中考数学模拟汇编二34矩形 菱形 正方形

这是一份中考数学模拟汇编二34矩形 菱形 正方形，共40页。
34.矩形、菱形、正方形

A组
一 选择题

A
D
C
B
E
F
(第17题图)
1．(上海市杨浦区中考模拟)如图，在矩形ABCD中，AD =4，DC =3，将△ADC绕点A按逆时针方向旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），则C点运动的路线的长度为 .
【答案】；




2. （杭州市余杭中考模拟）　如图，矩形ABCG（）与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上， 的顶点P在线段BD上移动，使为直角的点P的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C








3. (杭州市金山学校中考模拟)（原创）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60° 的菱形，剪口与折痕所成的角a 的度数应为（ ▲ ）
A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
【答案】D
4. (杭州市金山学校中考模拟) （引黄冈市 2010秋期末考试九级数学模拟试题）
正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为（ ▲ ）
Ａ、10　　 Ｂ、12 Ｃ、14　　 　Ｄ、16
【答案】D
5、 （南京市浦口区中考一模）如图，从边长为（a＋3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为acm，则另一边长是（ ▲ ）
A．（2 a＋3）cm B．（2 a＋6）cm C．（2a＋3）cm D．（a＋6）cm
a
（第1题）






答案：D
6．（南京市下关区秦淮区沿江区中考一模）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为( ▲ )
A．1 B．2 C．2 D．12




答案：C


7. （浙江新昌县模拟）如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，
那么需要添加的条件是
A. B. C. D.
【答案】D

二、填空题
1. (杭州市金山学校中考模拟)（原创）
如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 ▲ .
【答案】
2．（浙江金衢十一校联考）如图正方形ABCD，其边长为4．P是射线AB上的点，且AP=x．将△APD沿过点D的折痕PD折叠，点A的落点记为A/，若△A/DP与正方形ABCD的重叠面积记为S，
（1）若x=6, 则S= ▲
（2）≤S≤1时，则x的取值范围为（用含x的不等式表示）____▲ ______．
【答案】 或 32 ≤x≤64
3．(浙江舟山市模拟)如图，Rt△ABC中，∠C= Rt∠，AC=10，BC=20，
正方形DEFG顶点G、F分别在AC、BC边上，D、
E在边AB上，且JE//GH//BC，IF//DK//AC，则四边
形HIJK 的面积= 。
【答案】
4．（南京市建邺区中考一模）一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图），则矩形的长与宽的比为 ▲ ．






答案：2︰（或或）


5．（南京市下关区秦淮区沿江区中考一模）如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，点G在边AD上，且∠ECG＝45°，点F在边AD的延长线上，且DF= BE．则下列结论：①∠ECB是锐角，；②AE＜AG；③△CGE≌△CGF；④EG= BE＋GD中一定成立的结论有 ▲ (写出全部正确结论)．
答案： ①③④


三 解答题

1．（浙江金衢十一校联考）（12分）已知，边长为5的正方形ABCO在如图所示的直角坐标系中，点M（t，0）为x轴上一动点，过A作直线MC的
垂线交y轴于点N．
（1） 当t=2时，求直线MC的解析式；
（2） 设△AMN的面积为S，当S＝3时，求t的值；
（3） 取点P（1，y），如果存在以M、N、C、P为顶点的
四边形是等腰梯形，当t＜0时，甲同学说：y与t
应同时满足方程t2－yt－5＝0和y2－2t2－10y＋26＝0；
乙同学说：y与t应同时满足方程t2－yt－5＝0
和y2＋8t－24＝0，你认为谁的说法正确，并说明理由．
再直接写出t＞0时满足题意的一个点P的坐标．




【答案】 （1） ………… （2分）
（2）S＝t2＋t（t＞0）……（1分） t＝1……（1分）
S＝－t2－t（－5＜t＜0）…（1分） t＝－2，t＝－3 （1分）
S＝t2＋t（t＜－5）……（1分） t＝－6……（1分）
（3） 都正确，作PH⊥y轴 ，则△PHN∽△MOC， 得 ，
所以 t2－yt－5＝0， 满足PN∥CM …………（1分）
由Rt△PCH得 1＋（y－5）2＝2t2，
所以 y2－2t2－10y＋26＝0 ，满足PC＝MN， 故甲正确……（1分）
　 直线x＝1与x轴交于E，由 Rt△PＭE得 ，
（5－ｔ）2＝y2＋（1－t）2
所以 y2＋8t－24＝0 ，满足PM＝CN， 故乙正确 ……（1分）

