初中北师大版1 圆课时训练

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）

【学习目标】

1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；
3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；
 

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
　　(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
　　(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
要点诠释：
　  ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
  　②圆是一条封闭曲线.

2．圆的性质
　　(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
　　 　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
　　(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
　　(3)垂径定理及推论：
　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
　　 　⑤平行弦夹的弧相等.
要点诠释：
     在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）

3．与圆有关的角
　　(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
　　 　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
　　(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
　　 　圆周角的性质：
　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
　　 　③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
要点诠释：
　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
 

要点二、与圆有关的位置关系

1．判定一个点P是否在⊙O上
　　设⊙O的半径为，OP=，则有
　　点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.
要点诠释：

点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.

2．判定几个点在同一个圆上的方法
　　当时，在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
　　设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.
　　(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.
　　(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.
　　(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.
4．切线的判定、性质
　　(1)切线的判定：
　　 　①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
　　 　②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
　　(2)切线的性质：
　　 　①圆的切线垂直于过切点的半径.
　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
　　 　③经过切点作切线的垂线经过圆心.
　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心

(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
　　(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
要点诠释：
　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
　　(3) 三角形的外心与内心的区别：

2．圆内接四边形和外切四边形
　　(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
　　(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
 

要点四、圆中有关计算
1．圆中有关计算
　　圆的面积公式：，周长.
　　圆心角为、半径为R的弧长.
　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
　　

要点诠释：
　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，

即；
　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

【典型例题】

类型一、圆的有关概念及性质

1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为           ．

【答案】；

【解析】由已知得BC∥x轴，则BC中垂线为
那么，△ABC外接圆圆心在直线x=1上，
设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r得到：PA2=PB2
即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2
化简得 4+a2-6a+9=9+a2+4a+4
解得 a=0
即△ABC外接圆圆心为P(1,0)
则

【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标知：圆心P（设△ABC的外心为P）必在直线x=1上；由图知：BC的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P（1，0）；连接PA、PB，由勾股定理即可求得⊙P的半径长．

类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理

2．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，

求CD的长．

【思路点拨】

    作OF⊥CD于F，构造Rt△OEF，求半径和OF的长；连接OD，构造Rt△OFD，求CD的长．

【答案与解析】

作OF⊥CD于F，连接OD．∵  AE＝1，EB＝5，∴  AB＝6．

     ∵  ，∴  OE＝OA-AE＝3-1＝2．

在Rt△OEF中，∵  ∠DEB＝60°，∴  ∠EOF＝30°，

∴  ，∴  ．

在Rt△DFO中，OF＝，OD＝OA＝3，

∴  (cm)．

     ∵  OF⊥CD，∴  DF＝CF，∴  CD＝2DF＝cm．

【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．

举一反三：

【变式】如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝          ．

【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M、N分别为AB、AC的中点（垂径定理），则MN是△ABC的中位线，BC=2MN=6.

3．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD =      ．

【答案】65°.

【解析】连结OD，则∠DOB = 40°，

设圆交y轴负半轴于E，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°.

【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求.

举一反三：

【变式】（2020•黑龙江）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（　　）

A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°

【答案】C.

【解析】作OD⊥AB，如图，

∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，

∴OD=1，

∴∠OAB=30°，

∴∠AOB=120°，

∴∠AEB=∠AOB=60°，

∵∠E+∠F=180°，

∴∠F=120°，

即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．

类型三、与圆有关的位置关系

4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.

【答案与解析】

直线CE与⊙O相切

理由：连接OE

∵OE=OA

∴∠OEA=∠OAE

∵四边形ABCD是矩形

∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB

∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC

又∠DCE=∠ACB

∴∠DEC+∠DAC=90°

∵OE=OA

∴∠OEA=∠DAC

∴∠DEC+∠OEA=90°

∴∠OEC=90°

∴OE⊥EC

∴直线CE与⊙O相切.

【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．

举一反三：

【变式】如图，P为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P的坐标为(x、y).
　　(1)求与直线相切时点P的坐标.
　　(2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围.
          

【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.
　　　　　 当点在直线右侧时，，得，
　　　　　 (5，7.5).
　　　　　 当点在直线左侧时，，得，
　　　　　 (，).
　　　　　当与直线相切时，

 点的坐标为(5，7.5)或(，).
　　　　        (2)当时，与直线相交.
　　　　　  当或时，与直线相离.

类型四、圆中有关的计算

5．（2020•丽水）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．

（1）求证：DF⊥AC；

（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

【答案与解析】

（1）证明：连接OD，

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DF是⊙O的切线，

∴DF⊥OD，

∴DF⊥AC．

（2）解：连接OE，

∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，

∴∠ABC=∠ACB=67.5°，

∴∠BAC=45°，

∵OA=OE，

∴∠AOE=90°，

∵⊙O的半径为4，

∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，

∴S阴影=4π﹣8．

【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．

类型五、圆与其他知识的综合运用

6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．

【思路点拨】

    求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求的长．

【答案与解析】

连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交于点F，如图(2)．

     由垂径定理，可知E是AB中点，F是的中点，

     ∴  ，EF＝2．

     设半径为R米，则OE＝(R-2)m．

     在Rt△AOE中，由勾股定理，得．

     解得R＝4．

     ∴  OE＝2，，∴  ∠AOE＝60°，∴  ∠AOB＝120°．

     ∴  的长为(m)．

     ∴  帆布的面积为(m2)．

【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，

这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．

举一反三：

【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
　　　
　　①请你补全这个输水管道的圆形截面图；
　　②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.

【答案】①作法略.如图所示.

　　  　②如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，
　　　　　 ∵ OC⊥AB，
　　　　   ∴ .
　　　　　 由题意可知，CD=4cm.
　　　　　 设半径为x cm，则.
　　　　　 在Rt△BOD中，由勾股定理得：
　　　　　 ∴.
　　　　　 ∴ .
　　　　　 即这个圆形截面的半径为10cm.