数学九年级下册第三章 圆1 圆课时练习

《圆》全章复习与巩固—巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题
1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，    

那么∠ADO等于(    )．

    A．70°      B．64°      C．62°       D．51°

2.已知⊙O半径为3，M为直线AB上一点，若MO=3，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）

A．相切      B．相交      C．相切或相离       D．相切或相交

3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于(     ).
　A.(4π+8)cm2 　  　B.(4π+16)cm2        C.(3π+8)cm2 　     D.(3π+16)cm2

4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=110°，则∠ADE的度数为（　　）

A．55°      B．70°      C．90°       D．110°

5. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为(    )
　A．12.5寸 　　　 B．13寸　　　  C．25寸 　　 　D．26寸

6．在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有(    )
  A.1条 　　 　B.2条 　 　　C.3条 　　　D.4条

7．（2020•贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

8．如图所示，AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是(    )．

    A．65°       B．115°      C．65°或115°    D．130°或50°

二、填空题

9.如图，在⊙O中，半径OA垂直弦于点D．若∠ACB=33°，则∠OBC的大小为　　度．

10．如图所示，EB、EC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是________________.

11.在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值=　　．

12．（2020•巴彦淖尔）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是　         　．

13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______   ________.

14.已知正方形ABCD外接圆的直径为，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为____    ____，面积为_____    ___．

15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……

    (1)图(1)中3条弧的弧长的和为___   _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____     ___；

    (2)求图(m)中n条弧的弧长的和为____      ____(用n表示)．

16.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是　　．

三、解答题

17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．

（1）证明：AF平分∠BAC；

（2）证明：BF＝FD.

18.（2020•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．

（1）求证：∠A=∠AEB；

（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．

19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.

求两圆相交弧间阴影部分的面积.

20. 问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：

①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，

则BM＝CN；

    ②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．

    然后运用类似的思想提出了如下命题：

③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．

    任务要求：

    (1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；

    (2)请你继续完成下面的探索；

    ①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；

    ②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

【答案与解析】

一、选择题

1．【答案】B；

  【解析】由AB为⊙O的切线，则AB⊥OD．又BD＝OB，则AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．

由AB、AC为⊙O的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°．

∠ADO＝90°-26°＝64°．

本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．

2.【答案】D；

3．【答案】A.；

  【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.
　　　　　∵ 矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，
　　　　　∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，
　　　　　，，
　　　　　又AF=AD=4cm，
　　　　　∴ ，
　　　　　∴ .

4.【答案】D；

  【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，

∴∠ADE=∠B．∵∠B=110°，∴∠ADE=110°．

5．【答案】D；

【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.
　　　　　根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，
　　　　　知(寸)，在Rt△AOE中，，
　　　　　即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).
6．【答案】C.

  【解析】本题借助图形来解答比较直观.要判断两圆公切线的条数，则必须先确定两圆的位置关系，
　　　　　因此必须求出两圆的圆心距，根据题中条件，在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，所以AB=5，
　　　　　而两圆半径为和，且，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，
　　　　　所以两圆相外切，共有3条公切线.

7．【答案】B.

  【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，

∵OP=4，ON=2，

∴N是OP的中点，

∵M为PQ的中点，

∴MN为△POQ的中位线，

∴MN=OQ=×2=1，

∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，

当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，

∴线段OM的最小值为1．故选B．

8．【答案】C；

【解析】连接OC、OB，则∠BOC＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P在优弧上时，

∠BPC＝∠BOC＝65°；点P在劣弧上时，∠BPC＝180°-65°＝115°．

主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．

二、填空题

9.【答案】24.

10．【答案】99°；

   【解析】由EB=EC，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°，
　　　　　在⊙O中，∠BCD与∠A互补，所以∠A=180°-81°=99°.

11.【答案】.

