山西大同市2021-2022中考数学一模试题分层-05图形的变化（基础题）

山西大同市2021-2022中考数学一模试题分层-05图形的变化（基础题）

一、单选题

1．（2022·山西大同·统考一模）如图，在中，，，，，点在上运动，连接，把沿折叠得到，交于点，，则图中阴影部分的面积是（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·山西大同·校考一模）下列图形是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·山西大同·校考一模）一个物体如图所示，它的俯视图是（    ）

A． B． C． D．

4．（2022·山西大同·校考一模）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x（0.2≤x≤0.8），EC＝y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（　　）

A． B．

C． D．

5．（2021·山西大同·统考一模）山西历史悠久，尧、舜、禹都曾在山西建都，春秋时期，山西几乎全部为晋国的领地，之后“晋”被作为山西的简称，下列有关“晋”的标志设计中，不是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

6．（2021·山西大同·统考一模）如图1所示的华万“HR45T－A”发动机是中国第一款使用正向工程研制的转子发动机，它的轻型动力系统世界领先，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”（三个侧面都是曲面），如图2，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

7．（2022·山西大同·统考一模）如图，正方形的边长为3，连接对角线，以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，与交于点，分别以点和为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点．过点作的垂线交的延长线于点，则的长为__________．

8．（2022·山西大同·统考一模）如图，在中，，，，在的内部作交边于点，，则的面积是__________．

9．（2021·山西大同·统考一模）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是BC上一点，连接AE，DE，过A作AF⊥ED于F，若∠ACB＝2∠BAE，则AF的长为______．

三、解答题

10．（2022·山西大同·统考一模）如图1是太原市新换的一批新能源公交车，图2，图3分别是该公交车双开门关闭、打开时的俯视示意图．、、是门轴的滑动轨道，，两门，的门轴，，，都在涓动轨道上，两门关闭时（图2），，分别在，处，门缝忽略不计（即，重合），两门同时开启，点，分别沿，的方向同时匀速滑动（如图3），当到达时，恰好到达，此时两门完全开启，在门开启的过程中，时，求的度数．

11．（2022·山西大同·统考一模）如图，是半圆的直径，圆心是，点在半圆上，连接，作弦，连接．过点作半圆的切线分别交，的延长线于点、．

(1)求证：；

(2)若，．求弦的长．

12．（2022·山西大同·校考一模）（1）计算：

（2）先化简；再求值，然后从，0，1中选择适当的数代入求值．

13．（2022·山西大同·校考一模）如图，为的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点，已知

(1)求的度数；

(2)若弦，垂足为，且，求图中阴影部分的面积．

14．（2022·山西大同·校考一模）如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）

15．（2021·山西大同·统考一模）（1）

（2）先化简，再求值：，其中．

16．（2021·山西大同·统考一模）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》，所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远，因首题测算海岛的高、远得名《海岛算经》，亦为地图学提供了数学基础．

《海岛算经》中的第4道“望谷”的题目为：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．从勺端望谷底，入下股九尺一寸．又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勺端望谷底，入上股八尺五寸．问谷深几何？

大致意思是：望一个如图所示的深谷，深谷的底部为线段MN，在山谷边缘处放置一个直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一条直线上，CN⊥MN，从点A处望山谷底部M处时，视线经过BC上的点E处，测得EC长为9尺1寸；将三角尺沿着射线CA方向向上平移3丈得到，从处望山谷底部M处时，视线经过上的点F处，测得长为8尺5寸．求山谷深CN为几丈．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸）

参考答案：

1．D

【分析】过点A作，交BC于点F；延长，交BC于点G，设，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质，通过列一元二次方程并求解，从而推导得AC和；设，根据轴对称、全等三角形和相似三角形的性质，分别计算得CD、AE，从而完成求解．

【详解】解：如图，过点A作，交BC于点F；延长，交BC于点G

设，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴或，

当时，，

，

∵，

∴不符合题意，故舍去；

当时，，

∴，

∵，

∴符合题意；

∴，

设，

∵把沿折叠得到，交于点，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，即，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

∴图中阴影部分的面积，

故选：D．

【点睛】本题考查了轴对称、全等三角形、相似三角形、勾股定理、等腰直角三角形、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、相似三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解．

2．B

【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即得答案．

【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，属于应知应会题型，熟知概念是关键．

3．D

【分析】从图形的上方观察即可求解.

