中考数学模拟汇编二55动态综合型问题

这是一份中考数学模拟汇编二55动态综合型问题，共27页。试卷主要包含了5)， 已知等内容，欢迎下载使用。

一选择题
1. （广州六校一摸）如图，的半径为，弦的长为，是弦上的动点，则线段长的最小值为（ ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案:B
2．（南京市溧水县中考一模）如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O—C—D—O路线作匀速运动，设运动时间为x(秒)，∠APB＝y(度)，右图函数图象表示y与x之间函数关系，则点M的横坐标应为（ ▲ ）
O
（第1题）
P
A．2 B．
C． D．＋2
答案：C
3．（南京市雨花台中考一模）如图，矩形ABCD中，，，点P从点B出发，沿向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是
A． B． C． D．
(第2题)
答案：C
4、(海淀一模) 如图，在中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A 出发，
以每秒1cm的速度，沿ABC的方向运动，到达点C时停止.设,
运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是
考查内容:
答案：A
二、填空题：
1、(广东化州二模)15．如图,正方形ABCD
的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边
上同时滑动．如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C
→D→A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按
B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段BM的长为线
段 ，QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为
考查内容：
答案：2
三、解答题
1．（南京市鼓楼区中考一模）（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4eq \R(,3)，BC＝4．点M是AC上动点（与点A不重合），设AM＝x，过点M作AC的垂线，交直线AB于点N．
（1）当△AND的面积为eq \F(8eq \R(,3),3)时，求x的值；
（2）以D、M、N三点为顶点的△DMN的面积能否达到矩形ABCD面积的eq \F(1,8)？若能，请求出此时x的值，若不能，请说明理由．
答案：（本题10分）
解：（1）在Rt△ABC中，AB＝4eq \R(,3)，BC＝4，∠B＝90°，∴tan∠BAC＝eq \F(BC,AB)＝eq \F(4,4eq \R(,3))．
∴tan∠BAC＝eq \F(eq \R(,3),3)．∵∠BAC是锐角，∴∠BAC＝30°．
在Rt△AMN中，AM＝x，∠AMN＝90°，
∴MN＝AM·tan∠BAC＝eq \F(eq \R(,3),3)x，AN＝eq \F(MN,sin∠BAC)＝eq \F(2eq \R(,3)x,3)．………………………2分
∴S△ADN＝eq \F(1,2)·AD·AN＝eq \F(1,2)·4·eq \F(2eq \R(,3)x,3)＝eq \F(8eq \R(,3),3)．∴x＝2． ………………………3分
（2）设DN交AC于点E．
当点E、M重合时，x＝AM=eq \F(1,2)×4=2 ………………………4分
①当0＜x＜2时，点M在△ADN的内部．
过D作DF⊥AC，垂足为F．
∴DF＝AD·sin60°＝4×eq \F(eq \R(,3),2)＝2eq \R(,3)．
∵S△AMN＝eq \F(1,2)×x×eq \F(eq \R(,3),3)x＝eq \F(eq \R(,3),6)x2，S△ADN＝eq \F(1,2)×4×eq \F(2eq \R(,3)x,3)x＝eq \F(4eq \R(,3),3)x，
S△ADM＝eq \F(1,2)× x×2eq \R(,3)＝eq \R(,3)x，
∴S△DMN＝S△ADN－S△AMN－S△ADM＝eq \F(4eq \R(,3),3)x－eq \F(eq \R(,3),6)x2－eq \R(,3)x＝eq \F(eq \R(,3),3)x－eq \F(eq \R(,3),6)x2．
设S△DMN＝eq \F(1,8)S矩形ABCD，eq \F(eq \R(,3),3)x－eq \F(eq \R(,3),6)x2＝eq \F(1,8)×4eq \R(,3)×4＝2eq \R(,3)，2x－x2＝12．
∴x2－2x＋12＝0．∵ (－2)2－4×1×12＜0，∴该方程无实数根． ………6分
②当2＜x≤8时，点M在△ADN的外部．
