中考数学模拟汇编二36相似形

36.相似形

A组

一  选择题

1．(上海市杨浦区中考模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，DE∥BC，且AD=2CD，则以D为圆心DC为半径的⊙D和以E为圆心EB为半径的⊙E的位置关系是           （     ）

（A）外离；               （B）外切；

（C）相交；               （D）不能确定．

【答案】C

2．(浙江舟山市模拟)如图，等腰直角△ABC的直角边长为3，P为斜边BC上一点，且BP=1， D为AC上一点，若∠APD=45°，则CD的长为（  ▲  ）

A．  B.  C.  D.

【答案】C

3、(广东化州二模) 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是                                           （    ）

考查内容：

答案：B

4.（广州综合测试一）如图，是的中位线，则与的

面积之比是（    ）

A．1：2   B．1：4   C．1：3   D．

答案：B

二  填空题

1、(平顶山二模) 人的正常体温为37℃，它与在数学大家庭中被称为黄金数的0.618和乘积为              .℃（结果保留三位有效数字）.在这一气温下，人体的新陈代谢、生理节奏和生量机能都处于最佳状态.

考查内容:

答案：22.9

2、（徐汇区诊断卷） Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若, 则   ▲   ．

考查内容:

答案：

3、（天河区) 一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，

在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身

高为1.60米,则旗杆的高度为            米．

考查内容：

答案：16

4（2010海珠区调研）△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2:3，则△ABC与△DEF的面积的比为________.

答案:  4:9  .

三  解答题

1. （杭州市进化一中模拟）(本小题满分8分)

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．

求证：（1）△DEF∽△BDE；

（2）．

【答案】证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．……………………………………1分

∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．

∴∠BDE=∠CED．        …………………………………………1分

∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE．…………………………………………1分

     （2）由△DEF∽△BDE，得．

∴．   …………………………………………1分

由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．

∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF．…………………………………1分

∴．   …………………………………………1分

∴．   …………………………………………1分

∴． …………………………………………1分

2．（浙江金衢十一校联考）（12分）已知，边长为5的正方形ABCO在如图所示的直角坐标系中，点M（t，0）为x轴上一动点，过A作直线MC的

垂线交y轴于点N．

（1）                当t=2时，求直线MC的解析式；

（2）               设△AMN的面积为S，当S＝3时，求t的值；

（3）              取点P（1，y），如果存在以M、N、C、P为顶点的

四边形是等腰梯形，当t＜0时，甲同学说：y与t

应同时满足方程t2－yt－5＝0和y2－2t2－10y＋26＝0；

乙同学说：y与t应同时满足方程t2－yt－5＝0

和y2＋8t－24＝0，你认为谁的说法正确，并说明理由．

再直接写出t＞0时满足题意的一个点P的坐标．

【答案】 （1）       ………… （2分）

（2）S＝t2＋t（t＞0）……（1分）   t＝1……（1分）  

 S＝－t2－t（－5＜t＜0）…（1分）    t＝－2，t＝－3 （1分）

S＝t2＋t（t＜－5）……（1分）     t＝－6……（1分）

（3）               都正确，作PH⊥y轴 ，则△PHN∽△MOC，  得 ，

所以   t2－yt－5＝0， 满足PN∥CM …………（1分）

由Rt△PCH得  1＋（y－5）2＝2t2，

所以   y2－2t2－10y＋26＝0 ，满足PC＝MN，    故甲正确……（1分）

     　 直线x＝1与x轴交于E，由 Rt△PＭE得 ，

（5－ｔ）2＝y2＋（1－t）2  

      所以   y2＋8t－24＝0 ，满足PM＝CN，    故乙正确 ……（1分）  

             （每个方程1分）

P（1，6）…………（1分）

3. (珠海市香洲区模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC.

(1)若B=30°，AB=2，求CD的长；

(2)求证：AE2=EB·EC.