（每个方程1分）

P（1，6）…………（1分）



2. （浙江新昌县模拟） 将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角得到正方形，如图1所示.
（1）当=45时(如图2)，若线段与边的交点为，线段与的交点为，可得下列结论成立 ①；②，试选择一个证明.
（2）当时,第（1）小题中的结论还成立吗?如果成立，请证明;如果不成立，请说明理由.

（3）在旋转过程中，记正方形与AB边相交于P,Q两点，探究的度数是否发生变化？如果变化，请描述它与之间的关系;如果不变，请直接写出的度数.




【答案】（1）若证明①
当=45时,即,又
∴ ,同理
∴ 2分
在Rt和Rt中，有
∴ 2分
若证明②
法一证明:连结,则
∵是两个正方形的中心，∴

∴ 2分
∴
即∴ 2分
法二：证明，同①先证明
得
∵∴即 2分
在和中有



∴≌
∴ 2分
（2）成立 1分
证明如下：法一证明:连结,则
∵是两个正方形的中心，∴

∴ 2分
∴
即∴ 2分

法二
如图，作,垂足分别为E,F
则 ,
在Rt和Rt中，有
∴
2分
∵∴即
在和中有

∴≌
∴ 2分
（3）在旋转过程中,的度数不发生变化， 1分
2分



（第21题图）
3．(浙江舟山市模拟)（本题10分）如图，已知Rt△，，的平分线交于点，的垂直平分线分别交于点，．
（1）请以图中的点为顶点（不增加其他的点）分别构造两个菱形和两个等腰梯形．那么，构成菱形的四个顶点是 ▲ 或 ▲ ；构成等腰梯形的四个顶点是 ▲ 或 ▲ ；
（第22题图）
（2）请你各选择其中一个图形加以证明。

【答案】解：（1）构成菱形的四个顶点是B、E、D、F或E、D、C、G 2分
构成等腰梯形的四个顶点是B、E、D、C或E、D、G、F； 2分
（2）证出一个得3分







（ⅰ）∵垂直平分 （ⅱ）∵菱形
∴， ∴∥ ……… 1分
∴ ∵
∵平分 ∴ ……… 1分
∴ ∴四边形是等腰梯形．……1分
∵
∴≌
∴ ………… 2分
∴ ……… 1分
∴四边形是菱形．
或（ⅲ）∵等腰梯形 （ⅳ）∵菱形，
∴ ∴
∵ ∵
∴ ∴
∵∥ ∵
∴四边形是平行四边形 ∴≌
∵ ∴
∴四边形是菱形． ∵∥
∴四边形是等腰梯形．



4. (珠海市香洲区模拟)设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE作第二个正方形AEGH，如此下去…
(1)记正方形ABCD的边长为=1，按上述方法所作的正方形边长依次为，请求出的值；
(2)根据以上规律写出的值.



【答案】
解：⑴
……2分
……3分
……4分

5. (珠海市香洲区模拟)已知，如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.
(1)求证：BE=DG；
(2)∠若B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论.








【答案】
证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴． ……1分
∵是边上的高，且是由沿方向平移而成．
∴． ……2分
∴．
∵，
∴． ……3分
∴． ……4分
(2）当时，四边形是菱形． ……5分
∵，，
∴四边形是平行四边形． ……6分
∵中，，
∴，
∴． ……7分
∵，
∴．
∴． ……8分
∴四边形是菱形． ……9分

6．（南京市高淳县中考一模）
(第5题)
(9分)如图(1)，正方形ABCD中，点H从点C出发，沿CB运动到点B停止．连结DH交正方形对角线AC于点E，过点E作DH的垂线交线段AB、CD于点F、G．
（1）求证： DH＝FG；
（2）在图(1)中延长FG与BC交于点P，连结DF、DP（如图（2）），试探究DF
与DP的关系，并说明理由．