【详解】俯视图从图形上方观察即可得到，

故选D．

【点睛】本题考查几何体的三视图；熟练掌握组合体图形的观察方法是解题的关键．

4．C

【分析】通过相似三角形△EFB∽△EDC的对应边成比例列出比例式，从而得到y与x之间函数关系式，从而推知该函数图象．

【详解】根据题意知，BF=1﹣x，BE=y﹣1，

∵AD∥BC，

∴△EFB∽△EDC，

∴，即，

∴y=（0.2≤x≤0.8），该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分．

A、D的图象都是直线的一部分，B的图象是抛物线的一部分，C的图象是双曲线的一部分．

故选C．

5．C

【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．

【详解】解：A、是轴对称图形，本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，本选项符合题意；

D、是轴对称图形，本选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

6．A

【分析】转子形状是“曲侧面三棱柱”，它的三个侧面都是曲面，根据三视图看到方向，可以确定三个视图的形状，判断答案．

【详解】解：∵转子形状是“曲侧面三棱柱”，

∴它的三个侧面都是曲面，

∴俯视图的三条线都是曲线，

故选：A．

【点睛】本题考查了几何体的三视图，属于基础题．

7．

【分析】根据作图可知，BF为∠DBC的平分线，再结合，得出，从而得出，得到DB=DE，从而得出AE的长，利用勾股定理算出BE的长，最后根据得出EF的长即可．

【详解】根据作图可知，BE为∠DBC的平分线，

∴，

∵四边形ABCD为正方形，

，，，

，

∵，

∴，

∴，

∴DE=DB=，

∴，

∴，

∵，

∴，

，，

∴，

，

即．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定，根据题意得出是解题的关键．

8．54

【分析】过点D作DE⊥AB于E，可求△DEA是等腰直角三角形，DE=AE=AD∙sin∠BAD=，设BE=x，由△BED∽△BCA可得，求得x的值，因△BED∽△BCA，BC>AC得，BE=，勾股定理得到BD的值，进一步求得面积即可．

【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，如图，

∵∠ACB=90°，AC=6，CD=3

在Rt△ACD中，

又∵∠BAD=45°，DE⊥AB

∴△DEA是等腰直角三角形

∴DE=AE=AD∙sin∠BAD=

设BE=x

∴AB=BE+EA=x+

在Rt△BDE中，

又∵∠DBE=∠ABC，∠BED=∠BCA=90°

∴△BED∽△BCA

∴

即

∴

解得，，

∵△BED∽△BCA

又∵BC>AC

∴

∴BE>ED=

∴BE=

则

∴BC=BD+DC=18>AC=6

∴，符合题意

若，不符合题意舍去

故答案为：54．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、一元二次方程，解题的关键是通过相似三角形的性质求出BE的值．

9．

【分析】延长CB，使BG=BE，连接AG，证明△GAE△GCA，设BG=BE=x，则GC=BC+GB=4+x，GE=2BE=2x，利用勾股定理以及等面积法即可求解．

【详解】解：延长CB，使BG=BE，连接AG，

在△AEG中，AB⊥GE，且BG=BE，

∴AB平分∠GAE，AG=AE，

∵∠GAE=2∠BAE=∠ACB，

又∠G=∠G，

∴△GAE△GCA，

∴，

设BG=BE=x，则GC=BC+GB=4+x，GE=2BE=2x，

∴，

Rt△ABG中，，

∴，

∴，

∵，则，

∴BG=BE=1，则GC=BC+GB=5，GE=2BE=2，EC=AC-BE=3，

Rt△DEC中，，则DE=3，

∵，

∴AF=．

 故答案为：．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

10．

【分析】由题设条件可得Rt△AEB≌Rt△DFC，进而可得线段之间的倍数关系，在三角形中，根据锐角三角函数值，可求得角的度数．

【详解】解：∵点，分别沿，的方向匀速滑动，当到达时，恰好到达，

∴．

∵，

在和中，

，

∴．

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴在中，．

∴．

∴的度数是．

【点睛】本题是数学知识在实际生活中的应用，准确理解题意，选择用到的数学知识进行解答是解题的关键．

11．(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AF，再根据切线的性质得OC⊥EF，从而得到AF⊥EF；