∴S△DMN＝S△AMN＋S△ADM －S△ADN＝eq \F(eq \R(,3),6)x2＋eq \R(,3)x－eq \F(4eq \R(,3),3)x＝eq \F(eq \R(,3),6)x2－eq \F(eq \R(,3),3)x．
设S△DMN＝eq \F(1,8)S矩形ABCD，eq \F(eq \R(,3),6)x2－eq \F(eq \R(,3),3)x＝2eq \R(,3)， x2－2x＝12．
∴x2－2x－12＝0．∴x1＝1－eq \R(,13)＜0，舍去，x2＝1＋eq \R(,13)．
∵3＜eq \R(,13)＜4，∴4＜1＋eq \R(,13)＜5．
∴x＝1＋eq \R(,13)满足条件．
∴当S△DMN＝eq \F(1,8)S矩形ABCD时，x＝1＋eq \R(,13)．…………………………………10分
2．（南京市建邺区中考一模）（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为x s．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为ycm．
（1）当x= ▲ s时，DE⊥AB；
（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点F运动路线的长；
（3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值．
答案：（本题12分）
解：（1） eq \f(3,2) eq \r(2) 2分
（2）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．
∴∠A＝∠B＝45°，AB=4 eq \r(2) ，∴∠ADE＋∠AED＝135°；
又∵∠DEF＝45°，∴∠BEF＋∠AED＝135°，∴∠ADE＝∠BEF；
∴△ADE∽△BEF4分
∴ eq \f(AD,BE) ＝ eq \f(AE,BF) ，
∴ eq \f(3, 4 eq \r(2) －x) ＝ eq \f(x,y) ，∴y＝－ eq \f(1,3) x2+ eq \f(4,3) eq \r(2) x5分
∴y＝－ eq \f(1,3) x2+ eq \f(4,3) eq \r(2) x＝－ eq \f(1,3) ( x－2 eq \r(2) )2+ eq \f(8,3)
∴当x＝2 eq \r(2) 时，y有最大值＝ eq \f(8,3) 6分
∴点F运动路程为 eq \f(16,3) cm7分
A
B
C
D
E
F
第4题（3）①图
（3）这里有三种情况：
①如图，若EF＝BF，则∠B＝∠BEF；
又∵△ADE∽△BEF，∴∠A＝∠ADE＝45°
∴∠AED＝90°，∴AE＝DE＝ eq \f(3,2) eq \r(2) ，
∵动点E的速度为1cm/s ，∴此时x＝ eq \f(3,2) eq \r(2) s；
②如图，若EF＝BE，则∠B＝∠EFB；
又∵△ADE∽△BEF，∴∠A＝∠AED＝45°
∴∠ADE＝90°，∴AE＝3 eq \r(2) ，
∵动点E的速度为1cm/s
∴此时x＝3 eq \r(2) s；
第4题（3）②图
第4题（3）③图
③如图，若BF＝BE，则∠FEB＝∠EFB；
又∵△ADE∽△BEF，∴∠ADE＝∠AED
∴AE＝AD＝3，
∵动点E的速度为1cm/s
∴此时x＝3s；
综上所述，当△BEF为等腰三角形时，x的值为 eq \f(3,2) eq \r(2) s或3 eq \r(2) s或3s．
（注：求对一个结论得2分，求对两个结论得4分，求对三个结论得5分）
3．（南京市溧水县中考一模）（9分）已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．
（1）设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；
（3）连结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．
答案：解：（1）取中点，连结，
为的中点，，．1分
又，．2分
，得；3分
（2）过D作DP⊥BC，垂足为P，∠DAB=∠ABC=∠BPD=90°，∴四边形ABPD是矩形．
以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，
， 又，∴DE=BE+AD-AB=x+4-2=x+2……4分
PD=AB=2，PE= x-4，DE2= PD2+ PE2，…………………………………………………5分
∴（x+2）2=22+（x-4）2，解得：．
∴线段的长为．…………………………………………………………………………6分
（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，
又易证得． 7分
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．
①当时，，．．