P
解 ：（1）证明：过点F作FP⊥DC于点P
在正方形ABCD中易证FP＝DC………1分
又因为FP⊥DC，易证∠PFG＝∠HDC………2分
∵FP＝DC，∠PFG＝∠HDC，∠FPG＝∠DCH＝90°
∴△FPG≌△DCH ………3分
∴DH＝FG ………4分
（2）过点E分别作AD、BC的垂线，交AD、BC于点M、N，交AB、CD于点R、T．
因为点E在AC上，可得四边形AREM、ENCT是正方形．………6分
易证△FRE≌△DME≌△ENP
∴FE＝DE＝EP ………8分
M
N
R
T
又∵DE⊥FP，∴DF与DP的关系为相等且垂直．……9分







7．（南京市鼓楼区中考一模）（7分）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E、F为AB上两点，且△DAF≌△CBE．
求证：（1）∠A＝90°；
（2）四边形ABCD是矩形．





答案：（本题7分）
证明：（1）∵△DAF≌△CBE，∴∠A＝∠B． ……………………………1分
∵AD//BC，∴∠A＋∠B＝180°．……………………………2分
∴2∠A ＝180°．
即∠A ＝90°．………………………………………………3分
（2）∵△DAF≌△CBE，∴AD＝BC．……………………………4分
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．……………………………6分
∵∠A ＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．……………………………7分
7．（南京市鼓楼区中考一模）（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4．点M是AC上动点（与点A不重合），设AM＝x，过点M作AC的垂线，交直线AB于点N．
（1）当△AND的面积为时，求x的值；
（2）以D、M、N三点为顶点的△DMN的面积能否达到矩形ABCD面积的？若能，请求出此时x的值，若不能，请说明理由．







答案：（本题10分）
解：（1）在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，∠B＝90°，∴tan∠BAC＝＝．
∴tan∠BAC＝．∵∠BAC是锐角，∴∠BAC＝30°．
在Rt△AMN中，AM＝x，∠AMN＝90°，
∴MN＝AM·tan∠BAC＝x，AN＝＝．………………………2分
∴S△ADN＝·AD·AN＝·4·＝．∴x＝2． ………………………3分
（2）设DN交AC于点E．
当点E、M重合时，x＝AM=×4=2 ………………………4分
①当0＜x＜2时，点M在△ADN的内部．
过D作DF⊥AC，垂足为F．
∴DF＝AD·sin60°＝4×＝2．
∵S△AMN＝×x×x＝x2，S△ADN＝×4×x＝x，
S△ADM＝× x×2＝x，
∴S△DMN＝S△ADN－S△AMN－S△ADM＝x－x2－x＝x－x2．
设S△DMN＝S矩形ABCD，x－x2＝×4×4＝2，2x－x2＝12．
∴x2－2x＋12＝0．∵ (－2)2－4×1×12＜0，∴该方程无实数根． ………6分
②当2＜x≤8时，点M在△ADN的外部．
∴S△DMN＝S△AMN＋S△ADM －S△ADN＝x2＋x－x＝x2－x．
设S△DMN＝S矩形ABCD，x2－x＝2， x2－2x＝12．
∴x2－2x－12＝0．∴x1＝1－＜0，舍去，x2＝1＋．
∵3＜＜4，∴4＜1＋＜5．
∴x＝1＋满足条件．
∴当S△DMN＝S矩形ABCD时，x＝1＋．…………………………………10分

8．（南京市建邺区中考一模）（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC, DE∥AB.
证明：（1）AE=DC；（2）四边形ADCE为矩形．


答案：（本题6分）
证明：
（1）在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC 1分
∵AE∥BC, DE∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形 2分
∴BD=AE， 3分
∵BD=DC
∴AE = DC． 4分
（2）
解法一：∵AE∥BC，AE = DC，
∴四边形ADCE为平行四边形． 5分
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE为矩形． 6分
解法二：
∵AE∥BC，AE = DC，
∴四边形ADCE为平行四边形 5分
又∵四边形ABDE为平行四边形
∴AB=DE．∵AB=AC，∴DE=AC．
∴四边形ADCE为矩形． 6分
9．（南京市江宁区中考一模）（本题6分）如图，四边形是正方形，点在上，，垂足为，请你在上确定一点，使，请你写出两种确定点G的方案，并写出其中一种方案的具体作法和证明．