（2）先利用OC∥AF得到∠COE=∠DAB，在Rt△OCE中，利用余弦的定义得到，解得OB=4，连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，然后根据余弦的定义可计算出AD的长．

（1）

证明：如图，连接，和，和交于点．

∵过点作半圆的切线交的延长线于点，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∵是半圆的直径，

∴．

∴．

∴．

∴．

（2）

解：∵，

∴．

∵，，

∴在中，．

∴．

∵，，

∴．

∴．

∵是半圆的直径，

∴，∠ADB=90°

∴在中，．

∴．

∴．

∴弦的长是．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的性质，解直角三角形是解题的关键．

12．（1），（2）

【分析】（1）根据负整数指数幂幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可；

（2）先根据异分母的分式减法计算括号内的，同时将除法转化为乘法计算，然后根据分式的性质化简，再根据分式有意义的条件，取代入求解即可．

【详解】解：（1）

（2）

，当时，原式

【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是正确的进行计算．

13．(1)

(2)

【分析】（1）连接OC，则△OCD是直角三角形，可求出∠COD的度数；由于∠A与∠COD是同弧所对的圆周角与圆心角．根据圆周角定理即可求得∠A的度数；

（2）由图可知：阴影部分的面积是扇形OCB和Rt△OEC的面积差；那么解决问题的关键是求出半径和OE的长；在Rt△OCE中，∠OCE=∠D=30°，已知了CE的长，通过解直角三角形，即可求出OC、OE的长，由此得解．

(1)

解：（1）连接OC，

∵CD切⊙O于点C，

∴∠OCD=90°，

∵∠D=30°，

∴∠COD=60°，

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO=30°；

(2)

解：∵CF⊥直径AB，，

∴CE=，

∴在Rt△OCE中，tan∠COE= ， OE=，

∴OC=2OE=4 ，

∴S扇形BOC=，S△EOC＝，

∴S阴影=S扇形BOC-S△EOC=．

【点睛】本题主要考查了切线的性质、垂径定理以及扇形面积的计算方法．不规则图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．

14．71．

【分析】过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，可得出DF的长，进而得出DH的长，在Rt△ADH中，可得出AH的长，进而可得出AN的长，在Rt△CNB中可求出BN的长，利用AB=AH﹣BN计算即可．

【详解】解：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，

∵坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：，

∴EF=10米，DF=米，

∵DH=DF+EC+CN=（）米，∠ADH=30°，

∴AH=×DH=（）米，

∴AN=AH+EF=（）米，

∵∠BCN=45°，

∴CN=BN=20米，

∴AB=AN﹣BN=≈71米．

答：条幅的长度是71米．

考点：1．解直角三角形的应用-仰角俯角问题；2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题；3．综合题．

15．（1）；（2）,．

【分析】（1）分别根据立方根、特殊三角函数值、负指数幂、二次根式的平方计算法则求出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；

（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入计算即可．

【详解】（1）解：原式＝

＝．

故答案为：

（2）解：原式

；

当时，原式

故答案为：,．

【点睛】本题考查了实数的计算和分式的化简求值，熟知实数计算中负指数幂、立方根、特殊三角函数值、分式混合运算的法则是解答此题的关键．

16．山谷深CN为41.9丈．

【分析】根据题目中的条件，需要两次利用三角形相似的判定定理及性质，证明两个三角形相似，再利用对应边成比例建立等式，进行求解．

【详解】：解：由题意知：寸，寸，＝85寸，＝300寸．

，

．

．

∴．

．

，

．

．

即．

，

解得：

经检验：符合题意，

寸＝41.9丈．

答：山谷深CN为41.9丈．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理及性质，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理及性质，根据对应边成比例建立等式，再通过等量代换进行求解．