，易得．得； 8分
②当时，，．
．又，．
，即=，得x2=[22+（x-4）2]．
解得，（舍去）．即线段的长为2．9分
综上所述，所求线段的长为8或2．
4．（南京市六合区中考一模）
（9分）如图1，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，边长为2cm的菱形DEFG两
边DG、DE分别在AC、AB上．若菱形DEFG以1cm/s的速度沿射线AC方向平移．
（1）经过 ▲ 秒菱形DEFG的顶点F恰好在BC上；
（2）求菱形DEFG的面积；
（3）设菱形DEFG与△ABC的重合部分为Scm2，菱形DEFG平移的时间为t秒．求
S与t的函数关系式．
答案：解：（1）1．…………………………2分
（2）方法一：
如图，连接GE、AF，交于点O，并延长AF 交BC于点H．
∵由AG=AE得∠AGE=∠AEG，由AB=AC得∠B=∠C，
∴∠AEG=∠C= eq \f(180°–∠A,2) ．
∴GE∥BC， ∴ eq \f(AE,AC)= eq \f(GE,BC)，得GE= eq \f(12,5) ．………………3分
∵菱形AEFG中，GE⊥AF，可得AH⊥BC，故CH= eq \f(1,2)BC=3．
∴Rt△ACH中，AH= eq \r(\s\d1(),AC2–CH2)=4．
∴ eq \f(AO,AH)= eq \f(AE,AC)，得AO= eq \f(8,5)，于是AF= eq \f(16,5)．……………………4分
∴S菱形AEFG= eq \f(1,2)GEAF= eq \f(96,25) ． …………………………5分
方法二：易求S△ABC=12．………………3分
由△AGE∽△ABC得 eq \f(S△AGE,S△ABC)=( eq
\f(AE,AC) )2 ，即 eq \f(S△AGE,12)=( eq \f(2,5))2 ．……………4分
所以，S△AGE= eq \f(48,25)得S菱形AEFG= eq \f(96,25) ．…………………………5分
（3）①当0≤t≤1时，S= eq \f(96,25) ．…………………………6分
②当1AD=t，则CE=5–t–2=3–t，EN=EC=3–t，
故FN=2–（3–t）=t–1 ．
由△FMN∽△ABC可得 eq \f(S△FMN,S△ABC)=( eq \f(FN,AC))2 ．
即 eq \f(S△FMN,12)=( eq \f(t–1,5))2，所以S△FMN= eq \f(12,25)(t–1)2 ．
所以S= S菱形AEFG–S△FMN= eq \f(96,25) – eq \f(12,25)(t–1)2．……………7分
③当3由△DMC∽△ABC可得 eq \f(S,S△ABC)=( eq \f(DC,AC))2．
即 eq \f(S,12)=( eq \f(5–t,5))2，所以S= eq \f(12,25)(5–t)2．……………………8分
④当t>5时，S=0．…………………………9分
5．（南京市浦口区中考一模）（10分）如图，已知直角梯形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，AB＝5，BC＝6，∠B＝53°．
点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．
（1）当BO＝AD时，求BP的长；
（2）在点O运动的过程中，线段 BP与MN能否相等？若能，请求出当BO为多长时BP＝MN；若不能，请说明理由；
（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围.
(参考数据：cs53°≈0．6；sin53°≈0．8；tan74°3.5)
答案：（本题10分）
解：（1）∵AD//BC,BO=AD
∴四边形AB0D为平行四边形-------------------------------------------------------------------------1分
∴AB//OD, ∠COD=∠ABO=53°，DO=AB=5
在RtOCD中， , BO=BC-CO=3.-----------------2分
在RtPOB中，BO=PO, ∴BP=-------------------------------------------3分
（2）不存在.---------------------------------------------------------------4分
如图,过A点作AE⊥BC交BC于E点.若BP = MN，则△BOP≌△MON--------------------------------5分
∴∠BOP=∠MON=180°- 2∠B = 74°
DC=AE= -------------------------------------------------------------------------6分
在RtOCD中，. BO=BC-CO=
在△POB中,BP=
因为AB=5,所以BP>AB.