方案
一： ；

方案二：（1）作法：


(2) 证明：



答案：解：方案
：（一）过点B作BG⊥AE,垂足为G；
（二）在AE上截取AG=DF；
（三）作交AE于点G；…………………………2分
（注：其中任意一个均可作为方案一，另外再选择一个作为方案二）
（作法正确）……………………………………………………………………………3分
（2）①如果是过点B作BG⊥AE,垂足为G，证明如下：
∵，BG⊥AE，
∴.……………………………………………………………4分
由题意知，
∴.……………………………………………………………………5分
∵四边形是正方形，∴AD=AB,
在与中，，，AD=AB,
∴（AAS）. ………………………………………………………6分
②如果是在AE上截取AG=DF，证明如下：
∵，AD⊥AE，
∴
∴.……………………………………………………………………4分
∵四边形是正方形，∴AD=AB, ……………………………………………5分
在与中，AG=DF，，AD=AB,
∴（SAS）. ………………………………………………………6分
③如果作交AE于点G，证明如下：
∵，AD⊥AE，
∴
∴.……………………………………………………………………4分
∵四边形是正方形，∴AD=AB, ……………………………………………5分
在与中，， AD=AB，
∴（ASA）. ………………………………………………………6分

（图1）
（图2）
（图3）
10．（南京市溧水县中考一模）（8分）在平面上有且只有4个点，这4个点中有一个独特的性质：连结每两点可得到6条线段，这6条线段有且只有两种长度．我们把这四个点称作准等距点．例如正方形ABCD的四个顶点(如图1)，有AB=BC=CD=DA，AC=BD．其实满足这样性质的图形有很多，如图2中A、B、C、O四个点，满足AB=BC=CA，OA=OB=OC；如图3中A、B、C、O四个点，满足OA=OB=OC=BC，AB=AC．






（1）如图，若等腰梯形ABCD的四个顶点是准等距点，且AD∥BC．
①写出相等的线段（不再添加字母）；
②求∠BCD的度数．


（2）请再画出一个四边形，使它的四个顶点为准等距点，并写出相等的线段．

解：（1）①AB=DC=AD， AC=BD=BC．……………………………………………2分
②∵AC=BD，AB=DC，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，……3分
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∵DC=AD，∠DAC=∠ACD，∴∠ACD=∠ACB，………………………………4分
∵BC=BD，∠BDC=∠BCD=2∠ACB，……………………………………………5分
设∠ACB=x°，则∠BDC=∠BCD=2 x°，∠DBC= x°，
∴2 x+2 x+ x=180，解得x=36，
∴∠BCD=72°．…………………………………………………………………6分
（2）
AB=BD=AD =AC，BC = CD． 或 AB= BC= CD=BD=AD，AC，．……8分





11．（南京市溧水县中考一模）（9分）已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．
（1）设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；
（3）连结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．







解：解：（1）取中点，连结，
为的中点，，． 1分
又，． 2分
，得； 3分
（2）过D作DP⊥BC，垂足为P，∠DAB=∠ABC=∠BPD=90°，∴四边形ABPD是矩形．
以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，
， 又，∴DE=BE+AD-AB=x+4-2=x+2……4分
PD=AB=2，PE= x-4，DE2= PD2+ PE2，…………………………………………………5分
∴（x+2）2=22+（x-4）2，解得：．
∴线段的长为．…………………………………………………………………………6分
（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，
又易证得． 7分
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．
①当时，，．．
，易得．得； 8分
②当时，，．
．又，．
，即=，得x2=[22+（x-4）2]．
解得，（舍去）．即线段的长为2． 9分
综上所述，所求线段的长为8或2．

12．（南京市六合区中考一模）
（8分）我们通常可以对一些图形进行剪切,并利用图形的轴对称、平移、旋转等进
行图案设计,如图1中,可以沿线段AE剪切矩形ABCD,再将△ABE通过变换与梯形
AECD拼接成等腰梯形.
请按下列要求进行图案设计:
（1） 把矩形剪切2次拼接成一个菱形，请在图2中画出剪切线，再画出拼接示意图；
（2） 把矩形剪切１次拼接成一个菱形，请在图３中画出剪切线，再画出拼接示意图.