【解析】以CQ为直径作⊙O，当⊙O与AB边相切动点P时，CQ最短，∴OP⊥AB，

∵∠B=90°，∠A=30°，∴∠POA=60°，∵OP=OQ，∴△POQ为等边三角形，∴∠POQ=60°，

∴∠APQ=30°，∴设PQ=OQ=AP=OC=r，3r=AC===4，∴CQ=，∴CQ的最小值为．

12.【答案】①②④；

【解析】连接AD，AB是直径，

则AD⊥BC，

又∵△ABC是等腰三角形，

故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确；

∵AD是∠BAC的平分线，

由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；

∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；

∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确；

∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误．

综上所述，正确的结论是：①②④．

13.【答案】7或3；

【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，

圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，

即另一圆半径为7或3.

14.【答案】；    ；

【解析】正方形ABCD外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a．如图所示，设正八边形的边长为x．在Rt△AEL中，LE＝x，AE＝AL＝，∴  ，，

即正八边形的边长为．

．

15.【答案】(1)π；  2π；  (2)(n-2)π；

【解析】∵  n边形内角和为(n-2)180°，前n条弧的弧长的和为个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴  n条弧的弧长的和为．

本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为，，…，，

则，

∴  n条弧长的和为

．

16.【答案】4.

  【解析】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，

∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=2，

∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，

此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．

三、解答题

17.【答案与解析】

（1）连结OF

∵FH是⊙O的切线

∴OF⊥FH 

∵FH∥BC ，

∴OF垂直平分BC

∴

∴AF平分∠BAC .

（2）由（1）及题设条件可知

∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 

∴∠1+∠4=∠2+∠3

∴∠1+∠4=∠5+∠3 

∠FDB=∠FBD

∴BF=FD. 

18．【答案与解析】

证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A+∠BCD=180°，

∵∠DCE+∠BCD=180°，

∴∠A=∠DCE，

∵DC=DE，

∴∠DCE=∠AEB，

∴∠A=∠AEB；

（2）∵∠A=∠AEB，

∴△ABE是等腰三角形，

∵EO⊥CD，

∴CF=DF，

∴EO是CD的垂直平分线，

∴ED=EC，

∵DC=DE，

∴DC=DE=EC，

∴△DCE是等边三角形，

∴∠AEB=60°，

∴△ABE是等边三角形．

19.【答案与解析】

解：∵公共弦AB＝120

    .

20. 【答案与解析】

    (1)如选命题①．

    证明：在图(1)中，

    ∵  ∠BON＝60°，∴  ∠1+∠2＝60°．

    ∵  ∠3+∠2＝60°，∴  ∠1＝∠3．

    又∵  BC＝CA，∠BCM＝∠CAN＝60°，

    ∴  △BCM≌△CAN，∴  BM＝CM．

    如选命题②．

    证明：在图(2)中，

    ∵  ∠BON＝90°，∴  ∠1+∠2＝90°．

    ∵  ∠3+∠2＝90°，∴  ∠1＝∠3．

    又∵  BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°，

    ∴  △BCM≌△CDN，∴  BM＝CN．

    如选命题③．

    证明：在图(3)中，

    ∵  ∠BON＝108°，∴  ∠1+∠2＝108°．

    ∵  ∠2+∠3＝108°，∴  ∠1＝∠3．

    又∵  BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°，

    ∴  △BCM≌△CDN，∴  BM＝CN．

    (2)①答：当∠BON＝时结论BM＝CN成立．

    ②答：当∠BON＝108°时．BM＝CN还成立．

    证明：如图(4)，连接BD、CE

    在△BCD和△CDE中，

   ∵  BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，

    ∴  △BCD≌△CDE．

    ∴  BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．

    ∵  ∠CDE＝∠DEN＝108°，

    ∴  ∠BDM＝∠CEM．

    ∵  ∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°．

    ∴  ∠MBC＝∠NCD．

    又∵  ∠DBC＝∠ECD＝36°，

    ∴  ∠DBM＝∠ECM．

    ∴  △BDM≌△CEN，

    ∴  BM＝CN．