又因为P点在边AB上，即BP＜AB.
所以BP与MN不可能相等.--------------------------------------------------------------------------- 8分
（3）当⊙O与⊙C外切，CN 取值范围为 0< CN < 6 ------------ 9分
当⊙O与⊙C内切，CN 取值范围为 ------------- 10分
6. （南京市玄武区中考一模）（9分）如图，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形ABCD和三角形EGF两张纸片，测得AB=5，AD=4，EF=．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．
(1) 请你求出FG的长度．
(2)在(1)的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为．y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值．
(3)在(2)的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也 不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围(直接写出结果)．
答案：
(1)∵在Rt△EGF中，EG=AB=5，EF=,
∴FG=……………..2分
(2)当0≤x≤4时，；………………….3分
当4＜x≤10时，y=－2x+24，…………..4分
当y=10时，x=7或．……………….6分
(3)当0≤x≤4时，，顶点为(10，25)，…….7分
∴当0≤x≤4时，0≤y≤16．当4＜x≤10时，y=－2x+24，4≤y＜16．
∴当4≤y<16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积y可能相等．………8分
当0≤y＜4或y=16时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．…..9分
7．（南京市雨花台中考一模）（14分）如图，在□ABCD中，，．点由出发沿方向匀速运动，速度为；同时，线段由出发沿方向匀速运动，速度为，交于，连接、．若设运动时间为（s）（）．解答下列问题：
（1）当为何值时，∥？并求出此时的长;
（2）试判断△的形状，并请说明理由．
（3）当时，
(ⅰ)在上述运动过程中，五边形的面积 ▲ (填序号)
①变大 ②变小 ③先变大,后变小 ④不变
(ⅱ)设的面积为，求出与之间的函数关系式及的取值范围．
（第9题）
解：（1）由题意知，,
在□中，，，
当∥时，∽,∴，∴…………………3分
(或当∥时，,∴，∴)
此时，点、分别为、的中点，
∴……………………………………4分
(2)△是等腰三角形 ………………………………………………………5分
证明：在□中，，，∴,
∵∥,∴
∴∴,
∴，∴，
∵∥,∴，
∴≌,∴……8分
(3) (ⅰ)在上述运动过程中，五边形的面积 ④ (填序号)…………10分
(ⅱ) ∵△∽△，∴，∴…………11分
过点作于点，过点作于点，
∴△∽△，∴，∴
∴……………13分
∴当时，，
∴ ……………………………………14分
（其它解法，正确合理可参照给分。）
8．（南京市下关区秦淮区沿江区中考一模）(10分)(1)如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接
CQ．
①求证：△ABP≌△ACQ；
②若AB＝6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．
(2)已知，△EFG中，EF＝EG＝13，FG＝10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF＇G＇的位置，点M是边EF＇与边FG的交点，点N在边EG＇上且EN＝EM，连接GN．
求点E到直线GN的距离．
答案：
(1)①因为三角形ABC和三角形APQ是正三角形，
所以AB=AC，AP=AQ，∠BAC＝∠PAQ．
所以∠BAC－∠PAC＝∠PAQ－∠PAC．
所以∠BAP＝∠CAQ．
所以△ABP≌△ACQ．……………………3分
②3……………………5分
(2)解法一：
过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．
在△EFG中，易得EH＝12．……………………6分
类似(1)可证明△EFM≌△EGN，……………………7分