【答案】

 (1)解：∵ AB是⊙O的直径，∠B＝30°，AB＝2

∴ ∠ACB=90°, AC=AB=1, ∠CAB=60°       ……2分 

          ∵  弦CD⊥AB

∴  CM=AC·sin∠CAB=,  CM=DM        ……3分

          ∴ CD=2CM=             ……4分

     (2)证明：∵ AE切⊙O于点A

              ∴∠EAB=90°                    ……5分

              ∵∠ECA=90° ,  ∠E=∠E

              ∴ △ACE∽△BAE                ……6分

               ∴    ∴ AE2＝EB·EC    ……7分 （其它解法可参照给分）

4．（南京市溧水县中考一模）（9分）已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．

（1）设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；

（3）连结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．

解：（1）取中点，连结，

为的中点，，．······················································1分

又，．·······························································2分

，得；····························································3分

（2）过D作DP⊥BC，垂足为P，∠DAB=∠ABC=∠BPD=90°，∴四边形ABPD是矩形．

以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，

， 又，∴DE=BE+AD-AB=x+4-2=x+2……4分

PD=AB=2，PE= x-4，DE2= PD2+ PE2，…………………………………………………5分

∴（x+2）2=22+（x-4）2，解得：．

∴线段的长为．…………………………………………………………………………6分

（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，

又易证得．···························································· 7分

由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．

①当时，，．．

，易得．得；·························································· 8分

②当时，，．

．又，．

，即=，得x2=[22+（x-4）2]．

解得，（舍去）．即线段的长为2．·········································9分

综上所述，所求线段的长为8或2．

5．（南京市雨花台中考一模）（14分）如图，在□ABCD中，，．点由出发沿方向匀速运动，速度为；同时，线段由出发沿方向匀速运动，速度为，交于，连接、．若设运动时间为（s）（）．解答下列问题：

（1）当为何值时，∥？并求出此时的长;

（2）试判断△的形状，并请说明理由．

（3）当时，

(ⅰ)在上述运动过程中，五边形的面积     ▲      (填序号)

①变大        ②变小        ③先变大,后变小        ④不变

(ⅱ)设的面积为，求出与之间的函数关系式及的取值范围．

                                                           （（第2题）

解：（1）由题意知，,

在□中，，，

     当∥时，∽,∴，∴…………………3分

    (或当∥时，,∴，∴)

 此时，点、分别为、的中点，

∴……………………………………4分

(2)△是等腰三角形       ………………………………………………………5分

证明：在□中，，，∴,

∵∥,∴

∴∴,

∴，∴，

∵∥,∴，

∴≌,∴……8分

(3) (ⅰ)在上述运动过程中，五边形的面积    ④     (填序号)…………10分

(ⅱ) ∵△∽△，∴，∴…………11分

过点作于点，过点作于点，

∴△∽△，∴，∴

∴……………13分

∴当时，，

∴                   ……………………………………14分

（其它解法，正确合理可参照给分。）

6、(怀柔一模) （本题满分6分）等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小亮拿着300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．

（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；

（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．

①         探究１：△BPE与△CFP还相似吗？

②         探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；

③         设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

 图a                    图b

考查内容：

答案：

解：（1）证明：

而

所以

由可知

结论成立. ………………………………………………………………………（3分） 

（2）相似……………………………………………………………………………（4分）

相似……………………………………………………………………………（5分）

理由：由△BPE与△CFP相似可得

即，而  知结论成立…………（6分）

③由△BPE与△PFE相似得，即，过F作PE垂线可得

………………………………………………（7分）

 图a                    图b

7、(宁波江北模拟) （9分） 已知：如图，ΔABC中，∠B=∠C=30°.请你设计三种不同的分法，将ΔABC分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似三角形但不全等的直角三角形.请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数或记号，并在各种分法的空格线上填空.（画图工具不限，不要求写出画法，不要求说明理由）.

      分法一                  分法二                 分法三

分法一：分割后所得的四个三角形中，Δ              ≌Δ              ，RtΔ          ∽RtΔ          .

分法二：分割后所得的四个三角形中，Δ              ≌Δ              ，RtΔ          ∽RtΔ          .

分法三：分割后所得的四个三角形中，Δ              ≌Δ              ，RtΔ          ∽RtΔ          .

