初中数学人教版九年级上册第二十五章 概率初步25.1 随机事件与概率25.1.2 概率当堂检测题

第32课  概率的计算

 知识点01  古典概型

满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.

（1）一次试验中，可能出现的结果是有限的；

（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.

古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.

要点诠释：

如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=.

知识点02  用列举法求概率

常用的列举法有两种：列表法和树形图法.

1. 列表法：

　　当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

要点诠释：

（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.

2. 树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

要点诠释：

(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

知识点03  利用频率估计概率

当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.

要点诠释：

用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.

考法01   用列举法求概率

【典例1】一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是(　 )

　　A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.

【答案】C.

【解析】从袋中随机摸出一个球的所有可能情况有８种，其中是黄球的情况有３种，故摸到黄球的概率是.

【总结升华】这是一道典型的古典概型题.

　【即学即练1】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_____.

【答案】P（停在阴影部分）=.

【典例2】在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．

甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．

（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；

（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）

【思路点拨】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可．

【答案与解析】

解：（1）甲同学的方案不公平．理由如下：

列表法，

所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：8种，故小明获胜的概率为：=，则小刚获胜的概率为：，

故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平；

（2）不公平．理由如下：

【即学即练2】不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为.

（1）试求袋中蓝球的个数.

（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到的都是白球的概率.

【答案】（1）1个；

       （2）P（两次摸到白球）=.

考法02   利用频率估计概率

【典例3】某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：　　(1)计算并完成表格：

(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？
　　(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？
　　(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到 1°)
　

【答案与解析】(1)  0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；

　       (2)　0.69；           

(3)  由（1）的频率值可以得出P（获得铅笔）=0.69；

　       (4)  0.69×360°≈248°.

【总结升华】(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．

【即学即练3】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条．
【答案】条 .     

【典例4】在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）

　 A．16个 B． 20个 C． 25个 D． 30个

【思路点拨】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

【答案】A.

【解析】设红球有x个，根据题意得，

4：（4+x）=1：5，

解得x=16．

故选A．

【总结升华】用频率估计概率，强调“同样条件，大量试验”.

题组A  基础过关练

1．用1、2、3、4、5这5个数字（数字可重复，如“522”）组成3位数，这个3位数是奇数的概率为（   ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

列举出所有情况，看3位数是奇数的情况数占所有情况数的多少即可．

【详解】

个位数是奇数的3位数是奇数，

本题中个位数共有5种情况，有3个为奇数，

所以概率为，

故选A.

2．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法正确的是（  ）

A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上           

B．连续抛一枚均匀硬币10次都正面朝上         

C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现下面朝上50次 

D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的

【答案】D

【解析】概率的概念只是反映事件发生机会的大小；概率小的有可能发生，概率大的有可能不发生．选D

3．在一个不透明的袋子中装有四个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，任意从袋子中摸出一个球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：画树状图如解图：

由树状图可知一共有12种等可能的情况，有2种情况两次都摸到红球，则两次都摸到红球的概率是．

4．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（  ）

A．频率就是概率               

B．频率与试验次数无关

C．概率是随机的，与频率无关        

D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

【答案】D．

【解析】

试题解析：∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，

∴D选项说法正确．

故选D．

考点：利用频率估计概率．

5．要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是（   ）．

A．口袋中装入10个小球，其中只有两个红球； B．装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球；

C．装入红球5个，白球13个，黑球2个； D．装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个．

【答案】C

【详解】

A、摸到红球的概率为＝；

B、摸到红球的概率为＝；

C、摸到红球的概率为＝；

D、摸到红球的概率为＝．

故选C．

6．现有A，B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，用小莉掷A立方体朝上的数字为x，小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线上的概率为(    )

A．        B．        C．       D．

【答案】B.

【解析】

试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，

用小莉掷A立方体朝上的数字为、小明掷B立方体朝上的数字为来确定点P（），他们各掷一次共有36种等可能结果，点P落在已知抛物线上的情况有3种：（1，3），（2，4），（3，3）.所以概率为.

故选B.

考点：1.概率;2.曲线上点的坐标与方程的关系.

题组B  能力提升练

1．甲、乙两人玩游戏，把一个均匀的小正方体的每个面上分别标上数字1，2，3，4，5，6，任意掷出小正方体后，若朝上的数字比3大，则甲胜；若朝上的数字比3小，则乙胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？________．

【答案】不公平

【解析】

【分析】

分别求出甲、乙获胜的概率比较即可得出答案.