所以∠EFM＝∠EGN．
因为∠EFG＝∠EGF，
所以∠EGF＝∠EGN，
所以GE是∠FGN的角平分线，……………………9分
所以点E到直线FG和GN的距离相等，
所以点E到直线GN的距离是12．……………10分
解法二：
过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．过点E作直线
GN的垂线，点K为垂足．
在△EFG中，易得EH＝12．……………………6分
类似(1)可证明△EFM≌△EGN，……………………7分
所以，∠EFM＝∠EGN．
可证明△EFH≌△EGK，……………………9分
所以，EH＝EK．
所以点E到直线GN的距离是12．………………10分
解法三：
把△EFG绕点E旋转，对应着点M在边FG上从点F开始运动．
由题意，在运动过程中，点E到直线GN的距离不变．
不失一般性，设∠EMF＝90°．
类似(1)可证明△EFM≌△EGN，
所以，∠ENG＝∠EMF＝90°．
求得EM＝12．
所以点E到直线GN的距离是12．
(酌情赋分)
9．(上海市杨浦区中考模拟)已知半径为6的⊙O1与半径为4的⊙O2相交于点P、Q，且∠O1P O2= 120°，点A为⊙O1上异于点P、Q的动点，直线AP与⊙O2交于点B，直线O1A与直线O2B交于点M。
如图1，求∠AM B的度数；
当点A在⊙O1上运动时，是否存在∠AM B的度数不同于（1）中结论的情况？若存在，请在图2中画出一种该情况的示意图，并求出∠AM B的度数；若不存在，请在图2中再画出一个符合题意的图形，并证明∠AM B的度数同于（1）中结论；
当点A在⊙O1上运动时，若△APO1与△BPO2相似，求线段AB的长。
【答案】解：（1）∵A、P都在⊙O1上，∴∠A=∠APO1，----------------------------1分
同理，∠B=∠BPO2，--------------------------1分
∵AB是直线，∠O1P O2= 120°，∴∠APO1+∠O1PO2+∠BPO2=180°
∴∠APO1 +∠BPO2=60°，即∠A+∠B=60°，---------------------------------1分
∴∠O1M O2=180°－60°=120°----------------------------1分
(2)存在， --------------------------------------------1分
如图所示，------------------------------------2分
∵A、P都在⊙O1上，∴∠A=∠APO1，
同理，∠PBO2=∠BPO2，
∴∠APO1+∠BPO2=120°
∵∠M+∠A=∠PBM=180°－∠BPO2
∴∠M=180°－∠BPO2－∠A
=180°－∠BPO2－∠APO1=180°－120°=60°------------------2分
∵△APO1与△BPO2相似，且△APO1与△BPO2都是等腰三角形，
∴底角∠APO1=∠BPO2，---------1分
情况一：当P在A、B之间时，∠APO1=∠BPO2=30°，
作O1H⊥AB，O2D⊥AB，∴AP=2HP，BP=2PD
∵O1P=6，O,2P=4，∴HP=，DP=
∴AB=--------------------------------2分
情况一：当P不在A、B之间时，∠APO1=∠BPO2=60°，
∴PA=O1A=6，PB= O2B= 4，∴AB=2 ----------2分
10．（杭州市进化一中模拟）(本小题满分12分)
如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当时，求线段的长；
（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．
（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围；
【答案】解：（1）由Rt△AQM∽Rt△CAD． ……………………………………………2分
∴． 即，∴． …………………………………1分
（2）或或4． ……………………………………………3分
（3）当0＜t＜2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E
由（1）可得． 即QM=2t．∴QE=4-2t．………………………2分
∴S△PQC =PC·QE= ………………………………………………1分
即
当＞2时，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H.