答案：（1）　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………4分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）

……………………8分

13．（南京市六合区中考一模）
（9分）如图1，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，边长为2cm的菱形DEFG两
边DG、DE分别在AC、AB上．若菱形DEFG以1cm/s的速度沿射线AC方向平移．
（1）经过 ▲ 秒菱形DEFG的顶点F恰好在BC上；
（2）求菱形DEFG的面积；
（3）设菱形DEFG与△ABC的重合部分为Scm2，菱形DEFG平移的时间为t秒．求
S与t的函数关系式．







答案：解：（1）1．…………………………2分
（2）方法一：
如图，连接GE、AF，交于点O，并延长AF 交BC于点H．
∵由AG=AE得∠AGE=∠AEG，由AB=AC得∠B=∠C，
∴∠AEG=∠C= ．
∴GE∥BC， ∴=，得GE= ．………………3分
∵菱形AEFG中，GE⊥AF，可得AH⊥BC，故CH=BC=3．
∴Rt△ACH中，AH==4．
∴=，得AO=，于是AF=．……………………4分
∴S菱形AEFG=´GE´AF= ． …………………………5分
方法二：易求S△ABC=12．………………3分
由△AGE∽△ABC得=()2　，即=()2　　．……………4分
所以，S△AGE=得S菱形AEFG= ．…………………………5分
（3）①当0≤t≤1时，S= ．…………………………6分
②当12），的矩形”，其他条件不变，试判断的大小关系，并说明理由；







考查内容：
答案：解：（1）
四边形ABCD为正方形
……………………………1分
…………………………………………2分
∶=AB∶BE=5:2 …………………………………3分
（2）在上取一点，使，连接．…………（4分）
．，．
是外角平分线，，．
．
，，
．
（ASA）．………………………………………（6分）
． …………………………………………………（7分）
（3）
在上取一点，使，连接．
．，．
是外角平分线，，．
．
，，
．
…………………………………………………（9分）
…………………………（10分）

23、(平顶山二模) （9分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC,AB=1,BC=,对角线AC、BD相交于点0，将直线AC绕点0顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.
（1）求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF为平形四边形；
（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由，并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数.

考查内容:
答案：证明:(1)如图1,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,即AF∥BE. ……1分
当旋转角为900时,AC⊥EF,又AB⊥AC, ∴AB∥EF. …………………………2分
∴四边形ABEF是平行四边形. …………………………3分
(2)在旋转过程中, 当EF⊥BD时,四边形BEDF可以是菱形.理由如下: ……4分
如图2, ∵四边形ABCD是平行四边形,由平行四边形的中心对称性可得:OF=OE,OB=OD,
∴四边形BEDF是平行四边形.又EF⊥BD, ∴四边形BEDF是菱形. ……………6分
在Rt△ABC中,由勾股定理可得:AC=,∴OA=.
∴OA=AB=1,又∠BAC=900,即△ABO为等腰直角三角形, ∴∠AOB=450. ………8分
∵EF⊥BD, ∴∠BOF=∠AOB+∠AOF=900, ∴∠AOF=450.
即:当AC绕点O顺时针旋转450时,四边形BEDF是菱形. …………………………9分





24、（徐汇区诊断卷）（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
如图，正方形ABCD中， M是边BC上一点，且BM=.
（1） 若试 用 表 示 ；
（2） 若AB=4

，求sin∠AMD的值.



