中考数学模拟汇编二49判定说理型问题

这是一份中考数学模拟汇编二49判定说理型问题，共15页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. （杭州市余杭中考模拟） 用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
【答案】D
2. （杭州市余杭中考模拟） 已知：是两个连续自然数，且．设，则
Ａ．总是奇数Ｂ．总是偶数
Ｃ．有时是奇数，有时是偶数 Ｄ．有时是有理数，有时是无理数
【答案】A
三、解答题
1．（南京市雨花台中考一模）(8分)如图，四边形是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，点E是⊙O上一点，且∠AED=45°。
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由;
（2）若⊙O 的半径为，，求∠ADE的正弦值．

（第1题）
答案：解：（1）与相切。…………………1分
理由是：连接，
则
∵四边形是平行四边形，
∴∥
∴
∴ ∴与相切。………………4分
（2）连接，则，
∵是的直径，
∴，……………………6分
在△中 ，。
∴ ………………………………8分
（其它解法，正确合理可参照给分。）
2.（南京市玄武区中考一模）（7分） 如图，AB为⊙O的直径，点C在上，点D在AB的延长线上于，且AC=CD，已知∠D＝30°.
⑴判断CD与⊙O的位置关系，请说明理由。
⑵若弦CF⊥AB，垂足为E，且CF＝，求图中阴影部分的面积.
答案：（1）CD与⊙O相切………………..1分
理由：连接OC……………2分
∵AC=DC，∴∠A=∠D=30°
∵AO=CO，∴∠OCA=∠A=30°………….3分
∠COD=60°，∴∠D+∠COD=90°，∴∠OCD=90°
∴OC⊥CD, ∴CD与⊙O相切………………4分
（2）∵CF⊥AB，∴CE=CF=……………..5分
在Rt△OCE中，sin60=, OC=2
OE=1 ,-==…………..7分
3.（南京市雨花台中考一模）（8分）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘、,转盘上一条直径与一条半径垂直，转盘被分成相等的3份，并在每份内均标有数字．小明和小刚用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：
①分别转动转盘与；
②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；
③如果和为0,则小明获胜；否则小刚获胜．
（1）用列表法（或树状图）求小明获胜的概率；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？如果你认为不公平，请适当改动规则使游戏对双方公平．
答案：（1）P(小明获胜)=(列表或画出树状图得3分，求对概率得2分)… 5分
（2）游戏对双方不公平. ………6分
规则改为：看两个数字之积，如果积为0,则小明胜，否则小刚胜.
（其他改动只要符合要求也可） ………8分
4．（南京市江宁区中考一模）（本题8分）某班“新春联欢会”中，有一个摸奖游戏，规则如下：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张笑脸、 2张哭脸．现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同学去翻纸牌．
（1）现小芳有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖．她从中随机翻开一张纸牌，小芳获奖的概率是 ．
（2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会．小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌．他们翻开的两张纸牌中只要出现笑脸就获奖．他们获奖的机会相等吗？请说明理由．
答案： （1）（或填0.5）．………………………………………………………………2分
（2）他们获奖的机会不相等……………………………………………………………3分
P（小芳获奖）=………………………………………………………………………5分
P（小明获奖）=………………………………………………………………………7分
因为，所以他们获奖的机会不相等……………………………………………8分
5．（南京市高淳县中考一模）