考查内容：

答案：略每个图3分

参考图案：分法一：

分法二：

分法三：

分法四：

分法五：

36.相似形

一  选择题

1.（河南三门峡模拟一）如图，梯子共有7级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等.已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1 = 0.5m，最下面一级踏板的长度A7B7 = 0.8m.则第五级踏板A5B5的长度为 (    )

A.0.6m             B.0.65m          C.0.7m        D.0.75m

答案：C

2．（北京昌平区统一练习一）已知：如图,在等边三角形ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，D是MN上任意一点，CD、BD的延长线分别与AB、AC交于F、E，若 ，则等边三角形ABC的边长为

A.         B.              C.               D.1

答案：C

3（淮北五校三模）下列命题错误的是(    )

A. 所有等腰三角形都相似

B. 有一对锐角相等的两个直角三角形相似

C. 全等三角形一定相似

D. 所有的等边三角形都相似

答案   A

二  填空题

1. (广东化州市中考模拟)现有一个标准的视力表，它是以能否分辨出表中“Ｅ”的开口朝向为依据，该表要求的测试距离为５米，若把表中的“Ｅ”都缩小为原来的，要使测试的标准不变，则测试距离应定为　　　米。

答案:  3

2．（北京房山区统一练习一）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，

DE//BC，若AD：AB=3：4， DE=6，则BC= ________．    

答案：8

3．（北京丰台区统一练习）已知在△ABC中，BC=a.如图1，点B1  、C1分别是AB、AC的中点，则线段B1C1的长是_______；如图2，点B1 、B2 ，C1 、C2分别是AB 、AC的三等分点，则线段B1C1 + B2C2的值是__________；

如图3, 点，分别是AB、AC的（n+1）等分点，则线段B1C1 + B2C2+……+ BnCn的值是 ______.

答案：,

4.(广州四中初三第一次模拟测试)填空题1如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是______________。

答案  14/16/26

5.(白云区初中毕业班综合测试)如图6，光源Ｐ在水平放置的横杆ＡＢ的正上方，ＡＢ在灯光下的影子ＣＤ也呈水平状态．ＡＢ＝４m，ＣＤ＝１２m，点Ｐ到ＣＤ的距离是３.９m，则ＡＢ与ＣＤ间的距离是　　＊　　m．

答案２.6

6.（重庆一模）已知△ABC中，DE∥BC，且DE=2，BC=5，则△ADE和△ABC的面积比为___________

答案  _4:25_

7.（淮北五校三模）如图，△ABC中，DE∥BC，AE＝2，EC＝4，△ADE的面积为3，则梯形DBCE的面积为                       

答案  24

三  解答题

1. （广东化州市文楼镇中考模拟一）（本题10分）如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H。                                                           

（1））证明：DG2=FG·BG

（2）若AB=5，BC=6，则线段GH的长度。

（1）证明：∵ ABCD是矩形，且AD//BC

∴ △ADG∽△BGE

∴ =（1分）

又∵ △AGF∽△DGE

∴ =（1分）

∴ =（2分）

∴ DG2=FG·BG（1分）

（2）∵ ACED为平行四边形，AE,CD相交点H

∴ DH=DC=AB=

∴  在直角三角形ADH中，AH2=AD2-DH2 ,      

∴  AH=（2分）

又 △ADG∽△BGE

∴  ==,   AG=GE=×AE=×13=（2分）

∴ GH= AH-AG= -= （1分）

2．（南京白下区模拟测试一）（12分）如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．

（1）若图1中，∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；

（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）

②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．

（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B＝90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．

解：（1）理由：∵∠A＝50°，

∴∠ADE＋∠DEA＝130°．

∵∠DEC＝50°，

∴∠BEC＋∠DEA＝130°．

∴∠ADE＝∠BEC．  …………………………………………………………1分

∵∠A＝∠B，

∴△ADE∽△BEC．  …………………………………………………………2分

∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．  ……………………………3分

（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．（若不用圆规画图，则必须在图上标注直角符号或对直角另有说明．）………………………5分