考查内容:
答案：（1） ∵正方形ABCD，∴AD//BC，AB//CD，且AB=CD=BC=AD， …………1分
∵BM=，∴， ………………………………2分
∴ …………………………………………………………1分
（2）∵AB=4，且BM=，∴MC=3，BM=1，
在Rt△DMC中，DM ……………………1分
在Rt△ABM中，AM ……………………1分
过点A作AE⊥DM于E， ………………………………………………………1分
S△ADM=,∴. ………………………1分
在Rt△AEM中，sin∠AMD …………………………………2分

25、(天河区) （本小题满分12分）
如图，等腰△OBD中，OD=BD，△OBD绕点O逆时针旋转
一定角度后得到△OAC，此时正好B、D、C在同一直线上，
且点D是BC的中点.
（1）求△OBD旋转的角度；
（2）求证：四边形ODAC是菱形.
考查内容：
答案：（1）∵OD=BD，CD=BD，
∴OD=CD=BD------------------1分
又△OBD≌△OAC
∴OD=OC---------------2分
△ODC是等边三角形
∴∠COD=60°---------------4分
即△OBD旋转的角度为60°---------------5分

（2）∵△OBD≌△OAC，△ODC是等边三角形
∴OD=OC，BD=AC ，OB=OA
∠OCA=∠ODB=180°－60°=120°-----------------7分
∴∠ACD=∠OCA－∠OCD=120°－60°=60°
∴△ACD是等边三角形 ---------------9分
∴OD=OC=AC=AD ---------------11分
∴四边形ODAC是菱形. ---------------12分

另解：连结AB，由（1）得：∠AOB=60°又OB=OA
∴△AOB是等边三角形
∴OB=AB---------------7分
∴OD=OC=BD=AC
∴BC垂直平分OA
∴OD= AD --------------9分
∴OD=OC=AC=AD ---------------11分
∴四边形ODAC是菱形. ---------------12分


26.（番禺区综合训练）如图9，在梯形中，，，
是上一点，，．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
答案:

(1)证明：∵AD∥BC, EA⊥AD
∴EA⊥BC ………………………2分
∴∠AEB＝∠CEM=90°　
在Rt△MEB中，∠MBE＝45°
∴∠BME＝∠MBE＝45° ∴BE＝ME
(2)解: 在△ABE和△CME中,
∠BAE＝∠MCE
∠AEB＝∠CEM
BE＝ME
∴△ABE≌△CME
∴MC＝AB
又∵AB＝7
∴MC＝7
27. 番禺区综合训练）如图14，将一个边长为1的正方形纸片折叠, 使点落在边上（不与、重合）, 为折痕，折叠后与交于.
(1) P判断与是否相似？并说明理由;
(2) 当落在什么位置上时, 折叠起来的梯形
面积最小，并求此时两纸片重叠部分的面积.




答案: 解：（1）与是否相似.
其理由如下:
,
又

又由

∽.
（2）如图, 过作于,
则,
连,交于. 则由折叠知,
与关于直线
对称, 即≌,
有,,
. ………6分

∽（公用）
.
设则，代入上式得：
.

在和中,

,又
≌,.
故.

由，
得当时，即落在的中点处时,梯形面积最小，其最小值为. …12分
此时,,
由（1）得;
故,
所以两纸片重叠部分的面积为:
.
28. （萝岗区综合测试一)在如图所示的一张矩形纸片（）中，将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，分别连结和．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过作交于，求证：
（3）若，的面积为，求的周长；




答案：．解：（1）连结交于，
当顶点与重合时，折痕垂直平分，
，
在矩形中，，
，
．
四边形是菱形．
（2）证明：过作交于，
由作法，，
由（1）知：，又，
，
，则
四边形是菱形，，．





（3）四边形是菱形，
．
设，，，

①
又，则． ②
由①、②得：
，（不合题意舍去）
的周长为






29. （天河区综合练习）如图，等腰△OBD中，OD=BD，△OBD绕点O逆时针旋转
一定角度后得到△OAC，此时正好B、D、C在同一直线上，
且点D是BC的中点.
（1）求△OBD旋转的角度；
（2）求证：四边形ODAC是菱形.
答案: 解：（1）∵OD=BD，CD=BD，
∴OD=CD=BD
又△OBD≌△OAC
∴OD=OC
△ODC是等边三角形
∴∠COD=60°
即△OBD旋转的角度为60°

（2）∵△OBD≌△OAC，△ODC是等边三角形
∴OD=OC，BD=AC ，OB=OA
∠OCA=∠ODB=180°－60°=120°
∴∠ACD=∠OCA－∠OCD=120°－60°=60°
∴△ACD是等边三角形
∴OD=OC=AC=AD
∴四边形ODAC是菱形.

