湖南省长沙市2020-2021-2湖南广益实验中学九下期中考试真卷（带答案解析）
展开湖南广益实验中学2020-2021学年第二学期期中考试试卷
九年级数学
命题人：易波 审题人：李朝文 刘新巧 时量：120分钟 分值：120分
一、选择题(本大题共10小题，共30分)
1.下列各数中，是无理数的是（ ）
A.3.1415 B. C. D.
2.函数自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.华为手机Mate X在5G网络下能达的理论下载速度为603000000B/s，3秒内就能下载好1 GB的电影，将603000000用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.下列电视台标志中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5.若是关于x、y的方程组的解，则的值为（ ）
A.3 B. C.2 D.
第6题图 第7题图
6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（ ）
A. B.2 C.4 D.
7.如图，在△ABC中，，，.按以下步骤作图：
①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连结OC，则OC为（ ）
A. B.2 C. D.1
8.已知一次函数与反比例函数，那么它们在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
9.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积(弦矢矢)，弧田(如图)是由圆弧和共所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则( )
A. B.
C. D.
10.如图，在矩形ABCD中，，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至BC恰好经过点D，得到矩形，此时旋转角为，若，则为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题，共18分)
11.单项式与是同类项，则________.
12.某药品经过两次降价，每盒零售价由105元降到88元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为________.
13.在一只不透明的口袋中放入红球5个，黑球1个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别.搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n是________.
14.如图，，FG平分∠EFD，交AB于G，，则∠AEF的度数等于________.
15.如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、O是格点，则图中扇形OAB中阴影部分的面积是________.
第14题图 第15题图 第16题图
16.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是________.
三、解答题(本大题共9题，共72分)
17.（6分）计算：
18.（6分）先化简，再求值：，其中.
19.（6分）如图，一艘渔船位于码头M的南偏东45°方向，距离码头120海里的B处，渔船从B处沿正北方向航行一段距离后，到达位于码头北偏东60°方向的A处.
（1）求渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离；
（2）若渔船以20海里/小时的速度从A沿AM方向行驶，求渔船从A到达码头M的航行时间.
20.（8分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A.器乐，B.舞蹈，C.朗诵，D.唱歌.每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有________人；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？
（4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的
器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率.
21.（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点且，连接CE，BD.
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）连接DE，若，，求的面积.
22.（9分） “垃圾分一分，环境美十分”.某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶，已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍.
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
23.（9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得.
（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）当点D为EF的中点时，求证：；
（3）在(2)的条件下，若，，求BF的长.
- （10分）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标的值与横坐标的值的平方相等的点称为“益心”，
例如点，，，…都是“益心”，显然，这样的“益心”有无数个.
（1）求一次函数上的所有“益心”的坐标；
（2）若过点的直线上恰好有一个“益心”，请求出符合要求的直线解析式；
（3）若二次函数(a是常数，)的图象上存在两个不同的“益心”且至少有一个“益心”的横坐标的值大于2，试求实数a的取值范围.
25.（10分）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P，Q为线段AB上的两个动点(P在的右侧)，且始终满足.
（1）求证：；
（2）记点P的横坐标为m，Q的纵坐标为n，试判断：P，Q两点在移动的过程中，动点是否始终在一个确定的反比例函数上；若是，求出反比例函数的解析式；若不是，也请说明理由；
（3）在(2)的情况下，
①请判断：以线段AP，BQ，PQ围成的三角形的形状，并给出理由；
②若△AOQ与△BPO的面积相等时，记，当时，抛物线的最小值恰好等于以线段AP，BQ，PQ围成的三角形的面积.求该抛物线二次项系数a的值.
湖南广益实验中学2020-2021学年第二学期期中考试
九年级数学参考答案
一、选择题
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
D | D | B | A | A | D | A | B | B | C |
二、填空题
11.16 12. 13.3
14.52° 15. 16.或
三、解答题
17.解：原式
18.解：化简得原式
①
将代入得①
19.解：(1)过M作
由题意得海里，
在Rt△MHB中，
∴海里
答：渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离为海里
(2)由题意得
在Rt△AMH中，
∴海里
小时
答：渔船从A到达码头M的航行时间为小时
20.解：(1)100
(2)如图
(3)(人)
答：估计选择“唱歌”的有480人
(4)
共有12种等可能的情况
P(恰好选中甲乙)
21.解：(1)在中，
∵
∴
又∵
∴四边形BECD为平行四边形
(2)∵，
∴
又∵为平行四边形
∴为菱形
∴于点M，
连DE与BC交于M
∵，
∴
在Rt△BME中，
∴
∴
22.解：(1)设A品牌垃圾桶单价x元，则B品牌单价元
解得，
检验：当时，
答：购买一个A品牌一个B品牌的垃圾桶各需100、150元
(2)A售价90元，B售价180元
设购买B品牌m个，A品牌个
∴
又∵m为整数
∴
答：最多可购买16个B品牌垃圾桶
23.证明：(1)∵
∴
又∵
∴，
∴
∴
∵，
∴AC为直径
∵且AC为直径
∴AF为⊙O的切线
(2)连接OD
∵
∴
∵D为EF中点
∴在Rt△FAE中，
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵，
∴
(3)在Rt△ABC中
∵
∴设，，
∵
∴
又∵，
∴，，
∴，
∵
∴
又∵
∴
在Rt△FAE中，，
∴，
∵，
∴
∴
∴
24.解：(1)联立
得
解得，
∴上所有“益心”的坐标为，
(2)设该直线为
联立
得
∴
∴该直线为或
(3)联立
得
∴
令
，
1 时
∴(舍)或
∴(舍)
∴舍
2 时
∵
∴必有一个“益心”横坐标的值大于2
综上所述
25.解：(1)∵
∴，
又∵
∴，
∴
又∵
∴
(2)过Q作轴
过P作轴，轴
∴
，，
在Rt△ANQ中
∵，
∴
在Rt△BHP中，
∴
∵
∴
∴
∴，
∴
∴始终在上
(3)①AP、BQ、PQ围成的三角形为直角三角形
理由如下：
，，
∴为直角三角形
②∴，，，
∵
∴
∴
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