(8分)小亮与小明做投骰子（质地均匀的正方体）的实验与游戏．
（1）在实验中他们共做了50次试验，试验结果如下：
① 填空：此次实验中，“1点朝上”的频率是 ▲ ；
② 小亮说：“根据实验，出现1点朝上的概率最大．”他的说法正确吗？为什么？
（2）在游戏时两人约定：每次同时掷两枚骰子，如果两枚骰子的点数之和超过6，则小
亮获胜，否则小明获胜．则小亮与小明谁获胜的可能性大？试说明理由．
解：(8分)（1）① 0.2 ………1分
② 不正确 ………2分
因为在一次实验中频率并不等于概率，只有当实验中试验次数很大时，频率才趋近于
概率． ………3分
（2） 列表如下：
………5分
所有可能的结果共有36种，每一种结果出现的可能性相同．
所以P（点数之和超过6）＝ EQ \F(21,36) ，P（点数之和不超过6）＝ EQ \F(15,36) ………7分
因为 EQ \F(21,36) ＞ EQ \F(15,36) ，所以小亮获胜的可能性大．………8分
6. （南京市玄武区中考一模）
（7分）在课外活动时间，小王、小丽、小华做“互相踢踺子”游戏，踺子从一人传到另一人就记为踢一次．
（1）若从小丽开始，经过两次踢踺后，踺子踢到小华处的概率是多少？
（2）若从小丽开始踢，经过三次踢踺后，小丽认为踢到她的可能性最大，你同意她的观点吗？请说明理由．
解：
第一次 第二次 第三次
小王
小丽 小华
小王
小王 小华 小丽
小丽 小王
小丽
小华 小华
小王 小丽
小华………………..3分
如以上树状图可知：（1）从小丽开始，经过两次踢踺后，有四种等可能的结果，所以P（踺子踢到小华）=……………………4分
（2）不同意。………………………5分
当踢三次后，有8种等可能的结果，P（踢到小丽处）=，此时概率最小
所以，小丽的说法不对。…………………..7分
7．（南京市下关区秦淮区沿江区中考一模）
(10分)如图直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(0，3)，点M在线段AB上．
(1)如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为2，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．
答案：(1)直线OB与⊙M相切． ……………………1分
理由：
设线段OB的中点为D，连结MD．……………………2分
因为点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD＝2．
所以MD⊥OB，点D在⊙M上．……………………4分
又因为点D在直线OB上，……………………5分
所以直线OB与⊙M相切．
(2) 解法一：可求得过点A、B的一次函数关系式是y＝ eq \f(3,4) x＋3，………………7分
因为⊙M与x轴、y轴都相切，
所以点M到x轴、y轴的距离都相等．……………………8分
设M(a，－a) (－4＜a＜0) ．
把x＝a，y＝－a代入y＝ eq \f(3,4) x＋3，
得－a＝ eq \f(3,4) a＋3，得a＝－ eq \f(12,7) ．……………………9分
所以点M的坐标为(－ eq \f(12,7) ， eq \f(12,7) )．……………………10分
解法二：连接ME、MF．设ME＝x(x＞0)，则OE＝MF＝x，…………6分
AE＝ eq \f(4,3) x，所以AO＝ eq \f(7,3) x．………………8分
因为AO＝4，所以， eq \f(7,3) x＝4．
解得x＝ eq \f(12,7) ．……………………9分
所以点M的坐标为(－ eq \f(12,7) ， eq \f(12,7) )．……………………10分
8．（南京市下关区秦淮区沿江区中考一模）(6分)如图，已知，四边形ABCD为梯形，分别过点A、D作底边BC的垂线，垂足分别为点E、F．四边形ADFE是何种特殊的四边形？请写出你的理由．
答案：四边形ADFE是矩形．…………1分
证明：因为四边形ABCD为梯形，所以AD∥EF．……………………2分
因为AE是底边BC的垂线，所以∠AEF＝90°．同理，∠DFE＝90°．
所以，AE∥DF，……………………4分
所以，四边形ADFE为平行四边形．
又因为∠AEF＝90°，……………………6分
所以四边形ADFE是矩形．
9. （南京市浦口区中考一模）（8分）如图，已知线段是的中点，直线于点，直线于点，点是左侧一点，到的距离为
（1）画出点关于的对称点，并在上取一点，使点、关于对称；
（保留画图痕迹，不要求写画法）
（2）与有何位置关系和数量关系？请说明理由.