．
由题意得，．
∴ ． ∴．
∴ ． ∴．
∴ 四边形AMQP为矩形．
∴ PQ∥．CH⊥PQ，HF=AP=6- t
∴ CH=AD=HF= t-2 …………………………………………………………1分
∴S△PQC =PQ·CH= ………………………………………1分
即y=
综上所述 或y= ( 2<<6) …………………1分
11. （浙江新昌县模拟）如图，二次函数的图象与轴交于A,B两点(点在点左侧)，顶点为C，有一个动点E从点B出发以每秒一个单位向点A运动，过E 作轴的平行线，交的边BC或AC于点F，以EF为边在EF右侧作正方形，设正方形与重叠部分面积为S，E点运动时间为t秒．（1）求顶点C的坐标和直线AC的解析式；（2）求当点在边上，在边上时的值；（3）求动点E从点B向点A运动过程中，S关于t的函数关系．
备用图1
备用图2
【答案】（1）=,顶点C的坐标为（） 2分
=，故点(1,0)(4,0)
C
设AC直线为，得，解得 3分
（2）可求得BC直线为,当在边上，在边上时
点E坐标为（）,点F坐标为（）
得EF=,
而EF=FG, 2分
方法一：因为抛物线的对称轴和等腰三角形的对称轴重合
所以FG=
=
解得 3分
方法二：抽取如图三角形，设正方形边长为，
图1
从∽得，得， 2分
即,得 1分
（3）点E坐标为（）随着正方形的移动，
重叠部分的形状不同，可分以下几种情况：
点F在BC上时，如图1重叠部分是,
此时时，点F坐标为（）
1分
②点F在AC上时，点F坐标为（）又可分三种情况:
Ⅰ.如图2，时重叠部分是直角梯形EFKB,此时
1分
Ⅱ.如图3，,点G在BC下方时，重叠部分是五边形EFKMH.
此时，，
点H坐标为（），点M坐标为（）
,,
=()
= (如果不化成一般式不扣分)1分
Ⅲ.如图4, 点G在BC上或BC上方时, 重叠部分是正方形EFGH,
此时
1分
直接分类给出表达式不扣分.
12、（名校联合一模）(1)如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．
①求证：△ABP≌△ACQ；
②若AB＝6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的
长．
(2)已知，△EFG中，EF＝EG＝13，FG＝10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF＇G＇的位置，点M是边EF＇与边FG的交点，点N在边EG＇上且EN＝EM，连接GN．
求点E到直线GN的距离．
考查内容：三角形全等、动态综合
答案：(1)①因为三角形ABC和三角形APQ是正三角形，
所以AB=AC，AP=AQ，∠BAC＝∠PAQ．
所以∠BAC－∠PAC＝∠PAQ－∠PAC．
所以∠BAP＝∠CAQ．
所以△ABP≌△ACQ．……………………3分
②3……………………5分
(2)解法一：
过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．
在△EFG中，易得EH＝12．……………………6分
类似(1)可证明△EFM≌△EGN，……………………7分
所以∠EFM＝∠EGN．
因为∠EFG＝∠EGF，
所以∠EGF＝∠EGN，
所以GE是∠FGN的角平分线，……………………9分
所以点E到直线FG和GN的距离相等，
所以点E到直线GN的距离是12．……………10分
解法二：
过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．过点E作直线
GN的垂线，点K为垂足．
在△EFG中，易得EH＝12．……………………6分
类似(1)可证明△EFM≌△EGN，……………………7分
所以，∠EFM＝∠EGN．
可证明△EFH≌△EGK，……………………9分
所以，EH＝EK．
所以点E到直线GN的距离是12．………………10分
解法三：
把△EFG绕点E旋转，对应着点M在边FG上从点F开始运动．
由题意，在运动过程中，点E到直线GN的距离不变．
不失一般性，设∠EMF＝90°．
类似(1)可证明△EFM≌△EGN，
所以，∠ENG＝∠EMF＝90°．
求得EM＝12．
所以点E到直线GN的距离是12．
(酌情赋分)
13、(黄冈张榜中学模拟) (满分14分) 如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。
求直线AC的解析式；
设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形。
直接写出所有满足条件的M点的坐标；
过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的
长度是否发生改变，请说明理由。
考查内容：
答案：
解：(1)
(2)
(3)一共四个点，(0，)，(0，0)，(0，)，（0，－2）。
（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H。
由AP＝t，可得AE＝.