另解：连结AB，由（1）得：∠AOB=60°又OB=OA
∴△AOB是等边三角形
∴OB=AB
∴OD=OC=BD=AC
∴BC垂直平分OA
∴OD= AD
∴OD=OC=AC=AD
∴四边形ODAC是菱形.

30. (2010海珠区调研）
如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的一点， 求证：AE=CE

答案: 证明： 正方形ABCD







B组
34.矩形、菱形、正方形
一 选择题
1．（南京白下区模拟测试一）如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称，则点B的对称点是（▲）
A．点E B．点F C．点G D．点
答案：D
2.(广州四中初三第一次模拟测试)选择题．在下图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（ ）
（A）点A （B）点B
（C）点C （D）点D
答案 B

3.(广州四中初三第一次模拟测试)如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC= ( )
A.35° B.45° C.50° D.55°
答案 D


4．(白云区初中毕业班综合测试)若菱形两条对角线长分别为６和８，则这个菱形的面积为（＊）
（Ａ）１２　（Ｂ）１６　（Ｃ）２４　（Ｄ）４８
答案 C
5. （北京东城一模）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AB、AD的中点.动点从点B出发，沿B→C→D→F方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，当取到最大值时，点应运动到
A．的中点处 B．点处
C．的中点处 D．点处
答案 B

6 （重庆一模）．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，于
M，交AC于点N，交AB于点F，连结EN、BM．有如下
结论：①≌；②；③；
④；⑤．其中正
确结论的个数为
A． 2个 B．3个
C．4个 D．5个
答案 C
7（淮北五校三模）如图边长为4的正方形EFOG绕与之边长相等的正方形ABCD的中心O旋转任意角度，则重合部分的面积为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C




二 填空题
1. （河南油田模拟一）如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线
上有一点，使的和最小，则这个最小值为 .
答案：

2．（北京昌平区统一练习一）如图，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC，BD相交于点O，BD=6，则菱形ABCD的面积为 .

答案：24
3．（南京白下区模拟测试一）顺次连接矩形四条边的中点，得到的四边形的形状是 ▲ ．
答案：菱形

4.(2010-学两校联考综合测试)边长为５cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是 cm.
答案 8



三 解答题
1．（北京房山区统一练习一）（本小题满分5分）如图，A、B、C三点
在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC
为边做正方形ABEF和正方形BCMN，
联结FN，EC．
求证：FN=EC

证明：在正方形ABEF和正方形BCMN中
AB=BE=EF,BC=BN, ∠FEN=∠EBC=90° -----------2分
∵ AB=2BC
∴ EN=BC --------------------------3分
∴△FNE≌△EBC ----------------------4分
∴FN=EC -------------5分


2．（北京房山区统一练习一）（本小题满分5分）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=6，过点C作射线CP∥AB，在射线CP上截取CD=2，联结AD，求AD的长．
解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，则DE∥CF
∵CP∥AB，
∴四边形DEFC是矩形------------1分
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=6，CD=2
∴AF=CF=AB=3 ----------------2分
∴EF=CD=2,DE=CF=3 ------------------3分
∴AE=1 ---------------------4分
在△ADE中，∠AED=90°,DE =3,AE=1
∴AD= --------5分


3.（北京丰台区统一练习）已知:如图，在四边形ABFC中，=90°,的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE.
(1) 求证：四边形BECF是菱形；
(2) 当的大小为多少度时,四边形BECF是正方形？

解：⑴∵ EF垂直平分BC,
∴CF=BF,BE=CE ，∠BDE=90° …………………………1’
又∵ ∠ACB=90°
∴EF∥AC
∴E为AB中点， 即BE=AE………………………………2’
∵CF=AE ∴CF=BE
∴CF=FB=BE=CE …………………………………………3’
∴四边形是BECF菱形. …………………………………4’
⑵当∠A= 45°时，四边形是BECF是正方形. …………5’

4．（北京丰台区统一练习）认真阅读下列问题，并加以解决：
问题1：如图1，△ABC是直角三角形，∠C =90º．现将△ABC补成一个矩形．要求：使△ABC的两个顶点成为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上．请将符合条件的所有矩形在图1中画出来；