（本题8分）
解：（1）如图，······················································2分
（2）与平行且相等．3分
证明：设分别交、于点、．
∵P、关于对称，点在上，∴
又∵，∴--------------------------------4分
∵，，∴．
∴四边形是矩形．
∴---------------------------------------------------------------------------6分
∴P、关于对称，
∵、关于对称，
∴
∴
∴---------------------------------------------------------------------------------------8分
10．（南京市浦口区中考一模）（7分）如图，内接于⊙，点在半径的延长线上，．
（1）判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙的半径长为1，求由弧、线段和所围成的阴影部分面积（结果保留和根号）．
答案：（本题7分）
解：（1）直线与⊙O相切．------------------------------------------ 1分
理由：在⊙O中，．
又，是正三角形，.-------------------2分
又，，
．-------------------------------------------------- 3分
又是半径，直线与⊙O相切．----------------------------- 4分
（2）由（1）得是，．
，．------------------------------------------ 5分
．-------------------------------------- 6分
又，
．---------------------- 7分
11．（南京市六合区中考一模）（8分）如图，△ABC中，AB=4，AC=2，BC=2 eq \r(\s\d1(),3)，以BC为直径的半圆交AB于
点D，以A为圆心，AC为半径的扇形交AB于点E．
（1）以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系？请说
明理由；
（2）求图中阴影部分的面积（结果可保留根号和）．
答案：解：（1）相切．……………………1分
理由：∵22+(2 eq \r(\s\d1(),3))2=16=42, ∴AC2+BC2=AB2 ． ∴∠ACB=90°．
∴以BC为直径的圆与AC所在的直线相切．……………………4分
（2）∵Rt△ABC中，csA= eq \f(AC,AB) = eq \f(1,2) ．
∴∠A=60°．……………………5分
∴S阴影=S半圆–（S△ABC–S扇形ACE）= eq \f(1,2)π( eq \r(\s\d1(),3))2–( eq \f(1,2)22 eq \r(\s\d1(),3)– eq \f(60,360)π22)=–2 eq \r(\s\d1(),3)．……8分
12．（南京市江宁区中考一模）(本题12分) 在正方形网格中以点为圆心，为半径作圆交网格于点（如图（1）），过点作圆的切线交网格于点，以点为圆心，为半径作圆交网格于点
（如图（2））．
图15
问题：
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）可以看作是由经过怎样的变换得到的？并判断的形状（不用说明理由）．
（4）如图（3），已知直线，且a∥b，b∥c，在图中用直尺、三角板、圆规画等边三角形，使三个顶点，分别在直线上．要求写出简要的画图过程，不需要说明理由．
答案：（1）连接BC，由网格可知点C在AB的中垂线上，
∴AC=BC，…………………………………………………………………………………1分
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，即是等边三角形.……………………………………………2分
∴=60°；…………………………………………………………………………3分
（2）∵CD切⊙A于点C，
∴
.…………………………………………………………………4分
在Rt与Rt中，
∵AB=AC,AE=AD.……………………………………………………………………5分
∴ （HL）.……………………………………………………6分
（3）可以看作是由绕点A顺时针旋转60°得到的. …………7分
是等边三角形.………………………………………………………………8分
（4）在直线a上任取一点，记为点A′，作A′M′⊥b，垂足为点M′；作线段A′M′的垂直平分线，此直线记为直线d；以点A′为圆心，A′M′长为半径画圆，与直线d交于点N′；………………………9分
过点N′作N′C′⊥A′N′交直线c于点C′；……………………………………10分
以点A′为圆心，A ′C′ 长为半径画圆，此圆交直线b于点B′； ……………11分
连接A′B′、B′C′，则△A′B′C′为所求等边三角形.………………………12分
13．（南京市建邺区中考一模）（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点O为底边上的中点，以点O为圆心，1为半径的半圆与边AB相切于点D．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当∠A＝60°时，求图中阴影部分的面积．
25．（本题8分）
解：（1）直线AC与⊙O相切．1分
理由是：
连接OD,过点O作OE⊥AC，垂足为点E．
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB．2分
∵AB=AC，点O为底边上的中点，
∴AO平分∠BAC3分
又∵OD⊥AB，OE⊥AC
∴OD= OE4分
∴OE是⊙O的半径．
又∵OE⊥AC，∴直线AC与⊙O相切．5分
（2）∵AO平分∠BAC，且∠BAC=60°， ∴∠OAD=∠OAE=30°，
∴∠AOD=∠AOE=60°，
在Rt△OAD中，∵tan∠OAD = eq \f(OD,AD) ，∴AD= eq \f(OD, tan∠OAD) =，同理可得AE=
∴S四边形ADOE = eq \f(1,2) ×OD×AD×2= eq \f(1,2) ×1××2=6分
又∵S扇形形ODE= eq \f(120π×12, 360 ) = eq \f(1,3) π7分
∴S阴影= S四边形ADOE －S扇形形ODE= eq \r(3) － eq \f(1,3) π．8分
24．（南京市鼓楼区中考一模）（8分）如图，△ABC中,∠B＝45°,∠C＝30°,AC＝2，以A为圆心，1为半径画⊙A．
（1）判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由；
（2）求图中阴影部分面积（结果保留根号）．
14．（本题8分）
解：（1）直线BC与⊙A相切．
理由如下：过点A作AD⊥BC，垂足为D，…………………………1分
在Rt△ADC，∠C＝30°，AC＝2，
∴AD＝ eq \f(1,2)AC＝1．…………………………3分
又∵⊙A半径为1，
∴直线BC与⊙A相切．…………………………5分
（2）∵AD⊥BC，∠B＝45°，AD＝1，∠C＝30°，
∴BD＝1．CD＝ eq \r(3),∴BC＝BD＋CD＝1＋ eq \r(3).
