北师大版九年级下册第二章 二次函数5 二次函数与一元二次方程巩固练习

用函数观点看一元二次方程—巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题
1. 若二次函数的最大值为2，则a的值是（   ）

A.4        B.-1        C.3          D.4或-1

2．已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（   ）

A．k＜0    B．k≤4    C．k＜4且k≠3    D．k≤4且k≠3

3．方程的实数根的个数是（   ）

A. 1        B. 2        C. 3         D. 4

4．如图所示的二次函数(a≠0)的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)；(2)；(3)；(4)．你认为其中错误的有(   )

    A．2个     B．3个     C．4个     D．1个

5．方程的正根的个数为(   )

A．3个     B．2个      C．1个     D．0个

6．（2020•济宁）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　）

　 A．m＜a＜b＜n B． a＜m＜n＜b C． a＜m＜b＜n D． m＜a＜n＜b

二、填空题

7． 已知二次函数的图象的顶点在x轴上，则m的值为           ．

8．如图所示，函数y＝(k-8)x2-6x+k的图象与x轴只有一个公共点，则该公共点的坐标为           ．

            第8题                    第9题

9．已知二次函数(a≠0)的顶点坐标为(-1，-3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关于x的一元二次方程的两个根分别为和________．

10．已知二次函数的图象关于y轴对称，则此图象的顶点A和图象与x轴的两个交点B、C构成的△ABC的面积是________．

11．抛物线（a ≠ 0）满足条件：（1）；（2）；（3）与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①；②；③；④，

其中所有正确结论的序号是           ．

12．（2020•大庆校级三模）如图是二次函数和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是　          　．

三、解答题

13．已知抛物线与x轴有两个不同的交点．

    (1)求k的取值范围；

    (2)设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，如果△ABC是等腰直角三角形，求抛物线的解析式．

14．如图所示，已知直线与抛物线交于A、B两点．

(1)求A、B两点的坐标；

(2)如图所示，取一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B两点构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

15．（2020•南京）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

【答案与解析】

一、选择题
1.【答案】B；

【解析】∵  的最大值为2，

∴  且，解得（舍去）．故选B．

2.【答案】B；

【解析】当时是一次函数，即k=3函数图象与x轴有一个交点；

当k-3≠0时此函数为二次函数，当△＝≥0，即k≤4且k≠3时，函数图象与x轴有交点．

综上所述，当k≤4时，函数图象与x轴有交点，故选B．

3.【答案】A；

【解析】将判断这个方程的根的情况转化为判断函数与的图   

象（如图）的公共点的情况.

4.【答案】D；

【解析】由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，

∴  ，故(1)正确；又抛物线与y轴的交点在(0，1)下方，

∴  c＜1，故(2)不正确；抛物线的对称轴在-1与0之间，即，

又，∴  ，即，故(3)正确；         

当，函数值小于0，∴  a+b+c＜0，故(4)正确．

5.【答案】B；

【解析】不妨把方程化为抛物线与双曲线，分别画出函数图象草图如图所示．

        根据题意知，两函数图象交点的横坐标即是方程的解，方程有正根，即交点横坐标为正数．因在x＞0的范围内，两函数的图象有两个交点，即方程正根有两个，故应选B．

6.【答案】A；

【解析】依题意，画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示．

函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．

方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0

转化为（x﹣a）（x﹣b）=1，

方程的两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点．

由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．

由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x     增大而增大，则有b＜n．

综上所述，可知m＜a＜b＜n．故选：A．

二、填空题

7．【答案】；

【解析】即抛物线与x轴有唯一公共点，由△＝0可求.

8．【答案】；

【解析】∵  函数的图象与x轴只有一个公共点，

        ∴  方程有两个相等的实数根．

        ∴  △＝．解得k＝9或k＝-1．

        又∵  图象开口向下，∴ k-8＜0，即k＜8．

        ∴  k＝-1．即(-1-8)x2-6x-1＝0． 解得．

      所以函数的图象与x轴的交点坐标为．

9．【答案】-3.3；

  【解析】观察图象可知，抛物线的对称轴是，到对称轴的距离为，又因为到对称轴的距离为2.3，所以．

10．【答案】1；

【解析】依题意有2(m-1)＝0，即m＝1，所以二次函数为，令y＝0，得x＝±1．

所以B(-1，0)，C(1，0)，BC＝2，A(0，1)，．

11．【答案】②④；

【解析】由条件（1）得到抛物线的对称轴为直线；

由条件（2）得到时的函数值为正；

由条件（3）“与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2

得到抛物线与x轴的两个交点位于点与 之间，

从而得到抛物线的示意图如右．

由此可知，，，，

所以①、③错误，②正确．

对于④，由“时的函数值为负”及可知；

由“时的函数值为正”及可知，所以④正确．

12．【答案】﹣1≤x≤2；

三、解答题

13.【答案与解析】

    解： (1)由题意，得，

              ∴  ，即k的取值范围是．

          (2)设，，则，．

              ∴  ．

              ∵  ，又△ABD是等腰直角三角形，

∴  ，即．

解得，．

又∵  ，∴  舍去．

∴  抛物线的解析式是．

14.【答案与解析】

解：（1）依题意得  解之    所以，．

           （2）存在．因为AB所在直线的方程，若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线上．设该直线分别与x轴、y轴交于G、H两点，

如图，联立 得，因为抛物线与直线只有一个交点，

所以，，所以

解得  所以．

15.【答案与解析】
证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，

∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，

即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，

把函数y=（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），

因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，

所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．