由可得GH＝，所以GC＝GH＝.
于是，GE＝AC－AE－GC＝＝。即GE的长度不变。
当2＜t≤4时，同理可证。
综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值。
14. （从化市综合测试）已知：如图11，直线与x轴相交于点A，与直线相交于点P(2，)．
（1）求点A的坐标和的值．
（2）请判断的形状并说明理由．
（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形 EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求： S与t之间的函数关系式，并求当时对应S的值．
解：（1）∵直线 时，当时，
∴A的坐标为
又∵点P的坐标为(2，) ，且在直线上
∴
解得：
（2）∵，
∴OA=4
做PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2
∵ tan∠POA=
∴ ∠POA=60°
∵ OP=
∴△POA是等边三角形．
D
（3）① 当0在Rt△EOF中，∵∠EOF=60°，OE=t
∴EF=t，OF=t
∴S=·OF·EF=
当4设EB与OP相交于点C
易知：CE=PE=t－4，AE=8－t
∴AF=4－，EF=(8－t)
∴OF=OA－AF=4－（4－t）=t
∴S=(CE+OF)·EF
=(t－4+t)×(8－t）
=－+4t－8
S =
当时 ，∵
∴此时S =
=
15. （2010海珠区调研）如图所示，二次函数的图像经过点A、B、C, 点E(1,0), F(7,0), 将正方形EFKD沿y轴正方向进行移动，速度为每秒移动2个单位，移动时间为，设移动过程中正方形与三角形部分重叠的面积为
（1）求的面积；
（2）求重叠部分面积关于时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（3）当正方形的点E、F移动到二次函数图像上，求重叠部分面积，并请判断点D、K是否在外接圆上并说明理由； 如不在，也请说明理由.
答案: 解（1）= ∴顶点A(4,8)
当时， 解得 ∴点B（0,0），点C（8,0）
所以=
（2）分三种情况：
= 1 \* GB3 ①正方形EFKD的点E移动到直线AB的过程，正方形与三角形的重叠部分为矩形（

= 2 \* GB3 ②正方形EFKD继续向上移动，点D移动到x轴上的过程，正方形与三角形的重叠部分如图所示（：、
易知：KW=2，BW=1， , 得

= 3 \* GB3 ③正方形EFKD继续向上移动，点D移动到直线AB上的过程，正方形与三角形的重叠部如图所示（
由 = 2 \* GB3 ② 得


重叠部分面积关于时间的函数关系式
（3）当正方形的点E、F移动到二次函数图像上，求出

此时点D、K不在外接圆上
易求出△ABC的外接圆的半径为5
设△ABC的外接圆的圆心为O，OD=
所以点D不在外接圆上，同理点K也不在外接圆上。
B组
55.动态综合型问题
1．（北京昌平区统一练习一）
已知， 点P是∠MON的平分线上的一动点，
射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+
∠MON=180°.
（1）利用图1，求证：PA=PB；
（2）如图2，若点是与的交点，当时，求PB与PC的比值；
（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点，且满足且，
请借助图3补全图形，并求的长.