∴S△ABC＝ eq \f(1,2)BC×AD＝ eq \f(1,2)×（1＋ eq \r(3)）×1＝ eq \f(1＋ eq \r(3),2)．………………………6分
图中阴影部分的面积等于
S△ABC－S扇形＝ eq \f(1＋ eq \r(3),2)－ eq \f(105×π×12,360)＝ eq \f(1＋ eq \r(3),2)－ eq \f(7π,24)．…………………………8分
15. （南京市六合区中考一模）如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A（4，0）、B（2，2），连结OB、
AB．
（1）求a, b；
（2）将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△，则线段的中点
P的坐标为 ▲ ，并判断点P是否在此二次函数的图象上，说明你的理由．
答案：解：（1）由题意得
，……………………1分
解得……………………3分
（2）P（– eq \r(\s\d1(),2)，–2 eq \r(\s\d1(),2)）．……………………5分
当x = – eq \r(\s\d1(),2)时，y = – eq \f(1,2)(– eq \r(\s\d1(),2))2+2(– eq \r(\s\d1(),2))= –1–2 eq \r(\s\d1(),2) ≠ –2 eq \r(\s\d1(),2)．
所以点P不在此二次函数的图象上．……………………7分
16．（南京市溧水县中考一模）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示．
解答下列问题：
（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；
（2）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．
答案：（1）不同．理由如下：
往、返距离相等，去时用了2小时，而返回时用了2.5小时，
往、返速度不同．（2分）
（2）设返程中与之间的表达式为，
则 解之得（5分）
．（）（评卷时，自变量的取值范围不作要求）（6分）
当时，汽车在返程中，．
17．（南京市鼓楼区中考一模）（8分）小平所在的学习小组发现，车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是，车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置（如图1中 ＝ 2 \× GB3 ②的位置）．例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4 m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，即车辆能通过．
（1）小平认为长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯，请你帮他说明理由；
（2）小平提出将拐弯处改为圆弧（eq \(\s\up5(⌒), MM′)和eq \(\s\up5(⌒), NN′)是以O为圆心，分别以OM和ON为半径的弧），长8m，宽3m的消防车就可以通过该弯道了，具体的方案如图3，其中OM⊥OM′，你能帮小平算出，ON至少为多少时，这种消防车可以通过该巷子，？
M′
N
M
O
N′
图2
图3
图1
答案：（本题8分）
解：（1）作FH⊥EC，垂足为H，
∵FH＝EH＝4，
∴EF＝4 eq \r(2)．且∠GEC＝45°，
∵GC＝4，
∴GE＝GC＝4．
∴GF＝4 eq \r(2)－4＜3，即GF的长度未达到车身宽度，
∴消防车不能通过该直角转弯． ………………………3分
（2）若C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形.
∴OG＝4，OM＝4eq \R(,2),
∴OF＝ON＝OM－MN＝4eq \R(,2)－4.
∴FG＝8－4eq \R(,2)＜3．∴C、D在 eq \(\s\up 5( ⌒), MM′)上．
（以上未说明不扣分）
设ON＝ x ，连接OC．在Rt△OCG中，
OG＝x＋3，OC＝x＋4，CG＝4，由勾股定理得
OG2＋CG2＝OC2，即（x＋3）2＋42＝（x＋4）2．
…………………………6分
解得 x＝4.5 …………………………7分
答：ON至少为4.5米…………………………8分
18．（南京市鼓楼区中考一模）（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4eq \R(,3)，BC＝4．点M是AC上动点（与点A不重合），设AM＝x，过点M作AC的垂线，交直线AB于点N．
（1）当△AND的面积为eq \F(8eq \R(,3),3)时，求x的值；
（2）以D、M、N三点为顶点的△DMN的面积能否达到矩形ABCD面积的eq \F(1,8)？若能，请求出此时x的值，若不能，请说明理由．
答案：（本题10分）
