知识点，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本类题的关键．20．（2021·嘉峪关市第六中学初三期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．（1）求证：AB是⊙O的直径；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE与⊙O相切；（3）【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一性质得到AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦为直径即可证得AB是⊙O的直径；（2）DE与圆O相切，理由为：连接OD，利用中位线定理得到OD∥AC，利用两直线平行内错角相等得到∠ODE为直角，再由OD为半径，即可得证；（3）由AB=AC，且∠BAC=60°，得到DABC为等边三角形，连接BF，DE为DCBF中位线，求出BF的长，即可确定出DE的长．【解析】解：（1）证明：连接AD，∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴AB为⊙O的直径；（2）DE与⊙O相切，理由为：连接OD，∵O、D分别为AB、BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切；（3）解：连接BF，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC=6，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB=∠DEC=90°，∴AF=CF=3，DE∥BF，∵D为BC中点，∴E为CF中点，DE=BF，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=6，AF=3，∴BF=，则DE=BF=．【点睛】本题考查圆；等腰三角形；平行线的性质．