【详解】

∵掷得朝上的数字比3大可能性有：4，5，6，

∴掷得朝上的数字比3大的概率为：，

∵朝上的数字比3小的可能性有：1，2，

∴掷得朝上的数字比3小的概率为：=，

∴这个游戏对甲、乙双方不公平．

【点睛】

此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

2．你喜欢玩游戏吗?现请你玩一个转盘游戏．如图所示的两上转盘中指针落在每一个数字上的机会均等，现同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字，用所指的两个数字作乘积．所有可能得到的不同的积分别为_______________________；数字之积为奇数的概率为______．

【答案】1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，15，16，18，20，24 ；.

【分析】

列举出所有情况，看数字之积为奇数的情况数占总情况数的多少即可．

【详解】

列表如下：

由图中可知，共有24种情况，所有可能得到的不同的积分别为1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，15，16，18，20，24 ；积为奇数的情况数有6种，

所以概率为

故答案为1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，15，16，18，20，24 ；.

3．有大小、形状、颜色完全相同的4个乒乓球，每个球上分别标有数字1，2，3，4，将这4个球放入不透明的袋中搅匀，从中随机连续抽取两个（不放回），则这两个球上的数字之和为偶数的概率是________．

【答案】

【分析】

根据题意先画出树状图，得出所有等可能的情况数和两个球上的数字之和为偶数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

【详解】

解：根据题意画树状图如下：

∵一共有12种等可能的情况数，这两个球上的数字之和为偶数的4种情况，
∴这两个球上的数字之和为偶数的概率是．
故答案为．

【点睛】

本题考查的知识点是树状图法求概率，解题关键是要注意此题是放回实验还是不放回实验．

4．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为，则n=_____．

【答案】4

【分析】

根据白球的概率公式列出关于n的方程，解方程即可得.

【详解】

由题意得，

解得n=4，

经检验 n=4是方程的根，

故答案为4.

【点睛】

本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

5．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中红球的个数，采用了如下的方法：先把口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为_____．

【答案】40个

【分析】

由条件共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球；由此可估计口袋中白球和红球个数之比，进而可计算出红球数．

【详解】

解：∵小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球，

∴白球与红球的数量之比为1：4，

∵白球有10个，

∴红球有4×10＝40（个）．

故答案为：40个．

【点睛】

本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解答此题的关键是要计算出口袋中白球和红球个数之比．

6．从－2、－1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程 的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是           ．

【答案】

题组C  培优拔尖练

1．现有三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型.若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所献血的血型均为O型的概率(要求：用列表或画树状图的方法解答)．

【答案】.

【解析】

试题分析：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，注意本题是放回实验，找到两次所抽血的血型均为O型的情况数是关键．列举出所有情况，看两次所抽血的血型均为O型的情况占总情况的多少即可求解．

试题解析：

解：列表如下：

所以，两次所献血型均为O型的概率为.

考点：列表法与树状图法．

2．某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘，商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：

（1）上述表格中a＝　   　，b＝　   　．

（2）假如你去转动该转盘依次，你获得“可乐”的概率约是　   　（结果保留到小数点后一位）．

（3）请计算转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？

【答案】（1）240、0.602；（2）0.6；（3）“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是144°

【分析】

（1）根据频率的大小就可以算出a和b(2)转动一次，算出估计当n很大时，频率将会接近的值（3）要计算圆心角，计算出落在“可乐”区域的的概率最大值，然后可以得到圆心角的度数.

【详解】

（1）a＝400×0.6＝240、b＝＝0.602，

故答案为240、0.602；

（2）估计当n很大时，频率将会接近0.6，假如转动该转盘一次你获得“可乐”的概率约是0.6，

故答案为0.6；

（3）（1﹣0.6）×360°＝144°，

所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是144°．

【点睛】

此题重点考察学生对概率的综合应用能力，抓住题目中的有用数据是解题的关键.

3．在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3、，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．

（1）求点M在直线y=x上的概率；

（2）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）首先依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，注意要不重不漏；再次注意点M在直线y=x上，即点M的横、纵坐标相等，求得符合要求的点的个数，利用概率公式求解即可求得答案；
（2）依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式即可求出该事件的概率．

【详解】

解：（1）列表得：

∵点M坐标的所有可能的结果有九个：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3），

∴P（点M在直线y=x上）=P（点M的横、纵坐标相等）==；

（2）列表得：

∴P（点M的横坐标与纵坐标之和是偶数）=

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．