解：（1）在Rt△ABC中，AB＝4eq \R(,3)，BC＝4，∠B＝90°，∴tan∠BAC＝eq \F(BC,AB)＝eq \F(4,4eq \R(,3))．
∴tan∠BAC＝eq \F(eq \R(,3),3)．∵∠BAC是锐角，∴∠BAC＝30°．
在Rt△AMN中，AM＝x，∠AMN＝90°，
∴MN＝AM·tan∠BAC＝eq \F(eq \R(,3),3)x，AN＝eq \F(MN,sin∠BAC)＝eq \F(2eq \R(,3)x,3)．………………………2分
∴S△ADN＝eq \F(1,2)·AD·AN＝eq \F(1,2)·4·eq \F(2eq \R(,3)x,3)＝eq \F(8eq \R(,3),3)．∴x＝2． ………………………3分
（2）设DN交AC于点E．
当点E、M重合时，x＝AM=eq \F(1,2)×4=2 ………………………4分
①当0＜x＜2时，点M在△ADN的内部．
过D作DF⊥AC，垂足为F．
∴DF＝AD·sin60°＝4×eq \F(eq \R(,3),2)＝2eq \R(,3)．
∵S△AMN＝eq \F(1,2)×x×eq \F(eq \R(,3),3)x＝eq \F(eq \R(,3),6)x2，S△ADN＝eq \F(1,2)×4×eq \F(2eq \R(,3)x,3)x＝eq \F(4eq \R(,3),3)x，
S△ADM＝eq \F(1,2)× x×2eq \R(,3)＝eq \R(,3)x，
∴S△DMN＝S△ADN－S△AMN－S△ADM＝eq \F(4eq \R(,3),3)x－eq \F(eq \R(,3),6)x2－eq \R(,3)x＝eq \F(eq \R(,3),3)x－eq \F(eq \R(,3),6)x2．
设S△DMN＝eq \F(1,8)S矩形ABCD，eq \F(eq \R(,3),3)x－eq \F(eq \R(,3),6)x2＝eq \F(1,8)×4eq \R(,3)×4＝2eq \R(,3)，2x－x2＝12．
∴x2－2x＋12＝0．∵ (－2)2－4×1×12＜0，∴该方程无实数根． ………6分
②当2＜x≤8时，点M在△ADN的外部．
∴S△DMN＝S△AMN＋S△ADM －S△ADN＝eq \F(eq \R(,3),6)x2＋eq \R(,3)x－eq \F(4eq \R(,3),3)x＝eq \F(eq \R(,3),6)x2－eq \F(eq \R(,3),3)x．
设S△DMN＝eq \F(1,8)S矩形ABCD，eq \F(eq \R(,3),6)x2－eq \F(eq \R(,3),3)x＝2eq \R(,3)， x2－2x＝12．
∴x2－2x－12＝0．∴x1＝1－eq \R(,13)＜0，舍去，x2＝1＋eq \R(,13)．
∵3＜eq \R(,13)＜4，∴4＜1＋eq \R(,13)＜5．
∴x＝1＋eq \R(,13)满足条件．
∴当S△DMN＝eq \F(1,8)S矩形ABCD时，x＝1＋eq \R(,13)．…………………………………10分
19．（南京市高淳县中考一模）
(第5题)
(9分)如图(1)，正方形ABCD中，点H从点C出发，沿CB运动到点B停止．连结DH交正方形对角线AC于点E，过点E作DH的垂线交线段AB、CD于点F、G．
（1）求证： DH＝FG；
（2）在图(1)中延长FG与BC交于点P，连结DF、DP（如图（2）），试探究DF
与DP的关系，并说明理由．
P
答案：(9分)（1）证明：过点F作FP⊥DC于点P
在正方形ABCD中易证FP＝DC………1分
又因为FP⊥DC，易证∠PFG＝∠HDC………2分
∵FP＝DC，∠PFG＝∠HDC，∠FPG＝∠DCH＝90°
∴△FPG≌△DCH ………3分
∴DH＝FG ………4分
（2）过点E分别作AD、BC的垂线，交AD、BC于点M、N，交AB、CD于点R、T．
因为点E在AC上，可得四边形AREM、ENCT是正方形．………6分
M
N
R
T
易证△FRE≌△DME≌△ENP
∴FE＝DE＝EP ………8分
又∵DE⊥FP，∴DF与DP的关系为相等且垂直．……9分

20. （萧山区中考模拟）（本小题满分6分）
能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由。
第17题
【答案】解：不能填。……………………………………1分
理由如下：
①
设所填的互不相同的4个数为a, b, c, d；则有
②
③
……………………………………3分
①－②得 即
因为： c≠ d，只能是c = -d ④
同理可得 因为 c ≠b ,只能c = -b ⑤
比较④，⑤得b=d ,与已知b≠d矛盾，所以题设要求的填数法不存在。…………2分
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
10
9
6
9
8
8
第2枚骰子掷得
第1枚 的点数
骰子掷得的点数
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
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