解：（1）在OB上截取OD=OA，连接PD，
∵OP平分∠MON，
∴∠MOP=∠NOP．
又∵OA=OD，OP=OP，
∴△AOP≌△DOP． ……………1分
∴PA=PD，∠1=∠2．
∵∠APB+∠MON=180°，
∴∠1+∠3=180°．
∵∠2+∠4=180°，
∴∠3=∠4．
∴PD=PB．
∴PA=PB． …………… 2分
（2）∵PA=PB，
∴∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠APB=180°，且∠3+∠4+∠APB=180°，
∴∠1+∠2=∠3+∠4．
∴∠2=∠4．
∵∠5=∠5，
∴△PBC∽△POB．
∴． …………… 5分
（3）作BE⊥OP交OP于E，
∵∠AOB=600，且OP平分∠MON，
∴∠1=∠2=30°．
∵∠AOB+∠APB=180°，
∴∠APB=120°．
∵PA=PB，
∴∠5=∠6=30°．
∵∠3+∠4=∠7，
∴∠3+∠4=∠7=(180°30°)÷2=75°．
∵在Rt△OBE中，∠3=600，OB=2
∴∠4=150，OE=，BE=1
∴∠4+∠5=450，
∴在Rt△BPE中，EP=BE=1
∴OP= …………… 8分
2. （北京昌平区统一练习一）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果EF=2OG，求点Ｇ的坐标．
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵OD平分∠AOC, ∠AOC=90°
∴∠AOD=∠DOC=45°
∵在矩形ABCD中，
∠BAO=∠B=∠BOC=90°,OA=BC=2,AB=OC=3
∴△AOD是等腰Rt△ ………………………………1分
∵∠AOE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°
∴∠AOE=∠BCD
∴△AED≌△BDC
∴AE=DB=1
∴D(2,2),E(0,1),C(3,0) …………………………2分
则过D、E、C三点的抛物线解析式为： ……………3分
（2）DH⊥OC于点H,
∴∠DHO=90°
∵矩形 ABCD 中, ∠BAO=∠AOC=90°
∴四边形AOHD是矩形
∴∠ADH=90°.
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
∵AD=OA=2，
∴四边形AOHD是正方形.
∴△FAD≌△GHD
∴FA=GH ………………………………4分
∴设点 G（x，0），
∴OG=x，GH=2-x
∵EF=2OG=2x，AE=1，
∴2-x=2x-1，
∴x=1.
∴G(1,0) ……………………………………………5分
(3)由题意可知点P若存在，则必在AB上，假设存在点P使△PCG是等腰三角形
1）当点P为顶点，既 CP=GP时，
易求得P1（2,2），既为点D时，
此时点Q、与点P1、点D重合，
∴点Q1(2,2) ……………………………………………6分
2) 当点C为顶点，既 CP=CG=2时, 易求得P2(3,2)
∴直线GP2的解析式：
求交点Q:
可求的交点（）和（-1，-2）
∵点Q在第一象限
∴Q2（） ……………………………………………7分
3)当点G为顶点，既 GP=CG=2时, 易求得P3(1,2)
∴直线GP3的解析式：
求交点Q:
可求的交点（）
∴Q3（） ……………………………………………8分
所以，所求Q点的坐标为Q1(2,2)、Q2（）、Q3（）．
3.（2010-学两校联考综合测试）
1、如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别按 的方向同时出发，以1 cm/s的速度匀速运动．在运动过程中，设四边形EFGH的面积为S(cm2)，运动时间为t (s)．
⑴ 试证明四边形EFGH是正方形；
⑵ 写出S关于t 的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小？
最小值是多少？
⑶ 是否存在某一时刻t ，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的
面积比是5∶8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（1）∵ 点E、F、G、H在四条边上的运动速度相同
∴ AE＝BF＝CG＝DH ……………1分
在正方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，且AB＝BC＝CD＝DA
∴ EB＝FC＝GD＝HA
∴ △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG ………2分
∴ EH＝FE＝GF＝HG
∠AEH＝∠BFE
∴ 四边形EFGH是菱形 ………4分
又 ∵ ∠BEF ＋∠BFE＝90°
∴ ∠BEF＋∠AEH＝90°
∴ ∠FEH＝180°－（∠BEF＋∠AEH）＝90°
∴ 四边形EFGH为正方形 …………6分

（2）∵ 运动时间为t（s），运动速度为1cm/s
∴ AE＝tcm，AH＝(4－t)cm， ………7分
方法1： 由（1）知 四边形EFGH为正方形，
∴
即
当 ………10分
方法2：由（1）知，△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴
∴
即
当
（3）存在某一时刻t ，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5∶8 …11分
∵
∴
∴ ………13分
当 t =1或3时，四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比是5∶8 …14分