图1 图2
问题2：如图2，△ABC是锐角三角形，且满足BC＞AC＞AB，按问题1中的要求把它补成矩形．请问符合要求的矩形最多可以画出 个，并猜想它们面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）；
问题3：如果△ABC是钝角三角形，且三边仍然满足BC＞AC＞AB，现将它补成矩形．要求：△ABC有两个顶点成为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形的一边上,那么这几个矩形面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）．



解：（1
…………… 正确画出一个图形给1分，共2’
（2）符合要求的矩形最多可以画出 3 个，它们面积之间的数量关系是 相等 ；………4’
(3) 不相等 ． ……………………………………………………………








5.(浙江嵊州新昌中考数学模拟试题)
将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角得到正方形，如图1所示.
（1）当=45时(如图2)，若线段与边的交点为，线段与的交点为，可得下列结论成立 ①；②，试选择一个证明.
（2）当时,第（1）小题中的结论还成立吗?如果成立，请证明;如果不成立，请说明理由.
（3）在旋转过程中，记正方形与AB边相交于P,Q两点，探究的度数是否发生变化？如果变化，请描述它与之间的关系;如果不变，请直接写出的度数.


答案

（1）若证明①
当=45时,即,又
∴ ,同理
∴ 2分
在Rt和Rt中，有
∴ 2分
若证明②
法一证明:连结,则
∵是两个正方形的中心，∴

∴ 2分
∴
即∴ 2分
法二：证明，同①先证明
得
∵∴即 2分
在和中有



∴≌
∴ 2分
（2）成立 1分
证明如下：法一证明:连结,则
∵是两个正方形的中心，∴

∴ 2分
∴
即∴ 2分

法二
如图，作,垂足分别为E,F
则 ,
在Rt和Rt中，有
∴
2分
∵∴即
在和中有

∴≌
∴ 2分
（3）在旋转过程中,的度数不发生变化， 1分
2分


6.（北京怀柔一模）（1）如图①两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积.
（2）如图②，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1, 求三角形DBF的面积.
（3）如图③，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为，求三角形DBF的面积.







答案 （1） ………………………（2分）
（2）…………（2分）
结论是：三角形DBF的面积的大小只与a有关， 与无关.
（没写结论也不扣分）

7.（北京石景山一模）在边长为1的正方形网格中，正方形与正方形的位置如图所示．
（1）请你按下列要求画图：
① 联结交于点；
② 在上取一点，联结，，使△与△相似；
（2）若是线段上一点，连结并延长交四边形的一边于点，且满足，则的值为_____________．
答案 （1）如图所示




…………………………2分


（2）1、或2 ………………………………………………………………5分


8.（北京石景山一模）．已知：如图，正方形中，为对角线，将绕顶点逆时针旋转°（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．
（1）在的旋转过程中，的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；
（2）探究△与△的面积的数量关系，写出结论并加以证明．
答案 解：（1）不变； ……………………………………………………………………1分
45°；………………………………………………………………………2分
（2）结论：S△AEF=2 S△APQ………………………………………………………………3分
证明：
∵45°，
∴ ……………………
∴ …………………… ………4分
同理 …………………… ………5分
过点作于…………… ………6分
∴△AEF
△APQ …………………………………7分

9 （路桥二中一模）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等.
一条直线l与方形环的边线有四个交点、、、．小杨在探究线段 与 的数量关系时，从点、向对边作垂线段、，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小杨的思路解答下列问题：
（1）当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交边、、、于点、、、，小杨发现与相等，请你说明理由；
（2）当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交边、、、于点、、、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若相等，请说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）.







答案 ⑴解: 在方形环中，
∵∥
∴
∴△≌△
∴　　　　　　　　 ……………………………5分
⑵解法一：∵
　　　∴∽ …………………………3分
∴
∵
∴ （或） ………………………2分
①当时，tan=1,则
②当时，
则 （或） 　　 …………………… 2分
解法二：在方形环中，

又∵
∴∥
∴ …………………………3分
在与中，


即 （或）　　 　…………………………2分
①当时，
②当时，
则 （或） 　　　　　 ……………………………2分