②对于任意的一个矩形，不一定存在强相似点，如正方形．(答案不惟一，若学生画图说明也可．) ………………………………………………………6分

（3）第一种情况：

∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，∠ADE＝∠BEC＝∠EDC，

即△ADE∽△BEC∽△EDC．

方法一：

如图1，延长DE，交CB的延长线于点F， ………………………………7分

说明DE＝EF， ………………………………………………………………8分

说明AE＝BE． ………………………………………………………………9分

方法二：

如图2，过点E作EF⊥DC，垂足为F． ………………………………7分

因为∠ADE＝∠CDE，∠BCE＝∠DCE，

所以AE＝EF，EF＝BE．

所以AE＝BE． ………………………………………………………………9分

方法三：

由△ADE∽△EDC可得＝，即AE＝．   …………………7分

同理，由△BEC∽△EDC可得＝，即BE＝， ……………8分

所以AE＝BE． ………………………………………………………………9分

第二种情况：

如图3，∠A＝∠B＝∠EDC＝90°，∠ADE＝∠BCE＝∠DCE，

即△ADE∽△BCE∽△DCE．

所以∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝60°，……………………………………10分

说明AE＝DE，BE＝CE，DE＝CE，

（或说明BE＝DE，AE＝DE，）

所以AE＝BE．

            综上，AE＝BE或AE＝BE．………………………………………………12分

3.（北京平谷区一模）．已知点A，B分别是两条平行线，上任意两点，C是直线上一点，且∠ABC=90°，点E在AC的延长线上,BC＝AB (k≠0).

（1）当＝1时，在图（1）中，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线于点F.，写出线段EF与EB的数量关系，并加以证明；

（2）若≠1，如图(2)，∠BEF＝∠ABC，其它条件不变，探究线段EF与EB的数量关系，并说明理由．

答案  解：（1）正确画出图形………………………………………….…………..1分

．  ……………………………………………2分

证明：如图（1），在直线上截取，连结．

，，．

，.

，，．

，．············································3分

，．……………………………4分

，．

．又，

．

.

．…………………….………………………………..5分

（2）．

说明：如图(2)，过点作，，垂足为．

．

，，

．

四边形为矩形．

，．

,

．

．···································································6分

．．

在和中，，

． ………………………………………………………………………………7分

4.（北京怀柔一模）等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小亮拿着300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．

（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；

（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．

①         探究１：△BPE与△CFP还相似吗？

②         探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；

③         设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

图a                             图b

答案  解：（1）证明：

而

所以

由可知

结论成立. ………………………………………………………………………（3分） 

（2）相似……………………………………………………………………………（4分）

相似……………………………………………………………………………（5分）

理由：由△BPE与△CFP相似可得

即，而  知结论成立…………（6分）

③由△BPE与△PFE相似得，即，过F作PE垂线可得

………………………………………………（7分）

 图a                    图b

5. （淮北五校三模）如图，已知△ABC中CE⊥AB于E,BF⊥AC于F,

（1）求证：△AFE∽△ABC；

（2）若∠A=60°时 ，求△AFE与△ABC面积之比。

解：

答案  （1）证明：∵∠AFB=∠AEC=90°，∠A=∠A，

∴△AFB∽△AEC…………………………………3分

∴，

∠A=∠A，

∴△AFE∽△ABC………………………………………………6分

（2）∵△AFE∽△ABC………………………………………………………7分

∴ ……………………………12分

6.（淮北五校三模）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG。请探究：

（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由。

（2）若设，，当取何值时，最大？

（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？

解：

答案  解：（1）

            理由：正方形ABCD和正方形BEFG中

             ∴

             又…………2分

             ∴△ABE≌△CBG …………………3分

∴ ……………………4分

      （2）∵正方形ABCD和正方形BEFG

           ∴

∴

∴

又∵

∴△ABE∽△DEH  ……………………6分

∴ 

           ∴ ………………………………………………7分

           ∴

                ………………………………………8分

            当时，有最大值为………………………………9分

（3）当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE ………10分

理由：∵ E是AD中点

∴

∴ …………………11分

又∵△ABE∽△DEH

∴ ……………………………………12分

又∵

∴ ……………………………………13分

又

∴ △BEH∽△BAE……………………………………14分

7. (武汉样卷) 如图，已知等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上一动点，

BC＝nDC，CE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．

⑴如图1，若n＝3，则=__________，=__________．

⑵如图2，若n＝2，求证：AF＝2FC；

⑶当n＝__________，F为AC的中点(直接填

出结果，不要求证明)．

答案  ⑴若n＝3，则=3，=9．………(2分)

⑵当n=2时，D为BC的中点，取BF的中点G，连DG．则DG∥CF，CF=2DG．AC=BC=2DC．可证AC2=AE·AD，CD2=DE·AD，∴==4．∵DG∥CF，∴==4，AF=4DG．又CF=2DG，∴AF=2CF．………(7分)

⑶当n=时，F为AC的中点．………(10分)